第五单元 认识方程（举一反三培优讲义+知识卡片）知识梳理+15个考点讲练+真题演练+难度分层练 共55题-北师大版数学四年级下册

该小学数学讲义通过思维导图和知识框架图系统构建“认识方程”单元知识体系，梳理用字母表示数、解简易方程、列方程解决实际问题三大模块，并用表格呈现15个高频考点的内在逻辑，突出符号意识与数量关系的关联。 讲义亮点在于“考点讲练+分层训练”的创新设计，通过摆正六边形用字母表示小棒数量等典例培养抽象能力，结合破损票据列方程等真题强化模型意识，20道分层题满足不同学生需求，助力教师实施精准教学，提升学生用数学语言表达现实问题的能力。

2025-2026学年北师大版数学四年级下册重点难点培优讲义【举一反三】 第五单元 认识方程『举一反三培优考点讲义』 【原卷版】 （导图+知识梳理+15个考点讲练+真题演练+难度分层练 共55题） 同学你好，该份讲义用于北师大版四年级下册内容的学习和复习，全套内容非常全面，非常适合培优拔尖使用。资料包含： 1. 导图指引：一目了然知晓讲义复习内容，快速锁定复习目标； 2. 知识梳理：强化巩固细节知识，给出提分方法，解题技巧，帮助你理解运用知识点； 3. 考点讲练：优选高频考察点，汇编整理，精选近两年各地名校易错题，压轴题，常考题等类型题，精耕细作，充分学习专题考察内容；一讲多练，事半功倍 4. 真题演练：精选5道期中期末真题，检验专题内容掌握水平； 5. 难度分层训练：结合本专题内容精选20题历年常考、易错、压轴类题型，难度分层，强化学生对专题的理解掌握，充分发挥解题技巧。 考点序列 考点名称 高频考点一 用字母表示数、数量关系 高频考点二 用字母表示运算定律及计算公式 高频考点三 用字母表示稍复杂的数量关系 高频考点四 含有字母式子的化简与求值 高频考点五 等式的认识及列等量关系式 高频考点六 方程的认识 高频考点七 列简易方程 高频考点八 等式的性质1与解方程 高频考点九 等式的性质2与解方程 高频考点十 应用等式的性质1和2解方程 高频考点十一 解含括号的方程 高频考点十二 解等号两边都有未知数的方程 高频考点十三 列方程解含一个未知数的问题 高频考点十四 列方程解含两个未知数的问题 高频考点十五 列方程解决稍复杂的实际问题 知识点一 用字母表示数 1. 用字母表示数：在含有字母的式子里，字母中间的乘号可以记作“·”，也可以省略不写。 2.用字母表示运算定律 加法交换律：； 加法结合律：； 乘法交换律：； 乘法结合律：； 乘法分配律：。 3.用字母表示计算公式： 长方形的面积公式：S=ab；长方形的周长公式：C=2(a＋b)。 正方形的面积公式：；正方形的周长公式：C=4a。 4.用字母表示常见的数量关系：如路程、速度和时间之间的关系可以表示为s=vt。 5.求含有字母的式子的值：先用含有字母的式子表示指定的数量，再把字母的取值代入式子中求值。 6.字母的取值范围：在含有字母的式子里，字母的取值范围是由实际情况决定的。 知识点二 解简易方程 1.方程的意义：含有未知数的等式就是方程。 2.等式的性质 等式的性质1：等式两边加上或减去同一个数，左右两边仍然相等。 等式的性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，左右两边仍然相等。 3.方程的解与解方程：使方程左右两边相等的未知数的值，叫做方程的解； 求方程的解的过程叫做解方程。 4.解形如x±a=b、ax=b、ax±b=c和a(x±b)=c的方程。 依据等式的性质来解此类方程。 5.检验：把求得的未知数的值代入原方程，看方程左边的值是否等于方程右边的值。如果相等，所求的未知数的值就是原方程的解，否则就不是。 知识点三 列方程解决实际问题的步骤 （1）找出未知数，用字母x表示。 （2）分析题中的数量关系，找出等量关系，列方程。 （3）解方程并检验作答。 高频考点一 用字母表示数、数量关系 【典例精讲】（2025四年级下·全国·专题练习）如下图，摆1个正六边形需要6根小棒，摆2个正六边形需要多少根小棒？摆3个、4个、n个、2n个呢？请你完成下表。 正六边形 摆1个 摆2个 摆3个 摆4个 摆n个 摆2n个 所需小棒根数 【变式训练】（2025四年级下·全国·专题练习）一个菠萝重a千克，一个西瓜比这个菠萝的3倍还重1千克，西瓜重( )千克；当a＝2时，菠萝比西瓜轻( )千克。 高频考点二 用字母表示运算定律及计算公式 【典例精讲】（24-25四年级下·四川成都·期末）无字证明是指那些仅用图象而无须文字解释就能证明的数学结论。由于其不证自明的特性，这种证明方式被认为比严格的数字证明更为优雅与有条理。下列哪个选项可以说明？（    ） A． B． C． 【变式训练】（24-25四年级下·广东湛江·期末）如图所示：。 (1)若每个正方形的边长都是a，则长方形的周长是( )，面积是( )。 (2)像这样摆下去，摆n个正方形需要( )根小棒；有31根小棒，一共可以摆( )个正方形。 高频考点三 用字母表示稍复杂的数量关系 【典例精讲】自来水公司规定，每户每月用水9吨以内（含9吨），按每吨x元收费。超过9吨的部分按每吨y元收费。小明家1月份用水15吨应缴费( )元，若x为2元，y为4元，则他家应交水费( )元。 【变式训练】如图所示： ​ 一张桌子可以坐6人，2张桌子并起来可以坐10人，3张桌子并起来可以坐14人，照这样摆，10张桌子并起来一共可以坐（    ）人。 A．40 B．60 C．42 高频考点四 含有字母式子的化简与求值 【典例精讲】（2025四年级下·全国·专题练习）如下图，空白部分是一个正方形（单位：厘米）。空白部分的面积是( )平方厘米，涂色部分的面积是( )平方厘米，涂色部分的周长C是( )厘米。 【变式训练】（2025四年级下·全国·专题练习）看图回答问题。 (1)1个烧水壶比1个水杯贵( )元。 (2)买4个热水瓶一共需要( )元。 (3)下面三种物品各买1个，一共需要( )元。 (4)买3个水杯付了100元，应找回( )元。 高频考点五 等式的认识及列等量关系式 【典例精讲】（2025四年级下·全国·专题练习）根据图中信息，判断下列等量关系是否正确。（对的画“√”，错的画“×”） (1)老师人数＋5＝女生人数。( ) (2)男生人数÷3＝女生人数。( ) (3)女生人数－5＝男生人数÷3。( ) (4)老师人数×3＝男生人数。( ) (5)女生人数－老师人数＝5。( ) 【变式训练】（24-25四年级下·陕西咸阳·期末）小颖爸爸的体重是84千克，妈妈的体重比爸爸轻30千克，爸爸的体重是小颖的4倍。下列数量关系中正确的是（    ）。 A．爸爸的体重＋30千克＝妈妈的体重。 B．小颖的体重×4＝爸爸的体重。 C．妈妈的体重－30千克＝小颖的体重。 高频考点六 方程的认识 【典例精讲】（24-25四年级下·陕西榆林·期末）下面式子中是方程的有（    ）个。 ①  ②  ③  ④ A．2 B．1 C．3 D．4 【变式训练】（24-25四年级下·安徽宿州·期末）下面式子中，方程有（    ）个。 ①    ②    ③    ④ A．0 B．1 C．2 D．3 高频考点七 列简易方程 【典例精讲】（2025四年级下·全国·专题练习）把从1到100的整数按下图所示的方式排列，并把相邻两行的六个数用虚线圈起来。仔细观察，回答下面的问题。 (1)圈起来的数中，左上角的数为a，与它相邻的右边的数为( )，与它相邻的下边的数为( )。 (2)如果圈起来的六个数中，左上角的数为x，这六个数的和等于429，则可以列出方程( )。 【变式训练】（2025四年级下·全国·专题练习）先写出等量关系，再列方程。 （1）停车场原来有x辆车，开出15辆，又开进来7辆，现在有37辆车。 （2）音乐社团有94人，比美术社团的3倍少2人，美术社团有m人。 高频考点八 等式的性质1与解方程 【典例精讲】（24-25四年级下·四川成都·期末）看图写等量关系，再列方程解答。 等量关系 列方程解答。 【变式训练】（24-25四年级下·河南开封·期末）在解方程3.5＋x＝6.4时，方程左右两边同时减去3.5，x＝2.9。( )（判断对错） 高频考点九 等式的性质2与解方程 【典例精讲】（24-25四年级下·广东韶关·期末）根据等式的性质，图中方框里应填（    ）。 A．100＋3 B．100－3 C．100×3 D．100÷3 【变式训练】（2025四年级下·全国·专题练习）先读诗句，然后回答诗中问题。 远望巍巍塔七层，红灯点点倍加增。灯共三百八十一，问问顶层几盏灯？ 如果顶层有x盏灯，请根据题意列出方程，并解方程。 高频考点十 应用等式的性质1和2解方程 【典例精讲】（2025四年级下·全国·专题练习）甲、乙两地相距400千米，A、B两车分别同时从甲、乙两地相对开出，2小时后两车相距40千米。已知A车每时行100千米，B车每时行多少千米？（两车未相遇，用方程解答） 【变式训练】（24-25四年级下·山西吕梁·期末）解方程。                      高频考点十一 解含括号的方程 【典例精讲】（21-22四年级下·广东揭阳·期末）解方程。                      【变式训练】小马虎在计算一道混合运算题（△＋23）×30－21时，错抄成（△÷23）×30－21，这样的计算结果是69，则这道混合运算题的正确答案是( )。 （△＋23）×30－21＝69（×） 高频考点十二 解等号两边都有未知数的方程 【典例精讲】（23-24四年级下·辽宁沈阳·期末）淘气有230元零花钱，笑笑有310元零花钱。从这个月开始，淘气每个月攒20元，笑笑每个月攒15元。淘气几个月后的零花钱能和笑笑一样多？ 【变式训练】（23-24四年级下·辽宁·暑假作业）某旅行团一起去划船。如果每条船坐4人，那么多出10人；如果每条船坐5人，那么多出1人。这个旅行团一共有（    ）人。 A．36 B．46 C．54 高频考点十三 列方程解含一个未知数的问题 【典例精讲】（25-26四年级下·全国·课后作业）商店有彩电258台，比冰箱的3倍还多21台。商店有冰箱多少台？（列方程解答） 【变式训练】（2025四年级下·全国·专题练习）宇宙是包括地球及其他一切天体的无限空间，是一切物质及其存在形式的总体。据科学家推算，宇宙的年龄大约是138亿年，比太阳年龄的3倍少12亿年。太阳的年龄大约是多少亿年？（用方程解）。 高频考点十四 列方程解含两个未知数的问题 【典例精讲】（24-25四年级下·浙江·期末）根据线段图，下面表述错误的是（    ）。 A．53－8＝女生人数×3 B．女生人数×2＋8＝53 C．男生比女生人数的2倍还多8人 D． 【变式训练】（24-25四年级下·陕西咸阳·期末）小红和小丽一起编手串参加手工市集。小红编的手串数量比小丽的2倍少3串，两人一共编了24串。求小丽编了多少串手串？（用方程解答） 高频考点十五 列方程解决稍复杂的实际问题 【典例精讲】（24-25四年级下·广东韶关·期末）下面是一张破损的票据，请你算出每把椅子的价格。（列方程解答） 【变式训练】（23-24四年级下·山西运城·期末）有一个三层的书架，上面一共放了450本书，上层比下层多放了50本书，下层比中层少放了10本书。这个书架的上、中、下三层各放了多少本书？ 【真题演练1】（24-25四年级下·陕西汉中·期中）用火柴棒照样子摆一摆。 摆1个平行四边形要4根火柴棒，摆2个平行四边形要7根火柴棒，摆5个平行四边形要______根火柴棒。 【真题演练2】（23-24四年级下·陕西西安·月考）下列问题中，不可以用4a表示的是（    ）。 A．正方形边长为a米，求它的周长。 B．笼子里有a只兔子，它们共有多少条腿？ C．一辆汽车有4个轮子，a辆汽车有多少个轮子？ D．一张桌子可围坐4人，有a位宾客，需要多少张桌子？ 【真题演练3】（23-24四年级下·陕西西安·期末）下列三个问题能用（2y＋1）表示的是：（    ）。 ① 这个图形的面积是多少？ ②童童买了y支签字笔，每支签字笔2元，又买了一块橡皮花了1元。童童一共花了多少元？ ③按下面的方法用三角形摆图形： 第一层 第二层 第三层 第四层 第y层有多少个三角形？ A．② B．①③ C．②③ D．①②③ 【真题演练4】（24-25四年级下·广东深圳·期末）如图，是由一个长方形和一个正方形拼成的图形，它的周长是（    ）。 A．5＋2b B．4＋2b C．5＋b D．4＋b 【真题演练5】（24-25四年级下·广东佛山·期末）淘气的玩具赛车速度超级快！他测得“闪电号”赛车的行驶速度是350米/分钟，比普通玩具赛车速度的4倍少10米。普通玩具赛车的速度是多少米/分钟？（用方程解决） 基础夯实 能力提升 1．（24-25五年级下·甘肃酒泉·期中）王老师家的电表5月31日的抄表数是360千瓦时，6月30日的抄表数是401千瓦时，已知家用电的价格是每千瓦时x元，那么王老师家6月份应该缴电费（    ）元。 A．401x B．41x C．360x D．761x 2．（25-26五年级上·安徽淮北·期末）下面各式中，（    ）是方程。 A．9＋7.2＝16.2 B．6＋x＞8.9 C．10－x D．7＋x＝17.5 3．（25-26三年级下·辽宁·周测）已知，那么a、b、c、d按从大到小顺序排列，正确的是（    ）。 A． B． C． 4．（24-25五年级下·甘肃酒泉·期中）鞋的尺码是指鞋底的长度，通常用“码”或“厘米”作单位，它们之间的关系可以用y＝2x－10来表示（y表示码数，x表示厘米数）。小芳新买了一双34码的鞋，鞋底长( )厘米；她爸爸的皮鞋鞋底长26厘米，是( )码。 5．（24-25五年级下·甘肃酒泉·期中）如果6x＝y，根据等式的性质填空。 6x＋3＝y＋( )    6x－( )＝y－c 30x＝y×( )    6x÷4＝y÷( ) 6．（24-25五年级下·甘肃酒泉·期中）一个两位数，个位上的数字是a，十位上的数字是b，这个两位数是( )，如果a＋b＝10，a÷b＝4，那么这个两位数是( )。 7．（24-25五年级上·陕西西安·期末）式子45＋20x中含有未知数，所以它是方程。( )（判断对错） 8．（25-26四年级下·全国·课后作业）等式的两边同时加上一个数，等式仍然成立。( )（判断对错） 9．（25-26五年级上·安徽阜阳·期末）解方程，标“*”的要检验。 4.2x＋2.3x＝0.13    6.4－0.57－x＝0.43    *6.3÷（x＋0.2）＝7 10．（25-26五年级上·安徽淮北·期末）爸爸，妈妈带小强、小丽去参观博物馆。买四张门票共花了60元，其中成人票每张20元，儿童票每张多少元？（用方程解答） 创新拓展 拔尖冲刺 1．（24-25五年级下·甘肃酒泉·期中）与方程3x＝12.6的解相同的方程是（    ）。 A．x＋3.6＝5 B．15－x＝11.8 C．1.5x＝6.3 D．x÷2＝8.4 2．（25-26五年级上·安徽阜阳·期末）下面4个场景中，所求问题的结果能用“6a”表示的场景有（    ）。 A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①③④ 3.如图是由同样大小的圆按一定规律排列所组成的，其中第1个图形中有4个圆，第2个图形中有8个圆，第3个图形中有14个圆，第4个图形中有22个圆……，按此规律排列下去，第20个图形中有（    ）个圆。 A．422 B．412 C．402 D．392 4．（25-26四年级上·安徽宿州·期末）在（    ）里填上“”“”或“”。 4060000( )460万    ( )    ( ) 5．（25-26五年级上·四川成都·月考）一个长方形长是a厘米，宽是b厘米。宽不变，当长增加3厘米后，周长增加( )厘米，面积增加( )平方厘米。 6．（25-26五年级上·陕西延安·期末）看图列方程，并求出方程的解。 7．（25-26五年级上·辽宁铁岭·期末）解方程。           8．（25-26五年级上·陕西商洛·期末）文文参加作文大赛，需要提交电子版文档。她用电脑录入这篇作文，已经打完230个字，又打了15分钟才打完，平均每分钟打a个字。（共5分） (1)文文一共打了( )个字。（用含字母的式子表示） (2)当a＝42时，文文的这篇作文一共有多少个字？ 9．（2025四年级下·全国·专题练习）学校组织春游，一共用了10辆车，大客车每辆坐64人，小客车每辆坐48人，大客车比小客车一共多坐了192人。大、小客车各有几辆？（用方程解答） 10．探索与发现。奇思想既然乘法有分配律，是不是除法也有分配律呢？让我们一起来探索吧。 ①（A＋B）÷C与A÷C＋B÷C相等吗，请举个例子试试。 ②生活中的例子：五（1）班有男生20人，女生24人，乘船游西湖，每条船乘坐4人，一共需要多少条船？ （用两种方法计算，验证是否相等） ③如果调换位置后，C÷（A＋B）与C÷A＋C÷B还相等吗？请举例验证。 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $第五单元：认识方程大总结（核心知识梳理） 口决：字母能把数来代，未知数在等式待；天平性质助求解，五步解题乐开怀！ 1.基础概念小天地 用字母表示数：简洁明了！例如a×4写作4a。 规范：数字在前，字母在后，省略乘号。 等式 方程定义：含有未知数的等式叫做方程。 x+5=10 方程 关系：方程一定是等式，等式不一定是方程。 子 2.等式的性质 (解题法宝) 同时加或减同一个数 13 性质一：等式两边同时加或减同一个 数，等式仍然成立。 同时乘或除以 同一个不力0的敬 性质二：等式两边同时乘或除以同一 个不为0的数，等式仍然成立。 核心应用：这是解方程的依据！ 3.解方程与解决问题（魔法五步） 5.验：检验并写出答语。 4.解：利用等式的性质解方程。 3.列：根据等量关系列出方程。 2找：找出题目中的等量关系。 1.设：弄清题意， 设未知数x。 解方程：求方程的解(x的值)的过程。2025-2026学年北师大版数学四年级下册重点难点培优讲义【举一反三】 第五单元 认识方程『举一反三培优考点讲义』 【解析版】 （导图+知识梳理+15个考点讲练+真题演练+难度分层练 共55题） 同学你好，该份讲义用于北师大版四年级下册内容的学习和复习，全套内容非常全面，非常适合培优拔尖使用。资料包含： 1. 导图指引：一目了然知晓讲义复习内容，快速锁定复习目标； 2. 知识梳理：强化巩固细节知识，给出提分方法，解题技巧，帮助你理解运用知识点； 3. 考点讲练：优选高频考察点，汇编整理，精选近两年各地名校易错题，压轴题，常考题等类型题，精耕细作，充分学习专题考察内容；一讲多练，事半功倍 4. 真题演练：精选5道期中期末真题，检验专题内容掌握水平； 5. 难度分层训练：结合本专题内容精选20题历年常考、易错、压轴类题型，难度分层，强化学生对专题的理解掌握，充分发挥解题技巧。 考点序列 考点名称 高频考点一 用字母表示数、数量关系 高频考点二 用字母表示运算定律及计算公式 高频考点三 用字母表示稍复杂的数量关系 高频考点四 含有字母式子的化简与求值 高频考点五 等式的认识及列等量关系式 高频考点六 方程的认识 高频考点七 列简易方程 高频考点八 等式的性质1与解方程 高频考点九 等式的性质2与解方程 高频考点十 应用等式的性质1和2解方程 高频考点十一 解含括号的方程 高频考点十二 解等号两边都有未知数的方程 高频考点十三 列方程解含一个未知数的问题 高频考点十四 列方程解含两个未知数的问题 高频考点十五 列方程解决稍复杂的实际问题 知识点一 用字母表示数 1. 用字母表示数：在含有字母的式子里，字母中间的乘号可以记作“·”，也可以省略不写。 2.用字母表示运算定律 加法交换律：； 加法结合律：； 乘法交换律：； 乘法结合律：； 乘法分配律：。 3.用字母表示计算公式： 长方形的面积公式：S=ab；长方形的周长公式：C=2(a＋b)。 正方形的面积公式：；正方形的周长公式：C=4a。 4.用字母表示常见的数量关系：如路程、速度和时间之间的关系可以表示为s=vt。 5.求含有字母的式子的值：先用含有字母的式子表示指定的数量，再把字母的取值代入式子中求值。 6.字母的取值范围：在含有字母的式子里，字母的取值范围是由实际情况决定的。 知识点二 解简易方程 1.方程的意义：含有未知数的等式就是方程。 2.等式的性质 等式的性质1：等式两边加上或减去同一个数，左右两边仍然相等。 等式的性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，左右两边仍然相等。 3.方程的解与解方程：使方程左右两边相等的未知数的值，叫做方程的解； 求方程的解的过程叫做解方程。 4.解形如x±a=b、ax=b、ax±b=c和a(x±b)=c的方程。 依据等式的性质来解此类方程。 5.检验：把求得的未知数的值代入原方程，看方程左边的值是否等于方程右边的值。如果相等，所求的未知数的值就是原方程的解，否则就不是。 知识点三 列方程解决实际问题的步骤 （1）找出未知数，用字母x表示。 （2）分析题中的数量关系，找出等量关系，列方程。 （3）解方程并检验作答。 高频考点一 用字母表示数、数量关系 【典例精讲】（2025四年级下·全国·专题练习）如下图，摆1个正六边形需要6根小棒，摆2个正六边形需要多少根小棒？摆3个、4个、n个、2n个呢？请你完成下表。 正六边形 摆1个 摆2个 摆3个 摆4个 摆n个 摆2n个 所需小棒根数 【答案】6；11；16；21；； 【思路引导】本题采用归纳法解答，通过观察图形规律，找出每增加一个正六边形所需小棒数量的变化规律，从而推导出摆n个和2n个正六边形所需小棒数量的公式。 【完整解答】规律如下图： 观察上表可知，每增加1个正六边形，所需小棒就增加5根； 答：摆2个正六边形需要11根小棒，摆3个需要16根小棒，摆4个需要21根小棒，摆n个需要根小棒，摆2n个需要根小棒。 【变式训练】（2025四年级下·全国·专题练习）一个菠萝重a千克，一个西瓜比这个菠萝的3倍还重1千克，西瓜重( )千克；当a＝2时，菠萝比西瓜轻( )千克。 【答案】 3a＋1 5 【思路引导】用菠萝的重量即为西瓜的重量；当时代入西瓜重量的表达式，即可求出西瓜的重量，再用西瓜的重量减去菠萝的重量即可求出菠萝比西瓜轻多少千克。据此解答。 【完整解答】西瓜的重量： 当时，                           （千克）   一个菠萝重a千克，一个西瓜比这个菠萝的3倍还重1千克，西瓜重（）千克；当a＝2时，菠萝比西瓜轻5千克。 高频考点二 用字母表示运算定律及计算公式 【典例精讲】（24-25四年级下·四川成都·期末）无字证明是指那些仅用图象而无须文字解释就能证明的数学结论。由于其不证自明的特性，这种证明方式被认为比严格的数字证明更为优雅与有条理。下列哪个选项可以说明？（    ） A． B． C． 【答案】B 【思路引导】根据题意，组成的图形的行数和每行个数是相同的，用行数乘每行的个数等于总个数，如果用字母n来表示行数和每行个数，那么总个数就是n×n＝n²。 1＋3＋5＋……＋（2n－1）表示单数相加，单数的个数与行数或者每行个数相同。有n个单数，那么最后相加的单数就是（2n－1）。据此分析下面的三个图形，哪一个符合即可。 【完整解答】 A．表示1＋2＋3＋4＋5＋6＋5＋4＋3＋2＋1＝6×6＝62。与原算式不符合。 B．表示1＋3＋5＋7＋9＋11＝6×6＝62。与原算式符合。 C．表示2＋4＋6＋8＋10＋12＝6×7＝42。与原算式不符合。 故答案为：B 【变式训练】（24-25四年级下·广东湛江·期末）如图所示：。 (1)若每个正方形的边长都是a，则长方形的周长是( )，面积是( )。 (2)像这样摆下去，摆n个正方形需要( )根小棒；有31根小棒，一共可以摆( )个正方形。 【答案】(1) 10a 4a2 (2) 3n＋1/1＋3n 10 【思路引导】（1）由题意得，每个正方形的边长是a，长方形的长等于4个小正方形的边长，那么长方形的长是4a。长方形的周长＝（长＋宽）×2，长方形的面积＝长×宽，直接将数据代入即可表示出长方形的周长和面积。 （2）由图可知，摆1个正方形需要（1＋3×1）根小棒，摆2个正方形需要（1＋3×2）根小棒，摆3个正方形需要（1＋3×3）根小棒，所以摆n个正方形需要（1＋3×n）根小棒；一共有31根小棒，求一共可以摆多少个正方形，直接用31减去1的差除以3即可解答。 【完整解答】（1）（a＋4a）×2 ＝5a×2 ＝10a a×4a＝4a2 若每个正方形的边长都是a，则长方形的周长是10a，面积是4a2。 （2）1＋3×n＝（1＋3n）根 （31－1）÷3 ＝30÷3 ＝10（根） 像这样摆下去，摆n个正方形需要（3n＋1）根小棒；有31根小棒，一共可以摆10个正方形。 高频考点三 用字母表示稍复杂的数量关系 【典例精讲】自来水公司规定，每户每月用水9吨以内（含9吨），按每吨x元收费。超过9吨的部分按每吨y元收费。小明家1月份用水15吨应缴费( )元，若x为2元，y为4元，则他家应交水费( )元。 【答案】 9x＋6y/6y＋9x 42 【思路引导】根据题意，应缴纳的水费需要分两部分进行计算：一部分是前9吨的费用，另一部分是超过9吨部分的费用。小明家1月份用水15吨，其中前9吨按照每吨x元收费，所以前9吨的费用为9x元；超过9吨的部分为15吨减去9吨，即6吨，这6吨按照每吨y元收费，所以超过9吨部分的费用为6y元，再将两部分的费用相加即是1月份应缴的费用。 将x、y的值代入到式子中进行计算即可。 【完整解答】9x＋（15－9）y＝（9x＋6y）元 因此，小明家1月份用水15吨应缴费（9x＋6y）元。 当x为2元，y为4元时，代入式子中得到： 9x＋6y＝9×2＋6×4＝18＋24＝42（元） 则他家应交水费42元。 【变式训练】如图所示： ​ 一张桌子可以坐6人，2张桌子并起来可以坐10人，3张桌子并起来可以坐14人，照这样摆，10张桌子并起来一共可以坐（    ）人。 A．40 B．60 C．42 【答案】C 【思路引导】根据一张桌子可以坐6人，2张桌子并起来可以坐10人，3张桌子并起来可以坐14人可以发现每多一张桌子，人数就会多4人，即坐的人数等于桌子的数量乘4，再加上2即可。 【完整解答】10×4＋2 ＝40＋2 ＝42（人） 即10张桌子并起来一共可以坐42人。 故答案为：C 高频考点四 含有字母式子的化简与求值 【典例精讲】（2025四年级下·全国·专题练习）如下图，空白部分是一个正方形（单位：厘米）。空白部分的面积是( )平方厘米，涂色部分的面积是( )平方厘米，涂色部分的周长C是( )厘米。 【答案】 【思路引导】①由题图可知，空白部分是一个边长为b厘米的正方形，根据正方形的面积=边长×边长，代入字母即可解答； ②涂色部分的面积-整个大长方形的面积-空白部分的面积，整个大长方形的长是a厘米、宽是b厘米，空白部分正方形的边长是b厘米，根据长方形的面积=长×宽、正方形的面积=边长×边长，代入对应字母即可解答； ③通过平移可知，涂色部分的周长等于整个大长方形的周长，整个大长方形的长是a厘米、宽是b厘米，根据长方形的周长=（长+宽）×2，代入对应字母即可解答。 【完整解答】①空白部分的面积（平方厘米） ②涂色部分的面积（平方厘米） ③涂色部分的周长（厘米） 因此，如下图，空白部分是一个正方形（单位：厘米）。空白部分的面积是平方厘米，涂色部分的面积是平方厘米，涂色部分的周长C是厘米。 【变式训练】（2025四年级下·全国·专题练习）看图回答问题。 (1)1个烧水壶比1个水杯贵( )元。 (2)买4个热水瓶一共需要( )元。 (3)下面三种物品各买1个，一共需要( )元。 (4)买3个水杯付了100元，应找回( )元。 【答案】(1) (2) (3) (4) 【思路引导】（1）要求1个烧水壶比1个水杯贵多少元，即用烧水壶的单价减去水杯的单价即可，据此列出式子； （2）依据总价＝单价×数量，用热水瓶的单价乘4即可； （3）总共需要的钱数＝1个烧水壶的价格＋1个热水瓶的价格＋1个水杯的价格，由此可列出式子； （4）用100元减去三个水杯的价格即可求出应找回的钱数。 【完整解答】（1）1个烧水壶比1个水杯贵元。 （2）买4个热水瓶一共需要元。 （3）下面三种物品各买1个，一共需要元。 （4）买3个水杯付了100元，应找回元。 高频考点五 等式的认识及列等量关系式 【典例精讲】（2025四年级下·全国·专题练习）根据图中信息，判断下列等量关系是否正确。（对的画“√”，错的画“×”） (1)老师人数＋5＝女生人数。( ) (2)男生人数÷3＝女生人数。( ) (3)女生人数－5＝男生人数÷3。( ) (4)老师人数×3＝男生人数。( ) (5)女生人数－老师人数＝5。( ) 【答案】(1)√ (2)× (3)√ (4)√ (5)√ 【思路引导】观察线段图中老师、女生、男生人数的数量关系，对每个等量关系进行判断。 【完整解答】（1）从图中可知女生人数比老师人数多5人，所以老师人数女生人数，该等量关系正确； （2）因为男生人数是老师人数的3倍，所以男生人数老师人数，不是女生人数，该等量关系错误； （3）因为女生人数比老师人数多5人，且男生人数是老师人数的3倍，所以女生人数老师人数，老师人数＝男生人数，那么女生人数男生人数，该等量关系正确； （4）由图可知男生人数是老师人数的3倍，所以老师人数男生人数，该等量关系正确； （5）因为女生人数比老师人数多5人，所以女生人数老师人数，该等量关系正确。 【变式训练】（24-25四年级下·陕西咸阳·期末）小颖爸爸的体重是84千克，妈妈的体重比爸爸轻30千克，爸爸的体重是小颖的4倍。下列数量关系中正确的是（    ）。 A．爸爸的体重＋30千克＝妈妈的体重。 B．小颖的体重×4＝爸爸的体重。 C．妈妈的体重－30千克＝小颖的体重。 【答案】B 【思路引导】由题，“小颖爸爸的体重是84千克，妈妈的体重比爸爸轻30千克”可知：爸爸的体重－30千克＝妈妈的体重，根据减法的互逆关系，等量关系式还可以是：妈妈的体重＋30千克＝爸爸的体重；再根据“爸爸的体重是小颖的4倍”可知：小颖的体重×4＝爸爸的体重；据此分析即可。 【完整解答】由分析可知： A．爸爸的体重＋30千克＝妈妈的体重；等量关系不正确； B．小颖的体重×4＝爸爸的体重；等量关系正确； C．妈妈的体重－30千克＝小颖的体重；等量关系不正确。 故答案为：B 高频考点六 方程的认识 【典例精讲】（24-25四年级下·陕西榆林·期末）下面式子中是方程的有（    ）个。 ①  ②  ③  ④ A．2 B．1 C．3 D．4 【答案】A 【思路引导】根据方程的定义，需满足两个条件：①是等式；②含有未知数。逐一判断各选项是否符合条件。 【完整解答】根据分析可知： ① ：是等式且含有未知数y，是方程。 ② ：不是等式，只是代数式，不是方程。 ③ ：是不等式，不是方程。 ④ ：是等式且含有未知数x，是方程。 是方程的有①和④，有2个。 故答案为：A 【变式训练】（24-25四年级下·安徽宿州·期末）下面式子中，方程有（    ）个。 ①    ②    ③    ④ A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【思路引导】根据方程的意义：含有未知数的等式叫做方程；方程必须具备两个条件：（1）含有未知数；（2）是等式，据此解答。 【完整解答】①含有未知数，不是等式，不是方程； ②含有未知数，是等式，是方程； ③不含未知数，是等式，不是方程； ④含有未知数，是等式，是方程； 方程有②④，共2个。 故答案为：C 高频考点七 列简易方程 【典例精讲】（2025四年级下·全国·专题练习）把从1到100的整数按下图所示的方式排列，并把相邻两行的六个数用虚线圈起来。仔细观察，回答下面的问题。 (1)圈起来的数中，左上角的数为a，与它相邻的右边的数为( )，与它相邻的下边的数为( )。 (2)如果圈起来的六个数中，左上角的数为x，这六个数的和等于429，则可以列出方程( )。 【答案】(1) a＋1 a＋7 (2) 【思路引导】（1）根据题意，观察圈起来的数，设左上角的数为a，与它相邻的右边的数比它大1，表示为a＋1；与它相邻的下边的数比它大7，表示为a＋7； （2）如果圈起来的六个数中，左上角的数为x，另外5个数分别表示为：x＋1、x＋2、x＋7、x＋8、x＋9，这六个数的和等于429，据此列出方程并化简，即可解答。圈起来的数中，左上角的数为a，与它相邻的右边的数为a＋1，与它相邻的下边的数为a＋7。 【完整解答】圈起来的六个数中，设左上角的数为x，这六个数的和是429，据此列方程：，化简后为：。 （1）圈起来的数中，左上角的数为a，与它相邻的右边的数为a＋1，与它相邻的下边的数为a＋7。 （2）如果圈起来的六个数中，左上角的数为x，这六个数的和等于429，则可以列出方程。 【变式训练】（2025四年级下·全国·专题练习）先写出等量关系，再列方程。 （1）停车场原来有x辆车，开出15辆，又开进来7辆，现在有37辆车。 （2）音乐社团有94人，比美术社团的3倍少2人，美术社团有m人。 【答案】（1）停车场原有车辆一开出的车辆＋开进来的车辆＝停车场现有车辆；x－15＋7＝37 （2）美术社团人数×3－2＝音乐社团人数；3m－2＝94 【思路引导】（1）题目中停车场原来有辆车，开出15辆车辆数会减少15辆，此时的车辆数为原车辆数减去开出的车辆数；又开进来7辆车辆数会增加7辆，所以现在的车辆数等于原来的车辆数减去开出的车辆数再加上开进车辆数。这里的等量关系是：原来的车辆数－开出的车辆＋开进来的车辆数＝现在的车辆数； （2）题目中音乐社团有94人，比美术社团的3倍少2人。美术社团有m人，那么美术社团人数的3倍就是3m，比这个3倍少2人，就是用美术社团人数的3倍减去2人，结果等于音乐社团的人数。这里的等量关系是：美术社团的人数3-2＝音乐社团的人数。 【完整解答】（1）等量关系：停车场原有车辆-开出的车辆－开出的车辆＋开进来的车辆＝停车场现有车辆 方程： （2）等量关系：美术社团人数×3-2＝音乐社团人数 方程： 高频考点八 等式的性质1与解方程 【典例精讲】（24-25四年级下·四川成都·期末）看图写等量关系，再列方程解答。 等量关系 列方程解答。 【答案】等量关系：儿子身高＋0.35米＝爸爸身高 所列方程： 【思路引导】根据题意，爸爸比儿子的身高多0.35米，此时爸爸身高1.78米，也就是儿子的身高＋爸爸比儿子高的部分＝爸爸的身高，图中设儿子身高为x，则列出方程为。 【完整解答】看图写等量关系，再列方程解答。 等量关系：儿子身高＋0.35米＝爸爸身高 列方程： 解： 答：儿子身高1.43米。 【变式训练】（24-25四年级下·河南开封·期末）在解方程3.5＋x＝6.4时，方程左右两边同时减去3.5，x＝2.9。( )（判断对错） 【答案】 √ 【思路引导】根据等式的性质，在解方程时，方程两边同时减去同一个数，等式仍然成立。因此，在解方程3.5＋x＝6.4时，左右两边同时减去3.5，可以求出x的值。以此判断即可。 【完整解答】根据分析可知： 原方程为：3.5＋x＝6.4。根据等式性质，方程两边同时减去3.5，左边变为x，右边变为6.4－3.5＝2.9，因此x＝2.9。原题说法正确。 故答案为：√ 高频考点九 等式的性质2与解方程 【典例精讲】（24-25四年级下·广东韶关·期末）根据等式的性质，图中方框里应填（    ）。 A．100＋3 B．100－3 C．100×3 D．100÷3 【答案】C 【思路引导】根据等式的性质可知，等式两边同时乘以或除以同一个不为0的数，等式仍成立。由左图可知x＝100，右图中3x是x的3倍，所以100也要扩大到原来的3倍。 【完整解答】根据等式的基本性质，若x＝100，则3x＝100×3。 故答案为：C 【变式训练】（2025四年级下·全国·专题练习）先读诗句，然后回答诗中问题。 远望巍巍塔七层，红灯点点倍加增。灯共三百八十一，问问顶层几盏灯？ 如果顶层有x盏灯，请根据题意列出方程，并解方程。 【答案】 【思路引导】根据“红灯点点倍加增”可知，下面每一层灯的盏数都是上一层的2倍，所以从上到下七层塔的每一层灯的盏数分别是x，2x，4x，8x，16x，32x，64x，再根据“灯共三百八十一”列出方程，最后解出方程即可。 【完整解答】        解：                                            答：顶层3盏灯。 高频考点十 应用等式的性质1和2解方程 【典例精讲】（2025四年级下·全国·专题练习）甲、乙两地相距400千米，A、B两车分别同时从甲、乙两地相对开出，2小时后两车相距40千米。已知A车每时行100千米，B车每时行多少千米？（两车未相遇，用方程解答） 【答案】80千米 【思路引导】甲、乙两地相距400千米，A、B两车分别同时从甲、乙两地相对开出，2小时后两车相距40千米，已知A车每时行100千米，写出数量关系：A、B两车的速度和×行驶时间＝400-40，设B车每小时行x千米，据此列出方程并求解即可。 【完整解答】解：设B车每时行x千米。 答：B车每时行80千米。 【变式训练】（24-25四年级下·山西吕梁·期末）解方程。                      【答案】a＝12；x＝2；y＝2 【思路引导】（1）根据等式的性质2，等式左右两边同时乘2，然后再同时除以8； （2）利用等式的性质1，等式左右两边同时加2，然后再利用等式的性质2，等式左右两边同时除以8； （3）先计算出1.2×4＝4.8，利用等式的性质1，等式左右两边同时减去4.8，然后再利用等式的性质2，等式左右两边同时除以6。 【完整解答】8a÷2＝48 解：8a÷2×2＝48×2 8a＝96 8a÷8＝96÷8 a＝12 8x－2＝11.3＋2.7 解：8x－2＋2＝11.3＋2.7＋2 8x＝14＋2 8x＝16 8x÷8＝16÷8 x＝2 6y＋1.2×4＝16.8 解：6y＋4.8＝16.8 6y＋4.8－4.8＝16.8－4.8 6y＝12 6y÷6＝12÷6 y＝2 高频考点十一 解含括号的方程 【典例精讲】（21-22四年级下·广东揭阳·期末）解方程。                      【答案】x＝5；x＝8；x＝15 【思路引导】（1）等式的两边先同时加上8.5，再同时除以2，据此解答； （2）先算小括号里的加法，再根据等式的性质2求出x的值； （3）等式的两边先同时乘5，再同时除以4，据此解答。 【完整解答】 解：2x－8.5＋8.5＝1.5＋8.5 2x＝10 2x÷2＝10÷2 x＝5 解：25x＝200 25x÷25＝200÷25 x＝8 解：4x÷5×5＝12×5 4x＝60 4x÷4＝60÷4 x＝15 【变式训练】小马虎在计算一道混合运算题（△＋23）×30－21时，错抄成（△÷23）×30－21，这样的计算结果是69，则这道混合运算题的正确答案是( )。 （△＋23）×30－21＝69（×） 【答案】2739 【思路引导】由题意知：抄错之后的计算结果是69，即（△÷23）×30－21＝69，将△看成未知数，通过等式的性质将△求出来，再代入正确的算式中计算出答案即可解决问题。 【完整解答】（△÷23）×30－21＝69 解：（△÷23）×30－21＋21＝69＋21 （△÷23）×30＝90 （△÷23）×30÷30＝90÷30 △÷23＝3 △÷23×23＝3×23 △＝69 将△＝69代入（△＋23）×30－21中得： （69＋23）×30－21 ＝92×30－21 ＝2760－21 ＝2739 【考点剖析】“错中求解”关键“将错就错”，通过错的数算出对的数，再求解正确答案。 高频考点十二 解等号两边都有未知数的方程 【典例精讲】（23-24四年级下·辽宁沈阳·期末）淘气有230元零花钱，笑笑有310元零花钱。从这个月开始，淘气每个月攒20元，笑笑每个月攒15元。淘气几个月后的零花钱能和笑笑一样多？ 【答案】16个月 【思路引导】假设淘气x月后的零花钱能和笑笑一样多，可知淘气攒了20x元，再加上淘气本来的零花钱数，淘气一共有（230＋20x）元。同样的，笑笑攒了15x元，再加上笑笑本来的零花钱数，笑笑一共有（310＋15x）元。据此列出方程为230＋20x＝310＋15x，再解方程即可。 【完整解答】解：设淘气x月后的零花钱能和笑笑一样多。 230＋20x＝310＋15x 230＋20x－230＝310＋15x－230 20x＝80＋15x 20x－15x＝80＋15x－15x 5x＝80 5x÷5＝80÷5 x＝16 答：淘气16月后的零花钱能和笑笑一样多。 【变式训练】（23-24四年级下·辽宁·暑假作业）某旅行团一起去划船。如果每条船坐4人，那么多出10人；如果每条船坐5人，那么多出1人。这个旅行团一共有（    ）人。 A．36 B．46 C．54 【答案】B 【思路引导】根据题目可知船的只数不变，总人数也不变；可以将船的只数设为x只，再列出方程：4x＋10＝5x＋1；再依据等式的性质解方程，等式的性质：等式两边同时加上或减去同一个数，所得结果还是等式；等式两边同时乘以或除以同一个不为0的数，所得结果还是等式；最后将x代入方程左右两边其中一个算式即可，据此解答。 【完整解答】根据分析：解：设船的只数设为x只。 4x＋10＝5x＋1 10－1＝5x－4x 9＝x x＝9 将x＝9代入算式4x＋10， 4x＋10 ＝4×9＋10 ＝36＋10 ＝46（人） 所以这个旅行团一共有46人。 故答案为：B 高频考点十三 列方程解含一个未知数的问题 【典例精讲】（25-26四年级下·全国·课后作业）商店有彩电258台，比冰箱的3倍还多21台。商店有冰箱多少台？（列方程解答） 【答案】 79台 【思路引导】商店有彩电258台，比冰箱的3倍还多21台，根据数量关系：冰箱的数量×3＋21＝彩电的数量，设冰箱有x台，列出方程并求解即可。 【完整解答】解：设商店有冰箱x台。 答：商店有冰箱79台。 【变式训练】（2025四年级下·全国·专题练习）宇宙是包括地球及其他一切天体的无限空间，是一切物质及其存在形式的总体。据科学家推算，宇宙的年龄大约是138亿年，比太阳年龄的3倍少12亿年。太阳的年龄大约是多少亿年？（用方程解）。 【答案】50亿年 【思路引导】宇宙的年龄大约是138亿年，比太阳年龄的3倍少12亿年，写出数量关系：太阳的年龄×3-12＝宇宙的年龄，设太阳的年龄为x亿年，根据数量关系列出方程再求解即可。 【完整解答】解：设太阳的年龄大约是x亿年。 答：太阳的年龄大约是50亿年。 高频考点十四 列方程解含两个未知数的问题 【典例精讲】（24-25四年级下·浙江·期末）根据线段图，下面表述错误的是（    ）。 A．53－8＝女生人数×3 B．女生人数×2＋8＝53 C．男生比女生人数的2倍还多8人 D． 【答案】B 【思路引导】由图可知，女生有x个人，男生的人数比女生人数的2倍还多8个人，那么男生有（2x＋8）个人，男生和女生一共有53个人。据此来分析选项中的说法是否正确。 【完整解答】A．由图可知，如果把总人数去掉8人，那么剩余的人数就是女生人数的3倍，所以式子“53－8＝女生人数×3”正确。 B．由分析得，男生的人数比女生人数的2倍还多8个人，所以女生人数×2＋8＝男生人数，而不是53个人。该选项表述错误。 C．由分析得，男生的人数比女生人数的2倍还多8个人。该选项表述正确。 D．由分析得，女生有x个人，男生有（2x＋8）个人，男生和女生一共有53个人，据此列出方程为：x＋2x＋8＝53。把这个方程化简为：3x＋8＝53。该选项表述正确。 故答案为：B 【变式训练】（24-25四年级下·陕西咸阳·期末）小红和小丽一起编手串参加手工市集。小红编的手串数量比小丽的2倍少3串，两人一共编了24串。求小丽编了多少串手串？（用方程解答） 【答案】9串 【思路引导】根据题意，数量关系有小丽编的手串数量×2－3＝小红编的手串数量，小丽编的手串数量＋小红编的手串数量＝24，设小丽编了x串手串，再用含有未知数x的式子表示小红编的手串数量，最后根据小丽编的手串数量＋小红编的手串数量＝24列出方程，并根据等式的性质1和2解方程。 【完整解答】解：设小丽编了x串手串，则小红编了（2x－3）串手串。 2x－3＋x＝24 3x－3＝24 3x－3＋3＝24＋3 3x＝27 3x÷3＝27÷3 x＝9 答：小丽编了9串手串。 高频考点十五 列方程解决稍复杂的实际问题 【典例精讲】（24-25四年级下·广东韶关·期末）下面是一张破损的票据，请你算出每把椅子的价格。（列方程解答） 【答案】40元 【思路引导】设每把椅子x元，根据等量关系：每把椅子的钱数×椅子的数量＋每张桌子的钱数＝230元，列方程解答即可。 【完整解答】解：设每把椅子x元。 4x＋70＝230 4x＋70－70＝230－70 4x＝160 4x÷4＝160÷4 x＝40 答：每把椅子40元。 【变式训练】（23-24四年级下·山西运城·期末）有一个三层的书架，上面一共放了450本书，上层比下层多放了50本书，下层比中层少放了10本书。这个书架的上、中、下三层各放了多少本书？ 【答案】上层180本；中层140本；下层130本 【思路引导】根据题意可知，下层放书的数量＋50本＝上层放书的数量，下层放书的数量＋10本＝中层放书的数量，上层放书的数量＋中层放书的数量＋下层放书的数量＝450本，故设下层放书x本，进而就可知上层放书（x＋50）本，下层放书（x＋10）本，根据等量关系式列出方程，再根据等式的基本性质解方程即可。 【完整解答】解：设下层放书x本 x＋50＋x＋10＋x＝450 3x＋60＝450 3x＋60－60＝450－60 3x＝390 3x÷3＝390÷3 x＝130 130＋50＝180（本） 130＋10＝140（本） 答：这个书架上层放书180本，中层放书140本，下层放书130本。 【真题演练1】（24-25四年级下·陕西汉中·期中）用火柴棒照样子摆一摆。 摆1个平行四边形要4根火柴棒，摆2个平行四边形要7根火柴棒，摆5个平行四边形要______根火柴棒。 【答案】16 【思路引导】根据火柴棒的摆设规律可知，多摆一个平行四边形就需要加3根火柴棒； 摆1个平行四边形要4根火柴棒； 摆2个平行四边形要4＋3×1＝4＋3＝7（根）火柴棒； 摆3个平行四边形要4＋3×2＝4＋6＝10（根）火柴棒； 摆4个平行四边形要4＋3×3＝4＋9＝13（根）火柴棒； 则摆n个平行四边形要4＋3×（n－1）根火柴棒； 据此，将当n＝5，代入上式，计算出数量即可，据此解答。 【完整解答】根据火柴棒的摆设规律可知，多摆一个平行四边形就需要加3根火柴棒，那么摆5个平行四边形需要火柴棒： 4＋3×（5－1） ＝4＋3×4 ＝4＋12 ＝16（根） 摆5个平行四边形要16根火柴棒。 【真题演练2】（23-24四年级下·陕西西安·月考）下列问题中，不可以用4a表示的是（    ）。 A．正方形边长为a米，求它的周长。 B．笼子里有a只兔子，它们共有多少条腿？ C．一辆汽车有4个轮子，a辆汽车有多少个轮子？ D．一张桌子可围坐4人，有a位宾客，需要多少张桌子？ 【答案】D 【思路引导】A．数量关系：正方形周长＝边长×4； B．数量关系：每只兔子的腿数×兔子的只数＝兔子的总腿数； C．数量关系：每辆汽车的轮子数量×汽车的数量＝汽车轮子的总数量； D．数量关系：宾客总人数÷每张桌子可坐的人数＝桌子的张数； 用含字母的式子表示数量关系，即可得解。 【完整解答】A．正方形边长为a米，它的周长是4a米，可用4a表示。 B．笼子里有a只兔子，a只兔子的腿数为4×a＝4a条，可用4a表示。 C．每辆汽车4个轮子，a辆汽车的轮子数为4×a＝4a个，可用4a表示。 D．一张桌子可围坐4人，有a位宾客，用除法a÷4计算需要多少张桌子，不可以用4a表示。 故答案为：D 【真题演练3】（23-24四年级下·陕西西安·期末）下列三个问题能用（2y＋1）表示的是：（    ）。 ① 这个图形的面积是多少？ ②童童买了y支签字笔，每支签字笔2元，又买了一块橡皮花了1元。童童一共花了多少元？ ③按下面的方法用三角形摆图形： 第一层 第二层 第三层 第四层 第y层有多少个三角形？ A．② B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】C 【思路引导】 ①长方形的长是（y＋1），宽是2，长方形面积＝长×宽，把数据代入可以算出长方形的面积是（y＋1）×2。 ②童童买了y支签字笔，每支签字笔2元，又买了一块橡皮花了1元。童童一共花了多少元？每张签字笔的价钱乘买的支数，可以算出买y支签字笔用了2y元；买签字笔用去的钱加上一块橡皮的价钱，可以算出童童一共花了（2y＋1）元。 ③第一层有3个，第二层有5个，第三层有7个，第四层有9个，每次三角形的个数＝层数×2＋1，第y层有（2y＋1）个三角形。 【完整解答】能用（2y＋1）表示的是②③。 故答案为：C 【真题演练4】（24-25四年级下·广东深圳·期末）如图，是由一个长方形和一个正方形拼成的图形，它的周长是（    ）。 A．5＋2b B．4＋2b C．5＋b D．4＋b 【答案】B 【思路引导】将拼成的图形右上角缺口处的线段向上和向右平移，得到一个长是b，宽是2a的长方形，该长方形的周长和拼成的图形周长一样，根据长方形周长＝（长＋宽）×2，据此计算后选择即可。 【完整解答】（2a＋b）×2 ＝4a＋2b 它的周长是4a＋2b。 故答案为：B 【真题演练5】（24-25四年级下·广东佛山·期末）淘气的玩具赛车速度超级快！他测得“闪电号”赛车的行驶速度是350米/分钟，比普通玩具赛车速度的4倍少10米。普通玩具赛车的速度是多少米/分钟？（用方程解决） 【答案】90米/分钟 【思路引导】已知“闪电号”赛车的行驶速度是350米/分钟，比普通玩具赛车速度的4倍少10米，可得到等量关系式：普通玩具赛车速度×4－10米＝“闪电号”赛车的行驶速度，普通玩具赛车速度分钟行x米，把未知数代入等量关系式进行解答即可。 【完整解答】解：设普通玩具赛车的速度为x米/分钟。 4x－10＝350 4x－10＋10＝350＋10 4x＝360 4x÷4＝360÷4 x＝90 答：普通玩具赛车的速度是90米/分钟。 基础夯实 能力提升 1．（24-25五年级下·甘肃酒泉·期中）王老师家的电表5月31日的抄表数是360千瓦时，6月30日的抄表数是401千瓦时，已知家用电的价格是每千瓦时x元，那么王老师家6月份应该缴电费（    ）元。 A．401x B．41x C．360x D．761x 【答案】B 【思路引导】先用月日的抄表数减去月日的抄表数算出用电数，再根据用电数乘家用电的价格算出应该缴电费的钱。 【完整解答】（千瓦时） 王老师家月份应该缴电费元。 2．（25-26五年级上·安徽淮北·期末）下面各式中，（    ）是方程。 A．9＋7.2＝16.2 B．6＋x＞8.9 C．10－x D．7＋x＝17.5 【答案】D 【思路引导】含有未知数的等式是方程。所以方程必须具备两个条件：①含有未知数；②等式。 【完整解答】A．9＋7.2＝16.2是等式，但不含有未知数，所以不是方程； B．6＋x＞8.9不是等式，所以不是方程； C．10－x不是等式，所以不是方程； D．7＋x＝17.5是等式，且含有未知数x，所以是方程。 3．（25-26三年级下·辽宁·周测）已知，那么a、b、c、d按从大到小顺序排列，正确的是（    ）。 A． B． C． 【答案】C 【思路引导】根据题意先将b、c、d转化成与a相关的算式，b＝a－25，c＝a－52，d＝a＋52，据此比较大小。 【完整解答】根据分析可知，b＝a－25，c＝a－52，d＝a＋52 a＋52＞a ＞a－25＞a－52，d＞a＞b＞c 所以正确的是。 4．（24-25五年级下·甘肃酒泉·期中）鞋的尺码是指鞋底的长度，通常用“码”或“厘米”作单位，它们之间的关系可以用y＝2x－10来表示（y表示码数，x表示厘米数）。小芳新买了一双34码的鞋，鞋底长( )厘米；她爸爸的皮鞋鞋底长26厘米，是( )码。 【答案】 22 42 【思路引导】把y＝34代入y＝2x－10中，解得x的值，即鞋底的长度。将x＝26，代入y＝2x－10中，解得y的值。 方程的解法：根据等式的性质1：等式两边同时加上或减去同一个数，等式不变；等式的性质2：等式两边同时乘或除以同一个不为0的数，等式依然成立。 【完整解答】y＝34时 y＝2x－10 34＝2x－10 解：34＋10＝2x－10 2x＝44 2x÷2＝44÷2 x＝22 当x＝26时， 2×26－10 ＝52－10 ＝42 5．（24-25五年级下·甘肃酒泉·期中）如果6x＝y，根据等式的性质填空。 6x＋3＝y＋( )    6x－( )＝y－c 30x＝y×( )    6x÷4＝y÷( ) 【答案】 3 c 5 4 【思路引导】等式的性质1：等式两边同时加上或减去同一个数，等式仍然成立。 等式的性质2：等式两边同时乘或除以同一个不为0的数，等式仍然成立。 【完整解答】6x＋3＝y＋3 6x－c＝y－c 30x＝y×5 6x÷4＝y÷4 6．（24-25五年级下·甘肃酒泉·期中）一个两位数，个位上的数字是a，十位上的数字是b，这个两位数是( )，如果a＋b＝10，a÷b＝4，那么这个两位数是( )。 【答案】 10b＋a 28 【思路引导】因为十位上的数字是几就表示几个十，个位上的数字是几就表示几个一，由此得出两位数的表示方法：十位数字×10＋个位数字；因为a÷b＝4，根据等式的性质2，两边同时乘b，则a＝4b，把a＝4b代入a＋b＝10，求出b，再求出a，进而求出两位数。 【完整解答】b×10＋a＝10b＋a a÷b＝4 则a＝4b 4b＋b＝10 解：5b＝10 5b÷5＝10÷5 b＝2 a＝4×2＝8 这个两位数是28。 7．（24-25五年级上·陕西西安·期末）式子45＋20x中含有未知数，所以它是方程。( )（判断对错） 【答案】× 【思路引导】方程必须具备两个条件：（1）必须是等式；（2）必须含有未知数。据此解答。 【完整解答】式子中含有未知数，但不是一个等式，所以它不是方程。 原题说法错误。 故答案为：× 8．（25-26四年级下·全国·课后作业）等式的两边同时加上一个数，等式仍然成立。( )（判断对错） 【答案】× 【思路引导】根据等式的基本性质，等式的两边同时加上同一个数，等式仍然成立，据此解答。 【完整解答】由分析可得：等式的两边同时加上同一个数，等式仍然成立。原说法中未说明等式的两边加上的数是同一个数，该说法错误。 故答案为：× 9．（25-26五年级上·安徽阜阳·期末）解方程，标“*”的要检验。 4.2x＋2.3x＝0.13    6.4－0.57－x＝0.43    *6.3÷（x＋0.2）＝7 【答案】x＝0.02；x＝5.4；x＝0.7 【思路引导】（1）先化简方程，再根据等式的性质2，方程两边同时除以6.5求解。 （2）先化简方程，接着根据等式的性质1，方程两边先同时加上x，再同时减去0.43求解。 （3）先根据等式的性质2，方程两边同时乘（x＋0.2），接着化简方程；再根据等式的性质1，方程两边同时减去1.4；最后根据等式的性质2，方程两边同时除以7求解。把求出的x的值代入原方程，分别计算方程左右两边的结果，若两边相等则解正确，否则解错误。 【完整解答】（1）4.2x＋2.3x＝0.13 解：6.5x＝0.13 6.5x÷6.5＝0.13÷6.5 x＝0.02 （2）6.4－0.57－x＝0.43 解：5.83－x＝0.43 5.83－x＋x＝0.43＋x 5.83＝0.43＋x 0.43＋x－0.43＝5.83－0.43 x＝5.4 （3）6.3÷（x＋0.2）＝7 解：6.3÷（x＋0.2）×（x＋0.2）＝7×（x＋0.2） 6.3＝7x＋1.4 7x＋1.4＝6.3 7x＋1.4－1.4＝6.3－1.4 7x＝4.9 7x÷7＝4.9÷7 x＝0.7 方程的左边＝6.3÷（0.7＋0.2） ＝6.3÷0.9 ＝7 ＝方程的右边 所以，x＝0.7是方程的解。 10．（25-26五年级上·安徽淮北·期末）爸爸，妈妈带小强、小丽去参观博物馆。买四张门票共花了60元，其中成人票每张20元，儿童票每张多少元？（用方程解答） 【答案】10元 【思路引导】由题意有“成人票总价＋儿童票总价＝总花费”的等量关系，根据成人票总价为20×2元，设儿童票每张x元，儿童票总价2x，根据等量关系列出方程并求解。 【完整解答】解：设儿童票每张x元。 20×2＋2x＝60 40＋2x＝60 40＋2x－40＝60－40 2x＝20 2x÷2＝20÷2 x＝10 答：儿童票每张10元。 创新拓展 拔尖冲刺 1．（24-25五年级下·甘肃酒泉·期中）与方程3x＝12.6的解相同的方程是（    ）。 A．x＋3.6＝5 B．15－x＝11.8 C．1.5x＝6.3 D．x÷2＝8.4 【答案】C 【思路引导】方程3x＝12.6，根据等式的性质2，方程两边同时除以3，据此求出方程的解。 A．根据等式的性质1，方程两边同时减去3.6，求出方程的解。 B．根据等式的性质1，方程两边同时加上x，再同时减去11.8，求出方程的解。 C．根据等式的性质2，方程两边同时除以1.5，求出方程的解。 D．根据等式的性质2，方程两边同时乘2，求出方程的解，再进行比较，即可解答。 【完整解答】3x＝12.6 解：3x÷3＝12.6÷3 x＝4.2 A．x＋3.6＝5 解：x＋3.6－3.6＝5－3.6 x＝1.4 B．15－x＝11.8 解：15－x＋x－11.8＝11.8－11.8＋x x＝3.2 C．1.5x＝6.3 解：1.5x÷1.5＝6.3÷1.5 x＝4.2 D．x÷2＝8.4 解：x÷2×2＝8.4×2 x＝16.8 因此，与方程3x＝12.6的解相同的方程是1.5x＝6.3。 2．（25-26五年级上·安徽阜阳·期末）下面4个场景中，所求问题的结果能用“6a”表示的场景有（    ）。 A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①③④ 【答案】C 【思路引导】逐一分析四个场景，将所求问题用含字母的式子表示，再判断是否等于。 【完整解答】场景①：香蕉单价比苹果贵元，列式为元，不能用表示。 场景②：平行四边形面积＝底×高，列式为，可以用表示。 场景③：线段图表示加上5段等长线段，共6段，列式为，可以用表示。 场景④：总费用＝单价×总数量，列式为元，可以用表示。 综上，场景②、③、④能用“”表示。 故答案为：C 3.如图是由同样大小的圆按一定规律排列所组成的，其中第1个图形中有4个圆，第2个图形中有8个圆，第3个图形中有14个圆，第4个图形中有22个圆……，按此规律排列下去，第20个图形中有（    ）个圆。 A．422 B．412 C．402 D．392 【答案】A 【思路引导】根据题意可知，第一个图形一共有圆：1×（1＋1）＋2＝4个；第二个图形一共有圆：2×（2＋1）＋2＝8个；第三个图形一共有圆：3×（3＋1）＋2＝14个；第四个图形一共有圆：4×（4＋1）＋2＝22个；圆的个数等于图形序号与序号数多1数的积，上面圆的个数为2，根据图形得出第n个图形中圆的个数是n×（n＋1）＋2，据此进行解答。 【完整解答】第一个图形一共有圆：1×（1＋1）＋2＝4（个） 第二个图形一共有圆：2×（2＋1）＋2＝8（个） 第三个图形一共有圆：3×（3＋1）＋2＝14（个） 第四个图形一共有圆：4×（4＋1）＋2＝22（个） 第n个图形一共有圆：n×（n＋1）＋2个 第20个图形一共有圆：20×（20＋1）＋2 ＝20×21＋2 ＝420＋2 ＝422（个） 故答案为：A 【考点剖析】本题主要考查通过特例分析从而归纳总结出一般结论的能力。 4．（25-26四年级上·安徽宿州·期末）在（    ）里填上“”“”或“”。 4060000( )460万    ( )    ( ) 【答案】 【思路引导】①460万＝4600000，然后根据大数比较大小的方法：位数相同的两个数比较大小，从最高位比起，最高位上的数大的那个数就大，如果最高位上的数相同，就比较下一个数位上的数。位数不同的两个数比较大小，位数多的数就大；据此解答； ②负数比较，数字越大温度越低； ③根据乘法分配律，将左边的式子展开，然后再比较大小； 【完整解答】460万＝4600000，位数相同，十万位0＜6，则4060000＜460万； 11＞7，则＞； ＝36×a＋36×22 ＝36×a＋792 792＞22，则＞36×a＋22。 5．（25-26五年级上·四川成都·月考）一个长方形长是a厘米，宽是b厘米。宽不变，当长增加3厘米后，周长增加( )厘米，面积增加( )平方厘米。 【答案】 6 【思路引导】根据题意，原来长方形的长为a厘米，宽为b厘米；宽不变，长增加3厘米后，新长方形的长为（a＋3）厘米，宽为b厘米；根据，用含字母的式子表示原来和新长方形的周长；再用新长方形的周长减去原来长方形的周长，求出增如周长；根据，用含字母的式子表示原来和新长方形的面积，再用新长方形的面积减去原来长方形的面积，求出增加面积。 【完整解答】如图： 原来长方形的周长：厘米 新长方形的周长：厘米 增加的周长： （厘米） 即周长增加6厘米； 原来长方形的面积：（平方厘米） 新长方形的面积：平方厘米 增加的面积： （平方厘米） 即面积增加平方厘米。 一个长方形长是a厘米，宽是b厘米。宽不变，当长增加3厘米后，周长增加6厘米，面积增加平方厘米。 【考点剖析】本题解答的关键是根据长方形的周长和面积计算公式，用字母表示出原来的周长和新的周长、原来的面积与新的面积，然后计算出周长和面积分别增加了多少。 6．（25-26五年级上·陕西延安·期末）看图列方程，并求出方程的解。 【答案】3x＋300＝2700；x＝800 【思路引导】根据图示，存在等量关系：3个x米的和加上300米等于2700米，可列出方程：3x＋300＝2700，再根据等式的基本性质求出方程的解即可。 【完整解答】根据分析，列出方程： 3x＋300＝2700 解：3x＋300－300＝2700－300 3x＝2400 3x÷3＝2400÷3 x＝800 因此，解出x的值为800米。 7．（25-26五年级上·辽宁铁岭·期末）解方程。           【答案】；； ； 【思路引导】先算出，将原方程变为：，再根据等式的基本性质2，两边同时除以14，即可求出未知数的值； 先根据等式的基本性质1，两边同时减去7.5，再根据等式的基本性质2，两边同时除以2，即可求出未知数的值； 先根据等式的基本性质2，两边同时除以5，再根据等式的基本性质1，两边同时减去1.5，即可求出未知数的值； 先根据等式的基本性质2，两边同时乘2，再根据等式的基本性质1，两边同时加上，再根据等式的基本性质1，两边同时减去14，最后根据等式的基本性质2，两边同时除以3，即可求出未知数的值； 【完整解答】 解： 解： 解： 解： 8．（25-26五年级上·陕西商洛·期末）文文参加作文大赛，需要提交电子版文档。她用电脑录入这篇作文，已经打完230个字，又打了15分钟才打完，平均每分钟打a个字。（共5分） (1)文文一共打了( )个字。（用含字母的式子表示） (2)当a＝42时，文文的这篇作文一共有多少个字？ 【答案】(1)15a＋230 (2)860个 【思路引导】（1）用每分钟打字的个数×打字的时间，再加上打完字的个数，即可解答。 （2）当a＝42时，代入求出的含有字母的式子，即可解答 【完整解答】（1）a×15＋230＝（15a＋230）个 （2）当a＝42时： 15×42＋230 ＝630＋230 ＝860（个） 答：文文的这篇作文一共有860个字。 9．（2025四年级下·全国·专题练习）学校组织春游，一共用了10辆车，大客车每辆坐64人，小客车每辆坐48人，大客车比小客车一共多坐了192人。大、小客车各有几辆？（用方程解答） 【答案】6辆；4辆 【思路引导】先设大客车的数量为未知数，用总车辆数－大客车的数量表示小客车数量，再根据大客车比小客车多坐的人数列出方程，解方程求出大客车数量，最后求出小客车数量。 【完整解答】解：设大客车有x辆，则小客车有辆。                           小客车：（辆） 答：大客车有6辆，小客车有4辆。 【考点剖析】根据题目中的等量关系，代入未知数列出方程并解方程。 10．探索与发现。奇思想既然乘法有分配律，是不是除法也有分配律呢？让我们一起来探索吧。 ①（A＋B）÷C与A÷C＋B÷C相等吗，请举个例子试试。 ②生活中的例子：五（1）班有男生20人，女生24人，乘船游西湖，每条船乘坐4人，一共需要多少条船？ （用两种方法计算，验证是否相等） ③如果调换位置后，C÷（A＋B）与C÷A＋C÷B还相等吗？请举例验证。 【答案】①相等，例子见详解 ②11条 ③不相等，例子见详解 【思路引导】①令A＝4，B＝6，C＝2，代入数值计算，比较（A＋B）÷C与A÷C＋B÷C是否相等。 ②第一种方法：先求出总人数24＋20＝44（人），每条船乘坐4人，用总人数除以每条船乘坐的人数，求出共需要多少条船；第二种方法，分别计算出男生、女生各需要的船的条数，再相加。 ③令C＝72，A＝18，B＝6，代入数值计算，比较C÷（A＋B）与C÷A＋C÷B是否相等。 【完整解答】①令A＝4，B＝6，C＝2 （A＋B）÷C ＝（4＋6）÷2 ＝10÷2 ＝5 A÷C＋B÷C ＝4÷2＋6÷2 ＝2＋3 ＝5 所以（A＋B）÷C与A÷C＋B÷C相等。 ②第一种方法： （24＋20）÷4 ＝44÷4 ＝11（条） 第二种方法： 24÷4＋20÷4 ＝6＋5 ＝11（条） 答：一共需要11条船。 ③令C＝72，A＝18，B＝6 C÷（A＋B） ＝72÷（18＋6） ＝72÷24 ＝3 C÷A＋C÷B ＝72÷18＋72÷6 ＝4＋12 ＝16 所以C÷（A＋B）与C÷A＋C÷B不相等。 【考点剖析】本题属于探索类题目，可以发现：除以同一个数可以用分配律，被除数是同一个数则不能用分配律，除法的分配律不具有普遍适用性。 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $