精品解析：2026年山东青岛市市北区中考二模数学试题

九年级数学质量调研 （考试时间：120分钟；满分：120分） 说明： 本试题分第I卷和第II卷两部分，共25题．第I卷为选择题，共8小题，24分；第II卷为填空题、作图题、解答题，共17小题，96分． 所有题目均在答题卡上作答，在本卷上作答无效． 第I卷（共24分） 一．选择题（本题共8小题，每小题3分，共24分）在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．每小题选对得分；不选、选错或选出的标号超过一个不得分． 1. 数轴上表示的点到原点的距离是（ ） A. B. C. D. 2. 中国“二十四节气”已被列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录，下列四幅作品分别代表“立春”“立夏”“芒种”“大雪”，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 3. “燕山雪花大如席，片片吹落轩辕台．”这是诗仙李白眼里的雪花．单片雪花的重量其实很轻，只有0.00003左右，将0.00003用科学记数法可表示为（ ） A. B. C. D. 4. 如图所示几何体的主视图是（ ） A. B. C. D. 5. 把两块分别含角和含角的直角三角板按如图方式放置于两条平行线间．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，将先向上平移1个单位，再绕点按逆时针方向旋转，得到，则点的对应点的坐标是（ ） A. （0，4） B. （2，-2） C. （3，-2） D. （-1，4） 7. 如图，在中，，O是上一点．以点O为圆心，为半径的与相切于点D，点E为的中点，连接，．若，，则半径长为（ ） A. 3 B. 3.25 C. 3.5 D. 3.75 8. 已知二次函数的图象如图所示，对称轴为直线，经过点，下列结论：，，对任意实数，都有，若点，在函数图象上，且满足，，则．其中正确的有（ ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 第II卷（共96分） 二．填空题（本题共7小题，每小题3分，共21分） 9. 计算：=_______． 10. 在一个不透明的箱子里装有m个球，其中红球6个，这些球除颜色外都相同，每次将球搅拌均匀后，任意摸出一个球记下颜色后再放回，大量重复试验后发现，摸到红球的频率在左右，那么可以估算出m的值为_________． 11. 若关于的一元二次方程有实数根，则实数的取值范围是_________． 12. 如图，矩形中，的平分线交于点，为对角线和的交点，且，则______度． 13. 如图，为的直径，，，是上的一点，连接．若，阴影部分的面积是_________． 14. 如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点，分别在轴和轴上，点，点，反比例函数的图象经过点，则的值为_________． 15. 如图，正六边形的边长为，是边上一动点，过作交于，作交于，连接．给出下列结论：①；②；③当时，；④在移动的过程中，的最小值是．其中正确的有_________． 三、作图题（本题满分4分） 16. 用圆规、直尺作图，不写作法，但要保留作图痕迹．如图在的边、上分别有一点、，求作：．要求：圆心到、的距离相等且与相切于点． 四、解答题（本题满分71分，共有9道小题） 17. 按要求完成下列计算： （1）化简：； （2）解不等式组： 18. 2026年央视春晚的吉祥物是一组名为“骐骐”“骥骥”“驰驰”“骋骋”的骏马（分别记为A，B，C，D），将四匹骏马的图案印在如图所示的不透明卡片上，卡片背面完全相同，现将卡片背面朝上洗匀后抽取卡片． （1）若甲从中随机抽取一张，恰好抽到“驰驰（C）”的概率是______． （2）若乙从中随机抽取两张，求两张卡片中都没有“驰驰（C）”的概率． 19. 校田径队教练选出甲、乙、丙、丁四名运动员参加100米比赛．