2025-2026学年北师大版数学七年级下册期末学情检测试题

**基本信息** 以科技前沿（纳米芯片科学记数法）、文化符号（校徽轴对称）及生活实践（预防近视、往返跑）为情境，原创题占比高，融合抽象能力、几何直观与应用意识的七年级下册期末数学试卷。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|科学记数法、轴对称、事件可能性、运算、三角形高、互余角、俯角、函数图像、尺规作图、图形面积|结合科技（纳米芯片）、文化（校徽）情境，考查抽象能力与几何直观| |填空题|6/18|计算、完全平方、函数图像应用、全等三角形条件、概率、几何结论判断|设置函数图像与几何综合题，体现数据意识与推理能力| |解答题|9/72|尺规作图、计算、化简求值、几何推理、整体思想、函数图像分析、数形结合、将军饮马|以“整体思想”（第22题）、数形结合（第24题）、将军饮马（第25题）为载体，梯度设计能力提升与创新应用|

期末学情细目表 2025-2026学年北师大版数学七年级下册期末学情检测试题命题双向细目表 题号 考查知识点 题型 分值 难度系数 难度层次 1 科学记数法（负指数幂）表示绝对值小于1的数 选择题 3 0.90 基础题 2 轴对称图形的概念与识别 选择题 3 0.90 基础题 3 随机事件发生的可能性大小判断 选择题 3 0.85 基础题 4 整式的乘除运算（幂的乘方、负指数幂、同底数幂除法、单项式乘法） 选择题 3 0.80 基础题 5 三角形的高的定义与作图规范 选择题 3 0.80 基础题 6 直角三角形的性质、余角的概念与识别 选择题 3 0.75 基础题 7 平行线的性质、角度的和差计算、俯角的概念 选择题 3 0.70 中等题 8 行程问题的函数图象分析、变量之间的关系 选择题 3 0.65 中等题 9 全等三角形的判定定理（SAS）、尺规作图的理解 选择题 3 0.70 中等题 10 正方形的面积计算、完全平方公式的综合应用 选择题 3 0.60 中等题 11 单项式除以单项式的整式除法运算 填空题 3 0.90 基础题 12 完全平方式的概念、参数值的求解 填空题 3 0.80 基础题 13 一次函数的图象与行程问题、路程的计算 填空题 3 0.75 基础题 14 全等三角形的判定条件补充 填空题 3 0.80 基础题 15 几何概率的计算、概率的基本定义 填空题 3 0.75 基础题 16 等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质、角平分线的性质、三角形面积计算 填空题 3 0.60 中等题 17 尺规作图（作已知直线的平行线）、平行线的判定 解答题 4 0.90 基础题 18 整式的乘除混合运算、乘法公式的简便计算 解答题 12 0.80 基础题 19 整式的化简求值、完全平方公式与平方差公式的应用 解答题 5 0.80 基础题 20 平行线的判定与性质、角平分线的定义、垂直的定义 解答题 6 0.75 基础题 21 等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质、线段的位置关系与长度计算 解答题 6 0.70 中等题 22 整体思想的应用、代数式的化简求值、数轴上的动点问题、两点间距离的表示 解答题 9 0.65 中等题 23 一次函数的图象与行程问题、速度计算、时间与路程的关系分析 解答题 9 0.70 中等题 24 乘法公式的几何背景、完全平方公式的变形与应用、正方形的面积综合计算 解答题 10 0.60 中等题 25 三角形的综合应用、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、动点问题分析 解答题 11 0.55 难题 合计 120 0.73 基础题小计：60（50.0%） 中等题小计：42（35.0%） 拓展题小计：18（15.0%） 整体难度系数：0.73 测评时间：90分钟 $ 绝密★启用前 2025-2026学年七年级下册期末数学试卷 注意事项: 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。 3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。 第I卷（选择题） 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。每小题给出的选项中，只有一项符合题目要求。 1.（原创）2026年，豆包推出的纳米级语音处理芯片，其核心运算单元的直径仅为0.0000002毫米，这个数据0.0000002用科学记数法表示为(    ) A. B. C. D. 2.（原创）“物无妄然，必由其理；对称平衡，和之至也”对称美，是古人对平衡与秩序的追求，也是数学图形中极具美感的特征。如图依次为北京大学、中国人民大学、浙江大学、山东大学的校徽，其中是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3.（原创）下列短语所反映的事件中，发生可能性最小的是（ ） A.AI每日生成百万级文案 B.自动驾驶全程无接管 C.AI 通过全球数学奥赛满分 D. 家用机器人自主研发核心算法 4.（原创）下列运算正确的是(    ) A. B. C. D. 5.（原创）如图，根据三角形高的定义，借助直角三角板作△ABC边BC上的高，下列摆放正确的是（ ） 6.如图，中，，，为边上的中点，，连接，已知，则图中与互余的角共有(    ) A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 7.请阅读以下“预防近视”知识卡 读书、写字、看书姿势要端正一般人正常的阅读角度约为俯角如图视线与水平线的夹角在学习和工作中，要保持读写姿势端正，可概括为“三个一”，包括：眼与书本的距离尺；身体与桌子距离拳；握笔时，手指离笔尖寸书本与课桌的角度要保持在至． 已知如图，桌面和水平面平行，与书本所在平面重合，根据卡片内容，请判断正常情况下，坐姿正确且座椅高度适合时，视线和书本所在平面所成角度可能为以下哪个角度(    ) A. B. C. D. 8.周末，父子二人在一段笔直的跑道上限时秒练习往返跑，跑道两端分别为、，跑道全长米，父亲从端出发，速度米秒；儿子从端出发，速度米秒两人同时出发，往返跑，不计转向时间图中，纵坐标表示两人之间的距离米，横坐标表示时间秒下列四个图象中，能正确表示随变化趋势的是(    ) A. B. C. D. 9.综合实践课上，嘉嘉画出了，利用尺规作图画出了；使≌图图是其作图过程． 以点为圆心，以适当长为半径画弧，交于点，交于点． 以点为圆心，以长为半径画弧，与中的弧交于点，作射线． 以点为圆心，分别以，长为半径画弧，与边交于点，与射线交于点，连接． 在嘉嘉的作法中，可直接判定≌的依据是(    ) A. B. C. D. 10.如图，两个边长分别为和的正方形按图放置，其重叠部分阴影面积为；若在大正方形的左下角和右下角各摆放一个边长为的小正方形如图，两个小正方形重叠部分阴影面积为若，，则的值为(    ) A. B. C. D. 第II卷（非选择题） 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 11.计算的结果为        ． 12.若关于的二次三项式是完全平方式，则的值为         ． 13.甲、乙两人从各自家中出发前往学校，乙从家到学校的路程比甲从家到学校的路程多米如图，，分别表示甲、乙两人行走的路程米和甲出发时间分钟的函数图象甲、乙两人同时到达学校，则甲从家到学校的路程为        米 14.如图：点、、、在同一直线上，，，请添加一个条件        ，使得≌填一个即可． 15.如图，在的正方形网格飞镖游戏板中，每块小正方形除颜色以外都相同假设飞镖击中每一块小正方形都是等可能的，任意投掷飞镖一次击中边界或没有击中游戏板，则重投一次，飞镖击中阴影部分的概率是        ． 16.如图，在中，，，平分交于点，延长到点，使，连接交的延长线于点给出下面四个结论：；；；的面积是的面积的倍；其中正确的结论有          填写序号． 三、解答题：本题共9小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17.本小题分 如图，在中，是边上的点尺规作图：过点作，与边交于点保留作图痕迹 18.本小题分 计算： ； ； ； 利用乘法公式简算． 19.本小题分 先化简再求值：，其中，． 20.本小题分 请将下面的解答过程补充完整． 在中，已知，垂足为，是的角平分线，，试判断与的位置关系，并说明理由． 解：与的位置关系为：______ ，理由如下： 已知， 垂直的定义， 是的角平分线已知， ______ ， ， ， ______ 同位角相等，两直线平行， ______ ______ ， ______ ． 21.本小题分 如图，在中，，，，． 判断线段与的位置关系，并说明理由； 若，求的长． 22.本小题分 在学习数学的过程中，我们经常要探索一个问题的多种解法，这样不仅有利于拓宽解题思路、培养发散思维、构建知识体系、增强分析能力、对比多种解法优化解题方案，还是提高数学核心素养和培养数学兴趣的重要途径． 【问题提出】：代数式的化简问题，对于代数式，除了“先去括号，再合并同类项”这一种方法进行化简外，还有其他解法吗？ 【问题解决】：若把看成一个整体，则： ， 这就是数学解题中的“整体思想”． 【迁移应用】：请运用上面的“整体思想”解决下列问题： 化简：； 已知，，求的值； 已知，，在数轴上，点表示的数是，点表示的数是，一动点从点出发，以每秒个单位的速度在数轴上向左运动；年同时，另一动点从点出发，以每秒个单位的速度在数轴上向右运动设运动的时间为秒，请直接写出，两点之间的距离用含的代数式表示． 23.本小题分 甲乙两地相距千米，一辆货车和一辆轿车先后从甲地出发向乙地，轿车比货车晚出发小时如图，线段表示货车离甲地的距离千米与时间小时之间的关系：折线表示轿车离甲地的距离千米与时间时之间的关系，请根据图象解答下列问题： 点所对应的数为______． 货车的速度为______千米小时；轿车在段的速度为______千米小时；轿车在段的速度为______千米小时． 求轿车到达乙地时，货车与甲地的距离． 货车和轿车谁先到达乙地？提前几小时到达？ 24.本小题分 “数形结合”是数学中的一种重要的数学思思方法我国著名数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休”由此可见数学学习和研究中数与形互相配合的重要性． 如图，是我们学过的一个乘法公式的图形表达，请根据图写出此乘法公式：______． 如图，是由个全等的长方形拼出来的大、小正方形，请你根据图所示，写出、、之间的等量关系：______． 根据中的结论进行计算，已知：，，求的值． 如图，正方形与正方形的重合部分长方形的面积是，，，四边形和四边形都是正方形，求正方形的面积． 25.本小题1分 问题解决策略 【提出问题】唐朝诗人李颀的诗古从军行开头两句“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”中隐含着一个有趣的数学问题将军饮马如图，将军从山脚下的点出发，到达河岸饮马后再回到点宿营，他时常想，怎么走才能使每天走的路程之和最短呢？ 【分析问题】 小亮：作关于直线的对称点，连接与直线交于点，点就是饮马的地方，此时所走的路程之和就是最短的如图． 小慧：你能详细解释为什么吗？ 小亮：如图，在直线上另取任意一点，连接，，，我只要说明即可因为直线是点，的对称轴，点，在上，所以______，______，所以______． 在中，因为，所以______，即最小． 请完善小亮的说明过程． 本问题实际上是利用转化的思想，把在直线同侧的，转化在直线的两侧，从而利用“______”及“三角形两边之和大于第三边”加以解决在连接，两点的线中，线段最短． 【解决问题】 如图，牧马人从地出发，先到草地边某一处牧马，再到河边饮马，然后回到处，请画出最短路径． 【拓展应用】 如图，在中，，，，若、分别是和上的动点，则的最小值是______． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 参考答案 一、选择题： 1.【答案】B  【解析】解：． 故选：． 科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数． 此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值． 2.【答案】A  【解析】解：A.是轴对称图形，故此选项正确，符合题意； B.不是轴对称图形，故此选项错误，不符合题意； C.不是轴对称图形，故此选项错误，不符合题意； D.不是轴对称图形，故此选项错误，不符合题意； 故选：． 根据轴对称图形进行判断即可． 本题主要考查轴对称图形，熟练掌握轴对称图形的识别是解题的关键． 3.【答案】C 【解析】解：A. AI 每日生成百万级文案：当前大模型已实现，可能性极大。 B. 自动驾驶全程无接管：部分场景（高速 / 封闭园区）已接近，可能性较大。 C. AI 通过全球数学奥赛满分：奥数需要创造性推理、复杂构造、极强逻辑与灵感，当前 AI（含数学专用模型）仍难稳定攻克高难度竞赛题，可能性最小。 D. 家用机器人自主研发核心算法：AI 具备代码生成与迭代能力，中等可能性。故选：． 根据事件发生的可能性大小判断相应事件的类型即可得出答案． 本题考查了可能性大小的判断，解决这类题目要注意具体情况具体对待．一般地必然事件的可能性大小为，不可能事件发生的可能性大小为，随机事件发生的可能性大小在至之间． 4.【答案】D  【解析】解：根据幂的乘方与积的乘方、负整数指数幂、同底数幂的乘除法，分别求出每一式子的值，再判断即可． 本题考查了幂的乘方与积的乘方、负整数指数幂、同底数幂的乘除法，熟练掌握这些运算法则是解题的关键． 5.【答案】A  【解析】解：由各选项图形可知，选项所作为的边上的高， 故A选项正确，符合题意． 故选：． 结合三角形高的定义可得答案． 本题考查作图基本作图、三角形的高，熟练掌握三角形高的定义是解答本题的关键． 6.【答案】C  【解析】解：中，，， ， 为边上的中点，， ， ，， ， ，， 综上所述：，，，与互余，即共个． 故选：． 根据直角三角形两锐角互余和等腰三角形的性质，可求，，，均为，即与互余． 本题考查的是直角三角形斜边上的中线，余角和补角，等腰三角形，熟知在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键． 7.【答案】B  【解析】解：如图，过作， 由题意得：，，， 所以，， 所以两直线平行，内错角相等， 所以， 所以， 综上所述，只有选项B正确，符合题意， 故选：． 本题考查了平行线的判定与性质，理解题意，能熟练利用平行线的性质求解是解题的关键． 8.【答案】A  【解析】解：由题知， 因为， 所以两人出发后的第相遇， 即时，随的增大而减小，且函数图象经过点． 因为，， 所以两人出发后的第，爸爸到达地且儿子正好到，两地的中点处， 即时，随的增大而增大，且函数图象经过点， 因为，， 所以两人出发后的第，两人在地再次相遇， 即时，随的增大而减小，且函数图象经过点， 因为，， 所以两人出发后的第，爸爸到达地且儿子正好到，两地的中点处， 所以时，随的增大而增大，且函数图象经过点， 显然只有选项符合题意． 故选：． 本题主要考查了函数的图象，能根据题意对两人的情况进行正确的分析是解题的关键． 9.【答案】B  【解析】解：由作图可得， 在和中 ， 所以≌， 所以在嘉嘉的作法中，可直接判定≌的依据是． 故选：． 作一个角等于已知角，根据题意得到，，，进而证明出≌即可． 本题考查了作图复杂作图，全等三角形的判定，解题的关键是掌握相关知识． 10.【答案】B  【解析】解：， ， ， ，， 上式． 故选：． 根据题意，结合图形，表示出和，得到，结合已知条件，得到结果． 本题考查了整式的加减运算的应用，正确理解题意是解题的关键． 二、填空题： 11.【答案】  【解析】解：原式 故答案为： 根据单项式除以单项式的计算法则进行求解即可． 本题考查了整式的除法，熟练掌握运算法则是关键． 12.【答案】或．  【解析】解：二次三项式是完全平方式， ， ，即或 或， 故答案为：或． 先根据两平方项确定出这两个数，再根据完全平方公式的乘积二倍项即可确定的值． 此题考查了完全平方式，关键是完全平方公式的熟练掌握． 13.【答案】．  【解析】解：由题意，设甲家到学校的路程为米， 乙家到学校的路程为米， 甲的速度为米分，乙的速度为米分， 又结合图象可得，当时，两人离家的路程相同， ． ． 故答案为：． 依据题意，设甲家到学校的路程为米，则乙家到学校的路程为米，可得甲的速度为米分，乙的速度为米分，结合图象可得，当时，两人离家的路程相同，故，进而计算可以得解． 本题主要考查了一次函数的应用，解题时要熟练掌握并能灵活运用一次函数的性质是关键． 14.【答案】答案不唯一、  【解析】解：点、、、在同一直线上，， ， ； 又， 根据平行线的性质，得， 此时已经具备一边一角对应相等，根据三角形全等判定定理，添加条件即可： 添加，可由判定全等； 添加，可由判定全等； 添加，可由判定全等，以上均正确， 综上所述，答案不唯一，，、 都正确， 故答案为：答案不唯一 、 ． 根据全等三角形的判定方法即可解决问题． 本题考查了全等三角形的判定，关键是全等三角形判定定理的熟练掌握． 15.【答案】．  【解析】解：共有个小正方形，其中黑色正方形的有个， 飞镖击中阴影部分的概率为． 故答案为：． 用黑色小正方形的个数除以小正方形的总个数可得． 本题考查几何概率：如果一个事件有种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件出现种可能，那么事件的概率． 16.【答案】  【解析】解：因为， 所以， 在和中， ， 所以≌， 所以，，故正确，符合题意； 因为，， 所以， 所以， 因为平分， 所以， 在和中， ， 所以≌， 所以，， 所以，故正确，符合题意； 因为，，， 所以；故正确，符合题意； 根据三角形面积公式得，只有时，的面积是的面积的倍，故错误，不符合题意． 故答案为：． 根据全等三角形的判定与性质、三角形面积公式判断求解即可． 本题考查了全等三角形的判定与性质，熟记全等三角形的判定定理与性质定理是解题的关键． 三、解答题： 17.【答案】作图见解答过程．  【解析】解：以为顶点，为一边，作，如图： 即为所求． 以为顶点，为一边，作，即为所求． 本题考查作图复杂作图，解题的关键是掌握作一个角等于已知角的尺规作图方法． 18.【解析】解：原式 ； 原式 ； ； ； 本题考查了整式的混合运算，熟练掌握运算法则是关键． 19.【答案】解： ， 当，时， 原式．  【解析】先根据整式的运算法则把所给多项式化简，再把，代入计算． 本题考查了整式的混合运算，熟练掌握运算顺序及乘法公式是解答本题的关键． 20.【答案】垂直；；；；两直线平行，同位角相等；．  【解析】与的位置关系为：垂直，理由如下：  已知，  垂直的定义，  是的角平分线已知，  ，  ，  ，  同位角相等，两直线平行，  两直线平行，同位角相等，    故答案为：垂直；；；；两直线平行，同位角相等；． 根据平行线的判定与性质完成证明过程即可． 本题主要考查了平行线的判定与性质，熟知平行线的判定与性质是解题的关键． 21.【答案】， ， ， 又， ， ，即    【解析】解：，理由为： ， ， 又， ， ，即； ，， ， ， ， 在和中， ， ≌， ． 本题考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，掌握全等三角形的判定定理是解题的关键． 22.【解析】解： ； ，， 原式 ； ，， ， ， 点表示的数是，点表示的数是， 如图： 点从点出发，以每秒个单位的速度在数轴上向左运动．点从点出发，以每秒个单位的速度在数轴上向右运动， 点表示的数是，点表示的数是， ． 本题主要考查了合并同类项，代数式求值、数轴上动点问题，利用整体代入的思想求解是解题的关键． 23.【答案】解：． ；；． 轿车到达乙地用时：小时， 此时货车行驶时间：小时， 则：千米， 答：轿车到达乙地时，货车与甲地的距离为千米． 货车到达乙地的时刻为时， 轿车到达乙地的时刻为时， 小时， 答：轿车先到达乙地，提前小时到达．  【解析】因为轿车比货车晚出发小时， 所以点所对应的数为． 故答案为：． 货车的速度为千米小时， 轿车在段的速度为千米小时， 轿车在段的速度千米小时． 故答案为：；；． 见答案． 见答案． 本题主要考查函数的图象，找到等量关系是解题的关键． 24.【答案】；   ；   ；   ．  【解析】解：图中大正方形的边长为，因此面积为，组成大正方形的四个部分的面积和为， 故答案为：； 图中大正方形的边长为，因此面积为，中间小正方形的边长为，因此面积为，四个长为，宽为的长方形面积为， 所以有， 故答案为：； 由得，， ，， ， ，， ； 设长方形的长，宽，则，即， 由于长方形的面积是，即， 四边形和四边形都是正方形， 正方形的边长为， 正方形的面积 ． 本题考查完全平方公式的几何背景，掌握完全平方公式的结构特征是正确解答的关键． 25.【答案】解：，，，； 两点之间线段最短； 如图，即为最短路径； ．  【解析】解：因为直线是点，的对称轴，点，在直线上， 所以，， 所以，， 在中，因为， 所以， 故答案为：，，，； 本问题实际上是利用转化的思想，把在直线同侧的，转化在直线的两侧，从而利用“两点之间线段最短”及“三角形两边之和大于第三边”加以解决在连接，两点的线中，线段最短． 故答案为：两点之间线段最短； 见答案； 如图，连接， 在中，，，，， 所以， 所以， 所以， 所以当，，共线时，的值最小， 所以当时，的值最小， 令，则， 因为， 所以， 即， 解得， 所以， 所以的最小值为， 故答案为：． 本题考查了轴对称最短路径问题，掌握轴对称变换和两点之间线段最短是解题的关键． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $