2026年山东省淄博市沂源县二模数学试题

初四数学试题 本试卷分第I卷和第Ⅱ卷两部分，共8页.满分150分.考试时间120分钟。考试结束后， 将本试卷和答题卡一并交回。 注意事项： 1.答题前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将姓名、班级、考场/考试号填写在答题卡和 试卷规定的位置上，并准确填写、涂黑考号， 粥 2:第I卷每小题选出答案后：用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑：如需改动， 用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，答案不能写在试卷上， 3,第Ⅱ卷必须用0,5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应 超 的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；需要在答题 卡上作图时，可用2B铅笔，但必须把所画线条加黑： 4.评分以答题卡上的答案为依据，答案不能使用涂改液、胶带纸、修正带修改，不按以上 要求作答的答案无效.不允许使用计算器. 5.保证答题卡清洁、完整，严禁折透，严禁在答题卡上做任何标记 一、 选择题：本大题共10个小题，每小题4分，共40分.在每小题所给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的. 御 1.下列？数中，无理数是( ) A√4 B.-8 355 C. 113 D.2π 2.实数a,b在数轴上对应点的位置如图所示，则下列结论正确的是（() A.ab>0 B.a+b>0 b a C.a+3<b+3 D.-3a<3b 的 3,随着人们对环境的日益重视，骑行单车这种“低碳”出行方式已融入人们的日常生活，如图是 某单车车架的示意图，线段AB,CE,DE分别为前叉、下管和立管（点C在AB上）：EF为后下 叉，已知AB∥DE,AD∥EF,∠BCE=67°，∠CEF=133°，则∠A的度数为(-) F A.123° B.114° C.113° D.106° 4。小妍同学在翻阅《九章算术》时，看到这样一个问题：“今有二人持钱不知其数，甲得乙半而 钱五十，乙得甲太半而亦钱五十，问甲、乙持钱各几何？”题目大意为：甲、乙两人各有钱若干， 初四数学试题第1页（共8页） 若乙将他所有钱的弓给甲，则甲有钱50，若甲将他所有钱的子给乙，则乙也有钱50，问甲，乙原本 各有多少钱？设甲原有x钱，乙原有y钱，可以得到方程组（) x+y=50号x+y=50 x+ y=50 2 x+y=50 2 A. 2 B. C. x+5y=50 2 D. x+y=50 2 2 x+y=50 x+y=50 3 5.已知点A4,XB(-2,2C飞，为）都在反比例函数y=《(x<0)的图象上，则 12,乃3 的大小关系为() A.y<y B.y<y<yC.y<y<y D.y2<y3<y 6.关于x的方程(m一2)x2+4x+2=0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（) A.m<4 B.m≤4 C.m<4且m≠2' D.m≤4且m≠2 7,四大发明是中国古代先民为世界留下的一串光辉的足迹，是人类文明进步的象征.如图，小乐 收集了中国古代四大发明的四张卡片，四张卡片除内容外其余均相同.若小乐从这四张卡片中随机 抽取两张卡片，则这两张卡片中有“指南针”的概率是（)“： 出部中，活 n2. 火药 印刷术 造纸术 指南针 A.2 B. 3 C.A D. 5 8.如图，菱形ABCD中，点B坐标为(2，)，点C坐标为(1，O),点D在y轴正半轴上，以点C 为位似中心，在x轴的下方作菱形ABCD的位似图形菱形AB'CD',并把菱形ABCD的边长放大 到原来的2倍，则点B的对应点B的横坐标是（，) G ,想小无过形大他3 D E 10 B X 第8题图 第9题图 初四数学试题第2页（共8页） A.-1.5 0豆。-05，C-2 D.-1 9. 如国矩形ABCD中，AB=10,BC=6,分别似C,D为圆心，以大于分CD的长为半轻作 弧，两分别交于G,H两点，作直线GH交CD于点E,连接AE,点D关于AE的对称点为点 M,作射线AM交BC于点N,则CN的长为() B.4 C. 6 D.5 10.如图1，△ABC是等边三角形，点D在边AB上，BD=2, 动点P以每秒1个单位长度的速度从 点B出发，沿折线BC-CA匀速运动，到达点A后停止，连接DP.设点P的运动时间为t(S), DP2为y,当动点P沿BC匀速运动到点C时，y与t的函数图象如图2所示.有以下四个结论： ①AB=3; ②当t=5时，y=1； ③当4≤t≤6时，1≤y≤3：从“0 ④动点P沿BC-CA匀速运动时，两个时刻号2(<)分别对应》和y2,若+=6，则 乃>2·其中正确结论的序号是（)， A.①②③ B.①② .C③④ D.①②④ 图1 图2 二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分，只要求填写最后结果。 1山.在函数)=十2十(-3中，自变量×的取值范图是、 12.一个正多边形的每一个内角比每一个外角的3倍还大20°，则这个正多边形的边数为 13.关于x的分式方程1+2=1二k x-22-x 的解为正实数，则k的取值范围是一、 14如图所示，△ABC的顶点是正方形网格的格点，则siA的值为 初四数学试题第3页（共8页) B 4‘ B B A A2.AsAs 第14题图 第15题图 15·如图，直线y=x+1交x轴于点A,交y轴于点B,点A的坐标为(1,0)，过点A作x轴的垂 线交直线y=x+1于点B,以点A为圆心，AB,长为半径画弧交x轴于点A:过点A作x轴的垂 : 线交直线y=x+1于点B2,以点A为圆心，AB2长为半径画弧交x轴于点A,…按此作法进行 下去，点B202s的横坐标为 三、解答题：本大题共8小题，共90分，请写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. ☒ 16.（本题满分10分)。 T2(x-2)≤1-x 解不等式组 x+1、x-3,’ 并写出它的最大整数解 -> +1 23 17.(本题满分10分) 【阅读材料】 小明的作法： (1)连接AC,BD,相交 老师的问题：如图，在口ABCD中，点E在BC上，连接 AE,只用一把无刻度的直尺，求作四边形AECF，使得 于点0要不 (2)连接E0并延长，交 四边形AECF是平行四边形. AD于点F; (3)连接CF,四边形 AECF即为所求 焙 . CNEL 【解答问题】 请根据材料中的信息，判断小明的作图方法是否正确。若正确；给出证明；若不正确，说明理由 初四数学试题第4页（共8页） 18.(本题满分10分) 为进一步提高学生学习数学的兴趣，3月14日（国际数学日）当天，某校开展了一次数学趣味知识 竞赛（竞赛成绩为百分制），并随机抽取了部分学生的竞赛成绩，经过整理数据得到以下信息（单 位：分)： 信息一：所抽取学生成绩分组整理成如图所示的扇形统计图，‘其中第1组50≤x<60,第Ⅱ组 邪 0x<70,第组70≤x<80,第V组80≤x<0,第V组0≤x<100: r 信息二：第Ⅲ组的成绩为：74,71,73,74,79,76,77,76,76,73,72,75 根据信息解答下列问题： I:圆 I:24% I:8% V:8% V:40% 爵 (1)本次抽取的学生人数为 人，第Ⅱ组所在扇形的圆心角度数为： (2)第Ⅲ组竞赛成绩的众数是 分，本次抽取的所有学生竞赛成绩的中位数是 分： (3)若该校共有1500名学生参赛，请估计该校参赛学生成绩不低于80分的学生人数. 掏 19.（本题满分10.分) 某学校为改善办学条件，计划采购4、B两种型号的空调，已知采购3台A型空调和2台B型空调， 共需费用21000元；4台A型空调比5台B型空调的费用多5000元. (1)求A型空调和B型空调每台各需多少元： (2)若学校计划采购A、B两种型号空调共30台，且A型空调的台数不少于B型空调的一半，两种型 号空调的采购总费用不超过115000元，该校共有哪几种采购方案？ 初四数学试题第5贞（共8页） 20.（本题满分12分) 如图、点40,6)和B(n,2)是一次函数乃=：+b的图像与反比例函数，=？(>0)的图像的 两个交点、 (1)求m、n的值： 0 (2)求一次函数的表达式： 备用图 (3)设点P是y轴上的一个动点，当△PAB的周长最小时，求点P的坐标： (4)在(3)的条件下，设点D是坐标平面内一个动点，当以点A、B、P、D为顶点的四边形是平行 四边形时，请直接写出符合条件的所有点D的坐标. 21.(本题满分12分) 实验是培养学生的创新能力的重要途径之一，如图是小红同学安装的化学实验装置，安装要求为试 管略向下领斜，试管夹应固定在距试管口的三分之一处.已知试管，MB=30cm,BE=亏AB ,试管倾斜角a为10°. 高锰酸铆 蓬松的棉花团 B (1)求酒精灯与铁架台的水平距高CD的长度： (2)实验时，当导气管紧贴水槽MN,延长BM交CN的延长线于点F,且MN⊥CF（点 C、D、N、F在一条直线上)，经测得：DE=21.7cm,MN=8cm,∠ABM=l45°，求 线段DN的长度，（参考数据：sin10°≈0.17，cos10°≈0.98，tan10°≈0.18） 初四数学试题第6贞（共8贞） 22.(本题满分13分) 如图，在矩形ABCD中，AD=4,M是AD的中点，点E是线段AB上一动点，连接EM并延长交线段 CD的延长线于点F. (1)如图1，求证：AE=DF; (2)如图2，若AB=2,过点M作MG⊥EF交线段BC于点G,判断△GEF的形状，并说明理由； (3)如图3，若AB=2√5，过点M作MGLEF2交线段BC的延长线于点G. ①直接写出线段AE长度的取值范围： ②判断△GEF的形状，并说明理由. F A M M E B 图1 B 图2 G 图3 23.(本题满分13分) 小亮善于运用信息化工具研究数学问题.在中考复习中，他运用DeepSeek和几何画板研究了动点 最值问题.以下为研究笔记的部分内容：DeepSeek梳理了初中常见的动点最值问题，从“距离” 这一核心概念出发整理出下列表格，请阅读材料并完成下列问题.” 分 点到点的距离 点到直线的距离 点到圆的距离 类 项目 直线外一点到直线上各 基本 两点之间，线段最 点P到⊙O上一点的距离为1，则 点的所有连线中，垂线 原理 短 有PO-r≤l≤P0+r 段最短 C CI C B 初四数学试趣第7贞（共8页） 【直接应用】 (1)已知在Rt△ABC中，AB=3,AC=4,BC=5,点P为边BC上一动点. ①线段4AP的最小值为 ②若点F为AC的中点，则线段AF绕点A顺时针旋转，PF的最小值为一： 【迁移运用】 (2)如图，一次函数=x一3和二次函数y2=x2+2x.一次函数的图象与坐标轴分别交于 点B,点C.若P为二次函数图象上的一个动点，过点P作直线BC的垂线，垂足为点A.求PA最小 值： 蚜 【问题解决】 (3)在矩形ABCD中，-AB=6,BC=8,AE=CG,BF=DH.小亮使用几何画板探究发 现：四边形EFGH为平行四边形，四边形EFGH与矩形ABCD重合时周长最大，最大值为28， 请证明四边形EFGH为平行四边形，并用模型观念探究其周长的最小值， 初四数学试题第8页（共8页）初四数学参考答案及评分标准 说明： 1、答案如有问题，请阅卷老师及时联系学科教研员。 2、各解答题只提供其中一种解法的评分标准，若出现不同的解法可参照各题的解法评 分标准进行赋分。 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分. 1-10:DDBCC CADCD 二、填空题：本题共5小题，每小题4分，共20分. 11.x>-2且x≠312.913.k>-2且k≠214. 5 15.(21013-1,21013) 5 三、解答题：本题共8小题，共90分.· 2(x-2)≤1-x① 16.解：{x+1>=3+1② 2 3 5 解①得：x≤ .3分 3 解②得：x>-3, 6分 5 .不等式组的解集为：-3<x≤ 3 8分 .不等式组的最大整数解为1..10分 17.解：小明的作图方法正确， .1分 理由：，四边形ABCD是平行四边形， ∴.OA=OC,AF∥CE, ∠AFO=∠CEO】 3分 在△4OF和△COE中， ∠AFO=∠CEO ∠AOF=∠COE, AO-CO :△AOF≌aCOE(A4S) .7分 ..OE =OF, 又，OA=OC, 四边形ABCD为平行四边形.10分 18.解：(1)50,72°， 2分 (2)76,78.6分 (3),样本中成绩不低于80分的学生人数为20+4=24（人）， .该校成绩不低于80分的学生人数为1500× 24=720(人）.10分 50 19.解：(1)解：设A型空调每台需x元，B型空调每台需y元. [3x+2y=21000 由题意得， 4x-5y=5000 ，…2分 x=5000 解得 y=3000 答：A型空调每台需5000元，B型空调每台需3000元：.4分 (2)解：设采购A型空调m台，则采购B型空调(30-m)台， [m≥2(30-m 由题意得， 5000m+3000(30-m)≤115000 ......6分 解得10≤≤12.5， .m为整数， .m=10或11或12， 8分 ∴.该校共有三种采购方案： 方案一：采购A型空调10台，则采购B型空调20台： 方案二：采购A型空调11台，则采购B型空调19台： 方案三：采购A型空调12台，则采购8型空调18台。10分 20.解：(1)将点A(1,6)代入反比例函数乃，=(x>0), 得，6=，m=6,1分 1 6 小% 将B(n,2)代入， 得，2=6.n=3,2分 n (2)将点A(1,6)和B(3,2)分别代入一次函数y=x+b, 「k+b=6 得， 3k+b=2' [k=-2 解得， b=8’ .=-2x+8 .4分 (3)作点A关于y轴的对称点G(-1,6),连接BG交y轴于点P, 则点P为所求点， ...5分 B 设BG的表达式为y=kx+b :点B(3,2)、G(-16), [3K+b'=2 -R+b=6 「K=-1 解得， b=5· ·BG的表达式为y=-x+5, .7分 x=0时，y=5, 故点P的坐标为(0,5)；9分 (4)D的坐标为(2,1)，或(-2,9)，或(4,3)、12分 21.解：(1)过点E作EG⊥AC于点G,如下图， E B P D F 1 .4B=30 cm,BE=-AB, BE=10cm,AE=20cm,2分 ,∠AEG=0=10°， ∴.GE=AE.cos=20×cos10°≈19.6(cm), .CD=GE=19.6m,4分 答：酒精灯与铁架台的水平距离CD的长度为19.6Cm;..5分 (2)如图，过点B作BH⊥CF于点H,BP⊥DE于点P,过点M作MQ⊥BH于点P, 则BP=BE·cosa=10×cosl0°≈9.8(cm), EP=BE·sina=10×sinl0°1.7(cm),7分 .DE=21.7cm, .PD=DE-EP=21.7-1.7=20(cm), .'BH=PD=20 cm, .MN=8 cm, ∴.QH=8cm, .B0=BH-0H=20-8=12(cm)）,9分 ∠ABM=145°， .∠QBM=∠ABM--90°=145°-10°-90°=45°， ∴.∠QMB=90°-∠QBM=45°=∠QBM, :M=B0=12cm,1分 .DN=DH+HN=BP+QM=9.8+12=21.8(cm),12分 答：线段DN的长度为21.8cm. 22.解：解：(1)如图1， M D E B 图1 证明：在矩形ABCD中，∠EAM=∠FDM=90°，∠AME=∠MD. :点M是AD中点 ∴.AM=DM, .△AEM≌△DFM..2分 AE=DF.3分 (2)△GEF是等腰直角三角形. .4分 证明：过点G作GHLAD于H,如图2， B 图2 GC .∠A=∠B=∠AHG=90°， .四边形ABGH是矩形. ∴.GH=AB=2. MG⊥EF, ∴.∠GME=90°. ∴.∠AMB+∠GMH=90°. ,∠AME+∠AEM=90°， ∴.∠AEM=∠GMH. ∴.△AEM≌△HMG. ∴.ME=MG. ∠EGM=45°.6分 由(1)得△AEM≌△DFM, ..ME=MF. .'MG⊥EF, ..GE=GF. ∴.∠EGF=2∠EGM=90°. ∴.△GEF是等腰直角三角形. .7分 3)023 3 <4E≤25. 9分 ②△GEF是等边三角形..10分 证明：过点G作GH⊥AD交AD延长线于点H,如图4， A M B 图4 :∠A=∠B=∠AHG=90°， ∴，四边形ABGH是矩形. ..GH=AB=23. .MG⊥EF, ∴.∠GME=90°. ∴.∠AME+∠GMH=90°， .∠AME+∠AEM=90°， ∴.∠AEM=∠GMH. 又.∠A=∠GHM=90°， ∴.△AEM∽△HMG. EM AM ..MG GH 。12分 在Rt△GME中， MG GH ∴.tan∠MEG= EM AM ∴.∠MG=60°. 由(1)得△AEM≌△DFM. .∴.ME=F ,MG⊥EF, ..GE=GF. △GEF是等边三角形.13分 12 2 23.解：(1)①5，②5： ..4分 (2)过点P作PG⊥x轴，交直线AC于点G, 在=x-3中，当h=X-3=0时，x=3,当x=0时，乃=X-3=-3,5分 ∴.B(3,0),C(0,-3), .OB=OC=3, ∴.△BOC为等腰直角三角形， ∴.∠OBC=45°， ∴.∠BGP=45° ∴三角形PGA为等腰直角三角形， PA=PG 2 6分 设P的横坐标为t,则P(t,t2+2t),G(t,t-3 =x--f8=号 1 当t=-时，PG取最小值为 。。。。。。 .7分 2 4 11W5 此时，PA取最小值，值为8；8分 (3),四边形ABCD为矩形， .AD=BC,∠D=∠B=90°， .AE=CG, .AD-AE=BC-CG, .ED=BG, 又，BF=DH, .AEDH≌AGBF(SAS) .EH=FG, 同理可得，EF=GH :四边形EFGH为平行四边形： ..10分 ,四边形EFGH周长为其邻边之和的2倍， .平行四边形EFGH周长最小时，（EF+FG)的值最小： 如图所示，作点E关于AB的对称点E,连接FE',FG,则EF+FG=FE+FG, B! D G :当E,F,G三点共线时，EF+FG有最小值，最小值为EG的长， 由轴对称的性质可得AE'=AE=CG, 又AE∥CG, ∴四边形AEGC为平行四边形 .EG=AC=VAB2+BC2=10,四边形EFGH周长最小值为2×10=20.13分