对这四名运动员最近10次100米跑测试成绩（单位：s）的数据进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息． a．甲、乙两名运动员10次测试成绩的折线图： b．丙运动员10次测试成绩：12.4 12.4 12.5 12.7 12.8 12.8 12.8 12.8 12.9 12.9 c．四名运动员10次测试成绩的平均数、中位数、方差： 甲 乙 丙 丁 平均数 12.5 12.5 p 12.5 中位数 m 12.5 12.8 12.45 方差 0.056 n 0.034 0.056 （1）表中m的值为_______； （2）表中n_______0.056（填“>”“=”或“<”）； （3）根据这10次测试成绩，教练按如下方式评估这四名运动员的实力强弱：首先比较平均数，平均数较小者实力更强；若平均数相等，则比较方差，方差较小者实力更强；若平均数、方差分别相等，则测试成绩小于平均数的次数较多者实力更强． 评估结果：这四名运动员按实力由强到弱依次为_______． 20. 我国公民18位身份证号码是按照第位是区域码，第位是出生日期码，第位是顺序码（对同年同月同日出生的人编的顺序号），第17位是性别码（男性用奇数1、3、5、7、9表示，女性用偶数0、2、4、6、8表示），第18位是校验码构成的．例如小明的身份证号码是． 注：最后一个X不是英文字母，而是罗马数字，表示10，这个数字是根据前面十七位数字码，按照 校验码系统计算出来的校验码． 计算方法： 第一步：将身份证号码的前17位数字分别乘以各自对应的系数，如表1所示： 身份证位数 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 对应系数 7 9 10 5 8 4 2 1 6 3 7 9 10 5 8 4 2 第二步：将这17位数字和系数相乘的结果相加，再把这个和除以11，看余数是多少．每个余数分别对应一个号码（如表2），确定最后一位身份证号码． 余数 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 最后一位身份证号 1 0 X 9 8 7 6 5 4 3 2 例如：小明身份证 最后一位是这样确定的： 前17位数字分别乘以对应的系数（见表1）： 余数是2，对应身份证最后一位对应就是X（见表2）． （1）某人填写的身份证号码为370203201205021005，判断这个身份证号码是不是合法的号码．请说明理由． （2）青岛市市北区某户人家2026年5月2日喜得一对“龙凤胎”，哥哥和妹妹的顺序码分别是09、10，请按照身份证号码制定规则将他们缺失的身份证号码补全． 哥哥： 妹妹： 21. 如图，数学实践小组想测量垂直地面的模型的高度，小刚从B点沿坡度为的斜坡走了13米到达点A，小王从B点水平前进14米到达C点．模型的底部D与B、C在同一水平线上，模型顶端为E点．小刚在A处测得E的仰角为，小王在C处测得E的仰角为（点A、B、C、D、E在同一平面内）．请你帮他们计算一下模型的高度是多少？ （参考数据：，，，，，） 22. 某商店销售A，B两种款式的水杯．已知每只A款水杯比每只B款水杯贵12元，今年三月份A款水杯的销售额为3840元，B款水杯的销售额为2000元，且A款水杯的销量是B款水杯的1.2倍． （1）求A，B两款水杯的售价分别是多少元？ （2）四月份，商店对A款水杯进行涨价销售，但A，B款水杯的销量均与三月份相同．已知每只A款水杯的进价是16元，每只B款水杯的进价8元．若A款水杯每只涨价元，商店规定A款水杯的售价不超过40元，则销售完两款水杯的总利润的最大值为多少元． 23. 如图：平行四边形，对角线、相交于点，将沿着折叠，使点落在平面上的处，与相交于，连接并延长，与相交于． （1）求证：； （2）连接，判断四边形的形状，并说明理由． 24. 某水上浮动舞台的横截面轮廓可近似看作抛物线的一部分．初始水面为轴，以水面与舞台左边缘的交点为原点，建立平面直角坐标系．已知舞台的吃水宽度米，最大吃水深度为4米，舞台前缘高出初始水面5米．在舞台正前方距离点40米处，有一根垂直于初始水面的固定灯塔，灯塔高度是10米（初始时为灯塔与水面交点，为塔顶）．灯塔在整个过程中保持绝对位置不变． （1）求舞台轮廓线所在抛物线的解析式及点的坐标； （2）在点处发射一枚礼花弹，礼花弹的飞行路线是抛物线的一部分．求的值，并判断礼花弹能否碰到灯塔； （3）若水面上升2米，舞台也随之整体上浮，灯塔固定不变．将舞台向右平移米（平移后舞台尚未到达灯塔位置），然后再按照（2）中的方式发射礼花弹．若礼花弹落水时未碰到灯塔，直接写出的取值范围． 25. 如图，已知四边形，，，，，，点从出发，沿方向匀速运动，速度为3单位．同时点从出发，沿方向匀速运动，速度为1单位．连接，将绕点旋转，得到．设运动时间为（）（）． 解答下列问题： （1）当四边形是矩形时，求的值； （2）连接，设四边形的面积，求与之间的函数关系式； （3）延长与交于，当时，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级数学质量调研 （考试时间：120分钟；满分：120分） 说明： 本试题分第I卷和第II卷两部分，共25题．第I卷为选择题，共8小题，24分；第II卷为填空题、作图题、解答题，共17小题，96分． 所有题目均在答题卡上作答，在本卷上作答无效． 第I卷（共24分） 一．选择题（本题共8小题，每小题3分，共24分）在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．每小题选对得分；不选、选错或选出的标号超过一个不得分． 1. 数轴上表示的点到原点的距离是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据绝对值的意义，求-7的绝对值，即可． 【详解】∵=7， ∴数轴上表示的点到原点的距离是7． 故选D． 【点睛】本题主要考查数轴上表示数的点到原点的距离，掌握绝对值的意义，是解题的关键． 2. 中国“二十四节气”已被列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录，下列四幅作品分别代表“立春”“立夏”“芒种”“大雪”，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义逐一分析各个选项即可． 【详解】解：A项：该图形能沿着某条直线翻折后与另一半图形互相重合，但不能绕着某点旋转后与原图形重合，所以是轴对称图形但不是中心对称图形，故A错误； B项：该图形能沿着某条直线翻折后与另一半图形互相重合，但不能绕着某点旋转后与原图形重合，所以是轴对称图形但不是中心对称图形，故B错误； C项：该图形能沿着某条直线翻折后与另一半图形互相重合，但不能绕着某点旋转后与原图形重合，所以是轴对称图形但不是中心对称图形，故C错误； D项：该图形能沿着某条直线翻折后与另一半图形互相重合，也能绕着某点旋转后与原图形重合，所以是轴对称图形也是中心对称图形，故D正确． 3. “燕山雪花大如席，片片吹落轩辕台．”这是诗仙李白眼里的雪花．单片雪花的重量其实很轻，只有0.00003左右，将0.00003用科学记数法可表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：． 4. 如图所示几何体的主视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】从正面看到的平面图形是主视图，根据主视图的含义可得答案． 【详解】解：如图所示的几何体的主视图如下： 故选：D． 【点睛】此题主要考查了三视图；用到的知识点为：主视图，左视图，俯视图分别是从物体的正面，左面，上面看得到的图形． 5. 把两块分别含角和含角的直角三角板按如图方式放置于两条平行线间．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意证明，延长交于点，根据平行线的性质，即可求解． 【详解】依题意， ∴ 如图，延长交于点， ∴ 又∵ ∴ 6. 如图，将先向上平移1个单位，再绕点按逆时针方向旋转，得到，则点的对应点的坐标是（ ） A. （0，4） B. （2，-2） C. （3，-2） D. （-1，4） 【答案】D 【解析】 【分析】根据平移的规律找到A点平移后对应点，然后根据旋转的规律找到旋转后对应点，即可得出的坐标． 【详解】解：如图所示：A的坐标为（4，2），向上平移1个单位后为（4，3），再绕点P逆时针旋转90°后对应点的坐标为（-1，4）． 故选：D． 【点睛】本题考查了根据平移变换和旋转变换作图，熟练掌握平移的规律和旋转的规律是解题的关键． 7. 如图，在中，，O是上一点．以点O为圆心，为半径的与相切于点D，点E为的中点，连接，．若，，则半径长为（ ） A. 3 B. 3.25 C. 3.5 D. 3.75 【答案】A 【解析】 【分析】由直角三角形的性质可得，由勾股定理可得，证明，由相似三角形的性质计算即可得出结果． 【详解】解：∵点E为的中点，，， ∴， ∴， ∵与相切， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，即半径长为． 8. 已知二次函数的图象如图所示，对称轴为直线，经过点，下列结论：，，对任意实数，都有，若点，在函数图象上，且满足，，则．其中正确的有（ ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 【答案】A 【解析】 【分析】由抛物线开口方向、对称轴及与轴交点坐标，结合二次函数性质逐一判断．由对称轴及一个交点可得另一个交点，从而判断时的函数值符号；利用时的等式及对称轴公式推导与的关系；利用最大值性质判断不等式；利用对称性及增减性比较函数值大小． 【详解】解：由图象可知，抛物线开口向下，，对称轴为直线，经过点， ∴抛物线与轴的另一个交点为， ∴当时，，即，故结论正确； ∵抛物线经过点， ∴， ∵对称轴为直线， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∵， ∴，即，故结论正确； ∵抛物线开口向下，对称轴为直线， ∴当时，有最大值，对任意实数，都有， ∴，故结论正确； ∵， ∴，即关于直线对称，对称轴为直线，且抛物线开口向下， ∴离对称轴越远，函数值越小， ∵， ∴， 若，则， 若，则， ∵， ∴， ∵，，即点离对称轴更远， ∴，故结论正确， 综上所述，正确的结论有个． 第II卷（共96分） 二．填空题（本题共7小题，每小题3分，共21分） 9. 计算：=_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据零指数幂和负整数指数幂的运算法则，分别计算两个项后，再进行有理数减法运算即可. 【详解】解：. 10. 在一个不透明的箱子里装有m个球，其中红球6个，这些球除颜色外都相同，每次将球搅拌均匀后，任意摸出一个球记下颜色后再放回，大量重复试验后发现，摸到红球的频率在左右，那么可以估算出m的值为_________． 【答案】12 【解析】 【分析】大量重复试验后，随机事件发生的频率会稳定在概率附近，可根据概率公式列出方程求解即可． 【详解】解：大量重复试验后发现，摸到红球的频率在左右， 任意摸出一个球，摸到红球的概率为， ∴ 解得：， 经检验符合题意； ∴m的值为12． 11. 若关于的一元二次方程有实数根，则实数的取值范围是_________． 【答案】且 【解析】 【分析】根据一元二次方程的定义，二次项系数不为0，方程有实数根可得根的判别式，列出不等式求解即可得到的取值范围． 【详解】解：方程是关于的一元二次方程， ， 解得； ∵关于的一元二次方程有实数根， ∴， 解得； 综上，实数的取值范围为且． 12. 如图，矩形中，的平分线交于点，为对角线和的交点，且，则______度． 【答案】 【解析】 【分析】利用矩形的性质和角平分线的定义可得，是等边三角形，进而得到，，即得到，再根据角的和差关系即可求解． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，， ∵平分， ∴， ∴ ，， ∴，是等边三角形， ∴，，， ∴，， ∴， ∴． 13. 如图，为的直径，，，是上的一点，连接．若，阴影部分的面积是_________． 【答案】 【解析】 【分析】连接，过点D作于点F，根据圆周角定理得出，解直角三角形得出，根据直角三角形的性质求出，根据求出结果即可． 【详解】解：连接，过点D作于点F，如图所示： 则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴ ． 14. 如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点，分别在轴和轴上，点，点，反比例函数的图象经过点，则的值为_________． 【答案】 【解析】 【分析】过点作轴于点， 轴于点，证明 ，利用全等三角形对应边相等建立方程求出点坐标，代入反比例函数解析式即可求解． 【详解】解：过点作轴于点， 轴于点， ，，  四边形是矩形，  ，，，  四边形是正方形， ，， ，， .， 在和中，  ，  ， ，，  矩形是正方形；   ，， ，， 设正方形的边长为，则 ，  点的坐标为 ， ， ，  ，   ， 解得，  点的坐标为，  反比例函数的图象经过点，   ． 15. 如图，正六边形的边长为，是边上一动点，过作交于，作交于，连接．给出下列结论：①；②；③当时，；④在移动的过程中，的最小值是．其中正确的有_________． 【答案】①③④ 【解析】 【分析】结论①利用正六边形内角性质和平行线同位角相等，结合平角定义，算出，验证正确；结论②：如下图作辅助线，三角形为等边三角形，四边形为平行四边形，，求出的值； 【详解】解：结论①：正六边形每个内角为， 由，，得，， ∴，故①正确； 结论②，如图连接，交于点， 则均为等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 又∵是正六边形的一条长对角线，它与边的夹角， ∴在中，， ∴是等边三角形，， ∵，， ∴， ∵， ∴为平行四边形，， 同理：为平行四边形，， ∴， ∵， ∴，故②错误， 当时， ， 又，   为等边三角形，   ，故③正确； 结论④：过点作 交于点， 设()， 在 中，，   ， ，   ， 在 中， ，   ，  ，  ，  当时， 有最大值，  有最小值 ，  的最小值为，故④正确； 综上所述，正确的结论有①③④ 三、作图题（本题满分4分） 16. 用圆规、直尺作图，不写作法，但要保留作图痕迹．如图在的边、上分别有一点、，求作：．要求：圆心到、的距离相等且与相切于点． 【答案】见详解 【解析】 【分析】圆心到、距离相等（）：根据垂直平分线的性质，到线段两端点距离相等的点，在线段的垂直平分线上，因此一定在的垂直平分线上．与相切于：根据切线的性质，圆的切线垂直于过切点的半径，因此，即圆心一定在过且垂直于的直线上．故作出线段的垂直平分线，过点作的垂线，上述两条直线的交点就是所求圆心；以为圆心、长为半径作圆，得到的就是符合要求的圆． 【详解】解：如图，即为所求． 四、解答题（本题满分71分，共有9道小题） 17. 按要求完成下列计算： （1）化简：； （2）解不等式组： 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解：          ； 【小问2详解】 解：， 解不等式 得， 解不等式得， 所以原不等式组的解集为． 18. 2026年央视春晚的吉祥物是一组名为“骐骐”“骥骥”“驰驰”“骋骋”的骏马（分别记为A，B，C，D），将四匹骏马的图案印在如图所示的不透明卡片上，卡片背面完全相同，现将卡片背面朝上洗匀后抽取卡片． （1）若甲从中随机抽取一张，恰好抽到“驰驰（C）”的概率是______． （2）若乙从中随机抽取两张，求两张卡片中都没有“驰驰（C）”的概率． 【答案】（1） （2）列表见解析，概率为 【解析】 【分析】（1）直接根据概率公式求解； （2）列表展示出所有可能出现的结果，再找出都没有“驰驰（C）”的结果数，然后根据概率公式计算即可． 【小问1详解】 解：从四张卡片中随机抽取一张，恰好抽到“驰驰（C）”的概率是； 【小问2详解】 解：所有可能出现的结果有： 第2张 第1张 A B C D A （A，B） （A，C） （A，D） B （B，A） （B，C） （B，D） C （C，A） （C，B） （C，D） D （D，A） （D，B） （D，C） 共12种，它们出现的可能性相同．所有的结果中，满足“两张卡片中都没有C”（记为事件）的结果有6种，所以． 19. 校田径队教练选出甲、乙、丙、丁四名运动员参加100米比赛．对这四名运动员最近10次100米跑测试成绩（单位：s）的数据进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息． a．甲、乙两名运动员10次测试成绩的折线图： b．丙运动员10次测试成绩：12.4 12.4 12.5 12.7 12.8 12.8 12.8 12.8 12.9 12.9 c．四名运动员10次测试成绩的平均数、中位数、方差： 甲 乙 丙 丁 平均数 12.5 12.5 p 12.5 中位数 m 12.5 12.8 12.45 方差 0.056 n 0.034 0.056 （1）表中m的值为_______； （2）表中n_______0.056（填“>”“=”或“<”）； （3）根据这10次测试成绩，教练按如下方式评估这四名运动员的实力强弱：首先比较平均数，平均数较小者实力更强；若平均数相等，则比较方差，方差较小者实力更强；若平均数、方差分别相等，则测试成绩小于平均数的次数较多者实力更强． 评估结果：这四名运动员按实力由强到弱依次为_______． 【答案】（1） （2） （3）乙、丁、甲、丙 【解析】 【分析】本题考查了折线统计图，计算方差，中位数，平均数等知识点，正确理解题意是解题的关键． （1）根据中位数定义即可求解； （2）根据方差计算公式求解，再比较即可； （3）根据中位数、方差、平均数，结合题意分析即可． 【小问1详解】 解：甲的10次测试成绩排列为：， ∴中位数， 故答案为：； 【小问2详解】 解：乙的10次测试成绩平均数为：， ∴方差为： ∴， 故答案为：； 【小问3详解】 解：丙的平均数， ∴丙的平均数最大，则实力最弱， ∵方差， ∴乙实力最强， ∵丁的测试成绩中位数为， ∴第次成绩和为， ∴前5次测试成绩小于平均数， ∵甲测试成绩小于平均数12.5的次数有2次， ∴丁比甲强， ∴这四名运动员按实力由强到弱依次为：乙、丁、甲、丙， 故答案为：乙、丁、甲、丙． 20. 我国公民18位身份证号码是按照第位是区域码，第位是出生日期码，第位是顺序码（对同年同月同日出生的人编的顺序号），第17位是性别码（男性用奇数1、3、5、7、9表示，女性用偶数0、2、4、6、8表示），第18位是校验码构成的．例如小明的身份证号码是． 注：最后一个X不是英文字母，而是罗马数字，表示10，这个数字是根据前面十七位数字码，按照 校验码系统计算出来的校验码． 计算方法： 第一步：将身份证号码的前17位数字分别乘以各自对应的系数，如表1所示： 身份证位数 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 对应系数 7 9 10 5 8 4 2 1 6 3 7 9 10 5 8 4 2 第二步：将这17位数字和系数相乘的结果相加，再把这个和除以11，看余数是多少．每个余数分别对应一个号码（如表2），确定最后一位身份证号码． 余数 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 最后一位身份证号 1 0 X 9 8 7 6 5 4 3 2 例如：小明身份证 最后一位是这样确定的： 前17位数字分别乘以对应的系数（见表1）： 余数是2，对应身份证最后一位对应就是X（见表2）． （1）某人填写的身份证号码为370203201205021005，判断这个身份证号码是不是合法的号码．请说明理由． （2）青岛市市北区某户人家2026年5月2日喜得一对“龙凤胎”，哥哥和妹妹的顺序码分别是09、10，请按照身份证号码制定规则将他们缺失的身份证号码补全． 哥哥： 妹妹： 【答案】（1）该身份证不合法 （2）2；8 【解析】 【分析】（1）根据规律计算验证即可； （2）根据规律计算即可． 【小问1详解】 解 ：根 据 表 中 对 应 关 系 和 计 算 规 则 得：，， ∴余数为9，对照表格，余数9对应校验码为3，与题目给出的最后一位5不符，因此该身份证不合法； 【小问2详解】 解：青岛市市北区区域码为370203，出生日期2026年5月2日，出生日期码为20260502， 哥哥（男性，顺序码09，第17位为奇数5）： 前17位为37020320260502095， 计算乘积和得 ， ，余数10对应校验码为2， 因此哥哥完整身份证号为： 370203202605020952； 妹妹（女性，顺序码10，第17位为偶数0）： 前16位为3702032026050210， 最后一位为2，校验码为2对应余数10， 设第17位数字为a（的整数）， 计算乘积和得 ， 则 余数为10， ∴， 因此妹妹完整身份证号为： 370203202605021082． 21. 如图，数学实践小组想测量垂直地面的模型的高度，小刚从B点沿坡度为的斜坡走了13米到达点A，小王从B点水平前进14米到达C点．模型的底部D与B、C在同一水平线上，模型顶端为E点．小刚在A处测得E的仰角为，小王在C处测得E的仰角为（点A、B、C、D、E在同一平面内）．请你帮他们计算一下模型的高度是多少？ （参考数据：，，，，，） 【答案】米 【解析】 【分析】过点作于，于，则四边形是矩形，得出，，根据斜坡的坡度为，得出​，设，，在中，由勾股定理得，求出，则米，米，米．设米，则，在中，根据，​，得出，​，在中，根据，​，列方程求解即可． 【详解】解：过点作于，于， 根据题意可得， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵斜坡的坡度为， ∴​， 设，， 在中，由勾股定理得， ∵米， ∴，解得， 即：米，米，米． 设米，则， 在中，，​， ∴， ∴​， 在中，，​， 代入得：， 交叉相乘整理得：， 解得． 答：模型的高度为米． 22. 某商店销售A，B两种款式的水杯．已知每只A款水杯比每只B款水杯贵12元，今年三月份A款水杯的销售额为3840元，B款水杯的销售额为2000元，且A款水杯的销量是B款水杯的1.2倍． （1）求A，B两款水杯的售价分别是多少元？ （2）四月份，商店对A款水杯进行涨价销售，但A，B款水杯的销量均与三月份相同．已知每只A款水杯的进价是16元，每只B款水杯的进价8元．若A款水杯每只涨价元，商店规定A款水杯的售价不超过40元，则销售完两款水杯的总利润的最大值为多少元． 【答案】（1）A款水杯售价为32元，B款水杯售价为20元． （2）总利润p的最大值为4080元． 【解析】 【分析】（1）设B款水杯售价为未知数，根据“A款水杯销量是B款水杯的1.2倍”的等量关系列分式方程求解，检验后得到结果； （2）先根据第一问结果求出两款水杯的销量，再根据利润公式得到总利润与涨价的一次函数关系，结合A款售价的限制得到的取值范围，根据一次函数的增减性求出最大利润． 【小问1详解】 解：设每只B款水杯的售价为元，则每只A款水杯的售价为元． 根据题意得： 交叉相乘得 整理得 解得 经检验是原分式方程的解，且符合题意． 则． 答：A款水杯售价为32元，B款水杯售价为20元． 【小问2详解】 解：由（1）可知，三月份B款水杯销量为（只），A款水杯销量为（只）． 根据题意，A款水杯每只涨价元后，售价为， 由售价不超过40元得：， 即． ∴ 总利润 整理得 ， 随的增大而增大． 当时，取得最大值，最大值为（元）． 答：销售完两款水杯的总利润的最大值为4080元． 23. 如图：平行四边形，对角线、相交于点，将沿着折叠，使点落在平面上的处，与相交于，连接并延长，与相交于． （1）求证：； （2）连接，判断四边形的形状，并说明理由． 【答案】（1）见详解 （2）四边形是菱形，理由见详解 【解析】 【分析】（1）根据平行四边形的性质得出，，由折叠的性质得，，则，，即可证出． （2）由（1）中全等可得：，根据平行四边形的性质得出，，则，，证明，则，结合，即可证明平行四边形是菱形． 【小问1详解】 证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， 由折叠的性质得：，， ∴，， 又∵（对顶角相等）， ∴． 【小问2详解】 解：四边形是菱形，理由如下： 由（1）中全等可得：， ∵四边形是平行四边形，对角线交于， ∴，， ∴，， 在和中： ​， ∴， ∴， ∵，， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴平行四边形是菱形． 24. 某水上浮动舞台的横截面轮廓可近似看作抛物线的一部分．初始水面为轴，以水面与舞台左边缘的交点为原点，建立平面直角坐标系．已知舞台的吃水宽度米，最大吃水深度为4米，舞台前缘高出初始水面5米．在舞台正前方距离点40米处，有一根垂直于初始水面的固定灯塔，灯塔高度是10米（初始时为灯塔与水面交点，为塔顶）．灯塔在整个过程中保持绝对位置不变． （1）求舞台轮廓线所在抛物线的解析式及点的坐标； （2）在点处发射一枚礼花弹，礼花弹的飞行路线是抛物线的一部分．求的值，并判断礼花弹能否碰到灯塔； （3）若水面上升2米，舞台也随之整体上浮，灯塔固定不变．将舞台向右平移米（平移后舞台尚未到达灯塔位置），然后再按照（2）中的方式发射礼花弹．若礼花弹落水时未碰到灯塔，直接写出的取值范围． 【答案】（1）舞台轮廓线所在抛物线的解析式为，点的坐标为 （2），礼花弹不能碰到灯塔 （3）或 【解析】 【分析】（1）设出二次函数的顶点式，代入原点坐标，可得二次项系数，从而可得舞台轮廓线所在抛物线的解析式，代入点的纵坐标，可得点的横坐标； （2）把点的坐标代入礼花弹所走路线的抛物线解析式，解得的值，从而可得礼花弹所走路线的抛物线的解析式，代入点的横坐标，通过计算判断抛物线与是否有交点即可； （3）根据二次函数图象的平移，可得在题设条件下礼花弹所走路线抛物线的解析式，代入点的坐标点和 ，求出礼花弹经过灯塔顶端对应的的值，即可确定满足题意的的取值范围． 【小问1详解】 解：∵舞台的吃水宽度米，最大吃水深度为4米， ∴根据题意，设舞台轮廓线所在抛物线的解析式为 ， 将的坐标代入，得 ，解得． ∴ ， 把代入抛物线解析式，得， 解得：（负值舍去）， ∴点的坐标为， 答：舞台轮廓线所在抛物线的解析式为，点的坐标为． 【小问2详解】 解：礼花弹不能碰到灯塔． 将点的坐标代入，得， 解得：， ， 当时， ， 说明礼花弹在处已经落在水面下，不在灯塔高度范围内， ∴礼花弹不能碰到灯塔． 【小问3详解】 解：水面上升2 米，舞台向右平移米， ∴新的礼花弹所走路线抛物线的解析式为 若拋物线经过点，则 ， 解得：． ， 若拋物线经过点 ，则 ， 解得：（不合题意，舍去）， ， 答：若礼花弹落水时未碰到灯塔，的取值范围是或． 25. 如图，已知四边形，，，，，，点从出发，沿方向匀速运动，速度为3单位．同时点从出发，沿方向匀速运动，速度为1单位．连接，将绕点旋转，得到．设运动时间为（）（）． 解答下列问题： （1）当四边形是矩形时，求的值； （2）连接，设四边形的面积，求与之间的函数关系式； （3）延长与交于，当时，求的值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据矩形的性质得，据此建立方程求解即可； （2）连接，由勾股定理可得，由勾股定理逆定理可得，过作于，过作于，可证，得，即可得解； （3）根据题意得，过作于，证，可得，过作于点，则，利用相似比建立方程求解即可． 【小问1详解】 解：依据题意可得， ， 根据旋转可得 ， 当四边形是矩形时， ， 则， 即， ． 【小问2详解】 解：连接， 在中，由勾股定理得， 在中，∵ ， ∴， ， 过作于，过作于， 则， ∴ ， ， ， ， ． 【小问3详解】 解： ， ， 过F作于M， 则， ， ，即， ， ， 过作于点， 则 ， 由（2）知 ， ， ， ， 即， 整理，得 ， 解得：（舍）． ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $