2.2.4 估算（课件）-2026-2027学年北师大版数学八年级上册

该初中数学课件聚焦实数估算核心知识点，涵盖夹值法原理、平方根与立方根估算规律及大小比较技巧。课堂导入通过长方形荒地面积问题，从判断宽是否为1000米到精确估算，搭建从具体到抽象的学习支架，衔接平方根、立方根知识与实际应用。 其亮点在于以实际情境培养数学眼光，如荒地面积问题引导学生发现数量关系。通过夹值法例题（如梯子靠墙问题）发展数学思维，提升运算能力与推理意识。分层练习与易错总结强化数学语言表达，帮助学生形成知识结构，对学生提升估算与应用能力，对教师提供完整教学资源，便于实施教学。

北师大版数学八年级上册培优精做课件 授课教师： . 班 级： 8年级（ ）班 . 时 间： . 2026年5月29日 2.3.2 估算 第二章 实数 北师大版八年级上册2.3.2 估算 练习题 【核心知识点回顾】 1. 估算原理（夹值法）：对于无理数$$\sqrt{a}$$或$$\sqrt[3]{a}$$，找到相邻两个整数的平方或立方，锁定无理数的取值范围，实现整数估算。 2. 平方根估算规律：若$$n^2<a<(n+1)^2$$，则$$n<\sqrt{a}<n+1$$（$$n$$为非负整数）。 3. 立方根估算规律：若$$n^3<a<(n+1)^3$$，则$$n<\sqrt[3]{a}<n+1$$。 4. 实数大小比较技巧：估算近似值比较、平方/立方后比较、作差法比较；负数估算比较时，绝对值越大，数值越小。 5. 应用场景：估算无理数整数部分、小数部分，解决实际取值、范围判断问题。 ### 一、选择题（每题4分，共20分） 1. 估算$$\sqrt{13}$$的取值范围是（） A. 2～3之间 B. 3～4之间 C. 4～5之间 D. 5～6之间 2. $$\sqrt[3]{50}$$的整数部分是（） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 3. 下列各数中，最接近3的无理数是（） A. $$\sqrt{8}$$ B. $$\sqrt{10}$$ C. 2.9 D. $$\sqrt{3}$$ 4. 比较大小：$$\sqrt{15}$$、4、$$\sqrt[3]{60}$$，最大的数是（） A. $$\sqrt{15}$$ B. 4 C. $$\sqrt[3]{60}$$ D. 无法确定 5. 若$$\sqrt{21}$$的整数部分为$$a$$，则$$a$$的值为（） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 ### 二、填空题（每题4分，共20分） 1. 估算$$\sqrt{7}$$在整数________和________之间。 2. $$\sqrt[3]{100}$$的整数部分是________。 3. 大于$$\sqrt{5}$$且小于$$\sqrt{10}$$的整数是________。 4. 估算比较：$$\sqrt{17}$$________4（填“＞”“＜”或“=”）。 5. 若$$2<\sqrt{x}<3$$，则整数$$x$$的取值为________。 ### 三、解答题（共60分） 1.（20分）用夹值法估算下列无理数的取值范围：（1）$$\sqrt{23}$$ （2）$$\sqrt[3]{35}$$ 2.（20分）比较下列各组数的大小：（1）$$\sqrt{26}$$与5 （2）$$\sqrt[3]{20}$$与3 3.（20分）已知$$\sqrt{29}$$的整数部分为$$a$$，小数部分为$$b$$，求$$a、b$$的值。 ### 参考答案与解析 选择题答案：1.B 2.A 3.B 4.B 5.B 填空题答案：1.2、3 2.4 3.3 4.＞ 5.5、6、7、8 解答题解析 1. 解：（1）因为$$4^2=16，5^2=25$$，$$16<23<25$$，所以$$4<\sqrt{23}<5$$；（2）因为$$3^3=27，4^3=64$$，$$27<35<64$$，所以$$3<\sqrt[3]{35}<4$$。 2. 解：（1）$$5^2=25$$，$$26>25$$，故$$\sqrt{26}>5$$；（2）$$3^3=27$$，$$20<27$$，故$$\sqrt[3]{20}<3$$。 3. 解：由$$5^2=25，6^2=36$$，得$$5<\sqrt{29}<6$$，因此整数部分$$a=5$$，小数部分$$b=\sqrt{29}-5$$。 ### 易错知识总结 1. 估算核心是找邻近平方数、立方数，准确锁定区间；2. 小数部分 = 原无理数 − 整数部分，是高频考点；3. 比较无理数大小，可平方、立方转化为整数比较，避免估算误差；4. 注意区分平方根与立方根的估算范围，公式不能混用。 通过估算一个无理数的大致范围，会比较两个无理数的大小，会利用估算解决一些简单的实际问题，发展运算能力． 通过经历实际问题的解决过程和平方根、立方根的估算过程，发展估算意识和数感． 通过体会数学知识的实用价值，激发学生的学习热情，发展应用意识． 某地开辟了一块长方形的荒地,新建一个以环保为主题的公园。已知这块荒地的长是宽的2倍，它的面积为400000米 1．公园的宽大约是多少？它有1000米吗？ 2．如果要求误差小于10米，它的宽大约是多少？ 3．该公园中心有一个圆形花圃，它的面积是800米²，你能估计它的半径吗？（误差小于1米） 情境导入 一级标题：黑体， 3 (1)公园的宽大约是多少?它有1 000 m吗? (1)设公园的宽为x m，则长为2x m. 根据题意，得2x2=400 000，即x2 =200 000， 因为5002=250 000，所以x≈500. 故公园的宽大约是500 m，没有1 000 m大. 问题 某地开辟了一块长方形的荒地，新建一个环保主题公园.已知这块荒地的长是宽的2倍，它的面积为 400 000 m2. 知识点1 估算无理数的大小 4 问题 某地开辟了一块长方形的荒地，新建一个环保主题公园.已知这块荒地的长是宽的2倍，它的面积为 400 000 m2. 知识点1 估算无理数的大小 (2)如果要求结果精确到10 m，它的宽大约是多少? (2)因为4502=202 500，4452=198 025， 所以445＜x＜450，所以x≈450， 所以结果精确到10 m，它的宽大约是450 m. 5 (3)该公园中心有一个圆形花圃，它的面积是 800m2，你能估计它的半径吗(结果精确到1m)? (3)设圆形花圃的半径为r m. 根据题意，得πr2=800，即r2=， 因为152=225，162=256，所以15＜r＜16，所以r≈16. 估计它的半径是16 m. 知识点1 估算无理数的大小 问题 某地开辟了一块长方形的荒地，新建一个环保主题公园.已知这块荒地的长是宽的2倍，它的面积为 400 000 m2. 6 思考 (1)下列结果正确吗？你是怎样判断的？ ≈ 0.066； ≈96； ≈ 60.4 . ≈ 0.066不正确. 因为 0.36<0.43<0.49， 所以0.62<0.43<0.72， 所以在0.6和0.7 之间，不可能是 0.066 . 知识点1 估算无理数的大小 7 思考 (1)下列结果正确吗？你是怎样判断的？ ≈ 0.066； ≈96； ≈ 60.4 . ≈96不正确. 因为 729<900<1 000， 所以93<900<103， 所以在9和10之间，不可能是96. 知识点1 估算无理数的大小 8 思考 (1)下列结果正确吗？你是怎样判断的？ ≈ 0.066； ≈96； ≈ 60.4 . ≈ 60.4不正确. 因为2 500 <2 536 <2 601， 所以 502<2 536 <512， 所以在 50 和51 之间，不可能是 60.4 . 知识点1 估算无理数的大小 9 (2)你能估算的大小吗(结果精确到1)? 因为 729<900<1 000，所以93<900<103，所以9<<10. 又因为 9.63<900 <9.73，所以9.6<<9.7，所以 ≈10. 知识点1 估算无理数的大小 要估算带根号的无理数大小，常常通过平方或立方等运算，先确定其整数部分，再确定十分位、百分位等小数部分，这种估算的方法称为“夹逼法”. 10 例1 生活经验表明，靠墙摆放梯子时，若梯子底端离墙的距离约 为梯子长度的，则梯子比较稳定.如图，现有一架长度为6 m的梯子，当梯子稳定摆放时，它的顶端能抵达5.6 m高的墙头吗? 知识点1 估算无理数的大小 解：设梯子稳定摆放时它的顶端抵达的高度为x m，此时梯子底端到墙的距离恰为梯子长度的. 根据勾股定理，有x2+(6) 2=62， 即 x2=32，x= . 11 因为5.62=31.36<32，所以>5.6. 因此，梯子稳定摆放时，它的顶端能 抵达5.6 m高的墙头. 知识点1 估算无理数的大小 例1 生活经验表明，靠墙摆放梯子时，若梯子底端离墙的距离约 为梯子长度的，则梯子比较稳定.如图，现有一架长度为6 m的梯子，当梯子稳定摆放时，它的顶端能抵达5.6 m高的墙头吗? 12 跟踪训练的值在( ) A.2和3之间 B.3和4之间 C.4和5之间 D.5和6之间 解析：因为16<24<25，所以<<， 即4<<5. 故的值在4和5之间. C 知识点1 估算无理数的大小 13 除了估算，我们也可以利用计算器进行开方运算. 知识点2 用计算器进行开方运算 尝试·思考 (1)观察你的计算器面板，对于开方运算，可能用到哪些按键? 14 用计算器求下列各式的值： (1) (2)³(结果精确到0.0001) 解：(1)依次按键 ，显示2.426 932 22， 得到 = 2.426 9. 5 . 8 9 知识点2 用计算器进行开方运算 (2)依次按键 ，显示10.871 789 69， 所以³= -10.871 8. - 1 2 8 5 15 (2)任意找一个你认为很大的正数，利用计算器对它进行开平方运算，对所得结果再进行开平方运算，随着开方次数的增加，结果有什么规律吗？ 用另一个小于1的正数试一试，看看是否仍有类似的规律. (2)不管是很大的正数，还是小于1的正数，随着开方次数的增加，所得结果都不断趋近于1. 知识点2 用计算器进行开方运算 16 跟踪训练 利用计算器比较和的大小. 解：按键： ，显示 1.442 249 57. 按键： ，显示1.414 213 562. 所以， >. 知识点2 用计算器进行开方运算 17 知识点1 估算 1.［2025天津］估计1＋的值在(　　) A.1和2之间　　　 B.2和3之间 C.3和4之间　　　 D.4和5之间 返回 C 基础提优题 2. 如图，数轴上的点A，B，C，D分别表示数－1，1，2，3，表示数4－的点M应落在线段(　　) A.AO上　　 B.OB上　　 C.BC上　　 D.CD上 返回 C 基础提优题 3. 、 写出一个比大且比小的整数：　 　. . 返回 2(答案 不唯一)　 基础提优题 知识点2 比较数的大小 4.若记a＝－2，b＝－，c＝－，则a，b，c的大小关系是(　　) A.a＜b＜c　　 B.b＜a＜c C.c＜a＜b　　 D.c＜b＜a 返回 B 基础提优题 5.通过估算，比较下面各组数的大小： (1)和； 返回 【解】因为＞3，所以－2＞3－2，即－2＞1，所以＞. 基础提优题 (2)和. 返回 【解】因为＝，所以要比较和的大小，只需比较和的大小. 因为5－(2＋2)＝3－2，(2)2＝20＞32， 所以3－2＜0，所以＜. 基础提优题 知识点3 用计算器开方 6.利用计算器，比较下列各组数的大小： (1)　　　　； (2)　　　　. 返回 ＜ ＜ 综合应用题 7.用计算器计算.(结果精确到0.01) (1)－＋2π－； 返回 【解】－＋2π－≈0.866－3.142＋6.283－1.414≈2.59. (2)(－)×. 【解】(－)×≈25.205 621 73≈25.21. 基础提优题 8.已知a，b，n均为正整数. (1)若n＜＜n＋1，则n＝　　　　； 返回 【点拨】因为＜＜，所以3＜＜4.因为n＜＜n＋1，n为正整数，所以n＝3. 3 综合应用题 (2)若n－1＜＜n，n＜＜n＋1，则满足条件的a的个数总比b的个数少　　　　个. 返回 【点拨】因为n－1＜＜n，所以(n－1)2＜a＜n2，所以n2－(n－1)2＝n2－n2＋2n－1＝2n－1.因为n＜＜n＋1，所以n2＜b＜(n＋1)2，所以(n＋1)2－n2＝n2＋2n＋1－n2＝2n＋1.因为(2n＋1)－(2n－1)＝2，所以满足条件的a的个数总比b的个数少2个. 2 综合应用题 估算 要估算带根号的无理数大小，常常通过平方或立方等运算，先确定其整数部分，再确定十分位、百分位等小数部分，这种估算的方法称为“夹逼法”. 估算无理数的大小并比较大小 用计算器进行开方运算 无理数的大小 课堂小结 $