第五单元 认识方程（期末复习讲义+知识卡片总结-培优版）知识梳理+15个考点讲练+5个奥数拓展+真题演练 共60题-2025-2026学年北师大版数学四年级下册真题汇编必刷冲关练

2025-2026学年北师大版数学四年级下册期末真题汇编培优讲练 第五单元 认识方程『期末复习精编讲义』（培优版） 【原卷版】 （思维导图+知识梳理+15个考点讲练+5个奥数拓展+真题演练 共60题） 同学你好，该份讲义用于北师大版四年级下册内容期末培优复习使用，全套内容非常全面，非常适合培优拔尖使用。资料包含： 1. 导图指引：一目了然知晓讲义复习内容，快速锁定复习目标； 2. 知识梳理：强化巩固细节知识，给出提分方法，解题技巧，帮助你理解运用知识点； 3. 期末真题考点讲练：优选高频期末考察点，汇编整理，精选近两年各地名校易错题，压轴题，常考题等类型题，精耕细作，充分学习专题考察内容；一讲多练，事半功倍 4. 奥数拓展拔尖冲刺：结合单元学习内容优选难点考点，强化解题技能，拓展解题思路！ 5. 优选期末真题难度分层集训：结合本专题内容精选20题历年常考、易错、压轴类题型，难度分层，强化学生对专题的理解掌握，充分发挥解题技巧。 导图指引 梳理脉络 3 知识梳理 温故知新 3 考点讲练 真题汇总 4 高频考点一 用字母表示数、数量关系 4 高频考点二 用字母表示运算定律及计算公式 5 高频考点三 用字母表示稍复杂的数量关系 5 高频考点四 含有字母式子的化简与求值 6 高频考点五 等式的认识及列等量关系式 6 高频考点六 方程的认识 7 高频考点七 列简易方程 7 高频考点八 应用的等式的性质一解方程及解决问题 8 高频考点九 应用的等式的性质二解方程及解决问题 8 高频考点十 应用等式的性质1和2解方程与解决问题 9 高频考点十一 解含括号的方程 9 高频考点十二 解等号两边都有未知数的方程 10 高频考点十三 列方程解含一个未知数的问题 10 高频考点十四 列方程解含两个未知数的问题 10 高频考点十五 列方程解决稍复杂的实际问题 11 奥数拓展 拔尖冲刺 11 奥数拓展一 用字母表示数、数量关系 11 奥数拓展二 应用等式的性质1和2解方程与解决问题 12 奥数拓展三 列方程解含一个未知数的问题 12 奥数拓展四 列方程解含两个未知数的问题 13 奥数拓展五 列方程解决稍复杂的实际问题 13 优选真题 实战演练 13 【基础夯实 知识巩固】 13 【拓展提高 能力拔尖】 15 知识点一 用字母表示数 1. 用字母表示数：在含有字母的式子里，字母中间的乘号可以记作“·”，也可以省略不写。 2.用字母表示运算定律 加法交换律：； 加法结合律：； 乘法交换律：； 乘法结合律：； 乘法分配律：。 3.用字母表示计算公式： 长方形的面积公式：S=ab；长方形的周长公式：C=2(a＋b)。 正方形的面积公式：；正方形的周长公式：C=4a。 4.用字母表示常见的数量关系：如路程、速度和时间之间的关系可以表示为s=vt。 5.求含有字母的式子的值：先用含有字母的式子表示指定的数量，再把字母的取值代入式子中求值。 6.字母的取值范围：在含有字母的式子里，字母的取值范围是由实际情况决定的。 知识点二 解简易方程 1.方程的意义：含有未知数的等式就是方程。 2.等式的性质 等式的性质1：等式两边加上或减去同一个数，左右两边仍然相等。 等式的性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，左右两边仍然相等。 3.方程的解与解方程：使方程左右两边相等的未知数的值，叫做方程的解； 求方程的解的过程叫做解方程。 4.解形如x±a=b、ax=b、ax±b=c和a(x±b)=c的方程。 依据等式的性质来解此类方程。 5.检验：把求得的未知数的值代入原方程，看方程左边的值是否等于方程右边的值。如果相等，所求的未知数的值就是原方程的解，否则就不是。 知识点三 列方程解决实际问题的步骤 （1）找出未知数，用字母x表示。 （2）分析题中的数量关系，找出等量关系，列方程。 （3）解方程并检验作答。 高频考点一 用字母表示数、数量关系 【典例精讲】(⭐️⭐️⭐️）（24-25四年级下·广东佛山·期末）苹果每千克b元，梨子每千克2.6元，买5千克苹果应付( )元，买3千克苹果和1千克梨子共付( )元。 【变式训练】(⭐️⭐️⭐️）（24-25四年级下·陕西榆林·期末）如图，玉米地的面积是( )平方米，白菜地和玉米地的面积之和是( )平方米。 高频考点二 用字母表示运算定律及计算公式 【典例精讲】(⭐️⭐️⭐️）（24-25四年级下·四川成都·期末）无字证明是指那些仅用图象而无须文字解释就能证明的数学结论。由于其不证自明的特性，这种证明方式被认为比严格的数字证明更为优雅与有条理。下列哪个选项可以说明？（    ） A． B． C． 【变式训练】(⭐️⭐️⭐️）（24-25四年级下·广东湛江·期末）如图所示：。 (1)若每个正方形的边长都是a，则长方形的周长是( )，面积是( )。 (2)像这样摆下去，摆n个正方形需要( )根小棒；有31根小棒，一共可以摆( )个正方形。 高频考点三 用字母表示稍复杂的数量关系 【典例精讲】(⭐️⭐️⭐️）（24-25四年级下·浙江温州·期末）在中国古代，称直角三角形为勾股形，把较短的直角边叫做“勾”，较长的直角边叫做“股”，把斜边叫做“弦”，把两条直角边和斜边之间的关系称为勾股定理。让我们跟随数学家的脚步一起来研究吧！ 如图（1），大正方形里有1个正方形甲和4个完全相同的直角三角形①、②、③、④，把直角三角形①、②、④沿着箭头方向平移，得到两个不同的正方形乙和丙，如图（2）。 (1)观察图形，图（2）中乙、丙两个正方形的边长分别是______厘米和______厘米。 (2)想一想： 乙正方形的面积______×______＝______（平方厘米） 丙正方形的面积______×______＝______（平方厘米） (3)甲、乙、丙三个正方形面积之间有什么关系？ ________________ 所以，甲正方形的面积＝______＋______＝______×______ (4)我发现两条直角边和斜边之间的关系是：________________。 【变式训练】(⭐️⭐️⭐️）自来水公司规定，每户每月用水9吨以内（含9吨），按每吨x元收费。超过9吨的部分按每吨y元收费。小明家1月份用水15吨应缴费( )元，若x为2元，y为4元，则他家应交水费( )元。 高频考点四 含有字母式子的化简与求值 【典例精讲】(⭐️⭐️⭐️）（24-25四年级下·安徽六安·期末）利民超市运来20箱牛奶，每箱a瓶，又运来b箱可乐，每箱12瓶。 （1）用含有字母的式子表示超市里一共运来了多少瓶牛奶和可乐？ （2）当a＝24，b＝13时，超市一共运来牛奶和可乐多少瓶？ 【变式训练】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（24-25四年级下·安徽安庆·期末）某剧场楼上有a排座位、楼下有b排座位，每排都是22个座位。这个剧场的座位一共有( )个；当a＝10、b＝25时，这个剧场一共有座位( )个。 高频考点五 等式的认识及列等量关系式 【典例精讲】(⭐️⭐️⭐️）（24-25四年级下·河南郑州·期末）某小区一周产生的可回收物、厨余垃圾、其他垃圾情况如下图所示： 请根据上图写出三个等量关系： (1)___________________________； (2)___________________________； (3)___________________________。 【变式训练】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（24-25四年级下·河南郑州·期末）中国代表队在2024年举行的第33届夏季奥运会中获得了27枚银牌，获得金牌的数量比银牌的2倍少14枚。下面是几位同学根据信息写出的等量关系，正确的是（    ）。 A．银牌的数量＝金牌的数量×2－14 B．金牌的数量＝银牌的数量×2＋14 C．金牌的数量＋14＝银牌的数量×2 高频考点六 方程的认识 【典例精讲】(⭐️⭐️⭐️）（24-25四年级下·安徽亳州·期末）在3y－5＞7，a＋b＝8，16＋9＝25，2m－3，x＝0，y÷16中，不是方程的有（    ）个。 A．2 B．4 C．6 【变式训练】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（24-25四年级下·安徽六安·期末）下面情境可以用方程表示的是（    ）。 A． B． C． D． 高频考点七 列简易方程 【典例精讲】(⭐️⭐️⭐️）（24-25四年级下·福建泉州·期末）看图填一填。 (1)2m表示( )。 (2)图中( )的长度可以用800－y表示。 (3)根据上图，写出两个不同的方程( )、( )。 【变式训练】(⭐️⭐️⭐️）（24-25四年级下·陕西咸阳·期末）根据图中的等量关系，列出方程。 方程为( )。 高频考点八 应用的等式的性质一解方程及解决问题 【典例精讲】(⭐️⭐️⭐️）（24-25四年级下·河南开封·期末）在解方程3.5＋x＝6.4时，方程左右两边同时减去3.5，x＝2.9。( )（判断对错） 【变式训练】(⭐️⭐️⭐️）（24-25四年级下·辽宁朝阳·期末）天山胜利隧道是世界在建高速公路最长的隧道。甲、乙两个工程队承建了这条隧道中一段长1500米的隧道项目。他们分别从两端相向施工，施工完成时，甲队开凿了675米，则乙队开凿了多少米？（列方程解答） 高频考点九 应用的等式的性质二解方程及解决问题 【典例精讲】(⭐️⭐️⭐️）（24-25四年级下·陕西榆林·期末）解方程。 x÷2.7＝0.4         18＋5x＝93         7m＝175         2x－3.6＝2.4 【变式训练】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（24-25四年级下·山西运城·期末）解方程。 x＋6.48＝24.5            2x－130＝180 高频考点十 应用等式的性质1和2解方程与解决问题 【典例精讲】(⭐️⭐️⭐️）（24-25四年级下·山西吕梁·期末）看图列方程并求解。 【变式训练】(⭐️⭐️⭐️）（24-25四年级下·陕西榆林·期末）解方程。                 高频考点十一 解含括号的方程 【典例精讲】(⭐️⭐️⭐️）（24-25四年级下·辽宁大连·期末）如图。如果共有32只脚着地，那么多少只小熊在表演节目？ 【变式训练】(⭐️⭐️⭐️⭐️）解方程。                      高频考点十二 解等号两边都有未知数的方程 【典例精讲】(⭐️⭐️⭐️）（23-24四年级下·辽宁沈阳·期末）淘气有230元零花钱，笑笑有310元零花钱。从这个月开始，淘气每个月攒20元，笑笑每个月攒15元。淘气几个月后的零花钱能和笑笑一样多？ 【变式训练】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（23-24四年级下·辽宁·暑假作业）某旅行团一起去划船。如果每条船坐4人，那么多出10人；如果每条船坐5人，那么多出1人。这个旅行团一共有（    ）人。 A．36 B．46 C．54 高频考点十三 列方程解含一个未知数的问题 【典例精讲】(⭐️⭐️⭐️）（24-25四年级下·安徽亳州·期末）中国拥有最庞大的高铁网络、最复杂的高铁运行环境和最庞大的高铁乘客数量，中国高铁平均时速为350千米/时，比普通小轿车的速度的3倍还多65千米/时。普通小轿车每小时行驶多少千米？（用方程解） 【变式训练】(⭐️⭐️⭐️）（24-25四年级下·山西吕梁·期末）妈妈今年39岁，妈妈的年龄比小明的3倍还多3岁，小明今年几岁？（列方程解答） 高频考点十四 列方程解含两个未知数的问题 【典例精讲】(⭐️⭐️⭐️）（24-25四年级下·安徽安庆·期末）凉泉村把产业发展作为乡村振兴的核心举措，坚持因地制宜。凉泉村依靠种植苹果和水蜜桃增加了村民的年收入。 A．种植苹果的面积比水蜜桃多630亩 B．种植苹果的面积比水蜜桃的2倍多260亩 C．种植苹果和水蜜桃的面积一共是1370亩 （1）要想求出凉泉种植苹果和水蜜桃各多少亩，你选择的信息是（    ）和（    ）。（填序号） （2）根据你选择的信息列方程解答。 【变式训练】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（23-24四年级下·山西晋城·期末）“一粥一饭，当思来处不易；半丝半缕，恒念物力维艰”，勤俭节约是中华民族的传统美德。阳光小学四（1）班的秋游活动中按需订餐，正常套餐和小份套餐各定了27份，共花了594元，已知正常套餐的单价是小份套餐的1.2倍。方程“27（x＋1.2x）＝594”中的“x”表示( )。 高频考点十五 列方程解决稍复杂的实际问题 【典例精讲】(⭐️⭐️⭐️）（23-24四年级下·山西运城·期末）有一个三层的书架，上面一共放了450本书，上层比下层多放了50本书，下层比中层少放了10本书。这个书架的上、中、下三层各放了多少本书？ 【变式训练】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（24-25四年级下·广东韶关·期末）下面是一张破损的票据，请你算出每把椅子的价格。（列方程解答） 奥数拓展一 用字母表示数、数量关系 【典例精讲】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（23-24四年级下·广东深圳·期末）三角形具有( )性。如下图，拼一个三角形需要3根木棒，拼2个三角形需要5根木棒，拼4个三角形需要( )根木棒，以此类推，拼n个三角形需要( )根木棒。 【变式训练】(⭐️⭐️⭐️⭐️）有一张长方形纸，用一条直线可以将它分为2个部分，两条直线可以分为4个部分，三条直线可以分为7个部分，如果有n条直线，那么可以将长方形纸分为多少个部分？当n为25时，可将长方形纸分为多少个部分？ 奥数拓展二 应用等式的性质1和2解方程与解决问题 【典例精讲】(⭐️⭐️⭐️⭐️）如图，一根1米长的竹竿，在它的左端挂1千克的物体，右端挂4千克的物体时，如果处于平衡状态，那么拴绳子的点0应位于离左端________米的地方． 【变式训练】(⭐️⭐️⭐️）若甲数比乙数的3倍少3，则乙数比甲数的（　　） A．少3 B．少1 C．多1 D．无法确定 奥数拓展三 列方程解含一个未知数的问题 【典例精讲】(⭐️⭐️⭐️⭐️）老师买来一些铅笔奖给三好学生，如果其中二人每人分4支，其余每人分2支，则多出4支；如果其中一人分6支，其余每人分4支，则又缺12支。老师买来多少支铅笔？班上一共有多少名三好学生？ 【变式训练】(⭐️⭐️⭐️⭐️）两辆运送防疫物资的车分别从两地同时相向而行，甲车的速度60千米/时，乙车的速度是40千米/时，行驶一段时间，甲车距全程中点15千米，乙车距全程中点35千米，两车从出发到相遇需要多少小时？ 奥数拓展四 列方程解含两个未知数的问题 【典例精讲】(⭐️⭐️⭐️⭐️）一个四位数，把个位数数字调到首位，得到新四位数比原数的4倍还多129，那么这个四位数为( )。 【变式训练】(⭐️⭐️⭐️）动物园里，55只鸵鸟和斑马生活在同一片草地上，鸵鸟的腿数是斑马的2倍，求斑马有多少只，鸵鸟有多少只？ 奥数拓展五 列方程解决稍复杂的实际问题 【典例精讲】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（23-24四年级下·山东济宁·期末）甲、乙、丙三个同学做数学题，已知甲比乙多做5道，丙做的是甲的2倍，比乙多做20道。他们一共做了多少道数学题？ 【变式训练】(⭐️⭐️⭐️⭐️）某市2010年年初，在校大、中、小学共有学生214万人，其中在校大学生比在校中学生多49万人，在校中学生比在校小学生多21万人，请问该市2010年年初大、中、小学各有多少在校学生？ 【基础夯实 知识巩固】 1．（24-25四年级下·广东佛山·期末）一个长方形，长是20米，宽是b米，它的周长是（    ）米。 A．40＋2b B．40＋b C．20＋2b D．20＋b 2．（24-25四年级下·广东佛山·期末）爸爸今年x岁，妈妈今年x－3岁，30年后，他们相差（    ）岁。 A．33 B．3 C．27 D．30 3．（24-25四年级下·山西吕梁·期末）妙想看一本120页的故事书，她每天看m页，看了5天还剩50页没看。下面列方程错误的是（    ）。 A．120＋50＝5m B．5m＝120－50 C．5m＋50＝120 D．120－5m＝50 4．（25-26四年级上·安徽亳州·期末）小马虎在计算5×（m＋22）时，错算成了5m＋22，这样比正确结果少( )。 5．（25-26四年级上·安徽宿州·期末）在（    ）里填上“”“”或“”。 4060000( )460万    ( )    ( ) 6．（24-25四年级下·河南商丘·期末）既是等式，又是方程。( )（判断对错） 7．（24-25四年级下·安徽亳州·期末）因为中含有未知数，所以它是方程。( )（判断对错） 8．（24-25四年级下·山西吕梁·期末）解方程。                      9．（24-25四年级下·广东佛山·期末）淘气的玩具赛车速度超级快！他测得“闪电号”赛车的行驶速度是350米/分钟，比普通玩具赛车速度的4倍少10米。普通玩具赛车的速度是多少米/分钟？（用方程解决） 10．（24-25四年级下·山西吕梁·期末）两艘轮船同时从A地开往B地，开出16小时后，甲船在乙船后面51.2千米。甲船平均每小时行36.8千米，乙船平均每小时行多少千米？（用方程解） 【拓展提高 能力拔尖】 1．（24-25四年级下·广东深圳·期末）奇奇一家四口准备去儿童公园游玩，门票每人80元，恰遇公园有优惠活动，每张票便宜15元，爸爸支付了300元，找回了40元。如果要解决“一共优惠了多少钱”这个问题，需要以下哪些信息？（    ） A．300元；80元 B．300元；40元；4人C．15元；4人 D．80元；40元；4人 2．（24-25四年级下·安徽阜阳·期末）如图，用小棒摆六边形，按照这样的方法摆下去，摆n个六边形需要（    ）根小棒。 A．6n B．5n＋1 C．6n－1 3．用同样长的小棒摆出如下的图形。照这样继续摆，第6个图形用了（    ）根小棒 A．20 B．24 C．25 4．（24-25四年级下·广东深圳·期末）可可今年8岁，妈妈今年34岁，n年后妈妈比可可大( )岁，此时可可( )岁。 5．（24-25四年级下·广东佛山·期末）如图，摆一个三角形要用3根小棒，摆两个三角形要用5根小棒，按此规律，摆四个三角形要用( )根小棒，用23根小棒可以摆( )个三角形。 6．（24-25四年级下·陕西榆林·期末）解方程。 8x÷2＝68    5x－0.05＝24.95 7．（24-25四年级下·陕西榆林·期末）绥德剪纸是陕西省榆林市绥德县的传统民间艺术，以粗犷豪放、寓意吉祥的风格闻名。小明用彩纸制作剪纸作品，红色彩纸用了84张，比蓝色彩纸的2倍还多12张。蓝色彩纸用了多少张？（用方程解答） 8．（24-25四年级下·陕西榆林·期末）中国卫生部在北京举行世界无烟日宣传活动，发布了《中国吸烟危害健康报告》。报告显示，我国不吸烟而受二手烟危害的群众约有7.4亿人，比烟民人数的2倍还多1.4亿。我国烟民约有多少亿人？（用方程解答） 9．甲、乙、丙三位小朋友共有85本书。如果把甲的书的本数加2，乙的书的本数减2，丙的书的本数乘2后，三人书的本数相等。甲、乙、丙原来各有多少本书？ 10．（23-24四年级下·甘肃定西·期末）能力提升题。   贝贝和丽丽做兰花，贝贝已经做了120个，丽丽已经做了150个，从现在开始贝贝每天做15个，丽丽每天做12个，多少天后两人做的兰花数量同样多？（列方程解答） 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $null2025-2026学年北师大版数学四年级下册期末真题汇编培优讲练 第五单元 认识方程『期末复习精编讲义』（培优版） 【解析版】 （思维导图+知识梳理+15个考点讲练+5个奥数拓展+真题演练 共60题） 同学你好，该份讲义用于北师大版四年级下册内容期末培优复习使用，全套内容非常全面，非常适合培优拔尖使用。资料包含： 1. 导图指引：一目了然知晓讲义复习内容，快速锁定复习目标； 2. 知识梳理：强化巩固细节知识，给出提分方法，解题技巧，帮助你理解运用知识点； 3. 期末真题考点讲练：优选高频期末考察点，汇编整理，精选近两年各地名校易错题，压轴题，常考题等类型题，精耕细作，充分学习专题考察内容；一讲多练，事半功倍 4. 奥数拓展拔尖冲刺：结合单元学习内容优选难点考点，强化解题技能，拓展解题思路！ 5. 优选期末真题难度分层集训：结合本专题内容精选20题历年常考、易错、压轴类题型，难度分层，强化学生对专题的理解掌握，充分发挥解题技巧。 导图指引 梳理脉络 3 知识梳理 温故知新 3 考点讲练 真题汇总 4 高频考点一 用字母表示数、数量关系 4 高频考点二 用字母表示运算定律及计算公式 5 高频考点三 用字母表示稍复杂的数量关系 7 高频考点四 含有字母式子的化简与求值 9 高频考点五 等式的认识及列等量关系式 10 高频考点六 方程的认识 11 高频考点七 列简易方程 12 高频考点八 应用的等式的性质一解方程及解决问题 13 高频考点九 应用的等式的性质二解方程及解决问题 14 高频考点十 应用等式的性质1和2解方程与解决问题 15 高频考点十一 解含括号的方程 16 高频考点十二 解等号两边都有未知数的方程 17 高频考点十三 列方程解含一个未知数的问题 19 高频考点十四 列方程解含两个未知数的问题 19 高频考点十五 列方程解决稍复杂的实际问题 21 奥数拓展 拔尖冲刺 22 奥数拓展一 用字母表示数、数量关系 22 奥数拓展二 应用等式的性质1和2解方程与解决问题 23 奥数拓展三 列方程解含一个未知数的问题 24 奥数拓展四 列方程解含两个未知数的问题 26 奥数拓展五 列方程解决稍复杂的实际问题 27 优选真题 实战演练 28 【基础夯实 知识巩固】 28 【拓展提高 能力拔尖】 32 知识点一 用字母表示数 1. 用字母表示数：在含有字母的式子里，字母中间的乘号可以记作“·”，也可以省略不写。 2.用字母表示运算定律 加法交换律：； 加法结合律：； 乘法交换律：； 乘法结合律：； 乘法分配律：。 3.用字母表示计算公式： 长方形的面积公式：S=ab；长方形的周长公式：C=2(a＋b)。 正方形的面积公式：；正方形的周长公式：C=4a。 4.用字母表示常见的数量关系：如路程、速度和时间之间的关系可以表示为s=vt。 5.求含有字母的式子的值：先用含有字母的式子表示指定的数量，再把字母的取值代入式子中求值。 6.字母的取值范围：在含有字母的式子里，字母的取值范围是由实际情况决定的。 知识点二 解简易方程 1.方程的意义：含有未知数的等式就是方程。 2.等式的性质 等式的性质1：等式两边加上或减去同一个数，左右两边仍然相等。 等式的性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，左右两边仍然相等。 3.方程的解与解方程：使方程左右两边相等的未知数的值，叫做方程的解； 求方程的解的过程叫做解方程。 4.解形如x±a=b、ax=b、ax±b=c和a(x±b)=c的方程。 依据等式的性质来解此类方程。 5.检验：把求得的未知数的值代入原方程，看方程左边的值是否等于方程右边的值。如果相等，所求的未知数的值就是原方程的解，否则就不是。 知识点三 列方程解决实际问题的步骤 （1）找出未知数，用字母x表示。 （2）分析题中的数量关系，找出等量关系，列方程。 （3）解方程并检验作答。 高频考点一 用字母表示数、数量关系 【典例精讲】(⭐️⭐️⭐️）（24-25四年级下·广东佛山·期末）苹果每千克b元，梨子每千克2.6元，买5千克苹果应付( )元，买3千克苹果和1千克梨子共付( )元。 【答案】 5b 3b＋2.6 【思路引导】由分析可知：用每千克苹果的价钱×苹果数量，即可求出5千克苹果应付多少元；用每千克苹果的价钱×苹果数量＋每千克梨的价钱，即可求出买3千克苹果和1千克梨子共付多少元；数字与字母相乘时，通常把数字写在字母的前面，据此解答。 【规范解答】由分析可知： 苹果每千克b元，梨子每千克2.6元，买5千克苹果应付5b元，买3千克苹果和1千克梨子共付（3b＋2.6）元。 【变式训练】(⭐️⭐️⭐️）（24-25四年级下·陕西榆林·期末）如图，玉米地的面积是( )平方米，白菜地和玉米地的面积之和是( )平方米。 【答案】 5a 5×（a＋b） 【思路引导】根据长方形的面积＝长×宽，代入数据即可求出玉米地的面积和白菜地的面积；把玉米地的面积和白菜地的面积相加，即可求出白菜地和玉米地的面积之和。 【规范解答】玉米地的长是a米，宽是5米，所以玉米地的面积是5a平方米；白菜地的长是b米，宽是5米，所以白菜地的面积是5b平方米；5a＋5b＝5×（a＋b），所以白菜地和玉米地的面积之和是5×（a＋b）平方米。 高频考点二 用字母表示运算定律及计算公式 【典例精讲】(⭐️⭐️⭐️）（24-25四年级下·四川成都·期末）无字证明是指那些仅用图象而无须文字解释就能证明的数学结论。由于其不证自明的特性，这种证明方式被认为比严格的数字证明更为优雅与有条理。下列哪个选项可以说明？（    ） A． B． C． 【答案】B 【思路引导】根据题意，组成的图形的行数和每行个数是相同的，用行数乘每行的个数等于总个数，如果用字母n来表示行数和每行个数，那么总个数就是n×n＝n²。 1＋3＋5＋……＋（2n－1）表示单数相加，单数的个数与行数或者每行个数相同。有n个单数，那么最后相加的单数就是（2n－1）。据此分析下面的三个图形，哪一个符合即可。 【规范解答】 A．表示1＋2＋3＋4＋5＋6＋5＋4＋3＋2＋1＝6×6＝62。与原算式不符合。 B．表示1＋3＋5＋7＋9＋11＝6×6＝62。与原算式符合。 C．表示2＋4＋6＋8＋10＋12＝6×7＝42。与原算式不符合。 故答案为：B 【变式训练】(⭐️⭐️⭐️）（24-25四年级下·广东湛江·期末）如图所示：。 (1)若每个正方形的边长都是a，则长方形的周长是( )，面积是( )。 (2)像这样摆下去，摆n个正方形需要( )根小棒；有31根小棒，一共可以摆( )个正方形。 【答案】(1) 10a 4a2 (2) 3n＋1/1＋3n 10 【思路引导】（1）由题意得，每个正方形的边长是a，长方形的长等于4个小正方形的边长，那么长方形的长是4a。长方形的周长＝（长＋宽）×2，长方形的面积＝长×宽，直接将数据代入即可表示出长方形的周长和面积。 （2）由图可知，摆1个正方形需要（1＋3×1）根小棒，摆2个正方形需要（1＋3×2）根小棒，摆3个正方形需要（1＋3×3）根小棒，所以摆n个正方形需要（1＋3×n）根小棒；一共有31根小棒，求一共可以摆多少个正方形，直接用31减去1的差除以3即可解答。 【规范解答】（1）（a＋4a）×2 ＝5a×2 ＝10a a×4a＝4a2 若每个正方形的边长都是a，则长方形的周长是10a，面积是4a2。 （2）1＋3×n＝（1＋3n）根 （31－1）÷3 ＝30÷3 ＝10（根） 像这样摆下去，摆n个正方形需要（3n＋1）根小棒；有31根小棒，一共可以摆10个正方形。 高频考点三 用字母表示稍复杂的数量关系 【典例精讲】(⭐️⭐️⭐️）（24-25四年级下·浙江温州·期末）在中国古代，称直角三角形为勾股形，把较短的直角边叫做“勾”，较长的直角边叫做“股”，把斜边叫做“弦”，把两条直角边和斜边之间的关系称为勾股定理。让我们跟随数学家的脚步一起来研究吧！ 如图（1），大正方形里有1个正方形甲和4个完全相同的直角三角形①、②、③、④，把直角三角形①、②、④沿着箭头方向平移，得到两个不同的正方形乙和丙，如图（2）。 (1)观察图形，图（2）中乙、丙两个正方形的边长分别是______厘米和______厘米。 (2)想一想： 乙正方形的面积______×______＝______（平方厘米） 丙正方形的面积______×______＝______（平方厘米） (3)甲、乙、丙三个正方形面积之间有什么关系？ ________________ 所以，甲正方形的面积＝______＋______＝______×______ (4)我发现两条直角边和斜边之间的关系是：________________。 【答案】(1) 4 3 (2) 4 4 16 3 3 9 (3) 甲正方形的面积＝乙正方形的面积＋丙正方形的面积 16 9 5 5 (4)a2＋b2＝c2 【思路引导】（1）观察图形可知，正方形乙的边长刚好是直角三角形的较长直角边，由图中可知较长直角边的长度为4厘米；正方形丙的边长刚好是直角三角形的较短直角边，由图中可知较短直角边的长度为3厘米。 （2）根据正方形的面积＝边长×边长，分别求出乙和丙两个正方形的面积； （3）通过观察平移过程发现，甲正方形的面积正好是乙正方形的面积加上丙正方形的面积。 （4）总结出规律，3厘米和4厘米是直角三角形的两条直角边，5厘米是直角三角形的斜边，它们之间的关系是：3×3＋4×4＝5×5，；如果两条直角边用字母a和b表示，斜边用字母c表示，它们之间的关系用字母表示为：a×a＋b×b＝c×c，化简后为：a2＋b2＝c2。 【规范解答】（1）观察图形可知，正方形乙的边长刚好是直角三角形的较长直角边，由图中可知较长直角边的长度为4厘米，所以正方形乙的边长为4厘米。 观察图形可知，正方形丙的边长刚好是直角三角形的较短直角边，由图中可知较短直角边的长度为3厘米，所以正方形丙的边长为3厘米。 （2）乙正方形的面积：4×4＝16（平方厘米） 丙正方形的面积：3×3＝9（平方厘米） （3）甲正方形的面积＝乙正方形的面积＋丙正方形的面积 所以，甲正方形的面积＝16＋9＝5×5； （4）通过分析直角边与斜边的关系，得出结论为：a2＋b2＝c2。（答案不唯一） 【变式训练】(⭐️⭐️⭐️）自来水公司规定，每户每月用水9吨以内（含9吨），按每吨x元收费。超过9吨的部分按每吨y元收费。小明家1月份用水15吨应缴费( )元，若x为2元，y为4元，则他家应交水费( )元。 【答案】 9x＋6y/6y＋9x 42 【思路引导】根据题意，应缴纳的水费需要分两部分进行计算：一部分是前9吨的费用，另一部分是超过9吨部分的费用。小明家1月份用水15吨，其中前9吨按照每吨x元收费，所以前9吨的费用为9x元；超过9吨的部分为15吨减去9吨，即6吨，这6吨按照每吨y元收费，所以超过9吨部分的费用为6y元，再将两部分的费用相加即是1月份应缴的费用。 将x、y的值代入到式子中进行计算即可。 【规范解答】9x＋（15－9）y＝（9x＋6y）元 因此，小明家1月份用水15吨应缴费（9x＋6y）元。 当x为2元，y为4元时，代入式子中得到： 9x＋6y＝9×2＋6×4＝18＋24＝42（元） 则他家应交水费42元。 高频考点四 含有字母式子的化简与求值 【典例精讲】(⭐️⭐️⭐️）（24-25四年级下·安徽六安·期末）利民超市运来20箱牛奶，每箱a瓶，又运来b箱可乐，每箱12瓶。 （1）用含有字母的式子表示超市里一共运来了多少瓶牛奶和可乐？ （2）当a＝24，b＝13时，超市一共运来牛奶和可乐多少瓶？ 【答案】（1）（20a＋12b）瓶 （2）636瓶 【思路引导】（1）每箱牛奶的瓶数乘运来牛奶的箱数等于运来牛奶的瓶数，每箱可乐的瓶数乘运来可乐的箱数等于运来可乐的瓶数，然后把牛奶的瓶数和可乐的瓶数相加，即等于总共运来牛奶和可乐的瓶数。 （2）把a＝24，b＝13代入（1）式中计算即可解答。 【规范解答】（1）a×20＋12×b＝（20a＋12b）瓶 答：超市里一共运来了（20a＋12b）瓶牛奶和可乐。 （2）当a＝24，b＝13时 20×24＋12×13 ＝480＋156 ＝636（瓶） 答：超市一共运来牛奶和可乐636瓶。 【变式训练】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（24-25四年级下·安徽安庆·期末）某剧场楼上有a排座位、楼下有b排座位，每排都是22个座位。这个剧场的座位一共有( )个；当a＝10、b＝25时，这个剧场一共有座位( )个。 【答案】 22（a＋b） 770 【思路引导】剧场楼上座位排数加上楼下座位排数，可以算出这个剧场共有（a＋b）排座位，每排座位个数乘座位排数，即可算出这个剧场一共有22×（a＋b）个座位。在含有字母的乘法算式里，可以省略乘号，但是数字要写在字母前面。 把a＝10、b＝25代入表示剧场座位个数的算式中计算即可。 【规范解答】当a＝10、b＝25时， 22（a＋b） ＝22×（10＋25） ＝22×35 ＝770 某剧场楼上有a排座位、楼下有b排座位，每排都是22个座位。这个剧场的座位一共有 22（a＋b）个；当a＝10、b＝25时，这个剧场一共有座位770个。 高频考点五 等式的认识及列等量关系式 【典例精讲】(⭐️⭐️⭐️）（24-25四年级下·河南郑州·期末）某小区一周产生的可回收物、厨余垃圾、其他垃圾情况如下图所示： 请根据上图写出三个等量关系： (1)___________________________； (2)___________________________； (3)___________________________。 【答案】(1)可回收物的质量×3＝厨余垃圾的质量 (2)可回收物的质量＋0.5吨＝其他垃圾的质量 (3)（其他垃圾的质量－0.5吨）×3＝厨余垃圾的质量 【思路引导】从图中看出，可回收物有1份，厨余垃圾有3份，可得可回收垃圾的质量×3＝厨余垃圾的质量，其他垃圾有1份＋0.5吨，可得可回收物的质量＋0.5吨＝其他垃圾的质量，也可以得出其他垃圾的质量－0.5吨为1份，再乘3得到厨余垃圾的质量，据此解答。 【规范解答】（1）根据分析，可回收物的质量×3＝厨余垃圾的质量； （2）根据分析，可回收物的质量＋0.5吨＝其他垃圾的质量； （3）根据分析，（其他垃圾的质量－0.5吨）×3＝厨余垃圾的质量。 【变式训练】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（24-25四年级下·河南郑州·期末）中国代表队在2024年举行的第33届夏季奥运会中获得了27枚银牌，获得金牌的数量比银牌的2倍少14枚。下面是几位同学根据信息写出的等量关系，正确的是（    ）。 A．银牌的数量＝金牌的数量×2－14 B．金牌的数量＝银牌的数量×2＋14 C．金牌的数量＋14＝银牌的数量×2 【答案】C 【思路引导】已知银牌数量为27枚，因为获得金牌的数量比银牌的2倍少14枚，所以列出等量关系为：金牌的数量＝银牌的数量×2－14，据此判断即可。 【规范解答】A．银牌的数量＝金牌的数量×2－14，题目中是金牌数量与银牌数量的关系，而非反过来，因此本选项错误； B．金牌的数量＝银牌的数量×2＋14，题目中是“少14枚”，而非“多14枚”，因此本选项错误； C．由金牌的数量＝银牌的数量×2－14，移项可得金牌的数量＋14＝银牌的数量×2，因此本选项正确。 故答案为：C 高频考点六 方程的认识 【典例精讲】(⭐️⭐️⭐️）（24-25四年级下·安徽亳州·期末）在3y－5＞7，a＋b＝8，16＋9＝25，2m－3，x＝0，y÷16中，不是方程的有（    ）个。 A．2 B．4 C．6 【答案】B 【思路引导】方程必须具备两个条件：（1）必须是等式；（2）必须含有未知数。3y－5＞7不是等式；a＋b＝8是方程；16＋9＝25不含未知数，是等式不是方程；2m－3不是等式；x＝0是方程；y÷16不是等式；据此解答。 【规范解答】3y－5＞7不是等式；a＋b＝8是方程；16＋9＝25不含未知数，是等式不是方程；2m－3不是等式；x＝0是方程；y÷16不是等式。 所以在3y－5＞7，a＋b＝8，16＋9＝25，2m－3，x＝0，y÷16中，不是方程的有4个。 故答案为：B 【变式训练】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（24-25四年级下·安徽六安·期末）下面情境可以用方程表示的是（    ）。 A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】方程是含有未知数的等式，需要找出既有未知数，又是等式（表示左右两边数量相等关系）的情境，据此分析选项即可解答。 【规范解答】A．跷跷板平衡，左右两边都是25千克，没有未知数，是等式，但不符合方程“含有未知数”的要求，不能用方程表示。 B．跷跷板不平衡，23千克＞20.5千克，不是等式，不能用方程表示。 C．天平平衡，说明左右两边质量相等。左边是2个x克（即2x克），右边是500克，可列方程2x＝500，既有未知数x，又是等式，能用方程表示。 D．天平不平衡，左边80克＜右边2x克，不是等式，不能用方程表示。 故答案为：C 高频考点七 列简易方程 【典例精讲】(⭐️⭐️⭐️）（24-25四年级下·福建泉州·期末）看图填一填。 (1)2m表示( )。 (2)图中( )的长度可以用800－y表示。 (3)根据上图，写出两个不同的方程( )、( )。 【答案】(1)第一天和第二天走的总长 (2)200米 (3) 200＋y＝800 2m＋y＋200＝2000 【思路引导】（1）2m表示2个m相加，从图中观察是第一天的米数加第二天的米数。 （2）800－y从图中观察是第三天的米数与200米合起来是800米，所以800－y表示的是200米。 （3）根据第三天的米数与200米合起来是800米，可以列方程为200＋y＝800；根据前三天走的米数加200米是2000米，列方程为2m＋y＋200＝2000。 【规范解答】（1）2m表示第一天和第二天走的总长。 （2）图中200米的长度可以用800－y表示。 （3）根据上图，写出两个不同的方程200＋y＝800、2m＋y＋200＝2000。 【变式训练】(⭐️⭐️⭐️）（24-25四年级下·陕西咸阳·期末）根据图中的等量关系，列出方程。 方程为( )。 【答案】3x＋20＝300 【思路引导】根据图可知，蝴蝶有x只，蜻蜓是蝴蝶的3倍还多20只，蜻蜓有（3x＋20）只，可列方程为3x＋20＝300，据此解答。 【规范解答】方程为3x＋20＝300。 高频考点八 应用的等式的性质一解方程及解决问题 【典例精讲】(⭐️⭐️⭐️）（24-25四年级下·河南开封·期末）在解方程3.5＋x＝6.4时，方程左右两边同时减去3.5，x＝2.9。( )（判断对错） 【答案】√ 【思路引导】根据等式的性质，在解方程时，方程两边同时减去同一个数，等式仍然成立。因此，在解方程3.5＋x＝6.4时，左右两边同时减去3.5，可以求出x的值。以此判断即可。 【规范解答】根据分析可知： 原方程为：3.5＋x＝6.4。根据等式性质，方程两边同时减去3.5，左边变为x，右边变为6.4－3.5＝2.9，因此x＝2.9。原题说法正确。 故答案为：√ 【变式训练】(⭐️⭐️⭐️）（24-25四年级下·辽宁朝阳·期末）天山胜利隧道是世界在建高速公路最长的隧道。甲、乙两个工程队承建了这条隧道中一段长1500米的隧道项目。他们分别从两端相向施工，施工完成时，甲队开凿了675米，则乙队开凿了多少米？（列方程解答） 【答案】825米 【思路引导】由题意得，甲、乙两个工程队承建了这条隧道中一段长1500米的隧道项目。他们分别从两端相向施工，施工完成时，甲开凿的距离和乙开凿的距离一共是1500米，据此列出等量关系式为：甲开凿的距离＋乙开凿的距离＝1500米。可以假设乙开凿的距离为x米，然后根据等量关系式列出方程并解方程即可。 【规范解答】解：设乙队开凿了x米。 675＋x＝1500 675＋x－675＝1500－675 x＝825 答：乙队开凿了825米。 高频考点九 应用的等式的性质二解方程及解决问题 【典例精讲】(⭐️⭐️⭐️）（24-25四年级下·陕西榆林·期末）解方程。 x÷2.7＝0.4         18＋5x＝93         7m＝175         2x－3.6＝2.4 【答案】x＝1.08；x＝15；m＝25；x＝3 【思路引导】（1）依据等式的性质，方程两边同时乘2.7求解。 （2）依据等式的性质，方程两边同时减18，再同时除以5求解。 （3）依据等式的性质，方程两边同时除以7求解。 （4）依据等式的性质，方程两边同时加3.6，再同时除以2求解。 【规范解答】（1） 解： （2） 解： （3） 解： （4） 解： 【变式训练】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（24-25四年级下·山西运城·期末）解方程。 x＋6.48＝24.5            2x－130＝180 【答案】x＝18.02；x＝155 【思路引导】（1）根据等式的性质1，两边同时减去6.48解方程。 （2）根据等式的性质1和2，两边先同时加上130，再同时除以2解方程。 【规范解答】（1）x＋6.48＝24.5 解：x＋6.48－6.48＝24.5－6.48 x＝18.02 （2）2x－130＝180 解：2x－130＋130＝180＋130 2x＝310 2x÷2＝310÷2 x＝155 高频考点十 应用等式的性质1和2解方程与解决问题 【典例精讲】(⭐️⭐️⭐️）（24-25四年级下·山西吕梁·期末）看图列方程并求解。 【答案】x＝55 【思路引导】从图中可知，故事画有x本，连环画的本数比故事画的3倍少45本，那么连环画的本数为（3x－45）本，据此列方程为3x－45＝120，据此解答即可。 【规范解答】3x－45＝120 解：3x－45＋45＝120＋45 3x÷3＝165÷3 x＝55 所以故事画有55本。 【变式训练】(⭐️⭐️⭐️）（24-25四年级下·陕西榆林·期末）解方程。                 【答案】x＝143；x＝10 【思路引导】（1）应用等式的性质1和2，等式两边同时减去45，等式两边同时再除以5，解方程。 （2）应用等式的性质2，等式两边同时乘12.5，解方程。 【规范解答】45＋5x＝760   解：45－45＋5x＝760－45 5x＝715 5x÷5＝715÷5 x＝143                            x÷12.5＝0.8 解：x÷12.5×12.5＝0.8×12.5 x＝10 高频考点十一 解含括号的方程 【典例精讲】(⭐️⭐️⭐️）（24-25四年级下·辽宁大连·期末）如图。如果共有32只脚着地，那么多少只小熊在表演节目？ 【答案】15只 【思路引导】解设有x只小熊在表演节目。通过观察图可知只有第1只小熊是4只脚着地，后面的小熊都是2只脚着地，2只脚着地小熊有（x－1）只，共有32只脚着地用，用4只脚小熊着地的只数×4＋2只脚着地小熊只数×2＝共有32只脚着地。解方程时先去掉括号，整理化简这个方程。根据等式的性质1，方程两边同时减去2，再根据等式的性质2，方程两边同时除以2，即可求解。 【规范解答】解：设有x只小熊在表演节目。 1×4＋（x－1）×2＝32 4＋2x－2＝32 2x＋2＝32 2x＋2－2＝32－2 2x＝30 2x÷2＝30÷2 x＝15 答：15只小熊在表演节目。 【变式训练】(⭐️⭐️⭐️⭐️）解方程。                      【答案】x＝5；x＝8；x＝15 【思路引导】（1）等式的两边先同时加上8.5，再同时除以2，据此解答； （2）先算小括号里的加法，再根据等式的性质2求出x的值； （3）等式的两边先同时乘5，再同时除以4，据此解答。 【规范解答】 解：2x－8.5＋8.5＝1.5＋8.5 2x＝10 2x÷2＝10÷2 x＝5 解：25x＝200 25x÷25＝200÷25 x＝8 解：4x÷5×5＝12×5 4x＝60 4x÷4＝60÷4 x＝15 高频考点十二 解等号两边都有未知数的方程 【典例精讲】(⭐️⭐️⭐️）（23-24四年级下·辽宁沈阳·期末）淘气有230元零花钱，笑笑有310元零花钱。从这个月开始，淘气每个月攒20元，笑笑每个月攒15元。淘气几个月后的零花钱能和笑笑一样多？ 【答案】16个月 【思路引导】假设淘气x月后的零花钱能和笑笑一样多，可知淘气攒了20x元，再加上淘气本来的零花钱数，淘气一共有（230＋20x）元。同样的，笑笑攒了15x元，再加上笑笑本来的零花钱数，笑笑一共有（310＋15x）元。据此列出方程为230＋20x＝310＋15x，再解方程即可。 【规范解答】解：设淘气x月后的零花钱能和笑笑一样多。 230＋20x＝310＋15x 230＋20x－230＝310＋15x－230 20x＝80＋15x 20x－15x＝80＋15x－15x 5x＝80 5x÷5＝80÷5 x＝16 答：淘气16月后的零花钱能和笑笑一样多。 【变式训练】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（23-24四年级下·辽宁·暑假作业）某旅行团一起去划船。如果每条船坐4人，那么多出10人；如果每条船坐5人，那么多出1人。这个旅行团一共有（    ）人。 A．36 B．46 C．54 【答案】B 【思路引导】根据题目可知船的只数不变，总人数也不变；可以将船的只数设为x只，再列出方程：4x＋10＝5x＋1；再依据等式的性质解方程，等式的性质：等式两边同时加上或减去同一个数，所得结果还是等式；等式两边同时乘以或除以同一个不为0的数，所得结果还是等式；最后将x代入方程左右两边其中一个算式即可，据此解答。 【规范解答】根据分析：解：设船的只数设为x只。 4x＋10＝5x＋1 10－1＝5x－4x 9＝x x＝9 将x＝9代入算式4x＋10， 4x＋10 ＝4×9＋10 ＝36＋10 ＝46（人） 所以这个旅行团一共有46人。 故答案为：B 高频考点十三 列方程解含一个未知数的问题 【典例精讲】(⭐️⭐️⭐️）（24-25四年级下·安徽亳州·期末）中国拥有最庞大的高铁网络、最复杂的高铁运行环境和最庞大的高铁乘客数量，中国高铁平均时速为350千米/时，比普通小轿车的速度的3倍还多65千米/时。普通小轿车每小时行驶多少千米？（用方程解） 【答案】95千米 【思路引导】由题意可知：普通小轿车的速度×3＋65＝高铁平均时速350千米/时，据此列出方程求解。 【规范解答】解：设普通小轿车每小时行驶x千米。 3x＋65＝350 3x＋65－65＝350－65 3x＝285 3x÷3＝285÷3 x＝95 答：普通小轿车每小时行驶95千米。 【变式训练】(⭐️⭐️⭐️）（24-25四年级下·山西吕梁·期末）妈妈今年39岁，妈妈的年龄比小明的3倍还多3岁，小明今年几岁？（列方程解答） 【答案】12岁 【思路引导】已知妈妈今年39岁，妈妈的年龄比小明的3倍还多3岁。设小明今年x岁，根据妈妈年龄与小明年龄的数量关系可列出方程3x＋3＝39，据此解答即可。 【规范解答】解：设小明今年x岁。 3x＋3＝39 3x＋3－3＝39－3 3x＝36 3x÷3＝36÷3 x＝12 答：小明今年12岁。 高频考点十四 列方程解含两个未知数的问题 【典例精讲】(⭐️⭐️⭐️）（24-25四年级下·安徽安庆·期末）凉泉村把产业发展作为乡村振兴的核心举措，坚持因地制宜。凉泉村依靠种植苹果和水蜜桃增加了村民的年收入。 A．种植苹果的面积比水蜜桃多630亩 B．种植苹果的面积比水蜜桃的2倍多260亩 C．种植苹果和水蜜桃的面积一共是1370亩 （1）要想求出凉泉种植苹果和水蜜桃各多少亩，你选择的信息是（    ）和（    ）。（填序号） （2）根据你选择的信息列方程解答。 【答案】（1）B；C （2）列方程解答见详解；水蜜桃370亩；苹果1000亩 （答案不唯一） 【思路引导】要想求出水蜜桃和苹果的亩数，需要知道苹果和水蜜桃亩数之间的关系，以及总数是多少，可以选择B和C，设凉泉村种植水蜜桃x亩，则苹果的面积为2x＋260，两种水果面积加起来为1370亩，据此列出方程再利用等式性质1和2解方程即可求出水蜜桃多少亩，然后用所得水蜜桃的亩数乘2加上260，即可求出苹果的亩数，据此解答。 【规范解答】（1）选择的信息是B和C。 （2）解：设凉泉村种植水蜜桃x亩。 2x＋260＋x＝1370 3x＋260＝1370 3x＋260－260＝1370－260 3x＝1110 3x÷3＝1110÷3 x＝370 370×2＋260＝1000（亩） 答：凉泉村种植苹果1000亩，种植水蜜桃370亩。 （答案不唯一） 【变式训练】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（23-24四年级下·山西晋城·期末）“一粥一饭，当思来处不易；半丝半缕，恒念物力维艰”，勤俭节约是中华民族的传统美德。阳光小学四（1）班的秋游活动中按需订餐，正常套餐和小份套餐各定了27份，共花了594元，已知正常套餐的单价是小份套餐的1.2倍。方程“27（x＋1.2x）＝594”中的“x”表示( )。 【答案】小份套餐的单价 【思路引导】由题意得，正常套餐和小份套餐各定了27份，共花了594元，据此列出等量关系式为：（小份套餐的单价＋正常套餐的单价）×27＝594。其中，正常套餐的单价是小份套餐的1.2倍，那么等量关系式变为：（小份套餐的单价＋小份套餐的单价×1.2）×27＝594。对比方程“27（x＋1.2x）＝594”可知，x表示小份套餐的单价。 【规范解答】方程“27（x＋1.2x）＝594”中的“x”表示小份套餐的单价。 高频考点十五 列方程解决稍复杂的实际问题 【典例精讲】(⭐️⭐️⭐️）（23-24四年级下·山西运城·期末）有一个三层的书架，上面一共放了450本书，上层比下层多放了50本书，下层比中层少放了10本书。这个书架的上、中、下三层各放了多少本书？ 【答案】上层180本；中层140本；下层130本 【思路引导】根据题意可知，下层放书的数量＋50本＝上层放书的数量，下层放书的数量＋10本＝中层放书的数量，上层放书的数量＋中层放书的数量＋下层放书的数量＝450本，故设下层放书x本，进而就可知上层放书（x＋50）本，下层放书（x＋10）本，根据等量关系式列出方程，再根据等式的基本性质解方程即可。 【规范解答】解：设下层放书x本 x＋50＋x＋10＋x＝450 3x＋60＝450 3x＋60－60＝450－60 3x＝390 3x÷3＝390÷3 x＝130 130＋50＝180（本） 130＋10＝140（本） 答：这个书架上层放书180本，中层放书140本，下层放书130本。 【变式训练】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（24-25四年级下·广东韶关·期末）下面是一张破损的票据，请你算出每把椅子的价格。（列方程解答） 【答案】40元 【思路引导】设每把椅子x元，根据等量关系：每把椅子的钱数×椅子的数量＋每张桌子的钱数＝230元，列方程解答即可。 【规范解答】解：设每把椅子x元。 4x＋70＝230 4x＋70－70＝230－70 4x＝160 4x÷4＝160÷4 x＝40 答：每把椅子40元。 奥数拓展一 用字母表示数、数量关系 【典例精讲】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（23-24四年级下·广东深圳·期末）三角形具有( )性。如下图，拼一个三角形需要3根木棒，拼2个三角形需要5根木棒，拼4个三角形需要( )根木棒，以此类推，拼n个三角形需要( )根木棒。 【答案】 稳定 9 【思路引导】根据所学，三角形具有稳定性，观察图形可知，摆1个、2个、3个三角形分别要小棒的数量是3根、5根、7根……发现：每增加一个三角形，小棒的数量增加2根，据此找到规律。 【规范解答】观察图形可知： 摆1个三角形要3根小棒，3＝1×2＋1； 摆2个三角形要5根小棒，5＝2×2＋1； 摆3个三角形要7根小棒，7＝3×2＋1； …… 按此规律摆下去，摆n个三角形要（2n＋1）根小棒。 所以三角形具有稳定性，拼4个三角形需要9根木棒，以此类推，拼n个三角形需要（2n＋1）根木棒。 【考点剖析】本题是找规律的题型，从已知的图形或数据中找到规律，并按规律解题。 【变式训练】(⭐️⭐️⭐️⭐️）有一张长方形纸，用一条直线可以将它分为2个部分，两条直线可以分为4个部分，三条直线可以分为7个部分，如果有n条直线，那么可以将长方形纸分为多少个部分？当n为25时，可将长方形纸分为多少个部分？ 【答案】1＋(1＋n)·n÷2; 326 【思路引导】一条直线分为2个部分，两条直线分为4个部分，三条直线分为7个部分，由此总结出公式：划分的部分数=1＋(1＋n)×n÷2．其中n表示直线的条数．最后把公式中的n换作25，求出式子的值． 【规范解答】通过在长方形纸上画出前几条直线，就可以发现规律，然后利用求和公式进行求解． 一张纸没有被直线分割时，就是1个部分，用一条直线分割可将它在原来的基础上增加1个部分；两条直线增加2个部分；三条直线增加3个部分，…，n条直线就增加n个部分． 1条直线：1＋1＝2；2条直线：1＋1＋2＝4；3条直线：1＋1＋2＋3＝7；4条直线：1＋1＋2＋3＋4＝11，…，n条直线：1＋1＋2＋3＋4＋…＋n＝1＋(1＋n)·n÷2．当n＝25时，1＋(1＋25)×25÷2＝1＋325＝326．故n条直线可将长方形纸分为1＋(1＋n)·n÷2个部分；当n＝25时，可将长方形纸分为326个部分． 奥数拓展二 应用等式的性质1和2解方程与解决问题 【典例精讲】(⭐️⭐️⭐️⭐️）如图，一根1米长的竹竿，在它的左端挂1千克的物体，右端挂4千克的物体时，如果处于平衡状态，那么拴绳子的点0应位于离左端________米的地方． 【答案】0.8 【思路引导】由题意并结合杠杆的平衡原理可得：左端物体的重量×距O点的距离=右端物体的重量×距O点的距离，由此可设拴绳子的点0应位于离左端x米的地方，则距右端就是（1﹣x）米，利用得到的等量关系式列方程解答即可． 【规范解答】解：设拴绳子的点0应位于离左端x米的地方，则距右端就是（1﹣x）米 由题意得：1×x=4×（1﹣x） x=4﹣4x 5x=4 x=0.8 答：拴绳子的点0应位于离左端0.8米的地方． 故答案为0.8． 【变式训练】(⭐️⭐️⭐️）若甲数比乙数的3倍少3，则乙数比甲数的（　　） A．少3 B．少1 C．多1 D．无法确定 【答案】C 【思路引导】设甲数是x，乙数是y，则根据等量关系：“乙数的3倍﹣3=甲数”即可列出关于x、y的方程，用含有x的式子表示出乙数y的值，即可解答问题． 【规范解答】解：设甲数是x，乙数是y，根据题意可得方程： 3y﹣3=x， 3y=x+3， y=x+1， 所以乙数比甲数的多1， 故选C． 奥数拓展三 列方程解含一个未知数的问题 【典例精讲】(⭐️⭐️⭐️⭐️）老师买来一些铅笔奖给三好学生，如果其中二人每人分4支，其余每人分2支，则多出4支；如果其中一人分6支，其余每人分4支，则又缺12支。老师买来多少支铅笔？班上一共有多少名三好学生？ 【答案】26支；9名 【思路引导】两种发放方式的铅笔的数量相等，所以（三好学生人数－2）×2＋4×2＋4＝（三好学生人数－1）×4＋6－12，设三好学生有x名，根据等量关系式列出方程，求出三好学生人数，再求铅笔的支数，据此即可解答。 【规范解答】解：设三好学生有x名。 （x－2）×2＋4×2＋4＝（x－1）×4＋6－12 2x－4＋12＝4x－4－6 2x＋8＝4x－10 2x＋8＋10＝4x－10＋10 2x＋18＝4x 4x－2x＝18 2x＝18 x＝9 （9－2）×2＋4×2＋4 ＝7×2＋8＋4 ＝14＋12 ＝26（支） 答：老师买来26支铅笔，班上一共有9名三好学生。 【考点剖析】根据题意找出等量关系是解答本题的关键。 【变式训练】(⭐️⭐️⭐️⭐️）两辆运送防疫物资的车分别从两地同时相向而行，甲车的速度60千米/时，乙车的速度是40千米/时，行驶一段时间，甲车距全程中点15千米，乙车距全程中点35千米，两车从出发到相遇需要多少小时？ 【答案】1.5小时或2.7小时 【思路引导】根据题意“驶一段时间，甲车距全程中点15千米，乙车距全程中点35千米”可知，行驶一段时间后，可以分两种情况：（1）两车都没有超过，甲车离中点还有15千米，乙车离中点还有35千米，此时可列等量关系式：甲车的速度×行驶的时间＋15＝乙车的速度×行驶的时间＋35； （2）因为甲车的速度大于乙车的速度，所以还有一种情况是：甲车此时超过了中点15千米，乙车离中点还有35千米，此时可列等量关系式：甲车的速度×行驶的时间－15＝乙车的速度×行驶的时间＋35，据此设经过x小时后，甲车距全程中点15千米，乙车距全程中点35千米，据此根据两种情况先求出行驶的这段时间，进而求出两车从出发到相遇需要的小时。 【规范解答】解：设经过x小时后，甲车距全程中点15千米，乙车距全程中点35千米，则 （1）60x＋15＝40x＋35 60x－40x＝35－15 20x＝20 x＝20÷20 x＝1 （60×1＋15）×2÷（60＋40） ＝（60＋15）×2÷100 ＝75×2÷100 ＝1.5（小时） 答：两车从出发到相遇需要1.5小时。 （2）解：设经过x小时后，甲车超过中点距全程中点还是15千米，乙车距全程中点35千米，则 60x－15＝40x＋35 60x－40x＝35＋15 20x＝50 x＝50÷20 x＝2.5 （60×2.5－15）×2÷（60＋40） ＝（150－15）×2÷（60＋40） ＝135×2÷100 ＝2.7（小时） 答：两车从出发到相遇需要2.7小时。 【考点剖析】此题主要考查了列方程解应用题，弄清题意，找出合适的等量关系，进而列出方程是解答此类问题的关键。 奥数拓展四 列方程解含两个未知数的问题 【典例精讲】(⭐️⭐️⭐️⭐️）一个四位数，把个位数数字调到首位，得到新四位数比原数的4倍还多129，那么这个四位数为( )。 【答案】2018 【思路引导】将原来的四位数用表示，为前三位数，为个位数。那么＝10＋ ，根据题意可知，把个位数数字调到首位，数字就变成了，＝1000＋，得到新四位数比原数的4倍还多129，那么1000＋＝4×（10＋ ）＋129，然后解答即可。 【规范解答】解：设这个数是10＋ ，由题意得： 1000＋＝4×（10＋ ）＋129 1000＋＝40＋4＋129 39＝996－129 13＝332－43 分别将＝1—9代入，只要为三位整数即成立，只有时，＝201符合要求。 所以一个四位数，把个位数数字调到首位，得到新四位数比原数的4倍还多129，那么这个四位数为2018。 【考点剖析】熟练掌握用字母表示数和解方程是解答本题的关键。 【变式训练】(⭐️⭐️⭐️）动物园里，55只鸵鸟和斑马生活在同一片草地上，鸵鸟的腿数是斑马的2倍，求斑马有多少只，鸵鸟有多少只？ 【答案】斑马有11只，鸵鸟有44只 【思路引导】设斑马有x只，然后根据等量关系“斑马的只数×4×2＝鸵鸟的只数×2”列方程解答即可。 【规范解答】解：设斑马有x只，则鸵鸟有55－x只， 4x×2＝2×（55－x） 8x＝110－2x 8x＋2x＝110－2x＋2x 10x＝110 10x÷10＝110÷10 x＝11 55－11＝44（只） 答：斑马有11只，鸵鸟有44只。 【考点剖析】本题考查了鸡兔同笼的问题，关键是根据等量关系列方程解答。 奥数拓展五 列方程解决稍复杂的实际问题 【典例精讲】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（23-24四年级下·山东济宁·期末）甲、乙、丙三个同学做数学题，已知甲比乙多做5道，丙做的是甲的2倍，比乙多做20道。他们一共做了多少道数学题？ 【答案】55道 【思路引导】由题目可知，甲比乙多做5道题，丙是甲的2倍，丙比乙多做20道题，则可以得知存在数量关系：乙做的题数＋5＝甲做的题数，甲做的题数×2＝丙做的题数，由这两个关系式可知，（乙做的题数＋5）×2＝丙做的题数，又因为丙做的题数－乙做的题数＝20，则（乙做的题数＋5）×2－乙做的题数＝20。据此解答。 【规范解答】解：设乙做的题数为x，则甲做的题数为（x＋5），丙做的题数为（x＋20）。 （x＋5）×2－x＝20 2x＋10－x＝20 2x－x＋10＝20 x＋10＝20 x＋10－10＝20－10 x＝10 甲：10＋5＝15（道） 丙：10＋20＝30（道） 一共：15＋10＋30＝55（道） 答：他们一共做了55道题目。 【考点剖析】解决此题的关键是正确找到数量关系，能够运用题目所给信息找到乙做的题数与丙做的题数的数量关系。 【变式训练】(⭐️⭐️⭐️⭐️）某市2010年年初，在校大、中、小学共有学生214万人，其中在校大学生比在校中学生多49万人，在校中学生比在校小学生多21万人，请问该市2010年年初大、中、小学各有多少在校学生？ 【答案】大学生有111万人，中学生有62万人，小学生有41万人在校学生。 【思路引导】根据题意，在校大学生和在校小学生都是和在校的中学生比较的，在校大学生＝在校中学生＋49，在校小学生＝在校中学生－21，可以设在校中学生为x万人，则在校大学生为（x＋49）万人，在校小学生为（x－21）万人。再根据数量关系：在校大学生＋在校小学生＋在校的中学生＝214，列出方程求出在校中学生的人数，再根据相互之间的关系得出其他两种的人数。 【规范解答】解：设在校中学生为x万人，则在校大学生为（x＋49）万人，在校小学生为（x－21）万人。 x＋x＋49＋x－21＝214 3x＋28＝214 3x＝214－28 3x＝186 x＝186÷3 x＝62 62＋49＝111（万人） 62－21＝41（万人） 答：该市2010年年初大学生有111万人，中学生有62万人，小学生有41万人在校学生。 【基础夯实 知识巩固】 1．（24-25四年级下·广东佛山·期末）一个长方形，长是20米，宽是b米，它的周长是（    ）米。 A．40＋2b B．40＋b C．20＋2b D．20＋b 【答案】A 【思路引导】根据长方形的周长＝（长＋宽）×2，代入数据和字母并根据乘法分配律a×b＋a×c＝a×（b＋c）化简即可。 【规范解答】2×（20＋b） ＝2×20＋2×b ＝40＋2b（米） 所以它的周长是40＋2b米。 故答案为：A 2．（24-25四年级下·广东佛山·期末）爸爸今年x岁，妈妈今年x－3岁，30年后，他们相差（    ）岁。 A．33 B．3 C．27 D．30 【答案】B 【思路引导】用爸爸今年的年龄减去妈妈今年的年龄，求出年龄差。经过30年后，年龄差是不变的。据此解题。 【规范解答】x－（x－3） ＝x－x＋3 ＝3 所以，30年后，他们相差3岁。 故答案为：B 3．（24-25四年级下·山西吕梁·期末）妙想看一本120页的故事书，她每天看m页，看了5天还剩50页没看。下面列方程错误的是（    ）。 A．120＋50＝5m B．5m＝120－50 C．5m＋50＝120 D．120－5m＝50 【答案】A 【思路引导】已知每天看m页，5天则是看了5m页，120页是总页数，分成两部分，一部分是已经看了的5m页，另一部分是剩余的50页，据此判断下列各选项。 【规范解答】A．总页数是120页，再加上剩下的50页，不会等于已经看的，方程120＋50＝5m错误； B．5天看了5m页等于总页数120页减去还剩下的，方程5m＝120－50正确； C．5天看了5m页加上没看的50页等于总页数120页，方程5m＋50＝120正确； D．总页数120页减去已经看了的5m页等于剩下没有看的页数，方程120－5m＝50正确。 故答案为：A 4．（25-26四年级上·安徽亳州·期末）小马虎在计算5×（m＋22）时，错算成了5m＋22，这样比正确结果少( )。 【答案】88 【思路引导】根据题意，小马虎在计算5×（m＋22）时，错算成了5×m＋22，根据乘法分配律：（a＋b）×c＝a×c＋b×c，5×（m＋22）＝5m＋5×22，再与5m＋22进行比较，进行判断即可。 【规范解答】5×（m＋22） ＝5m＋5×22 ＝5m＋110 5m＋110－（5m＋22） ＝5m＋110－5m－22 ＝5m－5m＋110－22 ＝110－22 ＝88 小马虎在计算5×（m＋22）时，错算成了5m＋22，这样比正确结果少88。 5．（25-26四年级上·安徽宿州·期末）在（    ）里填上“”“”或“”。 4060000( )460万    ( )    ( ) 【答案】 【思路引导】①460万＝4600000，然后根据大数比较大小的方法：位数相同的两个数比较大小，从最高位比起，最高位上的数大的那个数就大，如果最高位上的数相同，就比较下一个数位上的数。位数不同的两个数比较大小，位数多的数就大；据此解答； ②负数比较，数字越大温度越低； ③根据乘法分配律，将左边的式子展开，然后再比较大小； 【规范解答】460万＝4600000，位数相同，十万位0＜6，则4060000＜460万； 11＞7，则＞； ＝36×a＋36×22 ＝36×a＋792 792＞22，则＞36×a＋22。 6．（24-25四年级下·河南商丘·期末）既是等式，又是方程。( )（判断对错） 【答案】√ 【思路引导】根据题意，等式是用等号连接的式子，方程是含有未知数的等式。题目中的式子含有未知数x、y、z，且用等号连接，因此同时满足等式和方程的定义。以此判断即可。 【规范解答】根据分析可知： 含有未知数x、y、z，且用等号连接，符合等式和方程的定义。原题说法正确。 故答案为：√ 7．（24-25四年级下·安徽亳州·期末）因为中含有未知数，所以它是方程。( )（判断对错） 【答案】× 【思路引导】根据题意，方程的定义是含有未知数的等式。判断一个式子是否为方程，需同时满足两个条件：①含有未知数；②是等式。以此判断即可。 【规范解答】根据分析可知： 5x−7中虽然含有未知数x，但它没有等号，不是等式，因此不符合方程的定义。原题说法错误。 故答案为：× 8．（24-25四年级下·山西吕梁·期末）解方程。                      【答案】a＝12；x＝2；y＝2 【思路引导】（1）根据等式的性质2，等式左右两边同时乘2，然后再同时除以8； （2）利用等式的性质1，等式左右两边同时加2，然后再利用等式的性质2，等式左右两边同时除以8； （3）先计算出1.2×4＝4.8，利用等式的性质1，等式左右两边同时减去4.8，然后再利用等式的性质2，等式左右两边同时除以6。 【规范解答】8a÷2＝48 解：8a÷2×2＝48×2 8a＝96 8a÷8＝96÷8 a＝12 8x－2＝11.3＋2.7 解：8x－2＋2＝11.3＋2.7＋2 8x＝14＋2 8x＝16 8x÷8＝16÷8 x＝2 6y＋1.2×4＝16.8 解：6y＋4.8＝16.8 6y＋4.8－4.8＝16.8－4.8 6y＝12 6y÷6＝12÷6 y＝2 9．（24-25四年级下·广东佛山·期末）淘气的玩具赛车速度超级快！他测得“闪电号”赛车的行驶速度是350米/分钟，比普通玩具赛车速度的4倍少10米。普通玩具赛车的速度是多少米/分钟？（用方程解决） 【答案】90米/分钟 【思路引导】已知“闪电号”赛车的行驶速度是350米/分钟，比普通玩具赛车速度的4倍少10米，可得到等量关系式：普通玩具赛车速度×4－10米＝“闪电号”赛车的行驶速度，普通玩具赛车速度分钟行x米，把未知数代入等量关系式进行解答即可。 【规范解答】解：设普通玩具赛车的速度为x米/分钟。 4x－10＝350 4x－10＋10＝350＋10 4x＝360 4x÷4＝360÷4 x＝90 答：普通玩具赛车的速度是90米/分钟。 10．（24-25四年级下·山西吕梁·期末）两艘轮船同时从A地开往B地，开出16小时后，甲船在乙船后面51.2千米。甲船平均每小时行36.8千米，乙船平均每小时行多少千米？（用方程解） 【答案】 40千米 【思路引导】两船同时出发，行驶时间相同。甲船落后乙船51.2千米，说明乙船速度更快。等量关系式为：乙船行的路程－甲船行的路程＝51.2千米，设乙船速度为x千米/时，根据等量关系式列方程即可解答。 【规范解答】解：设乙船平均每小时行x千米。 答：乙船平均每小时行40千米。 【拓展提高 能力拔尖】 1．（24-25四年级下·广东深圳·期末）奇奇一家四口准备去儿童公园游玩，门票每人80元，恰遇公园有优惠活动，每张票便宜15元，爸爸支付了300元，找回了40元。如果要解决“一共优惠了多少钱”这个问题，需要以下哪些信息？（    ） A．300元；80元 B．300元；40元；4人C．15元；4人 D．80元；40元；4人 【答案】C 【思路引导】读题可知，知道每张票的原价，知道每张票优惠了15元，知道爸爸支付了300元，且找回了40元。要解决“一共优惠了多少钱”这个问题，需要知道每张票价优惠多少钱，买了多少张票，根据单价×数量＝总价，即可算出一共优惠了多少钱。据此解答。 【规范解答】A．由分析可知，知道300元，80元这些信息，不能够解决“一共优惠了多少钱”这个问题，选项错误； B．300元，40元，4人，知道300元和40元，能够算出实际支付多少钱，再除以4人，可以算出实际每张票价多少钱，但是不知道每张票原价多少钱，不能够解决“一共优惠了多少钱”这个问题，选项错误； C．15元，4人，知道每张票优惠15元，知道买了4张票，根据单价×数量＝总价，即可算出“一共优惠了多少钱”，选项正确； D．80元，40元，4人，知道每张门票原价，知道找回40元，知道买了4张票，不能够算出每张票优惠多少，也就不能解决“一共优惠了多少钱”，选项错误。 故答案为：C 2．（24-25四年级下·安徽阜阳·期末）如图，用小棒摆六边形，按照这样的方法摆下去，摆n个六边形需要（    ）根小棒。 A．6n B．5n＋1 C．6n－1 【答案】B 【思路引导】根据图示，摆1个六边形需要小棒根数：6根；摆2个六边形需要小棒根数：6＋5＝11（根）；摆3个六边形需要小棒根数：6＋5＋5＝16（根）；……摆n个六边形需要小棒根数：6＋5（n－1）＝（5n＋1）根。据此解答。 【规范解答】摆1个六边形需要小棒根数：6根； 摆2个六边形需要小棒根数：6＋5＝11（根）； 摆3个六边形需要小棒根数：6＋5＋5＝16（根）； 摆n个六边形需要小棒根数： 6＋5（n－1） ＝6＋5×n－5 ＝6＋5n－5 ＝（5n＋1）根 所以摆n个六边形需要（5n＋1）根小棒。 故答案为：B 3．用同样长的小棒摆出如下的图形。照这样继续摆，第6个图形用了（    ）根小棒 A．20 B．24 C．25 【答案】C 【思路引导】图1用5根小棒摆成，图2用9根小棒摆成，图3用13根小棒摆成，仔细观察发现，每增加一个五六边形其小棒根数增加4根，所以可得第n个图形需要小棒5＋4（n－1）＝4n＋1根，据此即可解答问题。 【规范解答】由图可知： 图形1的小棍根数为5； 图形2的小棍根数为9； 图形3的小棍根数为13； … 由该搭建方式可得出规律：图形每增加1，小棍的个数增加4， 所以可以得出规律：搭第6个图形需要小棍根数为： 5＋4×（6－1） ＝5＋4×5 ＝5＋20 ＝25（根） 故答案为：C 【考点剖析】本题是一道关于图形变化规律型的，关键在于通过题中图形的变化情况，通过归纳与总结找出普遍规律求解即可。 4．（24-25四年级下·广东深圳·期末）可可今年8岁，妈妈今年34岁，n年后妈妈比可可大( )岁，此时可可( )岁。 【答案】 26 n＋8 【思路引导】先用妈妈今年的岁数减去可可今年的岁数，即可算出妈妈比可可大多少岁，这个差距不会随着可可长大而变化，两人之间岁数差一直都会是这个值；n年后可可岁数是（n＋8）岁。据此解答。 【规范解答】34－8＝26（岁） n年后可可岁数：（n＋8）岁 可可今年8岁，妈妈今年34岁，n年后妈妈比可可大26岁，此时可可（n＋8）岁。 5．（24-25四年级下·广东佛山·期末）如图，摆一个三角形要用3根小棒，摆两个三角形要用5根小棒，按此规律，摆四个三角形要用( )根小棒，用23根小棒可以摆( )个三角形。 【答案】 9 11 【思路引导】观察图形可知，摆1个三角形需要3根小棒，摆2个三角形需要5根小棒，摆3个三角形需要7根小棒，发现每多摆一个三角形就增加2根小棒，把摆1个三角形的3根小棒看成：1＋2×1，摆2个三角形需小棒根数为1＋2×2，摆3个三角形需小棒根数为1＋2×3，发现：小棒的数量＝1＋2×三角形的个数，据此解答。 【规范解答】由分析可知： 1＋2×4 ＝1＋8 ＝9（个） 所以，摆四个三角形要用9根小棒。 解：设23根小棒可以摆x个三角形。 1＋2x＝23 1＋2x－1＝23－1 2x＝22 2x÷2＝22÷2 x＝11 所以，用23根小棒可以摆11个三角形。 6．（24-25四年级下·陕西榆林·期末）解方程。 8x÷2＝68    5x－0.05＝24.95 【答案】x＝17；x＝5 【思路引导】（1）应用等式的性质2，等式两边同时乘2，等式两边同时除以8，解方程。 （2）应用等式的性质1和2，等式两边同时加上0.05，等式两边同时再除以5，解方程。 【规范解答】8x÷2＝68 解：8x÷2×2＝68×2 8x＝136 8x÷8＝136÷8 x＝17 5x－0.05＝24.95 解：5x－0.05＋0.05＝24.95＋0.05 5x＝25 5x÷5＝25÷5 x＝5 7．（24-25四年级下·陕西榆林·期末）绥德剪纸是陕西省榆林市绥德县的传统民间艺术，以粗犷豪放、寓意吉祥的风格闻名。小明用彩纸制作剪纸作品，红色彩纸用了84张，比蓝色彩纸的2倍还多12张。蓝色彩纸用了多少张？（用方程解答） 【答案】36张 【思路引导】根据题意，等量关系式是：蓝色彩纸的张数×2＋12＝红色彩纸的张数。可以设蓝色彩纸的张数为x，列出方程是2x＋12＝84。根据等式的性质1，在方程两边同时减去12。再根据等式的性质2，在方程两边同时除以2，即可求出方程的解。 【规范解答】解：设蓝色彩纸用了x张。 2x＋12＝84 2x＋12－12＝84－12 2x＝72 2x÷2＝72÷2 x＝36 答：蓝色彩纸用了36张。 8．（24-25四年级下·陕西榆林·期末）中国卫生部在北京举行世界无烟日宣传活动，发布了《中国吸烟危害健康报告》。报告显示，我国不吸烟而受二手烟危害的群众约有7.4亿人，比烟民人数的2倍还多1.4亿。我国烟民约有多少亿人？（用方程解答） 【答案】3亿 【思路引导】读题可知，我国不吸烟而受二手烟危害的群众约有7.4亿人，比烟民人数的2倍还多1.4亿，可知等量关系：我国吸烟人数×2＋1.4＝我国不吸烟人数，设我国烟民人数为x亿人，根据等量关系列出方程，根据等式性质解方程即可。据此解答。 【规范解答】解：设我国烟民人数为x亿人。 2x＋1.4＝7.4 2x＋1.4－1.4＝7.4－1.4 2x＝6 2x÷2＝6÷2 x＝3 答：我国烟民约有3亿人。 9．甲、乙、丙三位小朋友共有85本书。如果把甲的书的本数加2，乙的书的本数减2，丙的书的本数乘2后，三人书的本数相等。甲、乙、丙原来各有多少本书？ 【答案】甲32本；乙36本；丙17本 【思路引导】根据甲的书的本数加2，乙的书的本数减2，丙的书的本数乘2后，三人书的本数相等可知：甲＋2＝乙－2＝2丙；设丙的本数为x，所以甲的本数为：（2x－2）本；乙的本数为：（2x＋2）本，再根据甲、乙、丙三位小朋友共有85本书可知甲＋乙＋丙＝85，即可解方程求得x，然后再求得甲乙即可。 【规范解答】解：设丙的本数为x。 甲：（2x－2）本；乙：（2x＋2）本 （2x－2）＋ （2x＋2）＋x＝85 2x－2＋2x＋2＋x＝85 5x＝85 5x÷5＝85÷5 x＝17 甲：2×17－2 ＝34－2 ＝32（本） 乙：2×17＋2 ＝34＋2 ＝36（本） 答：甲有32本，乙有36本，丙有17本。 【考点剖析】明确甲、乙的书本数和丙的本数的关系是解决本题的关键。 10．（23-24四年级下·甘肃定西·期末）能力提升题。   贝贝和丽丽做兰花，贝贝已经做了120个，丽丽已经做了150个，从现在开始贝贝每天做15个，丽丽每天做12个，多少天后两人做的兰花数量同样多？（列方程解答） 【答案】10天 【思路引导】根据题意可知数量关系为：贝贝已做的120个＋贝贝再做的个数＝丽丽已做的150个＋丽丽再做的个数，并设x天后两人做的兰花数量同样多；根据每天做的个数×做的天数＝再做的个数，分别表示出贝贝再做的个数是15x个，丽丽再做的个数是12x个；根据数量关系列出方程，再根据等式的性质（一）（二）及乘法分配律解方程即可。据此解答。 【规范解答】解：设x天后两人做的兰花数量同样多； 120＋15x＝150＋12x 120＋15x－120＝150＋12x－120 15x＝150－120＋12x 15x＝30＋12x 15x－12x＝30＋12x－12x （15－12）x＝30 3x＝30 3x÷3＝30÷3 x＝10 答：10天后两人做的兰花数量同样多。 【考点剖析】本题首先要抓住“多少天后两人做的兰花数量同样多”找到等量关系；解方程时，要根据等式的性质把方程两边的数字和未知数分别合并到一起，再根据乘法分配律把两个未知数变成一个未知数，从而把复杂的方程逐步变得简单。 第 1 页 共 1 页 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