第二章 实数【章末复习】（课件）-2026-2027学年北师大版数学八年级上册

该初中数学单元复习课件系统梳理了实数的概念、分类、性质及运算，涵盖无理数、平方根、立方根、二次根式等核心内容，通过知识框架图将概念定义、运算规则、性质应用串联，构建“概念-性质-运算-应用”的完整知识网络。 其亮点在于采用“基础巩固-考点整合-思想提升”分层设计，如二次根式运算题结合平方差公式培养运算能力，分类讨论实数集合问题发展推理意识，整体思想解决代数式求值强化模型意识。分层练习与易错总结帮助学生精准突破，教师可依此实施个性化复习，提升教学效率。

北师大版数学八年级上册培优精做课件 授课教师： . 班 级： 8年级（ ）班 . 时 间： . 2026年5月29日 章末小结 第二章 实数 北师大版八年级上册2.3.3 二次根式的四则运算 练习题 【核心知识点回顾】 1. 运算法则汇总：乘法$$\sqrt{a}\cdot\sqrt{b}=\sqrt{ab}(a\geq0,b\geq0)$$；除法$$\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}=\sqrt{\frac{a}{b}}(a\geq0,b>0)$$；加减先化简、再合并同类二次根式。 2. 混合运算顺序：先乘除，后加减；有括号先算括号内；能运用乘法交换律、结合律、分配律简便运算。整式的平方差、完全平方公式在二次根式运算中完全适用。 3. 常用公式：平方差$$(a+\sqrt{b})(a-\sqrt{b})=a^2-b$$；完全平方$$(\sqrt{a}\pm\sqrt{b})^2=a+b\pm2\sqrt{ab}$$。 4. 运算要求：所有计算结果必须化为最简二次根式，分母不含根式。 ### 一、选择题（每题4分，共20分） 1. 下列计算正确的是（） A. $$\sqrt{2}\times\sqrt{3}=\sqrt{5}$$ B. $$\sqrt{8}\div\sqrt{2}=2$$ C. $$\sqrt{2}+\sqrt{8}=\sqrt{10}$$ D. $$3\sqrt{2}-\sqrt{2}=3$$ 2. 计算$$(2+\sqrt{3})(2-\sqrt{3})$$的结果是（） A. 1 B. -1 C. 7 D. $$4-2\sqrt{3}$$ 3. $$\sqrt{12}\times\sqrt{3}+\sqrt{18}\div\sqrt{2}$$的结果为（） A. 9 B. 15 C. $$6+3\sqrt{2}$$ D. $$9\sqrt{3}$$ 4. 化简$$(\sqrt{5}-1)^2$$的结果是（） A. $$6-2\sqrt{5}$$ B. 4 C. $$5-2\sqrt{5}$$ D. 6 5. 二次根式四则运算最终结果必须是（） A. 整数 B. 小数 C. 最简二次根式 D. 带根号式子即可 ### 二、填空题（每题4分，共20分） 1. 二次根式混合运算顺序是先________，后________。 2. 计算：$$\sqrt{6}\times\sqrt{24}=$$________。 3. 计算：$$\sqrt{54}\div\sqrt{6}=$$________。 4. $$(\sqrt{3}+\sqrt{2})^2=$$________。 5. $$3\sqrt{12}-2\sqrt{3}=$$________。 ### 三、解答题（共60分） 1.（20分）基础四则运算：（1）$$\sqrt{27}\times\sqrt{\frac{1}{3}}+\sqrt{12}\div\sqrt{4}$$ （2）$$\sqrt{50}-\sqrt{18}+\sqrt{8}$$ 2.（20分）乘法公式简便运算：（1）$$(3+\sqrt{5})(3-\sqrt{5})$$ （2）$$(2\sqrt{3}-\sqrt{2})^2$$ 3.（20分）综合混合运算：$$\sqrt{48}\div\sqrt{3}+\sqrt{\frac{1}{2}}\times\sqrt{18}-\sqrt{25}$$ ### 参考答案与解析 选择题答案：1.B 2.A 3.A 4.A 5.C 填空题答案：1.乘除、加减 2.12 3.3 4.$$5+2\sqrt{6}$$ 5.$$4\sqrt{3}$$ 解答题解析 1. 解：（1）原式$$=\sqrt{9}+\sqrt{3}=3+\sqrt{3}$$；（2）原式$$=5\sqrt{2}-3\sqrt{2}+2\sqrt{2}=4\sqrt{2}$$。 2. 解：（1）原式$$=3^2-(\sqrt{5})^2=9-5=4$$；（2）原式$$=(2\sqrt{3})^2-2\times2\sqrt{3}\times\sqrt{2}+(\sqrt{2})^2=12-4\sqrt{6}+2=14-4\sqrt{6}$$。 3. 解：原式$$=\sqrt{16}+\sqrt{9}-5=4+3-5=2$$。先依次完成乘除运算，再化简合并，最后做加减计算。 ### 易错知识总结 1. 严禁非同类根式直接加减合并；2. 混合运算严格遵守运算顺序，不跳步、不错序；3. 运用完全平方公式时不要遗漏中间的交叉项；4. 结果务必化为最简二次根式，保证分母无根式、无开方不尽的因数。 学习思路 学习方法 实数 概念 表示 分类 性质 运算 应用 具体到抽象 特殊到一般 归纳思想 类比思想 数形结合 无理数 学习内容 实数 平方根 立方根 二次根式 一、实数 概念：有理数—有限小数和无限循环小数 无理数—无限不循环小数 常见的无理数的三种形式： (1)开方开不尽的数的方根；如：等； (2)π及化简后含π的数；如：，π+1等； (3)具有特殊结构的数，如：0.303 003 000 3…(相邻两个3之间0的个数逐次加1). 一、实数 相关概念：在实数范围内，相反数、倒数、绝对值的意义与有理数范围内的相反数、倒数、绝对值的意义完全一样. 实数相关概念的性质 相反数：若a与b互为相反数，则a+b=0. 倒数：若a与b互为倒数，则ab=1. 绝对值：任何实数的绝对值都是非负数，即|a|≥0. 互为相反数的两个数的绝对值相等，即|a|=|-a|. 一、实数 性质：实数与数轴上的点一一对应 分类： 按概念分：有理数、无理数 按正负性分：正实数、0、负实数 一、实数 运算法则： 先乘方，再乘除，最后再算加减；同级运算按照从左到右的顺序进行，有括号的先算括号里面的 运算律：交换律、结合律、乘法对加法的分配律 考点1 实数的相关概念及分类 1.下列说法：①数轴上的点与实数成一一对应关系；②两个无理数的和还是无理数；③无限小数都是无理数；④任何实数不是有理数就是无理数；⑤若一个数的绝对值、相反数、算术平方根都是它本身，则这个数是0.其中正确的有(　　) A.1个　　　B.2个　　　C.3个　　　D.4个 返回 C 核心考点 整合 2.定义：不超过实数x的最大整数称为x的整数部分，记作［x］.例如［］＝1，［－］＝－3.按此规定，［1－］＝　　　. 返回 －3 【点拨】因为9＜10＜16，所以3＜＜4.所以－4＜－＜－3.所以－3＜1－＜－2.所以［1－］＝－3. 核心考点 整合 3.将下列各数填在相应的集合里. ，π，3.141 592 6，－0.456，3.030 030 003…(相邻两个3之间依次多1个0)，0，，，，. 有理数集合：{　　　　　　　　　　 . 　　　　　…}； 返回 ，3.141 592 6，－0.456，0，， ， 核心考点 整合 无理数集合：{　　　　　 　　　　. 　　　　　　　 　…}； 正实数集合：{　　　　　　　　 　　　. 　　　 　　　…}； 整数集合：{　　　　　　　　　　　　　　　　　　…}. 返回 π，3.030 030 003…(相邻两个3之间依次多1 个0)，，， ，π，3.141 592 6，3.030 030 003…(相邻两个3之间依次多1个0)，， ，，， 核心考点 整合 考点2 算术平方根、平方根、立方根 4.下列说法正确的是(　　) A.的平方根是±3 B.()2的算术平方根是5 C.(－7)2的平方根是7 D.1的平方根和算术平方根都是1 返回 A 核心考点 整合 5.若｜a－3｜＋(b－2)2＋＝0，则(a－b＋c)2的值是　　　　. 返回 9 核心考点 整合 6.一个正数m的两个不同的平方根分别为2n＋1和3－3n，则m的值为　　　　. 返回 81 核心考点 整合 7.比小且比－大的整数有　 　　. 返回 －1，0，1，2 核心考点 整合 8.比较大小：－2　　＋2.(填“＞”“＜”或“＝”) 返回 ＞ 核心考点 整合 9. 已知9，16和a三个数，使这三个数中的一个数是另外两个数乘积的一个平方根，写出所有符合条件的数a的值：　　　　　　　　. 返回 ±12，， 核心考点 整合 10.已知与互为相反数(其中y≠0)，则＝　　　　. 返回 【点拨】由与互为相反数可得1－3y与4x－1互为相反数，所以4x－1＋1－3y＝0，整理得y＝x.将y＝x代入可得，＝＝. 核心考点 整合 考点3 二次根式的相关概念及性质 11.下列各式，，，，，中，一定是二次根式的有(　　) A.2个　　　　B.3个　　　　C.4个　　　　D.5个 返回 B 核心考点 整合 12.下列各式化成最简二次根式正确的是(　　) A.＝　　　 B.＝ C.＝　　　 D.＝3 返回 C 核心考点 整合 13.已知a＞0，那么可化简为　　　　 . 返回 【点拨】因为a＞0，≥0，所以b＜0，所以＝＝＝－. － 核心考点 整合 14.已知实数a，b，c在数轴上的对应点的位置如图所示，化简｜a｜－＋－＝　　　　. 返回 【点拨】由数轴可知a＜0，a＋c＜0，c－a＜0，b＞0，则｜a｜－＋－＝－a＋a＋c－(c－a)－b＝ a－b. a－b 核心考点 整合 15.下列计算中，正确的是(　　) A.－＝　　 B.3－＝3 C.3×2＝6　　 D.÷＝2 返回 D 考点4 二次根式的运算 核心考点 整合 16.估计×＋×的值在(　　) A.4和5之间 　　 B.5和6之间 C.6和7之间 　　 D.7和8之间 返回 C 核心考点 整合 17.如图是添加了便签的台历示意图，正方形ABFE为日历区，正方形EGHD为备忘录区，长方形GFCH为便签区，已知日历区的面积为270 cm2，备忘录区的面积为80 cm2，则便签区的面积为　　　　　　　cm2. 返回 (60－80) 核心考点 整合 18.计算：(1)－2＋｜1－｜＋(π－2)0＋； 返回 【解】原式＝9＋－1＋1＋2＝9＋3. (2)(2－1)2＋(－3)(＋3)； 【解】原式＝12－4＋1＋2－9＝6－4. 核心考点 整合 (3)(＋)÷＋×－. 返回 【解】原式＝(2＋4)÷＋3－(－1)＝2＋4＋3－＋1＝4＋5. 核心考点 整合 19.已知a＝，b＝. (1)求a＋b的值； 返回 【解】a＝＝＝＋， b＝＝＝－. a＋b＝＋＋－＝2. 核心考点 整合 27 (2)求a2－3ab＋b2的值. 返回 【解】a＝＝＝＋， b＝＝＝－. 因为ab＝(＋)(－)＝3－2＝1， 所以a2－3ab＋b2＝(a＋b)2－5ab＝(2)2－5＝7. 核心考点 整合 思想1 方程思想 20.已知a，b为有理数，且＝＋1，求a＋b的值. 返回 【解】＝＋1，去分母得b－2＝(＋1)(a－3)，即b－2＝5a＋a－3－3， 所以b－5a－a＝－－3，所以b－5a＝－3，－a＝－1，解得a＝1，b＝2，所以a＋b＝1＋2＝3. 思想方法 整合 思想2 分类讨论思想 21. 设x，y为非零数，试求＋的值. 返回 【解】①若x，y同号， 当x＞0，y＞0时，原式＝＋＝＋＝1＋1＝2；当x＜0，y＜0时，原式＝＋＝＋＝－1－1＝－2. 思想方法 整合 返回 ②若x，y异号， 当x＞0，y＜0时，原式＝＋＝＋＝1－1＝0； 当x＜0，y＞0时，原式＝＋＝＋＝－1＋1＝0. 综上所述，原式的值是2或－2或0. 思想方法 整合 22. 已知a＋b＝－8，ab＝12，求b＋a的值. 返回 【解】因为a＋b＝－8＜0，ab＝12＞0， 所以a＜0，b＜0， 所以原式＝－－＝－＝－.当a＋b＝－8，ab＝12时，原式＝－×＝－. 思想3 整体思想 思想方法 整合 23. 请阅读下列材料： 问题：已知x＝＋2，求代数式x2－4x－7的值. 小明的做法：根据x＝＋2得(x－2)2＝5，所以x2－4x＋4＝5，所以x2－4x＝1.把x2－4x的值整体代入，得x2－4x－7＝1－7＝－6.即把已知条件适当变形，再整体代入解决问题. 返回 思想方法 整合 仿照上述方法解决问题： (1)已知x＝－3，求代数式x2＋6x－8的值； 返回 【解】因为x＝－3，所以x＋3＝， 所以(x＋3)2＝10，即x2＋6x＋9＝10， 所以x2＋6x＝1，所以x2＋6x－8＝1－8＝－7. 思想方法 整合 (2)已知x＝，求代数式x3＋2x2的值. 返回 【解】因为x＝，所以2x＝－1，所以2x＋1＝， 所以(2x＋1)2＝5，所以4x2＋4x＋1＝5， 所以4x2＋4x＝4， 所以x2＋x＝1，所以x3＋2x2＝x3＋x2＋x2＝x(x2＋x)＋x2＝x×1＋x2＝x＋x2＝1. 思想方法 整合 $