专题06 集合与常用逻辑用语（4大题型28题）（期末真题汇编，河南专用）高二数学下学期

**基本信息** 整合河南省多地高二下期末真题，聚焦集合与常用逻辑用语4大题型，分层覆盖基础应用与综合创新。 **题型特征** |题型|题量|知识覆盖|命题特色| |----|----|----------|----------| |选择题|单选13道、多选4道|集合关系与运算、充分必要条件判断、量词命题否定|结合函数定义域、数列单调性等跨知识点，如“递减数列的充要条件”| |填空题|4道|集合参数范围、函数零点条件|需综合不等式与集合性质，如“存在性量词命题的参数范围”| |解答题|4道|集合运算表示、函数与量词综合证明|融合导数与不等式证明，如“全称量词下的函数不等式证明”|

专题06集合与常用逻辑用语 4大题型概览 题型01集合之间的关系 题型02集合的运算 题型03充分条件与必要条件 题型04全称量词命题与存在量词命题 ( 题型 01 集合之间的关系 ) 1 2 3 A D BCD 4． ( 题型 0 2 集合的运算 ) 1 2 3 4 5 6 7 C C C C A D A 8．【解析】（1）由,有,解得或, 所以. （2）因为,所以, 不等式可化为. 时,则,解得但不满足,舍去, 时,因为但,不满足,舍去, 时,解得或, 因为,所以解得, 所以. ( 题型 0 3 充分条件与必要条件 ) 1 2 3 4 5 6 7 A B C A A A CD 8. ,或, ( 题型04 全称量词命题与存在量词命题 ) 1 2 3 4 C C ABC AC 5． 6． 7．【解析】（1）令函数,则． 令函数,则． 因为,,,所以,在上单调递减． 又,, 所以存在,使得,当时,.,当时,, 所以在上单调递增,在上单调递减． 因为,所以当时,,得证． （2）解：因为,, 所以当时,, 解得, 所以当时,不符合题意,下面证明当时符合题意． ． 因为,所以当时,． 令函数,,则． 由（1）得,当时,． 当时,,,所以, 所以在上单调递减,在上单调递增． 所以,即得证． 综上,a的取值范围为． 8．【解析】（1）函数的定义域为, . ①当时,由可得,由可得, 此时,函数的增区间为,减区间为； ②当时,即当时, 由可得；由可得或, 此时,函数的增区间为和,减区间为； ③当时,即当时,对任意的,恒成立且不恒为零, 此时,函数的单调递增区间为； ④当时,即当时, 由可得；由可得或, 此时,函数的增区间为和,减区间为. 综上所述,当时,函数的增区间为,减区间为； 当时,函数的增区间为和,减区间为； 当时,函数的单调递增区间为； 当时,函数的增区间为和,减区间为. （2）若,,使得,则, ,故在上单调递增, 当时,取得最大值1,即. 由（1）知,当时,, 令,得,故. 当时,无最大值,不符合题意. 综上所述：实数的取值范围为. 8 / 13 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06集合与常用逻辑用语 4大题型概览 题型01集合之间的关系 题型02集合的运算 题型03充分条件与必要条件 题型04全称量词命题与存在量词命题 ( 题型 01 集合之间的关系 ) 一、选择题 1．（24-25高二下.河南省新乡市.期末）已知集合,．若,则（   ） A．0 B．1 C．2 D．-2 【答案】A 【解析】因为,所以,即,解得,故A正确.故选A. 2．（24-25高二下.河南省安阳市滑县部分学校.期末）已知集合,集合,则下列各选项中属于的元素是（    ） A． B． C．0 D．1 【答案】D 【详解】由可得：,则,所以, 则,,,.故选D. 3．（多选）（24-25高二下.河南省新乡市.期末）已知.若对于非空数集,存在个两两交集为空的集合,,使得,且任意两个集合的所有元素之和均相等,则称集合为“可分集”.设,则（   ） A．是“4可分集” B．若是“4可分集”,则为偶数 C．对于任意的偶数不为“可分集” D．对于任意的奇数均为“可分集” 【答案】BCD 【解析】对于A,因为均只有一个元素,即元素之和为1,2,3,4, 互不相等,故A错误；对于B,若为奇数,那么2k能被4整除,因为能被4整除, 所以2k必须能被4整除,因此为偶数,故B正确；对于C,若为偶数,那么能被整除,于是必然是整数,这与为偶数矛盾,所以不为“可分集”,故C正确； 对于D,不妨设奇数,下面给出一种构造：由于,则前组为 ,, 后组为,因此对于任意的奇数均为“可分集”,故D正确.故选BCD. 二、填空题 4．（24-25高二下.河南省漯河市.期末）已知函数,若,则的取值范围为______. 【答案】 【解析】因为,所以可设,即, 因为,所以, 所以,所以,, 当时,,令得,且, 此时,不符合题意,所以, 当时,,, 要满足,则有解,且其解不是和, 所以判别式,解得或,因为,所以或, 所以即的取值范围为. ( 题型 0 2 集合的运算 ) 一、选择题 1．（24-25高二下.河南省焦作市.期末）已知集合,,则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题可知,又因为,故.故选C. 2．（24-25高二下.河南省金科新未来.期末）已知集合,,则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题设,且,则．故选C． 3．（24-25高二下.河南省鹤壁市.期末）已知集合,,则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为,,故.故选C. 4．（24-25高二下.河南省周口市.期末）已知集合,,则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为集合,,所以.故选C. 5．（24-25高二下.河南省商丘市百师联盟.期末）已知集合,则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为,所以.故选A. 6．（24-25高二下.河南省平顶山市郏县一高.期末）已知集合,,则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为集合,所以.故选D. 7．（24-25高二下.河南省名校联考.期末）已知集合,,则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题意知,所以.故选A. 二、解答题 8．（24-25高二下.河南省商丘市.期末）已知集合. (1)用区间表示集合； (2)若,求a,b的取值范围. 【解析】（1）由,有,解得或, 所以. （2）因为,所以, 不等式可化为. 时,则,解得但不满足,舍去, 时,因为但,不满足,舍去, 时,解得或, 因为,所以解得, 所以. ( 题型 0 3 充分条件与必要条件 ) 一、选择题 1．（24-25高二下.河南省金科新未来.期末）已知向量,,则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】向量,,若,则,即,解得或,故“”是“”的充分不必要条件．故选A． 2．（24-25高二下.河南省南阳市六校联考.期末）已知等比数列的公比为.设甲：为递减数列,乙：,,则甲是乙的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】若为递减数列,则对任意有即, 所以或,如满足和的数列均为递减数列,故充分性不成立； 若,,则数列为递减数列,所以必要性成立.所以甲是乙的必要不充分条件.故选B. 3．（24-25高二下.河南省商丘市.期末）已知数列的前项和为,则“,”是“数列为等差数列”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】为等差数列． 充分性：设数列的公差为,则,所以,两式相减得,, 又,所以为常数,所以为等差数列； 必要性：由为等差数列,设公差为,则, 于是为常数,所以为等差数列．故选C． 4．（24-25高二下.河南省信阳市.期末）“”是“直线与垂直”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】∵对于任意,恒成立,∴直线与垂直恒成立, ∴“”是“直线与垂直”的充分不必要条件.故选A. 5．（24-25高二下.河南省驻马店市.期末）已知是等比数列的前项和,则“,,依次成等差数列”是“,,依次成等差数列”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】A 【解析】设等比数列的公比为.由,,依次成等差数列,可得, 当时,,,,不满足,故, ∴,∵,∴,解得或（舍）． 当时,,,∴,即,,依次成等差数列,故充分性成立．由,,依次成等差数列可得,即, 由得,解得或,故或．当时,,,,不满足,故必要性不成立.综上可得,“,,依次成等差数列”是“,,依次成等差数列”的充分不必要条件．故选A． 6．（24-25高二下.河南省商丘市.期末）设命题：曲线在点处的切线方程是：；命题：是任意实数,若,则,则（    ） A．“或”为真 B．“且”为真 C．假真 D．,均为假命题 【答案】A 【解析】对于命题：因为,所以,所以, 由导数的几何意义可得在点处切线的斜率为, 所以切线方程为,即,所以命题是真命题； 对于命题：令满足,但是,即,不满足,所以命题是假命题, 所以“或”为真命题. 7．（多选）（24-25高二下.河南省郑州市.期末）已知函数,则“有两个零点”的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】CD 【解析】由题意知有两个相异实根,即与的图像有两个交点. ,当,,单调递增；当,,单调递减. ；当,；当,,所以.又因为CD是的真子集,所以答案选CD.故选CD. 8. （24-25高二下.河南省南阳市邓州市.期末）若等比数列中,首项为,公比为,则下列条件中,使数列递减数列的充要条件是_____ 【答案】,或, 【解析】因为等比数列为递减数列,所以,即,, 所以,所以,所以 所以,或,,必要性得证. 又因为当,或,,易知所以数列为递减数列, 充分性得证. 所以数列递减数列的充要条件是：,或,, ( 题型04 全称量词命题与存在量词命题 ) 一、选择题 1．（24-25高二下.河南省商丘市百师联盟.期末）设命题,则为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】命题,则．故选C． 2．（24-25高二下.河南省信阳市.期末）命题“”的否定是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】命题“”的否定是“”.故选C. 3．（多选）（24-25高二下.河南省南阳市六校联考.期末）记无穷数列的前项和为.若对任意的正整数,总存在某一项,使得,则称是“S数列”.下列说法正确的是（   ） A．若,则是“S数列” B．若,则是“S数列” C．若,则是“S数列” D．若是首项,公差的等差数列,且是“S数列”,则 【答案】ABC 【解析】A选项,,故,故对任意的正整数,总存在某一项, 使得,故是“S数列”,A正确； B选项,,则,故此时为等差数列, ,由于, 故对任意的正整数,总存在当时,使得,B正确； C选项,若,当时,, 当时,, 显然不满足,故, 对任意的正整数,总存在,使得,C正确； D选项,是首项,公差的等差数列,故, , 对任意的正整数,总存在某一项,使得, 即,整理得, 需要满足, 显然,故, 所以,D错误.故选ABC. 4．（多选）（24-25高二下.河南省平顶山联考.期末）如图所示,是定义在上的四个函数,其中满足性质：“对中任意的和,任意恒成立”的有（   ） A． B． C． D． 【答案】AC 【解析】对中任意的和,任意恒成立”,所以函数是下凹函数, 令,则恒成立, 所以在时为下凹函数才能满足题意,所以排除B,D, 当等号成立时,选项C满足题意,因此满足题意的是A,C.故选AC. 二、填空题 5．（24-25高二下.河南省新未来.期末）定义在上的函数的导函数为,且,若存在实数x使不等式对于恒成立,则实数m的取值范围为______． 【答案】 【解析】因为,, 令,,解得：, 所以,令,,所以, 所以,而显然在上单调递增,又, 所以当时,,当时,, 所以在上单调递减,在上单调递增,所以, 存在实数x使不等式对于恒成立, 所以对于恒成立, 所以对于恒成立, 即,解得：或, 则实数m的取值范围为：． 6．（24-25高二下.河南省南阳市六校.期末）已知函数,,若对任意的,总存在,使得,则的取值范围是__________. 【答案】 【解析】因为对任意的,总存在,使得, 所以,, 令,得或（舍去）. 当时,,单调递增； 当时,,单调递减. 故； ,则,因为, 所以在上恒成立, 则在上单调递减,, 所以,故. 三、解答题 7．（24-25高二下.河南省新乡市.期末）（1）证明：当时,． （2）若,,求a的取值范围． 【解析】（1）令函数,则． 令函数,则． 因为,,,所以,在上单调递减． 又,, 所以存在,使得,当时,.,当时,, 所以在上单调递增,在上单调递减． 因为,所以当时,,得证． （2）解：因为,, 所以当时,, 解得, 所以当时,不符合题意,下面证明当时符合题意． ． 因为,所以当时,． 令函数,,则． 由（1）得,当时,． 当时,,,所以, 所以在上单调递减,在上单调递增． 所以,即得证． 综上,a的取值范围为． 8．（24-25高二下.河南省郑州市六校.期末）已知函数,. (1)求函数的单调区间； (2)若,,使得,求实数的取值范围. 【解析】（1）函数的定义域为, . ①当时,由可得,由可得, 此时,函数的增区间为,减区间为； ②当时,即当时, 由可得；由可得或, 此时,函数的增区间为和,减区间为； ③当时,即当时,对任意的,恒成立且不恒为零, 此时,函数的单调递增区间为； ④当时,即当时, 由可得；由可得或, 此时,函数的增区间为和,减区间为. 综上所述,当时,函数的增区间为,减区间为； 当时,函数的增区间为和,减区间为； 当时,函数的单调递增区间为； 当时,函数的增区间为和,减区间为. （2）若,,使得,则, ,故在上单调递增, 当时,取得最大值1,即. 由（1）知,当时,, 令,得,故. 当时,无最大值,不符合题意. 综上所述：实数的取值范围为. 8 / 13 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06集合与常用逻辑用语 4大题型概览 题型01集合之间的关系 题型02集合的运算 题型03充分条件与必要条件 题型04全称量词命题与存在量词命题 ( 题型 01 集合之间的关系 ) 一、选择题 1．（24-25高二下.河南省新乡市.期末）已知集合,．若,则（   ） A．0 B．1 C．2 D．-2 2．（24-25高二下.河南省安阳市滑县部分学校.期末）已知集合,集合,则下列各选项中属于的元素是（    ） A． B． C．0 D．1 3．（多选）（24-25高二下.河南省新乡市.期末）已知.若对于非空数集,存在个两两交集为空的集合,,使得,且任意两个集合的所有元素之和均相等,则称集合为“可分集”.设,则（   ） A．是“4可分集” B．若是“4可分集”,则为偶数 C．对于任意的偶数不为“可分集” D．对于任意的奇数均为“可分集” 二、填空题 4．（24-25高二下.河南省漯河市.期末）已知函数,若,则的取值范围为______. ( 题型 0 2 集合的运算 ) 一、选择题 1．（24-25高二下.河南省焦作市.期末）已知集合,,则（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高二下.河南省金科新未来.期末）已知集合,,则（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二下.河南省鹤壁市.期末）已知集合,,则（   ） A． B． C． D． 4．（24-25高二下.河南省周口市.期末）已知集合,,则（   ） A． B． C． D． 5．（24-25高二下.河南省商丘市百师联盟.期末）已知集合,则（   ） A． B． C． D． 6．（24-25高二下.河南省平顶山市郏县一高.期末）已知集合,,则（    ） A． B． C． D． 7．（24-25高二下.河南省名校联考.期末）已知集合,,则（    ） A． B． C． D． 二、解答题 8．（24-25高二下.河南省商丘市.期末）已知集合. (1)用区间表示集合； (2)若,求a,b的取值范围. ( 题型 0 3 充分条件与必要条件 ) 一、选择题 1．（24-25高二下.河南省金科新未来.期末）已知向量,,则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．（24-25高二下.河南省南阳市六校联考.期末）已知等比数列的公比为.设甲：为递减数列,乙：,,则甲是乙的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．（24-25高二下.河南省商丘市.期末）已知数列的前项和为,则“,”是“数列为等差数列”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．（24-25高二下.河南省信阳市.期末）“”是“直线与垂直”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．不充分也不必要条件 5．（24-25高二下.河南省驻马店市.期末）已知是等比数列的前项和,则“,,依次成等差数列”是“,,依次成等差数列”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 6．（24-25高二下.河南省商丘市.期末）设命题：曲线在点处的切线方程是：；命题：是任意实数,若,则,则（    ） A．“或”为真 B．“且”为真 C．假真 D．,均为假命题 7．（多选）（24-25高二下.河南省郑州市.期末）已知函数,则“有两个零点”的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 8. （24-25高二下.河南省南阳市邓州市.期末）若等比数列中,首项为,公比为,则下列条件中,使数列递减数列的充要条件是_____ 【 ( 题型04 全称量词命题与存在量词命题 ) 一、选择题 1．（24-25高二下.河南省商丘市百师联盟.期末）设命题,则为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二下.河南省信阳市.期末）命题“”的否定是（ ） A． B． C． D． 3．（多选）（24-25高二下.河南省南阳市六校联考.期末）记无穷数列的前项和为.若对任意的正整数,总存在某一项,使得,则称是“S数列”.下列说法正确的是（   ） A．若,则是“S数列” B．若,则是“S数列” C．若,则是“S数列” D．若是首项,公差的等差数列,且是“S数列”,则 4．（多选）（24-25高二下.河南省平顶山联考.期末）如图所示,是定义在上的四个函数,其中满足性质：“对中任意的和,任意恒成立”的有（   ） A． B． C． D． 二、填空题 5．（24-25高二下.河南省新未来.期末）定义在上的函数的导函数为,且,若存在实数x使不等式对于恒成立,则实数m的取值范围为______． 6．（24-25高二下.河南省南阳市六校.期末）已知函数,,若对任意的,总存在,使得,则的取值范围是__________. 三、解答题 7．（24-25高二下.河南省新乡市.期末）（1）证明：当时,． （2）若,,求a的取值范围． 8．（24-25高二下.河南省郑州市六校.期末）已知函数,. (1)求函数的单调区间； (2)若,,使得,求实数的取值范围. 8 / 13 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $