19.2.2 平行四边形的对角线的性质 (教学课件) 2025--2026学年沪科版八年级数学下册

该初中数学课件聚焦平行四边形判定定理2（两组对边分别相等）和3（对角线互相平分），通过回顾定义与性质，结合画弧构造、全等三角形分析等探究活动，搭建从性质到判定的学习支架，梳理知识脉络。 其亮点在于以猜想-证明过程培养推理能力，通过动手操作与几何语言表达发展几何直观和模型意识，如例1证明对角线性质、例2用对角线证平行四边形。学生能提升逻辑思维，教师可借助清晰探究思路与多样练习优化教学。

19.2.2 平行四边形对角线 的性质 第十九章 四边形 沪科版 · 新教材 · 八年级下册 理解平行四边形的概念，掌握平行四边形的定义和表示方法。​ 探索并证明平行四边形的性质定理，包括对边相等、对角相等、对角线互相平分，能运用这些性质定理解决简单的几何问题。​ 探究并掌握平行四边形的判定定理，如两组对边分别相等的四边形是平行四边形、一组对边平行且相等的四边形是平行四边形等，能运用判定定理判定一个四边形是否为平行四边形。​ 通过观察、实验、猜想、验证、推理、交流等数学活动，培养学生的合情推理能力和演绎推理能力，提高学生的数学思维水平。​ 让学生在探索平行四边形性质和判定的过程中，体会数学知识之间的内在联系，感受数学与生活的紧密联系，激发学生学习数学的兴趣，培养学生的创新意识和合作精神。​ 二、教学重难点​ （一）教学重点​ 平行四边形的定义、性质和判定定理。​ 运用平行四边形的性质和判定定理进行计算和证明。​ （二）教学难点​ 平行四边形性质和判定定理的证明过程，尤其是添加辅助线的方法和思路。​ 灵活运用平行四边形的性质和判定定理解决综合性问题。​ 三、教学方法​ 讲授法、探究法、讨论法、练习法相结合​ 四、教学过程​ （一）导入新课（5 分钟）​ 展示生活中常见的平行四边形图片，如伸缩门、楼梯扶手、停车位等，引导学生观察这些图形的共同特征。​ 提问：同学们，你们能从这些图片中发现什么共同的几何图形吗？这些图形有什么特点呢？从而引出本节课的主题 —— 平行四边形。​ （二）讲授新课（30 分钟）​ 平行四边形的定义​ 给出平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。​ 介绍平行四边形的表示方法，如图，平行四边形 ABCD 记作 “□ABCD”，读作 “平行四边形 ABCD”。​ 让学生在练习本上画出一个平行四边形，并标注顶点字母，用符号表示出来。​ 平行四边形的性质​ 探究活动 1：让学生用直尺和量角器测量自己画出的平行四边形的边和角，猜想平行四边形的对边、对角有什么数量关系。​ 学生汇报测量结果和猜想，教师进行总结归纳：平行四边形的对边相等，平行四边形的对角相等。​ 证明性质定理：​ 对于 “平行四边形的对边相等”，引导学生连接平行四边形的一条对角线 AC，将平行四边形分成两个三角形△ABC 和△CDA。​ 证明：因为四边形 ABCD 是平行四边形，所以 AB∥CD，AD∥BC。所以∠BAC = ∠DCA，∠DAC = ∠BCA。又因为 AC = CA，所以△ABC≌△CDA（ASA）。所以 AB = CD，AD = BC。​ 对于 “平行四边形的对角相等”，由△ABC≌△CDA 可得∠B = ∠D，再利用平行四边形邻角互补，可推出∠BAD = ∠BCD。​ 总结平行四边形的性质定理 1：平行四边形的对边相等。性质定理 2：平行四边形的对角相等。​ 练习 1：在□ABCD 中，已知 AB = 5，BC = 3，求它的周长。​ 答案：因为平行四边形对边相等，所以周长为 2×(AB + BC)=2×(5 + 3)=16。 学习目标 经历平行四边形判定定理的猜想与证明过程，体会 类比思想及探究图形判定的一般思路. 掌握平行四边形的三个判定定理，能根据不同条件 灵活选取适当的判定定理进行推理论证. 新课导入 平行四边形的定义： 两组对边_________的四边形叫作平行四边形. 性质1 平行四边形的_________. 性质2 平行四边形的_________. 分别平行 对边相等 对角相等 性质3 平行四边形的_______________. 对角线互相平分 探究新知 1、同学们，还记得什么叫做多边形的对角线吗？ 多边形中连接不相邻两个顶点的线段，叫做多边形的对角线. 2、如图， ABCD的两条对角线 AC，BD相交于点 O，图中共有几对全等三角形？有哪些线段相等？你能发现平行四边形的对角线有什么性质吗？ A B D C △AOD≌△COB △ACD≌△CAB △ABD≌△CDB △AOB≌△COD AD=BC AB=CD OA=OC OD=OB 平行四边形的对角线互相平分. O 你能证明这个性质吗 如图，过点A画两条线段AB，AD，以点B为圆心、AD长为半径画弧，再以点D为圆心、AB长为半径画弧，两弧相交于点C，连接BC，DC.这样画出的四边形ABCD的两组对边分别相等，它是平行四边形吗?为什么? A B C D 思考1 如图，在四边形 ABCD 中，AB = CD，AD = BC． 求证：四边形 ABCD 是平行四边形． A B C D 　　证明：连接BD． ∵　AB=CD，AD=BC，BD是公共边， ∴　△ABD≌△CDB． ∴　∠1=∠2，∠3=∠4． ∴　AB∥DC，AD∥BC． ∴　四边形ABCD是平行四边形． D A B C 1 2 3 4 两组对边__________的四边形是平行四边形．　　 平行四边形判定定理 2 分别相等 证明性质 A B D C O 例1 已知：如图，□ ABCD的对角线AC、BD相交于点O. 求证： OA=OC， OB=OD. ∴ OA=OC， 证明： ∵ 四边形ABCD是平行四边形 ∴ AB=CD， ∴ ∠OAB=∠OCD， ∴ △AOB≌△COD AB=CD 在 △AOB 和 △COD 中 ∵ ∠OBA=∠ODC ∠OAB=∠OCD AB∥ CD ∠OBA=∠ODC (ASA） OB=OD 性质3 ： 由此得出平行四边形对角线的性质： 平行四边形的对角线互相平分 ∴ OA＝OC 几何语言 : ∵ 四边形ABCD是平行四边形 如图，在  ABCD中，对角线 AC与 BD 相交于点 O. OB＝OD ＝ AC， 1 2 ＝ BD 1 2 或 AC=2OA=2OC，BD=2OB=2OD (平行四边形的对角线互相平分) 归纳总结 A B D C O 平行四边形的对边平行 平行四边形的对角相等， 且相等. 邻角互补. 平行四边形的 对角线 互相平分 对角线的性质 平行四边形的性质共有哪些？ 边的性质 角的性质 如图，作两条直线l1，l2。交于点O，在直线l1上截取OA=OC，在直线l2上截取OB=OD，连接AB，BC，CD，DA.这样画出的四边形ABCD的对角线互相平分，它是平行四边形吗?为什么? 思考2 A B C D l2 l1 O 如图，在四边形 ABCD 中， AC，BD 相交于点 O，且 OA = OC，OB = OD．求证：四边形 ABCD 是平行四边形． D A B C O 　　证明：∵　OA=OC，OB=OD，∠AOD=∠COB， ∴　△AOD≌△COB． ∴　∠OAD=∠OCB． ∴　AD∥ BC． 同理　AB∥ DC． ∴　四边形ABCD是平行四边形． D A B C O 对角线__________的四边形是平行四边形．　　 平行四边形判定定理 3 互相平分 巩固练习 1、如图，在 ABCD中，对角线 AC 和 BD 相交于点 O，△AOB的周长为 15，AB=6，则对角线 AC、BD 的长度的和是 (　　) A.9 B.18 C.27 D.36 B A B C D O 巩固练习 2、已知：如图， ABCD中，对角线 AC，BD 相交于点 O，AB⊥AC，AB＝3，AD＝5，求 BD 的长. ∵ 四边形 ABCD 是平行四边形 解： ∴ BC ∵ AB⊥AC ∴ △ABC是直角三角形，且 AB=3 ∴ AC＝ 又∵ AO＝ AC =2 ∴ BO＝ ∴ BD＝ 2BO ＝AD ＝5 变式： 如图，在 ABCD 中，对角线 AC，BD 交于点 O，AB⊥AC，AH⊥BD 于点 H，若AB=2，BC= ，则 AH 的长为 . 　　 已知：如图，点 E，F 是□ABCD 的对角线 AC 上两点，且 AE = CF． 求证：四边形 BEDF 是平行四边形． A B C D E F 例 2 A B C D E F 证明 连接 BD 交 AC 于点 O. O ∵四边形 ABCD 是平行四边形，∴AO = CO，BO = DO. ∵ AE = CF. ∴ OE=AO-AE=CO-CF=OF. 所以四边形 BEDF 是平行四边形. 3.如图所示，已知四边形 ABCD 是平行四边形，在 AB 的延长线上截取 BE=AB，BF=BD，连接 CE，DF，相交于点 M。求证：CD=CM。 证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥ DC， AB=DC。 又∵BE=AB， ∴BE∥ DC，BE=DC。 ∴四边形BDCE是平行四边形。 ∵DC∥ BF，∴∠CDF=∠F。 同理，∠BDM=∠DMC。 ∵BD=BF，∴∠BDF=∠F。 ∴∠CDF=∠CMD，∴CD=CM。 4.如图，在 △ABC 中，∠ABC=90°，AB=BC，△ABC 的顶点在相互平行的三条直线 l1，l2，l3 上，且 l1 与 l2 之间的距离为 2，l2 与 l3 之间的距离为 3，求 AC 的长。 A C B l1 l2 l3 解：如图，过A，C两点分别作 AD⊥l3 于点D，CE⊥l3于点E， ∴∠ADB=∠BEC=90°∴∠DAB+∠ABD=90°。 ∵∠ABC=90°，∴∠ABD+∠EBC=90°， ∴∠DAB=∠EBC。 又∵∠ADB=∠BEC=90°，AB=BC， ∴△DBA≌△ECB(AAS)，∴BD=CE=2+3=5。 在Rt△ABD中，∵∠ADB=90°，AD=3， ∴AB2=AD2+DB2=32+52=34。 ∴BC2=AB2=34。 在 Rt△ABC中，∵∠ABC=90°， ∴AC== =2。 A C B l1 l2 l3 D E 巩固练习 3、如图， ABCD 中，对角线 AC、BD 相交于点 O，OE⊥BD 交 AD 于点 E，连接 BE，若 ABCD 的周长为 28，则 △ABE 的周长为（　　） A.28 B.24 C.21 D.14 D 巩固练习 4、如图所示，已知  ABCD 和  EBFD的顶点 A、E、F、C 在一条直线上. 求证：(1) AE=CF；（2）∠ABF=∠CDE. O 巩固练习 5、已知  ABCD 的周长为 60，对角线 AC、BD 相交于点 O .若 △AOB 的周长比 △BOC 的周长长 8，求这个平行四边形各边的长. ∴ AB A B D C O 解： ∵ 四边形ABCD是平行四边形 ∴ OA＝OC ∵ △AOB的周长比△BOC的周长长 8 ∴ (OA+OB+AB) 即 又∵  ABCD的周长为 60 =30 ×60 BC - (OB+OC+BC) =8 AB－BC＝8 ∴ AB＋BC＝ =19， =11 ∴ AB= BC CD =19， =AD =11 6.［知识初练］如图，在四边形 中， 如果， ，那么当 ___，___ 时，四边形 是平行四边形. 7 5 25 7.嘉嘉和琪琪都在结合下面的图形证明四边形 是平行 四边形， 嘉嘉给出的条件是， ； 琪琪给出的条件是 . 则( ) 26 课堂小结 两组对边__________的四边形是平行四边形．　　 平行四边形判定定理 2 分别相等 对角线__________的四边形是平行四边形．　　 平行四边形判定定理 3 互相平分 感谢聆听! $