11.1.2 不等式的性质（分层题型专练，5夯基题型+3进阶题型+拓展培优）2025-2026学年人教版七年级数学下册

**基本信息** 聚焦不等式的性质，通过基础理解、情境应用、综合拓展三层设计，构建从概念辨析到代数推理的知识巩固路径，适配新授课分层教学需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础理解层|不等式基本性质直接应用|以选择、填空题为主，考查性质辨析，培养抽象能力与运算能力| |情境应用层|性质与数轴、天平具象结合|通过数轴表示、天平称重情境题，发展几何直观与模型意识| |综合拓展层|性质的参数求解、大小比较及估算|含作差法比较、参数取值范围等综合题，提升推理意识与创新意识|

第十一章 不等式与不等式组 11.1.2 不等式的性质 （分层题型专练） 题型一 不等式的基本性质 1．已知，下列不等式一定成立的是（     ） A． B． C． D． 2．设x，y是实数，若，则下列式子正确的是（   ） A． B． C． D． 3．已知，则下列变形中不正确的是（   ） A． B． C． D． 4．若，则下列不等式一定成立的是（     ） A． B． C． D． 题型二 不等式的性质与数轴综合 1．a，b两个数在数轴上的位置如图所示，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 2．两个实数在数轴上对应的点如图所示，则下列说法中，正确的是（   ） A． B． C． D． 3．如图，数轴上的点A与点B所表示的数分别为a，b，则下列不等式成立的是（   ） A． B． C． D． 4．实数，在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（   ） A． B． C． D． 5．表示和的点在数轴上的位置如图所示，请确定a的取值范围． 题型三 天平具象化中的不等式性质 1．如图，左、右托盘中黑球的质量分别为，，白球的质量为，图中体现的数学原理可表示为（     ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 2．用不等式的性质说明图中的事实，正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 3．设可分别表示三种不同物体．现用天平称两次，情况如图所示，那么这三种物体按质量从大到小排列应为（   ） A． B． C． D． 4．如图1，图2，对a，b，c三种物体的质量判断正确的是（    ） A． B． C． D． 题型四 利用不等式的性质比较大小 1．若，则x______y（填：、、）． 2．比较大小______． 3．设，用“＜”或“＞”号填空 （1） ________；   （2）________； （3）________ 4．若，则____0． 5．已知，请比较下列各组数的大小，并说明理由． (1)与； (2)与． 6．按要求完成下列各题： (1)根据不等式的基本性质，用不等号填空： 若，则_________； 若，则_________； 若，则_________． (2)已知，试比较与的大小． 题型五 利用不等式的性质解不等式 1．根据不等式的基本性质，把下列不等式化为“”或“”的形式． (1)； (2)； (3)； (4)． 2．利用不等式的基本性质解下列不等式： (1)； (2)． 题型一 利用不等式的性质求参数的值（取值范围） 1．整数a满足，则a的值为（   ） A． B． C． D． 2．已知，则的取值范围正确的是（   ） A． B． C． D． 3．若，则的取值范围是（    ）． A． B． C． D． 4．若，，则a的取值范围是________． 5．已知，则整数m的值为________． 6．若为正整数，且满足，则_____． 题型二 不等式的性质与比较大小的应用 1．根据等式和不等式的基本性质，我们可以得到比较两数大小的方法： (1)若，则a__________b； 若，则a__________b； 若，则a__________b；（填“”、“”或“”） (2)这种比较大小的方法称为“求差法”，请尝试用这种方法比较与的大小． 2．【阅读】根据等式和不等式的基本性质，可以用作差法比较两个实数或代数式的大小： 若，则； 若，则； 若，则． (1)【理解】若，比较代数式和的大小； (2)【运用】若，试比较的大小． 3．代数推理是学习数学的一种重要推理方法，请你阅读以下推理过程并完成所给的题目： 【阅读材料】如果、、、都是正数，且，，那么． 证明：，是正数，第一步 ．（依据：________）第二步 又，是正数，第三步 ________，第四步 ．第五步 (1)上述证明过程中，第二步的依据为________，第四步应填________． (2)如果、、、都是负数，且，，那么与的大小关系如何？请说明你的结论的正确性． 4．【阅读材料】 我们在分析解决某些数学问题时经常要比较两个数或式子的大小，解决问题时一般要进行一定的转化， “求差法”就是常用的方法之一．所谓“求差法”，就是通过求差、变形，并利用差的符号来确定它们的大小，即要比较两个数的大小，只要求出它们的差．若，则；若，则；若，则． 【解决问题】 (1)已知，试比较，的大小； (2)，，若，求，的取值范围． 5．阅读材料，回答下列问题． 材料：根据等式和不等式的基本性质，我们可以得到比较两数大小的方法： 如果，将不等式两边都加上，可得，所以； 如果，将等式两边都加上，可得，所以； 如果，将不等式两边都加上，可得，所以； 反之也成立，这种比较大小的方法称为“作差法”． (1)若，则___________；（填“”、“”或“”） (2)用作差法比较与的大小； (3)在一次劳动课上，老师让同学们用面积分别为的A、B两种卡纸不重叠的进行拼图，甲同学用3张A卡纸和6张B卡纸拼出图案一，乙同学用2张A卡纸和7张B卡纸拼出图案二，图案一和图案二的面积分别记为和，比较和的大小． 题型三 不等式的性质与估算综合 1．阅读材料，完成探究任务： 我们知道，无理数是无限不循环小数，因此其小数部分无法被完整地书写出来．我们可以首先确定一个无理数的整数部分，再将该无理数减去其整数部分，所得差值即为其小数部分．例如：，的整数部分是1，的小数部分是． 【基础应用】 (1)的整数部分是__________，小数部分是__________； 【综合拓展】 (2)求的整数部分； (3)已知的平方根是的立方根是是的整数部分，求的立方根． 2．阅读下列材料，解决问题： 若无理数的被开方数为正整数）满足（其中为正整数），则称无理数的“最近整数区”为；同理规定无理数的“最近整数区”为．例如：因为，所以，所以的“最近整数区”的“最近整数区”为． (1)的“最近整数区”是__________；的“最近整数区”是__________； (2)实数a，b，m满足关系式；，求的算术平方根的“最近整数区”． 1．代数推理：在解一元一次方程时，我们根据等式的基本性质对方程进行变形．在研究不等式时，我们也需要利用不等式的基本性质进行变形． 【阅读理解】已知“，且，试求的取值范围”．有如下解法： 解：． ． ， 即． (1)【启发应用】已知，且． ①用含的式子表示，则______； ②求的取值范围． (2)【思维拓展】已知是整数，，且，，求的值． 2．阅读与思考 下面是某同学的数学学习笔记，请仔细阅读并完成相应任务． 探索141的算术平方根的近似值思考：表示4的算术平方根，其值为2．同样地，表示36的算术平方根，其值为6，则141的算术平方根是多少呢？ 问题解决：141的算术平方根为，可以将其转化为正方形的边长求解． ，． 设，则．，（依据）， ，即．画出如图1所示的示意图，可得图中正方形的面积．，．当时，可忽略，得，得到，即． 任务： (1)材料中的依据是______（填“A”或“B”），材料中的解题过程主要体现的思想是______（填“C”或“D”）． A． 不等式的性质1    B． 不等式的性质2 C． 分类讨论思想    D． 数形结合思想 (2)仿照上述方法，在图2中补全探究近似值的相关数据． (3)的近似值为______．（保留一位小数） 学科网（北京）股份有限公司 $ 第十一章 不等式与不等式组 11.1.2 不等式的性质 （分层题型专练） 题型一 不等式的基本性质 1．已知，下列不等式一定成立的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】通过不等式性质或举反例判断各选项正误． 【详解】解：A、已知，当，，满足，此时，不等式不成立，故A错误； B、已知，不等式两边同时乘正数，不等号方向不变，可得，不等式一定成立，故B正确； C、已知，当，时，满足，此时，不等式不成立，故C错误； D、已知，不等式两边同时乘负数，不等号方向改变，可得，不等式不成立，故D错误． 2．设x，y是实数，若，则下列式子正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A，不等式两边同时减同一个数，不等号方向不变，，本选项式子错误； B，不等式两边同时除以同一个正数，不等号方向不变，，本选项式子错误； C，不等式两边同时乘同一个负数，不等号方向改变，，本选项式子错误； D，不等式两边同时乘同一个负数，不等号方向改变，，不等式两边同时加同一个正数，不等号不变，，本选项式子正确． 3．已知，则下列变形中不正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据不等式的基本性质逐一判断即可得到不正确的变形． 【详解】解：A、若，则，故本选项正确，不符合题意； B、若，则，故本选项正确，不符合题意； C、若，则，故本选项错误，符合题意； D、若，则，故本选项正确，不符合题意； 4．若，则下列不等式一定成立的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据不等式的性质逐项判断即可得到答案． 【详解】解：A选项：∵ ，不等式两边同除以正数，不等号方向不变， ∴ ，A不成立，不符合题意； B选项：∵ ，不等式两边同乘负数，不等号方向改变， ∴ ，B不成立，不符合题意； C选项：∵ ，∴ ， ∵ ，不等式两边同乘正数，不等号方向不变， ∴ ，一定成立，符合题意； D选项：∵ 可得，但无法确定 一定成立， 例如当，时， ， ， 此时 ，不等式不成立，不符合题意． 题型二 不等式的性质与数轴综合 1．a，b两个数在数轴上的位置如图所示，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据数轴上点的位置确定，的正负性，再结合绝对值的性质、不等式的性质逐一判断即可． 【详解】解：由数轴可知，在原点左侧，在原点右侧， ， ，，， 故B，C，D错误， 又， ，故A正确． 2．两个实数在数轴上对应的点如图所示，则下列说法中，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据数轴判断出且，再结合相反数定义、不等式性质逐一分析选项，从而确定正确答案． 【详解】解：根据数轴可得：，且，逐一判断选项： A、只有互为相反数时成立，这里，故此选项错误； B、由数轴可知，故此选项错误； C、不等式两边同时减，不等号方向不变，因为，所以，故此选项错误； D、不等式两边同时除以同一个正数，不等号方向不变，因为，所以，故此选项正确． 3．如图，数轴上的点A与点B所表示的数分别为a，b，则下列不等式成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据不等式的性质对各选项分析判断后利用排除法求解． 【详解】解：由数轴得，， ∴，A项错误； ，B项错误； ，C项正确； ，D项错误． 故选C． 4．实数，在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由数轴可得，即可判断D，则由不等式的性质得到，再根据不等式的性质即可判断A、B，根据有理数的乘法法则即可判断C． 【详解】解：由数轴可得， ∴， ∴，，， 故B正确． 5．表示和的点在数轴上的位置如图所示，请确定a的取值范围． 【答案】 【分析】本题考查了不等式的性质，解决本题的关键是能准确分析数轴上点的位置特征． 由数轴可得，进而求解即可． 【详解】解：由数轴可得， ∴． 题型三 天平具象化中的不等式性质 1．如图，左、右托盘中黑球的质量分别为，，白球的质量为，图中体现的数学原理可表示为（     ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】B 【详解】解：由图可得：若，则． 2．用不等式的性质说明图中的事实，正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】A 【分析】根据不等式的性质，观察给出的图片可得，得到，结合选项即可求解． 【详解】解：观察给出的图片可得，由可得，A选项符合． 3．设可分别表示三种不同物体．现用天平称两次，情况如图所示，那么这三种物体按质量从大到小排列应为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 本题考查了二元一次方程的应用，不等式基本性质的应用，正确理解题意是关键．设为a，为b，为c，根据图形先列出方程，得到，然后列出不等式，得到，再根据不等式的传递性，即可求得三者的大小关系． 【详解】 解：设为a，为b，为c， 则由第一个图可知， ， ， 由第二个图可知， ， ， 这三种物体按质量从大到小排列应为． 故选：C． 4．如图1，图2，对a，b，c三种物体的质量判断正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用等式的性质将和都用表示，进而比较大小即可． 【详解】解：由图1可知，， ， ∴， 由图2可知，， ， ∴， ∴． 题型四 利用不等式的性质比较大小 1．若，则x______y（填：、、）． 【答案】 【详解】解：， ∴不等式两边同时除以，不等号方向改变，得． 2．比较大小______． 【答案】< 【分析】先估算的取值范围，再推出的取值范围，即可比较两个数的大小． 【详解】解：， ， ， ， 3．设，用“＜”或“＞”号填空 （1） ________；   （2）________； （3）________ 【答案】 < < > 【分析】本题考查不等式的基本性质，已知，根据不等式的基本性质逐一判断即可得到结果． 【详解】根据不等式的基本性质1，不等式两边同时减去同一个数，不等号的方向不变， 已知，两边同时减，可得； 根据不等式的基本性质2，不等式两边同时乘同一个正数，不等号的方向不变， 已知，两边同时乘正数，可得； 根据不等式的基本性质3，不等式两边同时乘同一个负数，不等号的方向改变， 已知，两边同时乘负数，可得． 4．若，则____0． 【答案】 【详解】解：∵， ∴， ∴． 5．已知，请比较下列各组数的大小，并说明理由． (1)与； (2)与． 【答案】(1)，理由见解析 (2)，理由见解析 【分析】本题考查了不等式的基本性质，熟练掌握不等式的基本性质是关键． （1）根据不等式的基本性质，将不等式两边同除以3，再同减去2即可； （2）根据不等式的基本性质，将不等式两边同乘以，得到，再两边加上3即可． 【详解】（1）解：； 理由：， ， ； （2）解：． 理由：， ， ． 6．按要求完成下列各题： (1)根据不等式的基本性质，用不等号填空： 若，则_________； 若，则_________； 若，则_________． (2)已知，试比较与的大小． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据不等式的 3 条基本性质判断： ①不等式两边同时加同一个数，不等号方向不变； ②不等式两边同时乘同一个正数，不等号方向不变； ③不等式两边同时乘同一个负数，不等号方向改变； （2）先利用不等式性质3，给两边同乘，不等号反向；再利用不等式性质1，两边同时减1，不等号方向不变，完成大小比较． 【详解】（1）解：若，两边同时加1，则； 若，两边同时乘正数3，则； 若，两边同时乘负数，则． （2）解：， 根据不等式基本性质，两边同时乘，不等号方向改变， ， 两边同时减，不等号方向不变， ． 题型五 利用不等式的性质解不等式 1．根据不等式的基本性质，把下列不等式化为“”或“”的形式． (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了不等式的基本性质，熟练掌握不等式的基本性质是关键． （1）根据不等式的基本性质，在不等式两边同加上3即可； （2）根据不等式的基本性质，在不等式两边同减去即可； （3）根据不等式的基本性质，在不等式两边同乘以5即可； （4）根据不等式的基本性质，在不等式两边同除以，改变不等号的方向，据此求解即可． 【详解】（1）解：不等式两边同加上3，得， ； （2）解：不等式两边同减去，得， ； （3）解：不等式两边同乘以5，得， ； （4）解：不等式两边同除以，得， ． 2．利用不等式的基本性质解下列不等式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了利用不等式的基本性质解下列不等式，利用不等式的基本性质和不等式的基本性质2、3，进行求解即可． 【详解】（1）解：（不等式的基本性质1）， ， （不等式的基本性质2）， 解得． （2）解： （不等式的基本性质1）， ， （不等式的基本性质3）， 解得． 题型一 利用不等式的性质求参数的值（取值范围） 1．整数a满足，则a的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先估算和的整数范围，再根据不等式性质得到和的范围，最后找出区间内的整数即可得到结果. 【详解】解：∵ ，， ∴ ，， 即 ，， 不等式两边同乘，不等号方向改变，可得 ，， ∵ ， ∴ ， 又∵是整数， ∴， 2．已知，则的取值范围正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先估算的取值范围，再利用不等式的性质变形得到的范围. 【详解】解：∵ ， ∴ ，即 ， 不等式两边同除以，得 ， 不等式两边同乘，不等号方向改变，得 ， 即 . 3．若，则的取值范围是（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查无理数的大小估算，不等式的性质，熟记常用的完全平方数是关键． 先估算出的取值范围，再利用不等式的性质求出的取值范围即可． 【详解】解：∵， ∴，即， 不等式两边同时减2，得， ∴． 故选：B． 4．若，，则a的取值范围是________． 【答案】 【分析】根据不等式的基本性质求解即可． 【详解】解：，， 5．已知，则整数m的值为________． 【答案】3 【分析】根据题意估算的大小，利用不等式的性质进一步可以得出答案． 【详解】解：， ， ， ∴，即 m为整数，且， ． 6．若为正整数，且满足，则_____． 【答案】4 【分析】先估算的大小，再利用不等式的性质得到的范围，结合已知不等式即可确定正整数的值． 【详解】解：，，， ， 不等式两边同乘，由不等式的性质得， 不等式两边同减，由不等式的性质得， ，且为正整数， ． 题型二 不等式的性质与比较大小的应用 1．根据等式和不等式的基本性质，我们可以得到比较两数大小的方法： (1)若，则a__________b； 若，则a__________b； 若，则a__________b；（填“”、“”或“”） (2)这种比较大小的方法称为“求差法”，请尝试用这种方法比较与的大小． 【答案】(1)，， (2) 【分析】（1）根据等式和不等式的基本性质逐一判断即可； （2）求出与的差，根据差的正负判断即可． 【详解】（1）解：， ， ； ， ， ； ， ， ． （2）解： ， ， ． 2．【阅读】根据等式和不等式的基本性质，可以用作差法比较两个实数或代数式的大小： 若，则； 若，则； 若，则． (1)【理解】若，比较代数式和的大小； (2)【运用】若，试比较的大小． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用作差法求解即可； （2）利用作差法求解即可． 【详解】（1）解：因为， 所以， 所以； （2）解：， 因为， 则， 所以， 即， 所以． 3．代数推理是学习数学的一种重要推理方法，请你阅读以下推理过程并完成所给的题目： 【阅读材料】如果、、、都是正数，且，，那么． 证明：，是正数，第一步 ．（依据：________）第二步 又，是正数，第三步 ________，第四步 ．第五步 (1)上述证明过程中，第二步的依据为________，第四步应填________． (2)如果、、、都是负数，且，，那么与的大小关系如何？请说明你的结论的正确性． 【答案】(1)不等式两边乘同一个正数，不等号的方向不变； (2) 【分析】（1）根据不等式的性质进行求解； （2）根据不等式的性质进行证明． 【详解】（1）解：第二步的依据为不等式两边乘同一个正数，不等号的方向不变， 第四步应填； （2）解：，理由如下： ，是负数， ， 又，是负数， ， ． 4．【阅读材料】 我们在分析解决某些数学问题时经常要比较两个数或式子的大小，解决问题时一般要进行一定的转化， “求差法”就是常用的方法之一．所谓“求差法”，就是通过求差、变形，并利用差的符号来确定它们的大小，即要比较两个数的大小，只要求出它们的差．若，则；若，则；若，则． 【解决问题】 (1)已知，试比较，的大小； (2)，，若，求，的取值范围． 【答案】(1) (2)的取值范围为任意实数，的取值范围为 【分析】本题考查整式的加减，不等式的基本性质，解题的关键是正确理解“求差法”． （1）求差、变形，结合已知条件确定差的符号，即可完成比较大小； （2）整体代入，进行整式加减运算，解不等式即可． 【详解】（1）解： ∵， ∴， ∴． （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴， 解得，， ∴的取值范围为任意实数，的取值范围为． 5．阅读材料，回答下列问题． 材料：根据等式和不等式的基本性质，我们可以得到比较两数大小的方法： 如果，将不等式两边都加上，可得，所以； 如果，将等式两边都加上，可得，所以； 如果，将不等式两边都加上，可得，所以； 反之也成立，这种比较大小的方法称为“作差法”． (1)若，则___________；（填“”、“”或“”） (2)用作差法比较与的大小； (3)在一次劳动课上，老师让同学们用面积分别为的A、B两种卡纸不重叠的进行拼图，甲同学用3张A卡纸和6张B卡纸拼出图案一，乙同学用2张A卡纸和7张B卡纸拼出图案二，图案一和图案二的面积分别记为和，比较和的大小． 【答案】(1)< (2) (3)见解析 【分析】（1）要比较与的大小，可计算的差，再结合已知条件进行判断． （2）根据作差法的定义，计算的差，再根据绝对值的性质，即得结果． （3）先根据题意分别表示出和，再对和作差，化简差的表达式，根据和的大小关系判断差的正负，进而比较和的大小． 【详解】（1）解：∵，且， ∴， ∴ ． （2）解：将与的作差， 得． ． ∴． （3）解：∵． ∴． 当时，． 当时，． 当时，． 题型三 不等式的性质与估算综合 1．阅读材料，完成探究任务： 我们知道，无理数是无限不循环小数，因此其小数部分无法被完整地书写出来．我们可以首先确定一个无理数的整数部分，再将该无理数减去其整数部分，所得差值即为其小数部分．例如：，的整数部分是1，的小数部分是． 【基础应用】 (1)的整数部分是__________，小数部分是__________； 【综合拓展】 (2)求的整数部分； (3)已知的平方根是的立方根是是的整数部分，求的立方根． 【答案】(1)3， (2)7 (3) 【分析】（1）估算，即可求得答案； （2）先估算，即可得到 ，进而得到结果； （3）先求出的值，再代入，最后利用立方根的定义求解即可． 【详解】（1）解：， ， 的整数部分是，小数部分是； （2）解：， ， ，即， 的整数部分是7； （3）解：的平方根是， ，解得， 的立方根是3， ，解得 ， 是的整数部分， ， ， 的立方根为． 2．阅读下列材料，解决问题： 若无理数的被开方数为正整数）满足（其中为正整数），则称无理数的“最近整数区”为；同理规定无理数的“最近整数区”为．例如：因为，所以，所以的“最近整数区”的“最近整数区”为． (1)的“最近整数区”是__________；的“最近整数区”是__________； (2)实数a，b，m满足关系式；，求的算术平方根的“最近整数区”． 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）根据“最近整数区”的定义求解即可； （2）由题意可得，，得出，进而得出，，两式相加可得，再根据“最近整数区”的定义求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴，， ∴的“最近整数区”是，的“最近整数区”是． （2）解：∵， ∴，， ∴， ∴， ∴，， 两式相加，得，即， ∴m的算术平方根为， ∵， ∴， ∴m的算术平方根的“最近整数区”是． 1．代数推理：在解一元一次方程时，我们根据等式的基本性质对方程进行变形．在研究不等式时，我们也需要利用不等式的基本性质进行变形． 【阅读理解】已知“，且，试求的取值范围”．有如下解法： 解：． ． ， 即． (1)【启发应用】已知，且． ①用含的式子表示，则______； ②求的取值范围． (2)【思维拓展】已知是整数，，且，，求的值． 【答案】(1)①   ② (2)3 【分析】本题围绕“等式与不等式的性质综合运用”展开，先考查等式基本性质是等式变形的依据，如移项、系数化为1等操作，可实现“用一个变量表示另一个变量”，为代入化简代数式做准备 ．再考查不等式基本性质（①不等式两边加/减同一个数，不等号方向不变；②不等式两边乘/除以同一个正数，不等号方向不变；③不等式两边乘/除以同一个负数，不等号方向改变 ）是推导变量取值范围的核心工具，通过对已知不等式变形，逐步缩小变量范围，结合整数等限定条件确定具体值 ． （1）①利用等式的基本性质实现变量代换，用表示，变形得， ②先把代入进行代换，得到；再由已知（即，解此不等式得），确定的范围是；最后由不等式基本性质，给的范围乘3再减8，推出（即 ）的范围：． （2）思维拓展，本题题型本质：先依据等式建立变量联系，再结合两个不等式条件确定的取值范围，利用“是整数”限定具体值，进而求出参数的值，考查等式变形、不等式求解、整数解筛选及代数式求值的综合运用 ． 【详解】解：（1）① ②：， ， ， ， ， ， ， ，即． （2）， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 是整数， 为整数， ． 2．阅读与思考 下面是某同学的数学学习笔记，请仔细阅读并完成相应任务． 探索141的算术平方根的近似值思考：表示4的算术平方根，其值为2．同样地，表示36的算术平方根，其值为6，则141的算术平方根是多少呢？ 问题解决：141的算术平方根为，可以将其转化为正方形的边长求解． ，． 设，则． ，（依据）， ，即．画出如图1所示的示意图， 可得图中正方形的面积． ，． 当时，可忽略，得，得到， 即． 任务： (1)材料中的依据是______（填“A”或“B”），材料中的解题过程主要体现的思想是______（填“C”或“D”）． A． 不等式的性质1    B． 不等式的性质2 C． 分类讨论思想    D． 数形结合思想 (2)仿照上述方法，在图2中补全探究近似值的相关数据． (3)的近似值为______．（保留一位小数） 【答案】(1)A，D (2)图见解析 (3)15.8 【分析】本题考查无理数的估算，算术平方根的实际应用： （1）根据不等式的性质和数形结合的思想，进行判断即可； （2）类比题干给定的方法，估算出，设，补全图形即可； （3）利用题干中的方法，结合（2）中的图形，进行求解即可． 【详解】（1）材料中的依据是不等式的性质1，解题过程体现了数形结合的思想， 故选A，D； （2）∵， ∴， 设， 补全图形如图： （3）由（2）可知：图中正方形的面积． ， ． 当时，可忽略，得，得到， 即． 学科网（北京）股份有限公司 $