精品解析：2025年山东省青岛市市北区九年级中考二模数学试题

九年级数学质量调研 （考试时间：120分钟；满分：120分） 说明： 本试题分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，共25题．第Ⅰ卷为选择题，共8小题，24分； 第Ⅱ卷为填空题、作图题、解答题，共17小题，96分． 所有题目均在答题卡上作答，在本卷上作答无效． 第Ⅰ卷（共24分） 一．选择题（本题共8小题，每小题3分，共24分） 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．每小题选对得分；不选、选错或选出的标号超过一个的不得分． 1. 下列各数中，是无理数的是（ ） A. B. C. D. 0.13133 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查无理数的定义，根据无理数是无限不循环小数结合立方根的定义，进行判断即可． 【详解】解：A、是无理数，符合题意； B、是有理数，不符合题意； C、是有理数，不符合题意； D、0.13133是有理数，不符合题意； 故选A． 2. 中国科学院研发的新型纳米机器人的大小仅为0.000000098米，数据0.000000098用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查科学记数法的表示方法，科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正数；当原数的绝对值时，n是负数． 【详解】 故选：B 3. 如图所示的几何体是由5个完全相同的小正方体组成，它的主视图是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据从正面看到的图形是主视图，即可得． 【详解】解：从前面看，第一层是两个小正方形，第二层左边一个小正方形，第三层左边1个小正方形， 故选A． 【点睛】本题考查了简单几何体的三视图，解题的关键是掌握从正面看到的图形是主视图． 4. 许多装饰图案中都蕴含着丰富的数学之美．下列图案是轴对称图形但不是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形和轴对称图形的定义．寻找对称中心、对称轴是解题的关键； 轴对称图形是指一个图形可以沿着一条直线（‌对称轴）‌折叠，‌使得直线两侧的图形能够完全重合；‌中心对称图形则是指一个图形可以绕着一个点（‌对称中心）‌旋转，‌使得旋转前后的图形互相重合．‌根据轴对称图形和中心对称的定义逐项判断即可． 【详解】A．可以找到对称轴，使图形两侧能够完全重合，是轴对称图形，也可以找到一点旋转后与原图重合，是中心对称图形，故选项不符合题意； B．找不到对称轴，使图形两侧能够完全重合，不是轴对称图形，但是找到一点旋转后与原图重合，是中心对称图形，故选项不符合题意； C．可以找到对称轴，使图形两侧能够完全重合，是轴对称图形，找不到一点旋转后与原图重合，不是中心对称图形，故选项符合题意； D．找不到对称轴，使图形两侧能够完全重合，不是轴对称图形，可找到一点旋转后与原图重合，是中心对称图形，故选项不符合题意； 故选：C． 5. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了同底数幂乘法计算，幂的乘方计算，完全平方公式和合并同类项，根据相关计算法则求出对应选项中式子的结果即可得到答案． 【详解】解：A、，原式计算错误，不符合题意； B、，原式计算错误，不符合题意； C、，原式计算正确，符合题意； D、，原式计算错误，不符合题意； 故选；C． 6. 如图，在平面直角坐标系中，是由绕点旋转得到，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，线段的垂直平分线的性质，两点之间距离公式，确定点为与的垂直平分线的交点，是解题的关键． 根据旋转的性质可得为与的垂直平分线的交点，则，设，再由，结合两点之间距离公式建立方程求解． 【详解】解：由题意得点为与的垂直平分线的交点， ∴， ∵， ∴的垂直平分线为直线， 设， ∵， ∴， 解得：， ∴， 故选：C． 7. 如图，与正六边形的边，分别相切于点，点．若，则的半径长为（ ） A B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】连接，过点作于点，过点作于点，根据切线的性质得到，求得，根据等边三角形的性质得，求得，根据全等三角形的性质得，得到，求得，过点作于点，解直角三角形即可得出结论． 【详解】解：连接，过点作于点，过点作于点， ∴， ∵是的切线， ∴， ∵多边形是正六边形， ， ， ， ， ， ， ， ， ∴四边形是矩形， ， ， ， ， 过点作于点， ， ， ∴的半径长为， 故选：B． 【点睛】本题考查了正多边形与圆、正六边形的性质、解直角三角形、矩形的判定和性质、全等三角形的判定和性质，正确作出辅助线是解题的关键． 8. 二次函数的图象如图所示，则函数与在同一直角坐标系内的大致图象是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数图象和性质、反比例函数的图象和性质、一次函数的图象和性质等知识点，熟知函数的系数对函数图象是解题的关键． 先根据二次函数图象确定，，再分别函数与在同一直角坐标系内的大致图象即可解答． 【详解】解：由二次函数的图象可知，，， ∴， ∴反比例函数的图象在第二、四象限，一次函数的图象经过第一，二，四象限，即选项B符合题意． 故选：B． 第Ⅱ卷（共96分） 二．填空题（本题共7小题，每小题3分，共21分） 9. 计算：______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查实数混合运算，涉及负整数指数幂运算、算术平方根等知识，先分别计算负整数指数幂、算术平方根，再由有理数减法运算求解即可得到答案．熟记负整数指数幂运算、算术平方根是解决问题的关键． 【详解】解： ， 故答案为：． 10. 如图，是甲、乙两人10次射击成绩（环数）的条形统计图，则甲、乙两人成绩较稳定的是______；如果甲又连续射击了5次，且环数均为9环，那么甲的方差变化情况是______（填“变大”“变小”或“不变”）． 【答案】 ①. 乙 ②. 变小 【解析】 【分析】根据统计图得出甲和乙的成绩，进而计算方差，比较即可求解． 【详解】解：甲的成绩为， 平均分为， ∴甲的成绩的方差为： 乙的成绩为 平均分为， ∴乙的成绩的方差为： ∴ 则乙的成绩更稳定， 如果甲又连续射击了5次，且环数均为9环，则甲的成绩的方差为： 那么甲的方差变化情况是变小， 故答案为：乙、变小． 【点睛】本题考查了求方差，方差的意义，条形统计图，掌握方差的求法与意义是解题的关键． 11. 如图，点，分别位于反比例函数与的图象上，连接，则有轴，为轴上一点，连接，，若，则________． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了反比例函数系kk的几何意义，关键是根据三角形的面积求出的值．连接，设与轴交于点，则，根据，即可求解． 【详解】解：如图，连接，设与轴交于点， ∵轴， ∴轴， ∴ ∵， ∴ 解得：， 故答案为：． 12. 如图是一张长为，宽为的长方形硬纸板，在四个直角处分别剪去边长为的正方形和中间的一个正方形，剩余部分（阴影部分）可制作两个大小完全相等的底面是正方形的无盖长方体纸盒（接头处忽略不计），则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，正方形的边长为，根据图形列出方程组即可求解，正确识图是解题的关键． 【详解】解：设正方形的边长为， 由图形可得，， 解得， ∴的值为， 故答案为：． 13. 如图，在中，，点，分别为边，上的一点，当，时，将沿折痕翻折后，点恰好落在边中点处，则的长是______． 【答案】 【解析】 【分析】连接，根据点恰好落在边中点处，，得到，，求得，结合解答即可． 本题考查了折叠的性质，勾股定理，图形的面积，熟练掌握折叠的性质，勾股定理是解题的关键． 【详解】解：连接， ∵点恰好落在边中点处，， ∴，， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 14. 如图，是的直径，是的两条弦．分别延长和相交于点，已知，，弦的长为，则图中阴影部分面积为______． 【答案】 【解析】 【分析】先得出，结合半径相等得，则，运用勾股定理算出半径，再证明是等边三角形，根据，得，然后分别求出，，，，再代入阴影面积进行计算，即可作答． 详解】解：连接，过点D作，过点O作，如图所示： ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵弦的长为， ∴ ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴，，， ∴ ∵，且， ∴， 即， ∴， ∴， 在中， ∴ ∴， ∴ ∴阴影面积 ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了三角形内角和性质，不规则图形，30度的直角三角形，等边三角形的判定与性质，解直角三角形的相关运算，难度较大，综合性较强，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 15. 如图，有一个正方体纸盒，其棱长为．小明沿着同一顶点处的三条棱在三个面上分别剪掉了，和的三个长方形．将正方体纸盒剩余部分沿棱展开，得到的展开图周长最大是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了正方体侧面展开图，根据小明沿着同一顶点处的三条棱在三个面上分别剪掉了，和的三个长方形，分别画出图形，然后比较即可得到的展开图周长最大是，然后求解即可，掌握正方体侧面展开图是解题的关键． 【详解】解：如图， ∴得到的展开图周长是， 如图， ∴得到的展开图周长是， 如图， ∴得到的展开图周长是， ∵， ∴得到的展开图最大周长是， 故答案为：． 三．作图题（本题满分4分） 16. 用圆规、直尺作图，不写作法，但要保留作图痕迹． 已知：如图，． 求作：平行四边形，使得点在边上，且为的一半． 【答案】见详解 【解析】 【分析】本题主要考查了复杂作图，作线段垂直平分线，平行四边形的判定，正确作出图形是解答本题的关键． 作的线段垂直平分线交于点O，在上截取，则，连接并延长，在延长线上截取，连接，根据“，”，对角线互相平分即可得是平行四边形 【详解】解：如图，平行四边形即为所求． 四．解答题（本题满分71分，共有9道小题） 17. （1）解不等式组 （2）化简：． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，分式的混合运算，准确熟练地进行计算是解题的关键． （1）按照解一元一次不等式组的步骤进行计算，即可解答； （2）利用完全平方公式和分式的混合运算顺序进行即可解答． 【详解】解：（1） 由①得 ， ； 由②得 ， ； ； （2）原式 18. 小亮和小颖利用三张卡片做游戏，卡片上分别写有A，B，C．这些卡片除字母外完全相同，背面朝上，从中随机摸出一张，记下字母后放回，充分洗匀后，再从中摸出一张． （1）第一次就摸到A的概率是______； （2）如果两次摸到卡片字母相同小明胜，否则小亮胜．这个游戏对双方公平吗？请说明理由． 【答案】（1） （2）不公平，理由见解析 【解析】 【分析】本题考查了事件的概率，树状图法求概率，游戏公平性，熟练掌握画树状图法求概率是解题的关键． （1）根据概率公式计算概率即可． （2）根据画树状图法，求概率，比较概率大小，判断游戏是否公平． 【小问1详解】 解：∵一共有A，B，C三张卡片， ∴第一次摸到A是的概率为： 【小问2详解】 解：不公平，理由如下： 根据题意，画树状图如下： 一共有9种等可能性，其中两次相同的有3种等可能性，不同的有6种等可能性． 故（小明胜），（小亮胜），两种情形概率不相等， 故这样的游戏规则是不公平的． 19. 年月日，中国“春节”申遗成功．为了解学生对春节文化的知晓情况，某校举办了春节文化知识竞赛，并从七、八年级学生中分别随机抽取名学生的竞赛成绩（百分制）进行整理、描述和分析（竞赛成绩用表示，共分为四组：．，．，．，．，其中，竞赛成绩分及以上为优秀），部分信息如下： 七年级名学生的竞赛成绩是： ． 八年级名学生竞赛成绩在组的数据是： ． 七、八年级抽取的学生竞赛成绩统计表 年级 平均数 众数 中位数 方差 七年级 八年级 八年级抽取学生竞赛成绩扇形统计图 根据以上信息，解答下列问题： （1）上述图表中的______，______，______； （2）若该校七年级有名学生，八年级有名学生参加此次春节文化知识竞赛，估计该校七、八年级学生参加此次春节文化竞赛成绩达到优秀共有多少人？ 【答案】（1），， （2）人 【解析】 【分析】（）根据众数、中位数的定义可求出的值，再根据八年级名学生竞赛成绩在组的人数可求出的值； （）用七、八年级的学生数分别乘以成绩达到优秀的学生人数占比，相加即可求解； 本题考查了扇形统计图，众数和中位数，样本估计总体，掌握以上知识点是解题的关键． 【小问1详解】 解：由七年级名学生的竞赛成绩可知，分的人数最多， ∴众数， 由八年级抽取学生竞赛成绩扇形统计图可知，成绩在组的学生有名， ∴成绩在组和组的学生共有名， ∵中位数为第名和第名学生竞赛成绩的平均数， ∴， ∵八年级竞赛成绩在组的学生有人， ∴， ∴， 故答案为：，，； 【小问2详解】 解：解：， 答：估计该校七、八年级学生参加此次春节文化竞赛成绩达到优秀的共有人． 20. 【探究建模】 （1）如图①，是正三角形，边长为，点是的中心点，点是内任意一点，点到各边距离分别为、、．连接，由等面积法，可得______；（结果用含的式子表示） 【类比应用】 （2）如图②，五边形是正五边形，边长为，点是的中心点，点是正五边形内任意一点，点到五边形各边距离分别为，则的值为______（结果用含的式子表示）． （3）正边形的边长为，点是正边形内任意一点，点到正边形各边距离分别为，则的值为______（结果用含和的式子表示）． 【答案】（1）；（2）；（3） 【解析】 【分析】本题主要考查了代数式的规律、正多边形的性质、解直角三角形等知识点，发现相关规律成为解题的关键． （1）由题意可得、，解直角三角形可得，然后根据等面积法题意列方程求解即可； （2）如图：作于I，连接，则、，解直角三角形可得，然后根据等面积法题意列方程求解即可； （3）类比（2）的方法求解即可． 【详解】解：（1）∵是正三角形，边长为，点是的中心点， ∴，， ∴， ∵， ∴，即得：． （2）如图：作于I，连接，则，， ∴， ∴，， ∴，解得：． （3）由（2）可得正边形的面积为，， ∴，解得：． 21. 如图为某公园的平面图示，三个亭子、、在同一水平线上，小红在处测得亭子在正北方向处，亭子D在北偏东45度；小红从走到达处，此时测得点在北偏东，点在北偏西，求、两个亭子间的距离． （参考数据：，，，，，） 【答案】两个亭子间距离为 【解析】 【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用，矩形的判定和性质，过点作于，过点A作于I，先证明四边形为矩形，由矩形的性质得出，．解直角三角形，得出，，进而可得出，再解，得出，，再由等腰直角三角形的性质得出，再根据求解即可． 【详解】解：过点作于，过点A作于I， ， 又， ， 四边形为矩形， ，， 在中，，，， ，， ， 在中，， ， ∴， ， 在中，，， ， ， ， ． 答：两个亭子间距离为． 22. 2025年4月27日，第20届中国电影华表奖在山东青岛市举行颁奖典礼．某文创店准备采购一批华表奖主题纪念品用于推广：已知“经典套装A型”的进价比“豪华套装B型”的进价低80元．如果文创店同样用6000元购进A型套装的数量是B型套装的数量的2倍． （1）求A型套装和B型套装的进价分别是多少元？ （2）文创店计划购买A型套装和B型套装共400件，且A型套装的数量不少于B型套装数量的3倍，将A型套装和B型套装分别按进价提高销售，如何购买这两种型号套装才能使全部售出后总利润最大？ 【答案】（1）A型套装的进价是80元，B型套装的进价是160元 （2）购买A型300件，B型100件，总利润最大 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式的应用、一次函数的应用，理解题意正确列出方程和不等式是解题的关键． （1）设A型套装进价是元，则B型套装的进价是元，根据题意列出分式方程，解出的值即可解答； （2）设购买A型套装件，B型套装件，根据题意得到，解得，设总利润为元，列式可得，再利用一次函数的性质即可解答． 【小问1详解】 解：设A型套装的进价是元，则B型套装的进价是元， 由题意得，， 解得：， 经检验，是方程的解且符合题意， 则， 答：A型套装的进价是80元，B型套装的进价是160元 【小问2详解】 解：设购买A型套装件，B型套装件， 由题意得，， 解得：， 设总利润为元， 则 ， ， 随a增大而减小， 当时，W取最大值，此时400－300＝100（件）， 答：购买A型300件，B型100件，总利润最大． 23. 在中，点和点分别是和的中点，连接，过点作的平行线，与的延长线交于点． （1）求证： （2）当满足什么条件时，四边形是菱形，并说明理由；若此时的面积为16时，则的面积为______． 【答案】（1）见解析 （2）当满足时，四边形为菱形，理由见解析； 【解析】 【分析】（1）根据，得出，．结合，即可证明． （2）根据，得出．根据，得出．证出四边形为平行四边形．根据，得出．证出为菱形，即可求出． 【小问1详解】 证明：， ，． 又为中点， ． 在与中， ， ． 【小问2详解】 解：当满足时，四边形为菱形． 理由：， ． 为中点， ， ． 又， 四边形为平行四边形． ， ． 为菱形， ∵，为中点，， ∴， ∴， ∴的高之比为， ∴的高之比为， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质和判定，全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，菱形的性质和判定，熟练掌握相关知识的联系与运用是解答的关键． 24. 根据以下素材，探索完成任务 社会实践活动 素材1：小丽外出游玩发现，有两根相邻的电线杆和，其中在平地上，在坡面上，它们之间的电线呈抛物线形状，她建立1米为1个单位长度的平面直角坐标系（如右图为其截面），电线杆与地面垂直，点到地面的距离米，米，米，米，电线在距离点10米处的正上方时最低． 素材2：小丽又发现在山坡之间，从距坡底点向右，每隔水平距离为6米的点和点种了两排树．树与地面垂直，其中树和都在电线的正下方，米． 问题解决 （1）任务1：求截面图中坡面所在直线的解析式； （2）任务2：求图中间抛物线型电线的解析式； （3）任务3：电线与树顶需保持最小安全距离2米，否则会有安全隐患，请根据以上材料，判断此时该山坡所种树木是否符合安全标准？说明理由． 【答案】（1）任务1：；任务2：；任务3：符合安全标准，理由见解析 【解析】 【分析】本题考查了二次函数、一次函数的应用，解题的关键是： （1）设直线表达式为，把，代入求解即可； （2）设抛物线表达式为，根据对称轴可得出，把代入得出，解方程组求出a、b即可； （3）设，然后把，代入求出对应的h的值，最后与5米比较大小即可求解． 【详解】解：（1）设直线表达式为， 将，代入， 解得， ． （2）设抛物线表达式为， ， ． 对称轴， ． 将代入得． 即， 把代入得， ，，， ． （3）设，． 当时，． 当时， ，， 符合安全标准． 25. 已知：如图1，在中，，，，点从点出发，沿方向匀速运动，速度为2单位／s；同时点从点出发，沿方向匀速运动，速度为1单位／s，过点作，交于点，连接，以和为邻边作平行四边形．设运动时间为． 解答下列问题： （1）连接，当时，求的值； （2）如图2，连接，设四边形的面积为，求与之间的函数关系式； （3）如图3，连接与交于点，当时，求值． 【答案】（1）3 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据平行线分线段成比例，建立方程进行解方程，即可作答． （2）过点D作于H，，则，，故，则，分别把数值代入，，得，所以，得，整理得，即可作答． （3）过点作于，整理得，则运用即，，建立方程，进行解方程，即可作答． 本题考查了平行线分线段成比例，解直角三角形的相关运算，方程与动点问题，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 【小问1详解】 解：， ． ，， ，， ， ∴， 解得， 【小问2详解】 解：过点D作于H， 在中，， ， ． 在中，， ，， ， 则， ， ， ， 则， ∴ 则， ， 【小问3详解】 解：过点作于， 在中，， ， ． ， ， ， ， 又， ， 即，， ∴． 解得， ， ∴ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 九年级数学质量调研 （考试时间：120分钟；满分：120分） 说明： 本试题分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，共25题．第Ⅰ卷为选择题，共8小题，24分； 第Ⅱ卷为填空题、作图题、解答题，共17小题，96分． 所有题目均在答题卡上作答，在本卷上作答无效． 第Ⅰ卷（共24分） 一．选择题（本题共8小题，每小题3分，共24分） 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．每小题选对得分；不选、选错或选出的标号超过一个的不得分． 1. 下列各数中，是无理数的是（ ） A. B. C. D. 0.13133 2. 中国科学院研发的新型纳米机器人的大小仅为0.000000098米，数据0.000000098用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 如图所示的几何体是由5个完全相同的小正方体组成，它的主视图是（　　） A. B. C. D. 4. 许多装饰图案中都蕴含着丰富数学之美．下列图案是轴对称图形但不是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 5. 下列运算正确的是（ ） A B. C. D. 6. 如图，在平面直角坐标系中，是由绕点旋转得到，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，与正六边形的边，分别相切于点，点．若，则的半径长为（ ） A B. C. D. 8. 二次函数的图象如图所示，则函数与在同一直角坐标系内的大致图象是（ ） A. B. C. D. 第Ⅱ卷（共96分） 二．填空题（本题共7小题，每小题3分，共21分） 9. 计算：______． 10. 如图，是甲、乙两人10次射击成绩（环数）的条形统计图，则甲、乙两人成绩较稳定的是______；如果甲又连续射击了5次，且环数均为9环，那么甲的方差变化情况是______（填“变大”“变小”或“不变”）． 11. 如图，点，分别位于反比例函数与的图象上，连接，则有轴，为轴上一点，连接，，若，则________． 12. 如图是一张长为，宽为的长方形硬纸板，在四个直角处分别剪去边长为的正方形和中间的一个正方形，剩余部分（阴影部分）可制作两个大小完全相等的底面是正方形的无盖长方体纸盒（接头处忽略不计），则的值为______． 13. 如图，在中，，点，分别为边，上的一点，当，时，将沿折痕翻折后，点恰好落在边中点处，则的长是______． 14. 如图，是的直径，是的两条弦．分别延长和相交于点，已知，，弦的长为，则图中阴影部分面积为______． 15. 如图，有一个正方体纸盒，其棱长为．小明沿着同一顶点处的三条棱在三个面上分别剪掉了，和的三个长方形．将正方体纸盒剩余部分沿棱展开，得到的展开图周长最大是______． 三．作图题（本题满分4分） 16. 用圆规、直尺作图，不写作法，但要保留作图痕迹． 已知：如图，． 求作：平行四边形，使得点在边上，且为一半． 四．解答题（本题满分71分，共有9道小题） 17. （1）解不等式组 （2）化简：． 18. 小亮和小颖利用三张卡片做游戏，卡片上分别写有A，B，C．这些卡片除字母外完全相同，背面朝上，从中随机摸出一张，记下字母后放回，充分洗匀后，再从中摸出一张． （1）第一次就摸到A的概率是______； （2）如果两次摸到卡片字母相同小明胜，否则小亮胜．这个游戏对双方公平吗？请说明理由． 19. 年月日，中国“春节”申遗成功．为了解学生对春节文化的知晓情况，某校举办了春节文化知识竞赛，并从七、八年级学生中分别随机抽取名学生的竞赛成绩（百分制）进行整理、描述和分析（竞赛成绩用表示，共分为四组：．，．，．，．，其中，竞赛成绩分及以上为优秀），部分信息如下： 七年级名学生的竞赛成绩是： ． 八年级名学生竞赛成绩在组的数据是： ． 七、八年级抽取的学生竞赛成绩统计表 年级 平均数 众数 中位数 方差 七年级 八年级 八年级抽取学生竞赛成绩扇形统计图 根据以上信息，解答下列问题： （1）上述图表中的______，______，______； （2）若该校七年级有名学生，八年级有名学生参加此次春节文化知识竞赛，估计该校七、八年级学生参加此次春节文化竞赛成绩达到优秀的共有多少人？ 20. 【探究建模】 （1）如图①，是正三角形，边长为，点是的中心点，点是内任意一点，点到各边距离分别为、、．连接，由等面积法，可得______；（结果用含的式子表示） 【类比应用】 （2）如图②，五边形是正五边形，边长为，点是的中心点，点是正五边形内任意一点，点到五边形各边距离分别为，则的值为______（结果用含的式子表示）． （3）正边形边长为，点是正边形内任意一点，点到正边形各边距离分别为，则的值为______（结果用含和的式子表示）． 21. 如图为某公园的平面图示，三个亭子、、在同一水平线上，小红在处测得亭子在正北方向处，亭子D在北偏东45度；小红从走到达处，此时测得点在北偏东，点在北偏西，求、两个亭子间的距离． （参考数据：，，，，，） 22. 2025年4月27日，第20届中国电影华表奖在山东青岛市举行颁奖典礼．某文创店准备采购一批华表奖主题纪念品用于推广：已知“经典套装A型”的进价比“豪华套装B型”的进价低80元．如果文创店同样用6000元购进A型套装的数量是B型套装的数量的2倍． （1）求A型套装和B型套装的进价分别是多少元？ （2）文创店计划购买A型套装和B型套装共400件，且A型套装的数量不少于B型套装数量的3倍，将A型套装和B型套装分别按进价提高销售，如何购买这两种型号套装才能使全部售出后总利润最大？ 23. 在中，点和点分别是和的中点，连接，过点作的平行线，与的延长线交于点． （1）求证： （2）当满足什么条件时，四边形是菱形，并说明理由；若此时的面积为16时，则的面积为______． 24. 根据以下素材，探索完成任务 社会实践活动 素材1：小丽外出游玩发现，有两根相邻的电线杆和，其中在平地上，在坡面上，它们之间的电线呈抛物线形状，她建立1米为1个单位长度的平面直角坐标系（如右图为其截面），电线杆与地面垂直，点到地面的距离米，米，米，米，电线在距离点10米处的正上方时最低． 素材2：小丽又发现在山坡之间，从距坡底点向右，每隔水平距离为6米的点和点种了两排树．树与地面垂直，其中树和都在电线的正下方，米． 问题解决 （1）任务1：求截面图中坡面所在直线的解析式； （2）任务2：求图中间抛物线型电线的解析式； （3）任务3：电线与树顶需保持最小安全距离2米，否则会有安全隐患，请根据以上材料，判断此时该山坡所种树木是否符合安全标准？说明理由． 25. 已知：如图1，在中，，，，点从点出发，沿方向匀速运动，速度为2单位／s；同时点从点出发，沿方向匀速运动，速度为1单位／s，过点作，交于点，连接，以和为邻边作平行四边形．设运动时间为． 解答下列问题： （1）连接，当时，求的值； （2）如图2，连接，设四边形的面积为，求与之间的函数关系式； （3）如图3，连接与交于点，当时，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$