精品解析：山东青岛市即墨区2023-2024学年七年级下学期7月期末数学试题

2023-2024学年度第二学期期末诊断性测试 七年级数学试题 （考试时间：120分钟 满分：120分） 友情提示：亲爱的同学，欢迎你参加本次考试，祝你答题成功！ 本试题共25道题，第1-10题为选择题，共30分；第11-16题为填空题，共18分；第17题为作图题，共4分；第18-25题为解答题，共68分．要求所有题目均在答题卡上作答，在本卷上作答无效． 第Ⅰ卷（共30分） 一、选择题（本题满分30分，共有10道小题，每小题3分）下列每小题都给出标号为A，B，C，D的四个结论，其中只有一个是正确的，每小题选对得分；不选、选错或选出的标号超过一个的不得分． 1. 在每一个学子心中或许都梦想过自己心目中大学的模样，很多大学的校徽设计也会融入数学元素，下列大学的校徽图案是轴对称图形的是（　　） A. B. C. D. 2. “白日不到处，青春恰自来．苔花如米小，也学牡丹开．”这是清朝袁枚所写五言绝句《苔》，这首咏物诗启示我们身处逆境也要努力绽放自己，要和苔花一样尽自己所能实现人生价值．苔花也被称为“坚韧之花”，袁枚所写的“苔花”很可能是苔类孢子体的孢蒴，某孢子体的孢蒴直径约为，将数据用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 任意掷一枚骰子，下列情况出现的可能性比较大的是( ) A. 面朝上的点数是6 B. 面朝上的点数是偶数 C. 面朝上的点数大于2 D. 面朝上的点数小于2 4. 如图，在中，是角平分线，，垂足为D，点D在点E的左侧，，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在大烧杯中放了一个小烧杯，现向小烧杯中匀速注水，小烧杯满了后继续匀速注水，则大烧杯的液面高度h（cm）与注水时间t（s）的大致图象是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，，，请问添加下面哪个条件不能判断的是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在△MPN中，H是高MQ和NR的交点，且PM＝HN，已知MH＝3，PQ＝2，则PN的长为（　　） A. 5 B. 7 C. 8 D. 11 8. 如图，在中，M，N分别是边上的点，将沿折叠；使点B落在点处，若，，则的度数为（　　） A. B. C. D. 9. 如图，直线，将含角的直角三角板按图中位置摆放，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在长方形中，厘米，厘米，动点从点出发，沿路线运动，到点停止；点出发时的速度为厘米/秒，秒时点的速度变为厘米/秒，秒后点以厘米/秒速度匀速运动．如图是点P出发秒后，的面积（平方厘米）与时间（秒）之间的关系图象．有以下结论：①，；②；③点从点运动到点用时秒；④当的值为时，点运动的路程为厘米．其中正确结论的个数是（ ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 第Ⅱ卷（共90分） 二、填空题（本题满分18分，共有6道小题，每小题3分） 11. 已知长方形的面积为，长为，则该长方形的宽为_____ 12. 如果是一个完全平方式，那么的值是______； 13. 如图所示的七巧板起源于我国先秦时期，由古算书《周髀算经》中关于正方形的分割术，经过历代演变而成，世纪传到国外，被称为“唐图”（意为“来自中国的拼图”）．图是由边长为的正方形分割制作的七巧板拼摆而成的和平鸽，则图中阴影部分的面积为______． 14. 如图，射线是的角平分线，D是射线上一点，于点P，，若点Q是射线上一点，，则的面积是___________ 15. 如图，在中，，，的面积为20，的垂直平分线分别交于E点，F点．若点D为边的中点，点M为线段上一动点，则的最小值为________． 16. 如图，和均是等边三角形，三点共线，与相交于点，与分别与，交于点．则下列结论：①；②；③；④；⑤．其中正确的结论有______．（填写序号） 三、作图题（本题满分4分） 17. 如图，两条公路，交于点O，村庄M，N的位置如图所示，M在公路上，现要修建一个快递站P，使快递站到两条公路的距离相等，且到两村庄的距离也相等（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）． 四、解答题（本题满分68分） 18. 解下列各题： （1）； （2）简便运算：； （3）； （4）； 19. 先化简，再求值：，其中． 20. 某商场为了吸引顾客，设立了一个翻奖牌（表1中的奖牌对应的奖品一种排法如表2，其中钱数为购物券），并规定：顾客购买不少于200元的商品，就能获得一次翻牌的机会．甲顾客购物220元． 表1： 1 2 3 4 5 6 7 8 9 表2： 20元 50元 谢谢参与 100元 20元 50元 20元 20元 20元 （1）甲顾客得到100元购物券的概率是多少？她获得购物券的概率是多少？ （2）请你根据本题题意写出一个事件，使这个事件发生的概率为． 21. 如图，在中，为的中点，过点作，交于点．是上一点，连接，且．求证：． 证明：∵为的中点（已知）， ∴． ∵（已知）， ∴（______）． 又（已知）， ∴ _____（______）， ∴______． 在与中，，，______， ∴（______）， ∴． 22. 在某次大型的活动中，用无人机进行航拍，在操控无人机时根据现场状况调节高度，已知无人机在上升和下降过程中速度相同．设无人机的飞行高度（米）与操控无人机的时间（分钟）之间的关系如图中的实线所示，根据图象回答下列问题： （1）无人机在米高的上空停留的时间是______分钟； （2）在上升或下降过程中，无人机的速度为______米/分钟； （3）图中表示的数是______；表示的数是______； （4）求第分钟时无人机的飞行高度是多少米？ 23. 如图，在和中，，点E是的中点，于点F，且． （1）求证：； （2）若，求的长． 24. 如图，已知中，，，点为的中点．若两点分别从两点同时出发，点在线段上以的速度由点向点运动．同时，点在线段上以的速度由点向点运动，设运动时间为，回答下列问题： （1）当为何值时，在的垂直平分线上； （2）当为何值时，； （3）经过______秒后，是以为顶角顶点的等腰三角形． 25. （1）【问题解决】如图1，已知，，，求的度数； （2）【问题迁移】如图2，若，点P在的上方，则，，之间有何数量关系？并说明理由； （3）【联想拓展】如图3，在（2）的条件下，已知，的平分线和的平分线交于点G，求的度数（结果用含的式子表示）． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2023-2024学年度第二学期期末诊断性测试 七年级数学试题 （考试时间：120分钟 满分：120分） 友情提示：亲爱的同学，欢迎你参加本次考试，祝你答题成功！ 本试题共25道题，第1-10题为选择题，共30分；第11-16题为填空题，共18分；第17题为作图题，共4分；第18-25题为解答题，共68分．要求所有题目均在答题卡上作答，在本卷上作答无效． 第Ⅰ卷（共30分） 一、选择题（本题满分30分，共有10道小题，每小题3分）下列每小题都给出标号为A，B，C，D的四个结论，其中只有一个是正确的，每小题选对得分；不选、选错或选出的标号超过一个的不得分． 1. 在每一个学子心中或许都梦想过自己心目中大学的模样，很多大学的校徽设计也会融入数学元素，下列大学的校徽图案是轴对称图形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形的判断，根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可． 【详解】解：根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可． A，B，D选项中的图形都不能找到这样的一条直线，直线两旁的部分能够互相重合； C选项中的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，所以是轴对称图形． 故选：C． 2. “白日不到处，青春恰自来．苔花如米小，也学牡丹开．”这是清朝袁枚所写五言绝句《苔》，这首咏物诗启示我们身处逆境也要努力绽放自己，要和苔花一样尽自己所能实现人生价值．苔花也被称为“坚韧之花”，袁枚所写的“苔花”很可能是苔类孢子体的孢蒴，某孢子体的孢蒴直径约为，将数据用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查绝对值小于的数的科学记数法表示，科学记数法的表示形式为，要求满足，为整数，原数绝对值小于时，的绝对值等于原数左起第一个非零数字前零的个数． 【详解】解：． 3. 任意掷一枚骰子，下列情况出现的可能性比较大的是( ) A. 面朝上的点数是6 B. 面朝上的点数是偶数 C. 面朝上的点数大于2 D. 面朝上的点数小于2 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意与概率的计算公式，比较四个选项中包含的情况数目，比较可得答案． 【详解】解：A．面朝上的点数为6点的情况为1种； B．面朝上的点数是偶数的情况为3种； C．面朝上的点数大于2的情况为4种； D．面朝上的点数小于2的情况为1种， 比较可得：C包含的情况数目最多，故其概率最大； 故选C． 【点睛】可能性大小的比较：只要总情况数目相同，谁包含的情况数目多，谁的可能性就大；反之也成立；若包含的情况相等，那么它们的可能性就相等． 4. 如图，在中，是角平分线，，垂足为D，点D在点E的左侧，，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了三角形内角和定理，角平分线的定义，直角三角形的两锐角互余，熟练掌握三角形内角和定理是解题的关键．利用三角形内角和定理可得，结合是角平分线，可得，再利用直角三角形的两锐角互余，可求得，由此可求的度数． 【详解】解： ，， ， 是角平分线， ， 又 ， ， ． 故选：A． 5. 如图，在大烧杯中放了一个小烧杯，现向小烧杯中匀速注水，小烧杯满了后继续匀速注水，则大烧杯的液面高度h（cm）与注水时间t（s）的大致图象是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了函数的图象．根据刚开始向小烧杯中匀速注水时，大烧杯的液面高度为零，且不会随时间增加，即可得出答案． 【详解】解：开始时向小烧杯中匀速注水，大烧杯的液面高度为零， 当小烧杯满了后继续匀速注水，大烧杯的液面高度随时间t的增加而增大， 当大烧杯的液面高度超过小烧杯后速度应该变慢，选项D符合题意． 故选：D． 6. 如图，，，请问添加下面哪个条件不能判断的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查全等三角形判定．根据题意逐一对选项进行分析即可得到本题答案． 【详解】解：∵，，结合全等三角形的判定定理（）逐个分析选项： A、添加，满足（两角及其中一角的对边相等），可以判定； B、添加，满足（两角及其夹边相等），可以判定； C、添加，不能判定； D、添加，满足（两边及其夹角相等），可以判定． 7. 如图，在△MPN中，H是高MQ和NR的交点，且PM＝HN，已知MH＝3，PQ＝2，则PN的长为（　　） A. 5 B. 7 C. 8 D. 11 【答案】B 【解析】 【分析】证明△MQP≌△NQH，由全等三角形的性质可得HQ=PQ=2，从而求出MQ，即可解决问题． 【详解】解：∵MQ⊥PN，NR⊥PM， ∴∠NQH=∠NRP=∠HRM=90°， ∵∠RHM=∠QHN， ∴∠PMH=∠HNQ， 在△MQP和△NQH中， ， ∴△MQP≌△NQH（ASA）， ∴HQ=PQ=2， ∴QN=QM=MH+QH=5， ∴PN=PQ+QN=7， 故选B． 【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题． 8. 如图，在中，M，N分别是边上的点，将沿折叠；使点B落在点处，若，，则的度数为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了折叠的性质：折叠前后图形全等．借助可得，根据即可求解． 【详解】解：∵沿折叠；使点B落在点处， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故选：C． 9. 如图，直线，将含角的直角三角板按图中位置摆放，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据对顶角相等可得，根据三角形外角性质得出，然后根据领补角求出，最后根据平行线的性质得出结果即可． 【详解】解：如图， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，故B正确． 故选：B． 【点睛】本题主要考查平行线的性质及三角形外角的性质，对顶角性质，熟练掌握平行线的性质及三角形外角的性质是解题的关键． 10. 如图，在长方形中，厘米，厘米，动点从点出发，沿路线运动，到点停止；点出发时的速度为厘米/秒，秒时点的速度变为厘米/秒，秒后点以厘米/秒速度匀速运动．如图是点P出发秒后，的面积（平方厘米）与时间（秒）之间的关系图象．有以下结论：①，；②；③点从点运动到点用时秒；④当的值为时，点运动的路程为厘米．其中正确结论的个数是（ ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查用图象表示两个变量间的关系、一元一次方程的几何应用，能从图象中获取有用信息并正确求解是解答的关键．根据图象结合三角形的面积公式求解即可． 【详解】解：结论①， 在长方形中，，当在上运动时，的面积， 由图，时， 代入得：， 解得， 初始速度为，因此秒， 秒时，同理得，刚好到达点， 从到，共秒，走了， 因此速度，结论①正确； 结论②， 总路程为，前秒走了， 剩余路程，速度为， 剩余时间秒， 总时间秒， 结论②错误； 结论③点从点运动到点用时秒； ∵长，速度为， ∴用时秒， 结论③正确； 结论④当的值为时，点运动的路程为厘米 前秒路程：，秒共秒， 路程：， 总路程，不是； 结论④错误； 正确的结论是①、③，共个． 第Ⅱ卷（共90分） 二、填空题（本题满分18分，共有6道小题，每小题3分） 11. 已知长方形的面积为，长为，则该长方形的宽为_____ 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了多项式除以单项式，根据长方形的面积为，长为，进行列式计算，即可作答． 【详解】解：∵长方形的面积为，长为， ∴该长方形的宽为， 故答案为： 12. 如果是一个完全平方式，那么的值是______； 【答案】16 【解析】 【分析】本题考查了完全平方公式．先将写成的形式，即可求出m的值． 熟练掌握完全平方公式是解题的关键．注意：此题中m相当于，而不是b． 【详解】∵是一个完全平方式， ， ， 故答案为：16． 13. 如图所示的七巧板起源于我国先秦时期，由古算书《周髀算经》中关于正方形的分割术，经过历代演变而成，世纪传到国外，被称为“唐图”（意为“来自中国的拼图”）．图是由边长为的正方形分割制作的七巧板拼摆而成的和平鸽，则图中阴影部分的面积为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了七巧板，正方形和等腰直角三角形的性质，熟练掌握七巧板中各部分面积之间的关系是解题的关键． 【详解】解：正方形的总面积为  七巧板各块面积占原正方形的比例固定，各块面积分别为： 个大等腰直角三角形，每个面积为； 个中等等腰直角三角形，面积为； 个小等腰直角三角形，每个面积为； 个正方形面积为； 个平行四边形面积为， 总和为，符合总面积 观察图，阴影部分共块：个小三角形个中等三角形个大三角形， 因此阴影面积和为： 14. 如图，射线是的角平分线，D是射线上一点，于点P，，若点Q是射线上一点，，则的面积是___________ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是角平分线的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．作于点，根据角平分线的性质得到，根据三角形的面积计算公式，即可得到答案． 【详解】解：作于点， 射线是的角平分线， ，， ， 的面积． 故答案为：． 15. 如图，在中，，，的面积为20，的垂直平分线分别交于E点，F点．若点D为边的中点，点M为线段上一动点，则的最小值为________． 【答案】10 【解析】 【分析】本题考查的是轴对称﹣最短路线问题，结合三角形三边关系，证明线段的最值，熟知等腰三角形三线合一的性质是解答此题的关键．连接，，由于是等腰三角形，点D是边的中点，故，再根据三角形的面积公式求出的长，再根据是线段的垂直平分线可知，点B关于直线的对称点为点A，故的长为的最小值，由此即可得出结论． 【详解】解：如图，连接， ∵是等腰三角形，点D是边的中点，， ∴， ∴， ， ∵是线段的垂直平分线， ∴点B关于直线的对称点为点A， 连接，则， ∴当点M在线段上时，的值最小， ∴的长10为的最小值． 故答案为：10． 16. 如图，和均是等边三角形，三点共线，与相交于点，与分别与，交于点．则下列结论：①；②；③；④；⑤．其中正确的结论有______．（填写序号） 【答案】 ①②④⑤ 【解析】 【分析】①利用等边三角形的边、角性质，通过判定，证明结论①正确；②由等边三角形角度计算得与互补，根据同旁内角互补，两直线平行，证明，结论②正确；③先通过证得，再用三角形外角性质推出，从而证，说明原结论错误；④利用已证的两组三角形全等，通过线段等量代换推出，证明结论正确；⑤由全等得到，结合，判定为等边三角形，从而得到，证明结论正确． 【详解】解：∵和都是等边三角形， ∴， ∴， 在与中， ， ∴，故①正确； ∵，， ∴， ∴，故②正确； ∵， ∴， ， 在和中 ， ， ∴， ∴， 根据三角形外角性质得到，则， ∴， ∴，故③错误； ∵由②中， 可得， ， ∴， ∴，故④正确； ⑤，，， 因此是等边三角形，，⑤正确； 综上，正确结论为． 三、作图题（本题满分4分） 17. 如图，两条公路，交于点O，村庄M，N的位置如图所示，M在公路上，现要修建一个快递站P，使快递站到两条公路的距离相等，且到两村庄的距离也相等（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）． 【答案】见解析 【解析】 【分析】作线段的垂直平分线，作的角平分线，则交于一点，即为点P． 【详解】解：点P即为所求，如图所示： 【点睛】本题主要考查了角平分线的性质，线段垂直平分线的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 四、解答题（本题满分68分） 18. 解下列各题： （1）； （2）简便运算：； （3）； （4）； 【答案】（1） （2） （3） （4） 【解析】 【分析】（）根据乘方、绝对值、负指数幂、零指数幂的运算规则分别计算各项，再合并结果； （）将变形为，利用平方差公式简化计算； （）将看作整体，利用平方差公式展开，再用完全平方公式展开并化简； （）根据积的乘方、幂的乘方、同底数幂的乘除法运算法则进行计算． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ； 【小问3详解】 解： 【小问4详解】 解： ． 19. 先化简，再求值：，其中． 【答案】 ； 【解析】 【分析】先根据多项式与多项式的乘法法则、完全平方公式化简，再合并同类项，然后代入计算即可． 【详解】解： ， 当时， 原式． 20. 某商场为了吸引顾客，设立了一个翻奖牌（表1中的奖牌对应的奖品一种排法如表2，其中钱数为购物券），并规定：顾客购买不少于200元的商品，就能获得一次翻牌的机会．甲顾客购物220元． 表1： 1 2 3 4 5 6 7 8 9 表2： 20元 50元 谢谢参与 100元 20元 50元 20元 20元 20元 （1）甲顾客得到100元购物券的概率是多少？她获得购物券的概率是多少？ （2）请你根据本题题意写出一个事件，使这个事件发生的概率为． 【答案】（1），；（2）答案不唯一，如：甲顾客一次翻牌得到购物券钱数不少于50元． 【解析】 【分析】（1）让100元购物券的次数除以总次数即为所求的概率； （2）事件发生的概率为，根据条件写出一个有三次的机会即可求解，本题答案不唯一． 【详解】解：（1）甲顾客购物220元，获得一次翻牌的机会， 所以，（甲顾客得到100元购物券）， （甲顾客得到购物券）； （2）答案不唯一，如：甲顾客一次翻牌得到购物券钱数不少于50元． 【点睛】本题考查了概率的求法、解题的关键是掌握概率：如果一个事件有种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件出现种结果，那么事件的概率（A）． 21. 如图，在中，为的中点，过点作，交于点．是上一点，连接，且．求证：． 证明：∵为的中点（已知）， ∴． ∵（已知）， ∴（______）． 又（已知）， ∴ _____（______）， ∴______． 在与中，，，______， ∴（______）， ∴． 【答案】两直线平行，同位角相等；；同位角相等，两直线平行；；；（角边角） 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定，全等三角形的性质与判定，先由线段中点的定义得到，再由平行线的性质得到，证明得到，进而证明，即可证明． 【详解】证明：∵为的中点（已知）， ∴， ∵（已知）， ∴（两直线平行，同位角相等)， ∵(已知)， ∴（同位角相等，两直线平行)， ∴， 在与中，，，， ∴， ∴． 22. 在某次大型的活动中，用无人机进行航拍，在操控无人机时根据现场状况调节高度，已知无人机在上升和下降过程中速度相同．设无人机的飞行高度（米）与操控无人机的时间（分钟）之间的关系如图中的实线所示，根据图象回答下列问题： （1）无人机在米高的上空停留的时间是______分钟； （2）在上升或下降过程中，无人机的速度为______米/分钟； （3）图中表示的数是______；表示的数是______； （4）求第分钟时无人机的飞行高度是多少米？ 【答案】（1） （2） （3）； （4） 【解析】 【分析】（）根据图像找到无人机在米高空的起止时间，用结束时间减去开始时间，算出停留时长； （）利用分钟的高度变化，根据速度公式求出无人机上升/下降的速度即可； （）分别计算上升到米的时间，以及从米下降到地面的时间，即可得出答案； （）先算出第12分钟到第分钟的下降高度，用米减去下降高度，得到此时的飞行高度． 【小问1详解】 解：由图像可知，无人机在米高空时，对应时间从分钟到分钟， 停留时间为（分钟）； 【小问2详解】 解：分钟内，无人机分钟上升了（米）， 因此上升/下降速度为（米/分钟）； 【小问3详解】 解：求：无人机从原点上升到米，速度为米/分钟， 时间； 求：无人机分钟开始从米高度下降， 下降总时间为（分钟）， 因此； 【小问4详解】 解：第分钟时，无人机已经下降了（分钟）， 下降高度为（米）， 因此此时飞行高度为（米）． 23. 如图，在和中，，点E是的中点，于点F，且． （1）求证：； （2）若，求的长． 【答案】（1） 证明：∵，， ∴，， ∴， 在和中， , ∴； （2）6 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质、三角形的内角和定理、余角性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解答的关键． （1）先证明，再根据全等三角形的判定定理可得结论； （2）根据全等三角形的性质得得，，结合线段中点定义可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由（1）得：， ∴，， ∵E是的中点， ∴， ∵，， ∴， ∴． 24. 如图，已知中，，，点为的中点．若两点分别从两点同时出发，点在线段上以的速度由点向点运动．同时，点在线段上以的速度由点向点运动，设运动时间为，回答下列问题： （1）当为何值时，在的垂直平分线上； （2）当为何值时，； （3）经过______秒后，是以为顶角顶点的等腰三角形． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）先根据已知条件得到，；再表示出，，利用垂直平分线的性质列等式，解得； （2）由得，结合全等三角形的判定条件，确定需满足且，列出方程组求解得； （3）分三种等腰三角形的情况列方程求解即可． 【小问1详解】 解：在中，，是中点， 故，， 由动点运动得：，， 因此，， ∵点在的垂直平分线上，根据垂直平分线性质， ∴，即， 解得； 【小问2详解】 解：∵， ∴， 当且， ∴对应边满足， 即， 两个方程同解得， 当时，； 【小问3详解】 解：∵是以为顶角顶点的等腰三角形， ∴， ∴， 解得， 所以，经过秒后，是以为顶角顶点的等腰三角形． 25. （1）【问题解决】如图1，已知，，，求的度数； （2）【问题迁移】如图2，若，点P在的上方，则，，之间有何数量关系？并说明理由； （3）【联想拓展】如图3，在（2）的条件下，已知，的平分线和的平分线交于点G，求的度数（结果用含的式子表示）． 【答案】（1）；（2）证明见解析；（3） 【解析】 【分析】（1）过点作，根据平行线的性质可得，，进而可求解； （2）过点作，则，根据平行线的性质可得，即可得，结合可求解； （3）过点作．由平行线的性质可得，，结合角平分线的定义，利用角的和差可求解． 【详解】解：（1）如图1，过点作， ∵， ∴， ∵， ∴． ，而， ∴， ， （2）， 理由：如图2，过点作， ∵，， ∴， ， ， ， ∵， ， ； （3）如图3，过点作． ∵，， ∴， ，， 又的平分线和的平分线交于点， ，， 由（2）得，， ∵， ， ． 【点睛】本题主要考查平行公理的推论，平行线的性质，角平分线的定义，角的和差运算灵活运用平行线的性质是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $