2.1.2实数及相关概念（课件）-2026-2027学年北师大版数学八年级上册

该初中数学课件聚焦北师大版八年级上册“实数及相关概念”，系统涵盖实数的分类、相反数、绝对值、倒数、与数轴的关系及运算等核心知识点。通过回顾有理数知识引入无理数，构建从有理数到实数的递进式学习支架，帮助学生衔接新旧知识。 其亮点在于以概念辨析为核心，结合无理数的三种形式实例（如π、特殊结构数、开方不尽的数）和数轴直观演示，培养学生的抽象能力与几何直观（数学眼光）。例题与训练题从基础判断到综合应用，层层递进，提升运算能力与推理意识（数学思维）。课堂小结结构化梳理知识，助力学生用数学语言构建体系，既加深学生理解，也为教师提供系统教学资源。

北师大版数学八年级上册培优精做课件 授课教师： . 班 级： 8年级（ ）班 . 时 间： . 2026年5月29日 2.1.2实数及相关概念 第二章 实数 北师大版八年级上册2.1.2 实数及相关概念 练习题 【核心知识点回顾】 1. 实数完整分类：实数分为有理数和无理数；也可按正负分为正实数、0、负实数，0是唯一不带正负的实数。 2. 实数三大基本概念：①相反数：实数$$a$$的相反数为$$-a$$，互为相反数的两数和为0；②绝对值：正数和0的绝对值是本身，负数的绝对值是其相反数；③倒数：非零实数$$a$$的倒数为$$\frac{1}{a}$$，0没有倒数。 3. 实数与数轴：实数和数轴上的点一一对应，数轴上右边的数始终大于左边的数，可利用数轴比较任意实数大小。 4. 实数的通用性：有理数的所有性质、运算法则、运算规律，在整个实数范围内全部成立。 ### 一、选择题（每题4分，共20分） 1. 下列关于实数的说法正确的是（） A. 整数都是实数 B. 无理数都是整数 C. 实数就是有理数 D. 实数就是无理数 2. 实数$$2-\sqrt{3}$$的相反数是（） A. $$2+\sqrt{3}$$ B. $$\sqrt{3}-2$$ C. $$-2-\sqrt{3}$$ D. $$2-\sqrt{3}$$ 3. 下列实数中，绝对值最大的是（） A. $$-\sqrt{6}$$ B. 2 C. 0 D. $$\sqrt{3}$$ 4. 数轴上与原点距离为$$\sqrt{5}$$的点表示的数是（） A. $$\sqrt{5}$$ B. $$-\sqrt{5}$$ C. $$\pm\sqrt{5}$$ D. 5 5. 已知$$a$$为实数，则下列式子一定正确的是（） A. $$|a|＞0$$ B. $$|a|\geq0$$ C. $$-a＜0$$ D.$$\frac{1}{a}$$有意义 ### 二、填空题（每题4分，共20分） 1. 实数分为正实数、________和________。 2. 实数$$\sqrt{10}-4$$的绝对值是________。 3. 若实数$$a$$的相反数是$$\sqrt{7}$$，则$$a=$$________。 4. 最小的正实数不存在，最小的非负实数是________。 5. 与数轴上的点一一对应的数是________。 ### 三、解答题（共60分） 1.（20分）已知实数$$x=3-\sqrt{6}$$，分别求出$$x$$的相反数、绝对值和倒数。 2.（20分）比较下列各组实数的大小：（1）$$\sqrt{7}$$与2.6；（2）$$-\sqrt{5}$$与$$-\sqrt{6}$$ 3.（20分）将实数$$-\sqrt{8}、0、\sqrt{3}、-2、3$$在数轴上大致表示，并按从小到大的顺序排列。 ### 参考答案与解析 选择题答案：1.A 2.B 3.A 4.C 5.B 填空题答案：1.0、负实数 2.$$4-\sqrt{10}$$ 3.$$-\sqrt{7}$$ 4.0 5.实数 解答题解析 1. 相反数：$$-(3-\sqrt{6})=\sqrt{6}-3$$；因为$$\sqrt{6}\approx2.45＜3$$，$$3-\sqrt{6}＞0$$，绝对值为本身，即$$|3-\sqrt{6}|=3-\sqrt{6}$$；倒数为$$\frac{1}{3-\sqrt{6}}=\frac{3+\sqrt{6}}{3}$$。 2. （1）$$\sqrt{7}\approx2.646$$，故$$\sqrt{7}＞2.6$$；（2）负数比较大小，绝对值大的数更小，$$\sqrt{5}＜\sqrt{6}$$，故$$-\sqrt{5}＞-\sqrt{6}$$。 3. 化简$$-\sqrt{8}\approx-2.828$$，结合数轴大小规律，排序为：$$-\sqrt{8}＜-2＜0＜\sqrt{3}＜3$$。 ### 易错知识总结 1. 0的相反数、绝对值都是本身，0没有倒数；2. 化简无理数绝对值时，需先判断式子正负，再去绝对值符号；3. 负实数比较大小，切勿直接看根号数值，需反向判断；4. 所有实数都能在数轴上表示，数轴是比较实数大小最直观的方法。 了解无理数的概念，会判断一个数是不是无理数. 了解实数的概念，类比有理数，能按要求对实数进行分类. 了解实数范围内相反数、倒数、绝对值的意义，会求实数的相反数和绝对值. 事实上，有理数总可以用有限小数或无限循环小数表示. 反过来，任何有限小数或无限循环小数也都是有理数. 知识点1 无理数 那些不是有理数的数，用小数表示是无限不循环小数， 无限不循环小数不是有理数. 3 无限不循环小数称为无理数. 无理数是不能写成两个整数之比(分数)的数，它和有理数一样，都是现实世界中客观存在的量的反映. 知识点1 无理数 4 上一节课得到的a2=2,b2=5中，a,b都是无理数. 还有我们十分熟悉的圆周率π=3.141 592 65...也是一个无理数. 再如0.585 885 888 588 885…(相邻两个5之间8的个数逐次加1)， 也是无理数. 知识点1 无理数 5 例1 下列各数中，哪些是有理数，哪些是无理数? 3.14，-，0.，0.101 000 100 000 1…(相邻两个1之间0的个数逐次加2). 解：有理数有：3.14，-，0.. 无理数有：0.101 000 100 000 1…(相邻两个1之间0的个数逐次加2). 知识点1 无理数 6 (1)π及化简后含π的数，如，π+1等； (2)具有特殊结构的数，如0.303 003 000 3…(相邻两个3之间0的个数逐次加1 )； (3)开方开不尽的数的方根，如等.（下节课学） 常见的无理数的三种形式 知识点1 无理数 7 跟踪训练 下列各数：3.1415926，，1.212212221...(相邻的两个1之间依次多一个2)，2-π，-2032中，无理数的个数为______. 解析：根据无理数的定义可知1.212 212 221...(相邻的两个1之间2的个数逐次加1) ，2-π是无理数. 2 知识点1 无理数 8 有理数和无理数统称实数，即实数可以分为有理数和无理数. 知识点2 实数 注意：(1)在实数范围内，一个数不是有理数就是无理数. (2)引入无理数后，数的范围由原来的有理数扩充到实数，今后我们研究问题或计算时，若没有特殊说明，则应在实数范围内进行. 9 思考 无理数和有理数一样，也有正负之分. (1)请你把3.14，－，0.，0.101 000 100 000 1…(相邻两个1之间0的个数逐次加2)填入下面相应的集合内. 正数集合 3.14，0.， 0.101 000 100 000 1…(相邻两个1之间0的个数逐次加2) … 负数集合 － … 知识点2 实数 10 (2)还记得有理数的分类方法吗?你能用类似的方法对实数进行分类吗? ①按概念分类： 实数 有理数 无理数 正整数 负整数 0 正无理数 负无理数 整数 分数 正分数 负分数 知识点2 实数 11 (2)按正负性分类： 实数 正实数 负实数 正有理数 正无理数 0 负有理数 负无理数 正整数 正分数 负整数 负分数 知识点2 实数 12 跟踪训练 把下列各数填入相应的集合内. 0，，0.4，-，2，3.010 010 001…(相邻两个1之间0的个数逐次加1)，-|-3|，-，3.14，10. (1)非负有理数集合：{ …}； (2)无理数集合：{ …}； (3)正实数集合：{ …}； (4)负实数集合：{ …}； 0，，0.4，2，3.14，10 -，3.010 010 001…(相邻两个1之间0的个数逐次加1) 知识点2 实数 ，0.4，2，3.010 010 001…(相邻两个1之间0的个数逐次加1)，3.14，10 -，-|-3|，- 13 知识点3 实数的相关概念 在实数范围内，相反数、倒数、绝对值的意义与有理数范围内的相反数、倒数、绝对值的意义完全一样。 表示 性质 相反数 实数a的相反数是-a a，b互为相反数 a+b=0 绝对值 实数a的绝对值是|a| |a|= 倒数 非零实数a的倒数为 a，b互为倒数 ab=1 14 思考 (1)相反数是_____，-π的相反数是_____，0的相反数是_____； (2)||=_____，|-π|=_____，|0|=_____. π 0 π 0 知识点3 实数的相关概念 15 思考 当数从有理数扩充到实数以后，实数之间要如何计算？ 知识点4 实数的运算 实数的运算: 实数和有理数一样，可以进行加、减、乘、除、乘方运算，而且有理数的运算法则与运算律对实数仍然适用。 16 例2 计算:-12024+()-2-(π-3.14)0. 解:(1)原式=-1+4-1=2. 知识点4 实数的运算 17 思考 前面课程讨论的两个正方形，边长分别是a，b，且满足a2=2，b2=5. (1)如图，OA=OB，数轴上点A对应a，b中的哪个数? 因为OA2=OB2=12+12=2=a2， 所以OA=a，所以点A 即为无理数a在数轴上对应的点. 知识点5 实数与数轴上点的关系 18 (2)你能在数轴上找到另一个数对应的点吗? 能.实数b在数轴上对应的点为点C，如图所示. 知识点5 实数与数轴上点的关系 19 以单位长度为直径画一个圆，它的周长等于π.如图， 从原点开始，将这个圆沿数轴向右滚动一周，圆上 的一点由原点O到达点O′，点 O′对应的数π. 知识点5 实数与数轴上点的关系 看一看如何在数轴上表示π？ 20 事实上，每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示；反过来，数轴上的每一个点都表示一个实数. 实数和数轴上的点一 一对应 知识点5 实数与数轴上点的关系 21 1. 下列五个数：，2.101 001 000 1…(相邻两个1之间0的个数依次加1)，－π，－0.5，3.14，其中无理数有 (　　) A.1个　　 B.2个　　 C.3个　　 D.4个 返回 B 知识点1 无理数的概念 基础提优题 2.如图是由16个边长为1的小正方形组成的，连接这些小正方形的若干个顶点，得到5条线段CA，CB，CD，CE，CF，其中长度是无理数的有(　　) A.1条　　 B.2条 C.3条　　 D.4条 返回 C 基础提优题 3. 若m是无理数，且1＜m＜2，则m的值可以 是　　 　　. 返回 (答案不唯一) 基础提优题 知识点2 实数及其分类 4.下列说法： ①实数包括有理数、无理数和0；②无限不循环小数叫作无理数；③正实数和负实数统称为实数；④实数既是有理数又是无理数. 其中正确的有(　　) A.1个　　 B.2个　　 C.3个　　 D.4个 返回 A 基础提优题 5.把下列各数的序号填在相应的集合里： ①7；②－2.6；③－；④｜－2｜；⑤0.6；⑥－；⑦3； ⑧0.303 003 000 3… (相邻两个3之间依次多一个0)；⑨3.14. 整数集合：{　　　…}； 负分数集合：{　　　　…}； 无理数集合：{　　　…}. 返回 ①④ ②⑥⑦ ③⑧ 基础提优题 知识点3 实数的性质 6. 下列比较大小正确的是(　　) A.｜－1.5｜＞1.　　 B.＞0.667 C.π＜3.142　　 D.π＝3.141 592 6 返回 C 基础提优题 7.3－π的绝对值是　　　　，的倒数是　　，π－3.14的相反数是　　　　. 返回 π－3 π 3.14－π 基础提优题 知识点4 实数与数轴上点的关系 8. 实数a在数轴上的对应点的位置如图所示，若实数b满足－a＜b＜a，则b的值可以是(　　) A.2　　 B.－1　　 C.－2　　 D.－3 返回 B 基础提优题 【点拨】方法1：因为－a＜b＜a，所以｜b｜＜a，又因为1＜a＜2，所以b可以是－1. 方法2：因为｜a｜＜2，－a＜b＜a，所以实数b对应的点到原点的距离一定小于2. 返回 基础提优题 9.如果数轴上点A表示的数为－π，点B到点A的距离为4，那么点B表示的数为　 　. 返回 4－π或－4－π 基础提优题 10.已知实数a，b在数轴上的对应点如图所示，化简｜a＋2｜－｜b－3｜－｜a＋b｜＝　　　 　. 返回 2a＋2b－1 【点拨】由数轴可得a＞－2，b＜2，｜a｜＞｜b｜，所以a＋2＞ 0，b－3＜0，a＋b＜0，所以原式＝a＋2－［－(b－3)］－［－(a＋b)］＝a＋2＋b－3＋a＋b＝2a＋2b－1，故答案为2a＋2b－1. 基础提优题 11.［2025南京］实数－a，a，在数轴上对应点的位置如图所示，下列四个点中，表示1的点可能是(　　) A.P 　　 B.Q 　　 C.R 　　 D.S 返回 C 综合应用题 实数 按概念分类：有理数、无理数 无理数：无限不循环小数 有理数和无理数统称实数 分类 概念 按正负性分类：正实数、0、负实数 相反数、倒数、绝对值 相关概念 与有理数一样能进行加、减、乘、除、乘方运算，有理数的运算法则、运算律对实数仍然适用 实数和数轴上的点是一一对应的 运算 性质 课堂小结 Lavf57.83.100 $