第五章 二元一次方程组 习题课件 2026-2027学年北师大版八年级数学上册

该初中数学课件聚焦二元一次方程组，涵盖概念、解及实际应用等核心知识点，通过嫦娥六号采样、古代“二果问价”等现实情境导入，衔接一元一次方程知识，设置解题支架如概念辨析表格、步骤分解提示，帮助学生构建知识脉络。 其亮点在于融合新题型与现实情境，通过结论开放题、新定义“优美二元一次方程”培养创新意识，利用嫦娥六号采样列方程组发展模型意识，采用分类讨论、整体思想提升推理能力。学生能增强应用意识，教师可借助多样化习题和解析优化教学。

第五章 二元一次方程组 3 二元一次方程组的应用 第2课时 增收节支 知识点1 百分率问题 1.小明家种植水果，去年收支相抵后，结余1 200元，今年因为改进了种植技术，他家水果获得丰收，收入比去年增加5％，支出比去年减少15％，今年比去年多结余1 140元.设小明家去年收入x元，支出y元，则下列方程组正确的是(　　) A. B. C. D. 返回 C 基础提优题 2.某公司向银行申请了甲、乙两种贷款，共计50万元，每年需付1.6万元利息，已知甲种贷款每年的利率为3％，乙种贷款每年的利率为3.5％，则该公司申请甲、乙两种贷款的数额分别为　　　 　. 返回 30万元、20万元 基础提优题 3.一个甲玩具和一个乙玩具的成本共300元，商店老板为获取利润，并快速出售玩具，决定将甲玩具按60％的利润率标价出售，乙玩具按50％的利润率标价出售，在实际出售时，应顾客要求，两种玩具均按标价的九折出售，这样，商店共获利114元. 返回 基础提优题 (1)若甲玩具每个的成本为x元，则甲玩具的标价是　　　元，甲玩具的售价是　　　　元；若乙玩具每个的成本是y元，则乙玩具的标价是　　　　元，乙玩具的售价是　　　　元.(用含x，y的式子填空) 返回 1.6x 1.44x 1.5y 1.35y 基础提优题 (2)在(1)的条件下，求甲、乙玩具每个的成本各是多少元. 【解】依题意，得 解得 所以甲玩具每个的成本是100元，乙玩具每个的成本是200元. 返回 基础提优题 (3)在(1)的条件下，商店老板决定投入1 000元购进这两种玩具，且为了吸引顾客，每种玩具至少购进1个，那么可以怎样安排进货？ 【解】设购进m个甲玩具，n个乙玩具， 依题意，得100m＋200n＝1 000，化简得m＝10－2n. 又因为m，n均为正整数， 所以或或或 返回 基础提优题 所以共有4种进货方案，方案1：购进8个甲玩具，1个乙玩具；方案2：购进6个甲玩具，2个乙玩具；方案3：购进4个甲玩具，3个乙玩具；方案4：购进2个甲玩具，4个乙玩具. 返回 基础提优题 知识点2 配比问题 4. 用甲、乙两种原料配制营养液，已知这两种原料的维生素C含量及价格如下表所示： 返回 种类 甲种原料 乙种原料 维生素C的含量/(单位•kg－1) 600 100 原料价格/(元•kg－1) 8 4 基础提优题 现要配制一种含5 000单位的维生素C的营养液，且买原料的费用为72元，则应买甲种原料　　kg，乙种原料　　kg. 8 2 返回 基础提优题 5.某种合金是由A，B两种金属熔炼而成，根据不同用途的需要，两种金属原材料所选的比例也不相同.当A，B两种原料按5∶4配料时，该合金材料价格为5 000元/吨；当A种原料占合金的60％时，该合金材料价格为4 860元/吨.则A种金属每吨的价格是　　　　元 . 返回 3 600 基础提优题 6. ［2026北京大兴区模拟］某公园门票价格如下表，某学校组织摄影、美术两个社团的学生游览该公园，两社团的人数分别为a和b (a＞b).若两社团分别以各自社团为单位购票，共需1 560元；若两社团作为一个团体合在一起购票，共需1 170元，那么这两个社团的人数为a＝　　　　，b＝　　　　. 返回 购票人数 1～40 41～80 80以上 门票价格 20元/人 16元/人 13元/人 60 30 综合应用题 【点拨】因为1 170不能整除16和20，所以两个社团的总人数a＋b≥81.因为1 170÷13＝90(人)，所以a＋b＝90.又因为1 560不能整除16，所以两个社团的人数不可能同时在41～80之间.因为a＞b，所以当1≤b≤40，41≤a≤80时，有 解得 返回 综合应用题 当1≤b≤40，a＞80时，有 解得不符合题意.综上，a＝60，b＝30. 返回 综合应用题 7. ［山东竞赛］甲加工一种零件，乙加工另一种零件.甲用A型机器需要6小时才能完成任务，用B型机器效率降低60％；乙用B型机器需要10小时才能完成任务，用A型机器效率提高20％.若甲用A型机器，乙用B型机器同时开始工作，中途某一时刻交换使用机器，甲和乙同时完成任务，则甲完成任务所用的时间是　　　小时. 返回 9 综合应用题 【点拨】由题意得甲用A型机器每小时加工零件的，用B型机器每小时加工零件的(1－60％)×＝；乙用B型机器每小时加工零件的，用A型机器每小时加工零件的(1＋20％)×＝.设甲用A型机器x小时，用B型机器y小时，则乙用B型机器x小时，用A型机器y小时，根据题意，得解得所以甲完成任务所用的时间是9小时. 返回 综合应用题 8. ［2025江西］某文物考古研究院用1:1复原的青铜蒸馏器进行了蒸馏酒实验.用复原的青铜蒸馏器蒸馏粮食酒和芋头酒，需要的原材料与出酒率(出酒率＝×100％)如下表： 返回 类别 原材料 出酒率 粮食酒 粮食糟醅(含大米、糯米、谷壳、大曲和蒸馏水) 30％ 芋头酒 芋头糟醅(含芋头、小曲和蒸馏水) 20％ 综合应用题 如果第一次实验分别蒸馏出粮食酒和芋头酒共16公斤；第二次实验分别蒸馏出粮食酒和芋头酒共36公斤，且所用的粮食糟醅量是第一次的2倍，芋头糟醅量是第一次的3倍. (1)求第一次实验分别用了多少公斤粮食糟醅和芋头糟醅. 返回 类别 原材料 出酒率 粮食酒 粮食糟醅(含大米、糯米、谷壳、大曲和蒸馏水) 30％ 芋头酒 芋头糟醅(含芋头、小曲和蒸馏水) 20％ 综合应用题 【解】设第一次实验粮食糟醅和芋头糟醅分别用了x公斤、y公斤，则第二次实验粮食糟醅和芋头糟醅分别用了2x公斤、3y公斤， 由题意可得 返回 类别 原材料 出酒率 粮食酒 粮食糟醅(含大米、糯米、谷壳、大曲和蒸馏水) 30％ 芋头酒 芋头糟醅(含芋头、小曲和蒸馏水) 20％ 综合应用题 解得 所以第一次实验粮食糟醅和芋头糟醅分别用了40公斤、20公斤. 返回 类别 原材料 出酒率 粮食酒 粮食糟醅(含大米、糯米、谷壳、大曲和蒸馏水) 30％ 芋头酒 芋头糟醅(含芋头、小曲和蒸馏水) 20％ 综合应用题 (2)受限于当时的生产条件，古代青铜蒸馏器的出酒量约为现代复原品的80％.若粮食糟醅中大米占比约为，请问，在古代要想蒸馏出这两次实验得到的粮食酒总量，需要准备多少公斤大米？ 返回 类别 原材料 出酒率 粮食酒 粮食糟醅(含大米、糯米、谷壳、大曲和蒸馏水) 30％ 芋头酒 芋头糟醅(含芋头、小曲和蒸馏水) 20％ 综合应用题 【解】两次实验得到的粮食酒总量为(40＋40×2)×30％＝36(公斤)， 设需要准备z公斤大米，则粮食糟醅的质量为4z公斤， 由题意可得4z×30％×80％＝36，解得z＝37.5. 所以需要准备37.5公斤大米. 返回 类别 原材料 出酒率 粮食酒 粮食糟醅(含大米、糯米、谷壳、大曲和蒸馏水) 30％ 芋头酒 芋头糟醅(含芋头、小曲和蒸馏水) 20％ 综合应用题 9. 某商店分两次购进A，B型两种台灯进行销售，两次购进的数量及费用如下表所示，由于物价上涨，第二次购进A，B型两种台灯时，两种台灯每台进价分别上涨30％，20％. 返回   购进的台数 购进所需要的费用/元 A型 B型 第一次 10 20 3 000 第二次 15 10 4 500 创新拓展题 (1)求第一次购进A，B型两种台灯每台进价分别是多少元. 返回 【解】设第一次购进A型台灯每台进价为x元，B型台灯每台进价为y元.由题意得   购进的台数 购进所需要的费用/元 A型 B型 第一次 10 20 3 000 第二次 15 10 4 500 创新拓展题 返回 解得 所以第一次购进A型台灯每台进价为200元，B型台灯每台进价为50元.   购进的台数 购进所需要的费用/元 A型 B型 第一次 10 20 3 000 第二次 15 10 4 500 创新拓展题 (2)A，B型两种台灯销售单价不变，第一次购进的台灯全部售出后，获得的利润为2 800元，第二次购进的台灯全部售出后，获得的利润为1 800元. ①求A，B型两种台灯每台售价分别是多少元. 返回 【解】设A型台灯每台售价为m元，B型台灯每台售价为n元.由题意得   购进的台数 购进所需要的费用/元 A型 B型 第一次 10 20 3 000 第二次 15 10 4 500 创新拓展题 返回 解得 所以A型台灯每台售价为340元，B型台灯每台售价为120元.   购进的台数 购进所需要的费用/元 A型 B型 第一次 10 20 3 000 第二次 15 10 4 500 创新拓展题 ②若按照第二次购进A，B型两种台灯每台的价格再购进一次，将再次购进的台灯全部售出后，要想使获得的利润为1 000元，求有哪几种购进方案. 返回   购进的台数 购进所需要的费用/元 A型 B型 第一次 10 20 3 000 第二次 15 10 4 500 创新拓展题 返回 【解】第二次购进的A型台灯每台的价格为200(1＋30)＝260(元)，B型台灯每台的价格为50(1＋20)＝60(元).设购进A型台灯a台，B型台灯b台.由题意得(340－260)a＋(120－60)b＝1 000，整理得4a＋3b＝50.   购进的台数 购进所需要的费用/元 A型 B型 第一次 10 20 3 000 第二次 15 10 4 500 创新拓展题 因为a，b为自然数，所以或或或所以有4种购进方案：①购进A型台灯2台，B型台灯14台；②购进A型台灯5台，B型台灯10台；③购进A型台灯8台，B型台灯6台；④购进A型台灯11台，B型台灯2台. 返回   购进的台数 购进所需要的费用/元 A型 B型 第一次 10 20 3 000 第二次 15 10 4 500 创新拓展题 $ 第五章 二元一次方程组 3 二元一次方程组的应用 第1课时 古算问题 答 案 呈 现 温馨提示：点击 进入讲评 7 8 9 21：00 ①(100－x－y)；②3x＋5y＋＝100 习题链接 知识点1“鸡兔同笼”问题 1.［2026重庆期中］《天工开物》中记载：“凡扎花灯，需竹篾八分，彩绢三尺.”某非遗工坊用竹篾和彩绢制作传统花灯，每盏大灯用竹篾1.2米、彩绢5米，每盏小灯用竹篾0.5米、彩绢2米.若工坊恰好用完了120米竹篾和490米彩绢，设制作大灯x盏，小灯y盏，则可列方程组为(　　) A. B. C. D. 返回 A 基础提优题 2.［2025盐城］我国古代数学著作《算法统宗》中记载：“今有绫三尺，绢四尺，共价四钱八分；又绫七尺，绢二尺，共价六钱八分.问：绫、绢各价若干？”意思是：三尺绫和四尺绢共值四钱八分；七尺绫和二尺绢共值六钱八分，则绫、绢每尺各值多少？已知一钱等于十分，则每尺绢的价格是　　　分. 返回 6 基础提优题 知识点2 和差倍分问题 3.《孙子算经》中有这样一个问题：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？”意思是：“用绳子去量一根木材的长，绳子还余4.5尺；将绳子对折再量木材的长，绳子比木材的长短1尺，问木材的长为多少尺？”根据题意可得木材的长为(　　) A.2.5尺　　 B.5.5尺　　 C.6.5尺　　 D.11尺 返回 C 基础提优题 4.我国古代《算法统宗》里有这样一首诗：“我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多七客，一房九客一房空.”诗中后两句的意思是：如果每间客房住7人，那么有7人无房可住；如果每间客房住9人，那么就空出一间客房.据此求客房和客人的数量，对于甲、乙、丙三人的解题方案，其中正确的个数是(　　) 甲：设客房有x间，则7x＋7＝9(x－1)； 乙：设客人有y人，则＝； 丙：设客房有x间，客人有y人，则 A.0　　 B.1　　 C.2　　 D.3 返回 C 基础提优题 5.《九章算术》是我国古代数学的经典著作，书中有这样一个记载：“今有黄金九枚，白银一十一枚，称之重适等，交易其一，金轻十三两，问金、银一枚各重几何？”意思是：甲袋中装有黄金9枚(每枚黄金质量相同)，乙袋中装有白银11枚(每枚白银质量相同)，称重两袋相等，两袋互相交换1枚后.甲袋比乙袋轻了13两(袋子质量忽略不计)，问黄金、白银每枚各重多少两？若丙袋中有4枚黄金和4枚白银，请求出丙袋的质量. 返回 基础提优题 【解】设黄金每枚重x两，白银每枚重y两， 根据题意，得 解得 所以4x＋4y＝143＋117＝260. 所以黄金每枚重两，白银每枚重两，丙袋的质量为260两. 返回 基础提优题 6.在《九章算术》中，二元一次方程组是通过“算筹”摆放的，如图①、图②中各行从左到右列出的算筹数分别表示未知数x，y的系数与相应的常数项.如图①表示的方程组是在图②所示的算筹图中有一个图形被墨水覆盖了，如果图②所表示的方程组中x的值为3，则被墨水所覆盖的图形为　　　　. 返回 ｜　 综合应用题 7. 《九章算术》中记载，浮箭漏出现于汉武帝时期.它由供水壶和箭壶组成，箭壶内装有箭尺，水匀速地从供水壶流到箭壶，箭壶中的水位逐渐上升，箭尺匀速上浮，可通过读取箭尺刻度计算时间.已知在箭尺有一定读数的情况下，供水2小时，箭尺读数为18 cm；供水6小时，箭尺读数为42 cm.若开始记录时是上午8：00，则当箭尺读数为84 cm时的时间为　　　　. 返回 21：00 综合应用题 【点拨】设箭尺每小时上升x cm，开始高度为y cm，根据题意，得 ②－①，得4x＝24，解得x＝6. 将x＝6代入①，得y＝6. 返回 综合应用题 故方程组的解为 设当箭尺读数为84 cm时，时间为t， 则6＋6(t－8)＝84，解得t＝21. 故当箭尺读数为84 cm时的时间是21：00. 返回 综合应用题 8. ［2026徐州模拟］我国传统数学名著《九章算术》记载：“今有牛五、羊二，直金十九两；牛二、羊五，直金十六两.问牛、羊各直金几何？”译文：“假设有5头牛、2只羊，值19两银子；2头牛、5只羊，值16两银子.问每头牛、每只羊分别值银子多少两？”根据以上译文，提出以下两个问题： (1)每头牛、每只羊各值多少两银子？ 返回 综合应用题 【解】设每头牛值x两银子，每只羊值y两银子. 根据题意，得解得 所以每头牛值3两银子，每只羊值2两银子. 返回 综合应用题 (2)若某商人准备用24两银子买牛和羊(要求既有牛也有羊，且银两须全部用完)，请问商人有几种购买方法？列出所有的方案. 【解】设该商人购买了a头牛，b只羊，根据题意，得 3a＋2b＝24，所以b＝. 因为a，b均为正整数，所以a为2的倍数. 返回 综合应用题 当a＝2时，b＝＝9； 当a＝4时，b＝＝6； 当a＝6时，b＝＝3； 当a为大于或等于8的正整数时，b≤0，不合题意. 所以该方程的正整数解为或或 返回 综合应用题 即共有三种购买方法： 方案一：购买2头牛，9只羊； 方案二：购买4头牛，6只羊； 方案三：购买6头牛，3只羊. 返回 综合应用题 9. 阅读下列材料，解决问题. 　　《张丘建算经》是一部数学问题集，其内容、范围与《九章算术》相仿.其中提出并解决了一个在数学史上非常著名的不定方程问题，通常称为“百鸡问题”：“今有鸡母一值钱三，鸡翁一值钱五，鸡雏三值钱一.凡百钱买鸡百只，问鸡翁、母、雏各几何？”译文：每一只母鸡值三文钱，每一只公鸡值五文钱，每三只小鸡值一文钱.现在用一百文钱买一百只鸡，问这一百只鸡中，公鸡、母鸡、小鸡各有多少只？ 返回 创新拓展题 (1)【尝试】若设母鸡有x只，公鸡有y只. ①小鸡有　　　　　　只，买小鸡一共花费　 .　 . 　文钱(用含x，y的式子表示)； (100－x－y)； 返回 创新拓展题 ②根据题意，列出一个含有x，y的方程为　　 　.　； ②3x＋5y＋＝100 返回 创新拓展题 (2)【探索】小军对“百鸡问题”增加一个条件：“母鸡数量比公鸡数量的4倍多2只”，求此时公鸡、母鸡、小鸡的只数； 【解】由题意得解得 所以100－x－y＝78. 所以，公鸡有4只，母鸡有18只，小鸡有78只. 返回 创新拓展题 (3)【拓展】小明对“百鸡问题”增加两个条件：“若公鸡数和母鸡数之和不超过20只，且公鸡数不低于母鸡数”，求此时公鸡、母鸡、小鸡的只数. 【解】根据题意得3x＋5y＋＝100， 化简得x＝25－y. 因为x，y均为正整数，所以y为4的倍数. 返回 创新拓展题 当y＝4时，x＝18；当y＝8时，x＝11；当y＝12时，x＝4；当y＝16时，x＝－3(舍去). 又因为x＋y≤20，且x≤y， 所以仅有x＝4，y＝12符合题意，此时100－x－y＝84. 所以，公鸡有12只，母鸡有4只，小鸡有84只. 返回 创新拓展题 $ 第五章 二元一次方程组 1 认识二元一次方程组 答 案 呈 现 温馨提示：点击 进入讲评 7 8 9 10 11 12 B D B －2或－3 8；2；－1；－7；；2；；4 习题链接 答 案 呈 现 温馨提示：点击 进入讲评 13 14 15 习题链接 知识点1 二元一次方程(组)的概念 1.下列式子中，属于二元一次方程的有(　　) ①xy＝1；②2x＝3y；③x－＝2；④x2＋y＝3；⑤＝3y－1；⑥x＋y＋z＝1. A.1个　　 B.2个　　 C.3个　　 D.4个 返回 B 基础提优题 2.若方程组是二元一次方程组，则“…”可以是(　　) A.4x＝y　　 B.xy＝1 C.＋＝2　　 D.x2－1＝0 返回 A 基础提优题 3. 如果(a－2)x｜a｜－1＋3y＝100是关于x，y的二元一次方程，则a的值为　　　. 返回 －2 基础提优题 知识点2 二元一次方程(组)的解 4.［2026太原模拟］已知是关于x，y的方程3x－ky＝1的一个解，则k的值为(　　) A.－2　　 B.1　　 C.2　　 D.7 返回 B 基础提优题 5. 写出二元一次方程2x＋3y＝8的一组整数 解：　　　 　　. 返回 (答案不唯一) 基础提优题 6.如果方程组的解为那么被“★”“■”遮住的两个数分别为　　　　. 返回 10，4 基础提优题 【点拨】将代入2x＋y＝16，得2×6＋■＝16，解得■＝4，即y＝4.将代入x＋y＝★，得6＋4＝★，所以★＝10.所以被“★”“■”遮住的两个数分别为10，4. 返回 基础提优题 7. 已知方程组 (1)x分别取－3，－1，0，2，填写下表： 返回 方程3x＋y＝－1 x －3 －1 0 2 y         方程2x－3y＝－8 x －3 －1 0 2 y         8 2 －1 －7 2 4 基础提优题 (2)根据(1)中的数据写出方程组的解. 返回 方程3x＋y＝－1 x －3 －1 0 2 y         方程2x－3y＝－8 x －3 －1 0 2 y         8 2 －1 －7 2 4 【解】方程组的解为 基础提优题 知识点3 根据实际问题列二元一次方程(组) 8. 嫦娥六号成功着陆在月球背面南极－艾特肯盆地预选着陆区，开启人类探测器首次在月球背面实施的样品采集任务.嫦娥六号采用了钻取和表取两种方式共采集样品1 935克，表取比钻取的4倍还多310克.若设钻取样品x克，表取样品y克，则可列方程组为(　　) A.　　 B. C.　　 D. 返回 B 基础提优题 9. 我国古代《四元玉鉴》中记载“二果问价”问题，其内容大致如下：用九百九十九文钱，可买甜果苦果共一千个，若…，…，试问买甜果苦果各几个？若设买甜果x个，买苦果y个，可列出符合题意的二元一次方程组根据已有信息，题中用“…，…”表示的缺失的条件应为(　　) A.甜果七个用四文钱，苦果九个用十一文钱 B.甜果十一个用九文钱，苦果四个用七文钱 C.甜果四个用七文钱，苦果十一个用九文钱 D.甜果九个用十一文钱，苦果七个用四文钱 返回 D 基础提优题 10. 国家“双减”政策实施后，某班开展了主题为“书香满校园”的读书活动.班级决定为在活动中表现突出的同学购买笔记本和碳素笔进行奖励(两种奖品都买).其中笔记本每本3元，碳素笔每支2元，共花费28元，则共有购买方案(　　) A.5种 B.4种　　 C.3种　　 D.2种 返回 B 综合应用题 【点拨】设购买笔记本x本，碳素笔y支，根据题意，得3x＋2y＝28，所以y＝14－x.又因为x，y均为正整数，所以或或或所以共有4种购买方案. 返回 综合应用题 11. 已知方程组的解为则方程组 的解是　　　　　. 返回 综合应用题 12. 若方程组是关于x，y的二元一次方程组，则代数式a＋b＋c的值是　　　　　. 返回 －2或－3 综合应用题 【点拨】由二元一次方程组的概念，得c＋3＝0，a－2＝1，b＋3＝1，解得c＝－3，a＝3，b＝－2，所以a＋b＋c＝－2；或c＋3＝0，a－2＝0，b＋3＝1，解得c＝－3，a＝2，b＝－2，所以a＋b＋c＝－3.故答案为－2或－3. 返回 综合应用题 13. 如图，△ABC的面积为40 cm2，DE＝2AE，CD＝3BD，连接CE，并延长交AB于点F.设S△FAE＝x，S△FBD＝y， 则根据题意可列方程组为　　　　　　　　. 返回 综合应用题 【点拨】因为DE＝2AE，所以S△FDE＝2S△FAE，S△CDE＝2S△CAE.因为CD＝3BD，所以S△CDF＝3S△BDF，S△ACD＝3S△ABD.又因为△ABC的面积等于40 cm2，所以S△ACD＝S△ABC＝30 cm2，S△ABD＝S△ABC＝10 cm2.所以S△CDE＝S△ACD＝20 cm2.因为S△FAE＝x，S△FBD＝y，所以 返回 综合应用题 14. 甲、乙两人共同解关于x，y的方程组解完以后有下面一段对话(如图)，请认真阅读对话内容，然后求出a2 027＋2 026的值. 返回 综合应用题 【解】把代入②，得－12＋b＝－2， 解得b＝10. 返回 综合应用题 把代入①，得5a＋20＝15，解得a＝－1. 所以a2 027＋2 026＝(－1)2 027＋(－1)2 026＝0. 返回 综合应用题 15. 定义：把ax＋y＝b(其中a，b是常数，x，y是未知数)这样的方程称为“优美二元一次方程”.当y＝2x时，“优美二元一次方程”ax＋y＝b中x的值称为“优美二元一次方程”的“优美值”.例如：当y＝2x时，“优美二元一次方程”3x－y＝4化为3x－2x＝4，解得x＝4，故其“优美值”为4. 返回 综合应用题 (1)求“优美二元一次方程”5x－y＝1的“优美值”； 返回 【解】令y＝2x，则“优美二元一次方程” 5x－y＝1可化为5x－2x＝1，解得x＝，则其“优美值”为. 综合应用题 (2)若“优美二元一次方程”x＋y＝m的“优美值”是－3，求m的值； 返回 【解】令y＝2x，则“优美二元一次方程” x＋y＝m可化为x＋2x＝m，把x＝－3代入，得m＝－7. 综合应用题 (3)是否存在n，使得“优美二元一次方程”x＋y＝n与“优美二元一次方程”4x－y＝n－2的“优美值”相同？若存在，请求出n的值及此时的“优美值”；若不存在，请说明理由. 返回 【解】存在.令y＝2x，则“优美二元一次方程” x＋y＝n可化为x＋2x＝n，则x＝，所以其“优美值”为. 综合应用题 令y＝2x，则“优美二元一次方程” 4x－y＝n－2可化为 4x－2x＝n－2，则x＝－1，所以其“优美值”为－1.假设“优美值”相同，则有＝－1，解得n＝，所以x＝，即“优美值”为. 返回 综合应用题 $ 第五章 二元一次方程组 专项培优10 二元一次方程组的特殊解法 方法1 整体加减法 1. 解方程组： 返回 【解】 ①－②，得6 718x－6 718y＝6 718， 即x－y＝1. ①＋②，得10 000x＋10 000y＝50 000， 即x＋y＝5. 将它们组成新方程组，得解得 所以原方程组的解为 返回 解系数“轮·”(x，y的系数恰好“互换”)二元一次方程组时，常先将两方程、变换成形如这样的方程组，再求解. 返回 • • • • • • 方法2 整体代入法 2. 先阅读，然后解方程组. 解方程组时，可由①得x－y＝1，③ 再将③代入②，得4×1－y＝5，解得y＝－1， 从而进一步求得这种方法被称为“整体代入法”. 返回 请用这样的方法解方程组 【解】 返回 由①，得2x－3y＝2.③ 将③代入②，得＋2y＝9，解得y＝4. 把y＝4代入③，得2x－3×4＝2，解得x＝7. 故原方程组的解为 返回 当方程组某一项中含有相同的整式时，通常将此项看成一个整体，利用整·解方程组. 返回 • • • • • • 方法3 换元法 3. ［四川自主招生］【阅读探索】 解方程组 解：设a－1＝x，b＋2＝y， 返回 则原方程组变为 解得即所以 此种解方程组的方法叫换元法. 返回 (1)【拓展提高】 运用上述方法解下列方程组： 返回 【解】设－1＝x，＋2＝y，则原方程组变为 解得即解得 返回 (2)【能力运用】 已知关于x，y的方程组的解为求关于m，n的方程组的解. 返回 【解】根据题意可得解得 返回 解两个方程中都含有相同结构整式的二元一次方程组时，常通过使问题化繁为简. • • • $ 第五章 二元一次方程组 4 二元一次方程与一次函数 第2课时 用二元一次方程组确定一次函数表达式 知识点1 用待定系数法求一次函数的表达式 1.一次函数y＝kx＋b的图象如图所示，这个函数的函数表达式为(　　) A.y＝2x＋4 B.y＝2x－4 C.y＝－2x＋4 D.y＝－2x－4 返回 C 基础提优题 2.［2026苏州期中］直线l与直线y＝平行，且与y轴的交点和直线y＝3x＋5与y轴的交点为同一点，则l的表达式 为　　　　　　 . 返回 y＝－＋5 基础提优题 【点拨】因为直线l与直线y＝＝－＋平行，所以设直线l的函数表达式为y＝－＋b.对于y＝3x＋5，当x＝0时，y＝5，所以直线y＝3x＋5与y轴的交点为(0，5).所以直线l过点(0，5).把点(0，5)的坐标代入y＝－＋b，得b＝5.所以直线l的函数表达式为y＝－＋5. 返回 基础提优题 3.已知直线l1：y＝2x＋1与直线l2：y＝kx＋b相交于点A(1，m)，直线l2经过点B(－1，－5). (1)求m的值； 返回 【解】因为 A(1，m)在直线l1：y＝2x＋1上，所以 m＝2×1＋1＝3，则m的值为3. 基础提优题 返回 (2)求直线l2的表达式； 【解】因为 m＝3，所以 A(1，3). 因为直线l2经过点A(1，3)和B(－1，－5)， 所以 解得 所以直线l2的表达式为y＝4x－1. 基础提优题 返回 (3)求两条直线与y轴围成的三角形的面积. 【解】如图，l1与y轴交于点C，l2与y轴交于点D， 对于l1：y＝2x＋1，当x＝0时，y＝1，则C(0，1). 对于l2：y＝4x－1，当x＝0时，y＝－1，则D(0，－1). 所以 CD＝2. 又因为 A(1，3)， 所以 S△ACD＝×2×｜xA｜＝×2×1＝1， 则两条直线与y轴围成的三角形的面积为1. 基础提优题 知识点2 借助一次函数表达式解决实际问题 4. 秤是我国传统的计重工具，称重时，若秤杆上秤砣到秤纽的水平距离为x(厘米)时，秤钩所挂物重为y(斤)，则y是x的一次函数，下表中为若干次称重时所记录的一些数据.则当秤钩所挂物重是6.9斤时，秤杆上秤砣到秤纽的水平距离为　　　厘米. 返回 x/厘米 1 2 3 4 5 6 y/斤 0.6 1.3 2 2.7 3.4 4.1 10 基础提优题 5.如图表示的是甲、乙两船沿相同路线从A港出发到B港的行驶过程中，路程y(km)随时间t(h)变化的图象，则乙船出发多长时间赶上甲船？(　　) A.1.5 h　　 B.2 h　　 C.2.5 h　　 D.3.5 h 返回 B 基础提优题 【点拨】设y甲＝kt，将(8，160)代入得160＝8k， 解得k＝20，所以y甲＝20t(0≤t≤8).设y乙＝at＋b， 将(2，0)，(6，160)代入得 解得 所以y乙＝40t－80(2≤t≤6).联立得 解得 所以乙船出发4－2＝2(h)赶上甲船. 返回 基础提优题 6.某工厂生产一种产品，当生产数量至少为20吨，但不超过60吨时，每吨的成本y(万元)与生产数量x(吨)之间是一次函数关系，其图象如图所示. (1)求出y关于x的函数表达式； 返回 综合应用题 【解】设y关于x的函数表达式是y＝kx＋b. 因为点(20，6)，(28，5.6)在该函数图象上， 所以 解得 即y关于x的函数表达式是y＝－0.05x＋7. 返回 综合应用题 (2)如果每吨的成本是4.8万元，求该产品的生产数量. 返回 【解】当y＝4.8时，4.8＝－0.05x＋7，解得x＝44. 答：该产品的生产数量是44吨. 综合应用题 7. 对于一次函数y＝kx＋b，当－3≤x≤1时，－1≤y≤7，则k的值为(　　) A.2　　 B.－2　　 C.2或5　　 D.2或－2 返回 D 综合应用题 【点拨】由一次函数的性质知，当k＞0时，y随x的增大而增大，所以解得k＝2；当k＜0时，y随x的增大而减小，所以解得k＝－2.所以k的值为2或－2. 返回 综合应用题 8. 如图，在平面直角坐标系中，直线y＝－x＋3与x轴、y轴交于A，B两点，一束光从点C(2，0)发出，射向y轴上的点D(0，1)，经点D反射后经过AB上一点E，则点E的坐标是(　　) A.　　 B. C.　　 D. 返回 B 综合应用题 【点拨】方法1：作点C关于y轴的对称点C′，连接 C′D，则C′的坐标为(－2，0).由光的反射定律可知， 反射光线DE所在的直线必过点C′，由C′(－2，0)， D(0，1)，得直线DE函数表达式为y＝x＋1，联立 得解得所以E. 返回 综合应用题 方法2：在D上方取点F，使DF＝OD＝1，过F作FG⊥y轴交DE的延长线于G，如图， 由反射定律可得，∠EDF＝∠CDO. 又因为OD＝DF，∠DFG＝90°＝∠AOD， 所以△FDG≌△ODC(ASA)，所以FG＝OC＝2， 返回 综合应用题 所以G(2，2).由G(2，2)，D(0，1)，得直线DG的函数 表达式为y＝x＋1，联立得解得 所以E.故选B. 返回 综合应用题 9. 已知直线l1与x轴交于点A(－2，0)，与y轴交于正半轴，且直线l1与两坐标轴围成的三角形的面积为4.将直线l1向下平移m(m＞0)个单位长度得到直线l2，直线l2交x轴于点B.若点A与点B关于y轴对称，则m的值为(　　) A.8　　 B.7　　 C.6　　 D.5 返回 A 综合应用题 【点拨】根据题意，画出示意图如图.设直线l1 与y轴交于点C，点C的坐标为(0，n)(n＞0).因 为点A与点B关于y轴对称，点A(－2，0)，所 以点B的坐标为(2，0).因为直线l1与两坐标轴 围成的三角形的面积为4，所以×｜－2｜×n＝4，解得n＝4.所以点C的坐标为(0，4). 返回 综合应用题 设直线l1的表达式为y＝kx＋b.把A(－2，0)，C (0，4)的坐标代入，得解得 所以y＝2x＋4.因为直线l2由直线l1平移得到，所以设 直线l2的表达式为y＝2x＋b′.把B(2，0)的坐标代入，得2×2＋b′＝0，解得b′＝－4，所以直线l2的表达式为y＝2x－4.所以m＝4－(－4)＝8. 返回 综合应用题 10. 如图，在平面直角坐标系中，点B的坐标为(3，1)，AB＝OB，∠ABO＝90°，则直线AB的函数表达式是　　 　　. (第10题) 返回 y＝－3x＋10 综合应用题 【点拨】如图，过点A作AC∥x轴交y轴于点 C，过点B作BD∥y轴交x轴于点D，两条直 线相交于点E，易得∠ACO＝∠E＝∠BDO ＝90°，所以∠BAE＋∠EBA＝90°.因为 ∠ABO＝90°，所以∠EBA＋∠OBD＝90°，所以∠OBD＝∠BAE.因为B(3，1)，所以OD＝CE＝3，BD＝1. 返回 综合应用题 在△ABE与△BOD中， 所以△ABE≌△BOD(AAS)，所以AE＝BD＝1， BE ＝OD＝3，所以AC＝CE－AE＝2，DE＝BD＋BE＝4， 所以A(2，4).设直线AB的表达式为y＝kx＋b.将A(2，4)， B(3，1)的坐标代入，得 解得 所以直线AB的表达式为y＝－3x＋10. 返回 综合应用题 11. ［全国竞赛］如图，在直角坐标系中，A(2，－6)，B(6，－1)， C(m，0)，D(0，n)，当四边形ABCD周长最小时，的值是　　　　. (第11题) 返回 － 综合应用题 【点拨】如图，作点A(2，－6)关于y轴的对称点A′(－2，－6)，点B(6，－1)关于x轴的对称点B′(6，1)，连接A′B′，交y轴于点D，交x轴于点C，此时四边形ABCD周长最小.设直线A′B′的表达式为y＝kx＋b，则 返回 综合应用题 解得所以y＝x－.当y＝0时， x－＝0，解得x＝；当x＝0时，y＝－， 所以C，D.所以m＝，n＝－.所以＝－. 返回 综合应用题 12. 在一条笔直的道路上依次有A，B，C三地，快快同学从A地跑步到C地，同时乐乐同学从B地跑步到A地，休息1 min后接到通知，要求乐乐比快快早1 min到达C地，两人均匀速运动，如图所示为两人距A地路程s(m)与快快跑步时间t(min)之间的函数图象. 返回 综合应用题 (1)a＝　　　　，乐乐去A地的速度为　　　　m/min； 返回 2 200 综合应用题 (2)结合图象，求出乐乐从A地到C地对应的函数表达式(写出自变量的取值范围)； 返回 【解】设乐乐从A地到C地对应的函数表达式为s＝kt＋b(k≠0). 因为F(3，0)，G(7，1 200)在该函数图象上， 综合应用题 所以解得 所以乐乐从A地到C地对应的函数表达式为s＝300t－900(3≤t≤7). 返回 综合应用题 (3)请直接写出两人与B地的距离相等的时间. 返回 【解】min或min或6 min或8 min. 综合应用题 【点拨】设线段OH对应的函数表达式为s′＝mt(k≠0). 因为H(8，1 200)在函数图象上，所以8m＝1 200， 解得m＝150.所以线段OH对应的函数表达式为 s′＝150t(0≤t≤8).①当0≤t≤2时，200t＝400－150t， 解得t＝；②当2≤t≤3时，400＝150t－400，解得 t＝(不合题意，舍去)；③当3≤t≤7时，400－(300t－900)＝150t－400或300t－900＝150t，解得t＝或t＝6；④当t＝8时，两人距B地的路程相等.综上所述，两人与B地的距离相等的时间为min或min或6 min或8 min. 返回 综合应用题 13. ［2026眉山期末］如图，在平面直角坐标系中，直线l：y＝x＋与x轴交于点A且经过点B，直线BC与x轴交于点C. 返回 创新拓展题 【解】因为直线l：y＝x＋经过点B， 所以m＝×2＋＝3.所以B. 设直线BC的函数表达式为y＝kx＋b， 将B，C的坐标代入， 得 解得 所以直线BC的函数表达式为y＝－3x＋9. (1)求直线BC的函数表达式； 返回 创新拓展题 (2)在线段BC上找一点D，使得△ABO与△ABD的面积相等，求出点D的坐标； 返回 创新拓展题 【解】如图①，过点O作OD∥AB交BC于D，由平行线间距离相等可知，△ABO与△ABD的面积相等. 因为直线AB的表达式为y＝x＋， 所以直线OD的表达式为y＝x. ① 返回 创新拓展题 联立，得解得 所以D. ① 返回 创新拓展题 (3)y轴上有一动点P，直线BC上有一动点M，若△APM是以线段AM为斜边的等腰直角三角形，请直接写出点M的坐标. 返回 【解】点M的坐标为或. 创新拓展题 返回 【点拨】易得A(－2，0)，所以OA＝2.设点P的坐 标为(0，n)，点M的坐标为(m，9－3m).①当点P 在AM上方时，过点P作x轴的平行线，分别与过 A，M的y轴平行线交于点G，H，如图②，则∠AGP ＝∠PHM＝90°，GP＝OA＝2. 因为∠GPA＋∠GAP＝90°，∠GPA＋∠HPM＝90°， 所以∠GAP＝∠HPM. ② 创新拓展题 返回 又因为PA＝PM， 所以△AGP≌△PHM(AAS). 所以GP＝HM＝2，GA＝PH. 所以解得 所以点M的坐标为； ② 创新拓展题 ②当点P在AM下方时，过点P作x轴的平行线，分别与过A，M的y轴平行线交于点G，H，如图③，则∠AGP＝∠PHM＝90°，GP＝OA＝2. 因为∠GPA＋∠GAP＝90°，∠GPA＋∠HPM＝90°， 所以∠GAP＝∠HPM. 又因为PA＝PM， 所以△AGP≌△PHM(AAS). 所以GP＝HM＝2，GA＝PH. 返回 ③ 创新拓展题 所以解得 所以点M的坐标为. 综上，点M的坐标为或. 返回 ③ 创新拓展题 $ 第五章 二元一次方程组 2 二元一次方程组的解法 第2课时 加减消元法 答 案 呈 现 温馨提示：点击 进入讲评 10 11 12 13 14 14 ②③④ (1) 习题链接 知识点1 直接加减消元 1. 在解二元一次方程组时，若①－②可直接消去未知数y，则m和n满足的条件是(　　) A.m＝n　　 B.mn＝1 C.m＋n＝0　　 D.m＋n＝1 返回 C 基础提优题 2.［2026广州期末］已知关于x，y的二元一次方程组的解满足x－y＝4，则m的值为(　　) A.0　　 B.1　　 C.2　　 D.3 返回 B 基础提优题 【点拨】 ①－②，得2x－2y＝2m＋6， 所以x－y＝m＋3. 又因为x－y＝4，所以m＋3＝4，解得m＝1. 基础提优题 3.已知a，b都是有理数，观察下表中的运算，则m＝　　　. 返回 a，b的运算 a＋b a－b a＋2b 运算的结果 5 9 m 3 基础提优题 知识点2 先变形，再加减消元 4.数学课堂上，王老师让大家用加减消元法解方程组 下面是四位同学的求解思路，其中正确的是(　　) A.要消去y，可以将①×5＋②×2 B.要消去x，可以将①×3－②×5 C.要消去y，可以将①×3＋②×2 D.要消去x，可以将①×5－②×2 返回 D 基础提优题 5.解下列方程组： (1)　 返回 【解】整理，得 ①×2－②，得－y＝－8，解得y＝8. 把y＝8代入①，得x－24＝－7，解得x＝17. 所以原方程组的解为 基础提优题 (2) 返回 【解】方程组变形为 由①×2－②，得y＝1. 把y＝1代入②，得2x＋3＝7，解得x＝2. 所以原方程组的解为 基础提优题 6.下面是数学课上小颖同学解方程组的过程，老师在旁边标注了步骤，请认真阅读并完成相应的任务. 解：①×3，得15x＋6y＝75.③(第一步) ②×5，得15x＋4y＝15.④(第二步) ③－④，得2y＝60，(第三步) 返回 基础提优题 解得y＝30.(第四步) 把y＝30代入①，得x＝－7.(第五步) 所以原方程组的解为(第六步) 返回 基础提优题 (1)小颖用　　　消元法解方程组；(填“代入”或“加减”) (2)小颖的解答从第　　　步出现了错误； 加减 二 返回 基础提优题 (3)求该方程组的解. 【解】 ①×3，得15x＋6y＝75.③ ②×5，得15x＋20y＝75.④ ③－④，得－14y＝0，解得y＝0. 把y＝0代入①，得x＝5. 所以原方程组的解为 返回 基础提优题 7. 如图，在一块纸板上裁出一款底面为正方形的长方体包装盒，另外多留三处等宽接口(图中阴影部分)，用于折叠后粘贴，若包装盒的高是底面边长的2倍，则包装盒的底面边长 为(　　)  A.4 cm　　　 B.5 cm　　　 C.6 cm　　　 D.7 cm 返回 C 综合应用题 【点拨】设包装盒的底面边长为x cm，接口的宽为y cm，则高为2x cm，根据题意，得 ②－①，得y＝1.将y＝1代入①，解得x＝6.所以原方程组的解为 所以包装盒的底面边长为6 cm. 综合应用题 8.已知二元一次方程组 则(x＋y)•(x－y)的值等于　　　. 返回 －1 综合应用题 【点拨】 ①＋②，得3x＋3y＝5，则x＋y＝，①－②，得5x－5y＝－3，则x－y＝－，所以(x＋y)(x－y)＝×＝－1. 综合应用题 9. ［2026南阳期末］甲、乙两人在解方程组时，甲因看错a，解得乙将其中一个方程的b写成了其相反数，解得 则方程组的正确解为　　　　　　. 返回 综合应用题 【点拨】将代入4x－by＝－1，得8－3b＝－1，解得b＝3.将代入4x＋3y＝－1，方程左右两边不相等，故是方程ax－3y＝5的解. 综合应用题 将代入ax－3y＝5，解得a＝10.所以方程组为解得 综合应用题 10. 若关于m，n的方程组的解是 则关于x，y的方程组 的解是　　　　. 返回 综合应用题 【点拨】因为关于m，n的方程组 的解是 所以 所以a－b＝1，c－d＝－1，所以关于x，y的方程组即为 ①＋②得(a＋c)x＝0， 返回 综合应用题 由关于m，n的方程组的解是可知a＋c≠0，所以解(a＋c)x＝0，得x＝0.把x＝0代入ax＋y＝1，得y＝1，所以关于x，y的方程组的解是 返回 综合应用题 11. 关于x，y的二元一次方程组的解是正整数，则满足条件的整数p的值的和为　　　. 返回 14 综合应用题 【点拨】解二元一次方程组得 因为关于x，y的二元一次方程组的解是正整数，所以为正整数且为正整数.所以整数p＝6或8.所以满足条件的整数p的值的和为6＋8＝14. 返回 综合应用题 12. ［杭州竞赛］已知关于x，y的方程组a为常数，给出下列结论，其中正确的是　　 　　(填序号). ①是方程组的解； ②当a＝2时，方程组的解也是方程x＋y＝5－a的解； ③无论a取何值，x，y的值都不可能互为相反数； ④x，y都为正整数的解有2对. 返回 ②③④ 综合应用题 返回 【点拨】①将x＝6，y＝－1代入方程组，得由(ⅰ)得a＝1，由(ⅱ)得a＝，故①不正确；②将a＝2代入方程组，得解此方程组得将x，y，a的值代入方程x＋y＝5－a，得方程左边＝3＝右边，所以当a＝2时，方程组的解也是方程x＋y＝5－a的解，故②正确； 综合应用题 返回 ③　(ⅰ)－(ⅱ)，得8y＝4－4a，解得y＝，将y＝代入(ⅰ)，得x＝，所以x＋y＝3，故无论a取何值，x，y的值都不可能互为相反数，故③正确；④因为x＋y＝3，所以x，y都为正整数的解有或故④正确. 综合应用题 13.已知关于x，y的方程组 (1)当a＝0时，该方程组的解是　　　　　. (2)x与y的数量关系是　 　(不含字母a). 返回 3x＋y＝－5 综合应用题 (3)是否存在有理数a，使得｜x＋3｜＋y2＝0？若存在，请求出a的值；若不存在，请说明理由. 【解】不存在.理由如下：因为｜x＋3｜＋y2＝0，所以x＋3＝0，y＝0，解得x＝－3.将x＝－3，y＝0代入方程组，得解得a＝0且a＝，矛盾，所以不存在有理数a，使得｜x＋3｜＋y2＝0. 返回 综合应用题 14. 阅读下列解方程组的方法，然后解决问题. 解方程组时，我们如果直接考虑消元会比较复杂，而采用下面的解法则比较简便. 解：①－②，得3x＋3y＝3，所以x＋y＝1.③ 返回 创新拓展题 ③×16，得16x＋16y＝16.④ ②－④，得x＝－2. 将x＝－2代入③，得y＝3. 所以原方程组的解是 返回 创新拓展题 (1)请采用上面的方法解方程组 【解】 ①－②，得3x＋3y＝3， 所以x＋y＝1.③ 返回 创新拓展题 ③×2 024，得2 024x＋2 024y＝2 024.④ ②－④，得x＝－1. 把x＝－1代入③，得y＝2. 所以原方程组的解为 返回 创新拓展题 (2)求关于x，y的方程组 的解. 返回 【解】 ①－②，得7x＋7y＝7， 所以x＋y＝1.③ 创新拓展题 ③×(a－5)，得(a－5)x＋(a－5)y＝a－5.④ ②－④，得－2y＝5，解得y＝－. 把y＝－代入③，得x＝. 返回 创新拓展题 所以原方程组的解为 返回 类比题目解法，通过两式相减后得到x＋y＝1是解题的关键. 创新拓展题 $ 第五章 二元一次方程组 2 二元一次方程组的解法 第1课时 代入消元法 知识点1 直接代入消元法 1.用代入消元法解方程组 时，消去y，得到关于x的方程是(　　) A.2x－(1＋x)＝5　　 B.2x－1＋x＝5 C.2x＋1＋x＝5　　 D.2x＋5＝1＋x 返回 A 基础提优题 2.二元一次方程组的解为　 　　　. 返回 基础提优题 3. 剪纸艺术是最古老的中国民间艺术之一，很多剪纸作品体现了数学中的对称美.如图，蝴蝶剪纸是一幅轴对称图形，将其放在平面直角坐标系中，若点E的坐标为(2m，n)，其关于y轴对称的点F的坐标为(1＋3n，m＋8)，则m－4n＝　　　　. 返回 －17 基础提优题 知识点2 先变形，再代入消元 4.用代入消元法解方程组的最佳策略是(　　) A.消y，由②得y＝(23－9x) B.消x，由①得x＝5y＋2 C.消x，由②得x＝(23－2y) D.消y，由①得y＝(x－2) 返回 B 基础提优题 5.下面是小颖同学解方程组  的过程： 解：由①，得y＝3x－7.③ 第一步 把③代入①，得3x－(3x－7)＝7， 第二步 即7＝7. 第三步 所以此方程组无解. 第四步 其中，开始出现错误的是第　　　步. 返回 二 基础提优题 6.下面是小明同学解方程组的过程的框图表示，请你帮他补充完整： 其中，①为　　　　，②为　　　　，③为　　　　. 返回 代入 消去x 解得x 基础提优题 7.用代入消元法解下列方程组： (1) 返回 【解】 由①得b＝.③　 基础提优题 将③代入②，得5a－2(13－3a)＝7，解得a＝3. 把a＝3代入③，得b＝2. 所以原方程组的解是 返回 基础提优题 (2) 返回 【解】整理，得 由①得x＝5y－6，③ 基础提优题 把③代入②，得5×(5y－6)－y＝18，解得y＝2. 把y＝2代入③，得x＝4. 所以原方程组的解是 返回 基础提优题 8.若－2xm－ny2与3x4y2m＋n是同类项，则3n－m的立方根是(　　) A.2　　　 B.－2　　　 C.4　　　　D.－4 【点拨】因为－2xm－ny2与3x4y2m＋n是同类项，所以解得 所以3n－m＝3×(－2)－2＝－8.因为－8的立方根是－2，所以3n－m的立方根是－2. 返回 B 综合应用题 9.已知关于x，y的方程组 若x，y的值相等，则n的值为(　　) A.－1　　 B.－4　　 C.2　　 D.－2 返回 B 综合应用题 【点拨】因为x，y的值相等，所以原方程组可化为 由①得y＝n③. 把③代入②中得n＝n＋1，解得n＝－4. 综合应用题 10.关于x，y的二元一次方程组的解是二元一次方程x＋3y＝24的一个解，则a的值是(　　) A.－4　　 B.－2　　 C.2　　 D.4 返回 A 综合应用题 【点拨】 由②得x＝9a＋2y③， 把③代入①得18a＋5y＝3a，解得y＝－3a.把y＝－3a代入③得x＝3a，所以原方程组的解为因为关于x，y的二元一次方程组的解是二元一次方程x＋3y＝24的一个解，所以3a－9a＝24，所以a＝－4. 返回 综合应用题 11. 对于x，y定义一种新运算F，规定F(x，y)＝ax＋by(其中a，b均为非零常数)，这里等式右边是通常的四则运算，例如：F(0，0)＝a×0＋b×0＝0.若F(1，2)＝－3，F(2，－1)＝4，则下列结论中正确的个数为(　　) ①F(3，4)＝－5； ②若F(m，n)－2F(－m，n)＝27，则m，n有且仅有4组正整数解； ③若k＝1，则F(kx，y)＝F(x，ky)对任意有理数x，y均成立. A.3　　 B.2　　 C.1　　 D.0 返回 A 综合应用题 【点拨】由题意得，所以 所以F(x，y)＝x－2y.所以F(3，4)＝3－2×4＝－5，所以①正确.由题意得，m－2n－2(－m－2n)＝27，所以3m＋2n＝27，其正整数解为或或或共4组，所以②正确.显然当k＝1时，有F(x，y)＝F(x，y)总成立，所以③正确.故选A. 返回 综合应用题 12. 若方程组无解，则y＝kx－2的图象不经过第　　　象限. 返回 二 综合应用题 【点拨】由①得y＝2kx－3③.将③代入②，得2kx－3＝(3k－1)x＋2，所以(k－1)•x＝－5.因为方程组无解，所以k－1＝0，所以k＝1.当k＝1时，y＝kx－2＝x－2，因为y＝x－2的图象经过第一、三、四象限，所以y＝x－2的图象不经过第二象限. 本题的关键点在于明确方程组无解，则消元后得到的一元一次方程中未知数的系数等于0. 返回 综合应用题 13. 已知实数a，b满足2 027a＋2 026b＝3，2a＋b＝1，则 的值为　　　　. 返回 － 综合应用题 【点拨】联立得 由②得b＝1－2a③， 把③代入①，得2 027a＋2 026(1－2a)＝3，去括号，得2 027a＋2 026－4 052a＝3，移项、合并同类项，得－2 025a＝－2 023，解得a＝，把a＝代入③，得b＝1－＝－，则＝－. 返回 综合应用题 14. 已知二元一次方程组则x＋y的值等于　　　. 返回 5 综合应用题 【点拨】当x≥0，y≥0时，原方程组可转化为解得不符合题意，故舍去；当x≥0，y＜0时，原方程组可转化为解得此时x＋y＝－＝； 返回 综合应用题 当x＜0，y≥0时，原方程组可转化为不符合题意，故舍去；当x＜0，y＜0时，原方程组可转化为解得不符合题意，故舍去.综上，x＋y＝. 返回 综合应用题 15. 已知关于x，y的方程组和有相同的解. (1)求出它们的相同解； 返回 【解】由题意得 由②得x＝(1－5y).③ 综合应用题 将③代入①，得(1－5y)－7y＝16，解得y＝－1. 把y＝－1代入③，得x＝3. 所以方程组的解为 返回 综合应用题 (2)求(a＋b)2 026的值. 返回 【解】把分别代入2ax－by＝4和ax＋2by＝7，得 由①得b＝4－6a.③ 把③代入②，得3a－2(4－6a)＝7，解得a＝1. 把a＝1代入③，得b＝－2. 所以(a＋b)2 026＝［1＋(－2)］2 026＝(－1)2 026＝1. 综合应用题 16. 小明为了方便探究关于x，y的二元一次方程ax＋by＝9(a≠0，b≠0)的解的规律，把x和y的部分值填入下表. (1)p的值为　　. 返回 x －7 －4 0 2 8 y 10 7 p 1 －5 3 创新拓展题 (2)下列方程中，与ax＋by＝9组成方程组，在－7＜x＜8范围内有解的是　　　.(填序号) ①2x＋y＝－5；②x＋2y＝－4；③3x－y＝1. ③ 返回 创新拓展题 【点拨】由(1)得x＋y＝3.方程组的解为 故①不符合题意.方程组的解为 故②不符合题意.方程组的解为 故③符合题意.故答案为③. 返回 创新拓展题 (3)已知关于x的二元一次方程cx＋dy＝1(c≠0，d≠0)的部分解如下表所示. 求关于x，y的方程组的解. x －7 … 0 … 8 y －2 … q … 13 返回 创新拓展题 【解】把x＝－7，y＝－2和x＝8，y＝13代入cx＋dy＝1，得 解得 所以cx＋dy＝1即为－x＋y＝1， x －7 … 0 … 8 y －2 … q … 13 返回 创新拓展题 所以y－x＝5， 所以原方程组即为 解得 故方程组的解为 x －7 … 0 … 8 y －2 … q … 13 返回 创新拓展题 $ 第五章 二元一次方程组 *5 三元一次方程组 知识点1 三元一次方程组的相关概念 1.下列方程组中，是三元一次方程组的是(　　) A.　　 B. C.　　 D. 返回 D 基础提优题 2.若(a＋1)x＋5yb＋1＋2z2－｜a｜＝10是一个三元一次方程，则a＝　　　，b＝　　　. 返回 1 0 基础提优题 3. 请写出一个以为解的三元一次方程：　　　　　　　 　　. 返回 (答案不唯一)2x＋y－z＝8 基础提优题 知识点2 三元一次方程组的解法 4.解方程组最简便的消元方法是(　　) A.先消去x　　 B.先消去y C.先消去z　　 D.先消去常数项 返回 B 基础提优题 5.若方程组的解满足k＝a＋b＋c，则点P (k＋2，1－2k)在第　　　象限. 返回 四 基础提优题 【点拨】①＋②＋③，得a＋b＋b＋c＋c＋a＝3＋2＋1，整理得2(a＋b＋c)＝6，所以a＋b＋c＝3.所以k＝3.所以P(5，－5).所以点P(k＋2，1－2k)在第四象限. 返回 基础提优题 6. 解方程组： (1) 返回 【解】将①代入②，得3(y＋)＋y＝18，整理得4y＋3＝18，④ 综合应用题 将①代入③，得y＋z＋y＋z＝10，整理得y＋z＝5，⑤ ⑤×3，得3y＋3z＝15，⑥　④－⑥，得y＝3. 把y＝3代入⑤，得3＋z＝5，解得z＝2. 把y＝3，z＝2代入①，得x＝5. 所以原方程组的解为 返回 综合应用题 (2) 返回 【解】①＋②，得3x－y＝1.④ 综合应用题 把④代入③，得1＋2＝－5，解得＝－3. 把＝－3分别代入①②， 得 解得 所以原方程组的解为 返回 综合应用题 7.设 ， ， 分别表示三种不同的物体，如图所示，前两架天平保持平衡，如果要使第三架天平也保持平衡，右边应放“ ”的个数为(　　) A.1　　 B.2　　 C.3　　 D.4 返回 B 基础提优题 8.有A，B，C三种货物，甲购A 3件，B 5件，C 1件，共200元.乙购A 4件，B 7件，C 1件，共250元，则丙购A，B，C各1件，应付　　　　元. 返回 100 基础提优题 【点拨】设A，B，C的单价分别为x元、y元、z元. 甲购A 3件，B 5件，C 1件，共200元，即3x＋5y＋z＝200①， 乙购A 4件，B 7件，C 1件，共250元，即4x＋7y＋z＝250②， ②－①，得x＋2y＝50③， ①×2－②，得2x＋3y＋z＝150④， ④－③，得x＋y＋z＝100， 所以丙购A，B，C各1件，应付100元. 返回 基础提优题 9.已知xyz≠0，满足x＋4y－3z＝0且4x－5y＋2z＝0，则x:y:z 为(　　) A.1:2:3　　 B.1:3:2 C.2:1:3　　 D.3:1:2 返回 A 综合应用题 【点拨】联立得 ①×5＋②×4，得21x－7z＝0，解得x＝z，代入①得y＝，则x:y:z＝z:z:z＝::1＝1:2:3. 返回 综合应用题 10.已知多项式ax2＋bx＋c中，a，b，c为常数，x的取值与多项式对应的值如下表： 则N的值为(　　) A.15　　 B.19　　 C.21　　 D.23 返回 x 1 －5 2 －6 ax2＋bx＋c M M＋12 7 N D 综合应用题 【点拨】当x＝1时，a＋b＋c＝M①；当x＝2时，4a＋2b＋c＝7②；当x＝－5时，25a－5b＋c＝M＋12③；当x＝－6时，36a－6b＋c＝N④.③－①，得24a－6b＝12，即4a－b＝2.④－②，得32a－8b＝N－7.所以8(4a－b)＝N－7.所以N－7＝16.所以N＝23. x 1 －5 2 －6 ax2＋bx＋c M M＋12 7 N 返回 综合应用题 11.一个三角形的周长为48 cm，最长边与最短边的差为 14 cm，第三边与最短边之和为25 cm，那么这个三角形最短边的长为　　cm. 返回 9 综合应用题 【点拨】设三角形最长边的长为a cm，最短边的长为b cm，第三边的长为c cm，根据题意得 ②＋③得a＋c＝39 ④，把④代入①得b＝9，则这个三角形最短边的长为9 cm. 返回 综合应用题 12. ［2026上海期末］甲、乙、丙三人各有糖若干粒，要求互相赠送.先由甲给乙、丙，所给的糖数等于乙、丙原来各有的糖数，依同法再由乙给甲、丙现有糖数，后由丙给甲、乙现有糖数，互送后每人恰好各有24粒，原来甲、乙共有糖 　　　粒. 返回 60 综合应用题 【点拨】设甲、乙、丙原来分别有糖x粒、y粒、 z粒，甲赠送后甲有(x－y－z)粒，乙有2y粒，丙有2z粒，乙赠送后甲有2(x－y－z)粒，乙有2y－(x－y－z)－2z＝(－x＋3y－z)粒，丙有4z粒，丙赠送后甲有4(x－y－z)粒，乙有2(－x＋3y－z)粒，丙有4z－2(x－y－z)－(－x＋3y－z)＝(－x－y＋7z)粒. 返回 综合应用题 因为互送后每人恰好各有24粒，所以 解得 所以x＋y＝39＋21＝60， 所以原来甲、乙共有糖60粒. 返回 综合应用题 13.解方程组： (1) 返回 【解】 综合应用题 设x＝k，则由①得y＝2k，＝3k， 代入②，得2k＋2k－9k＝15，解得k＝－3. 所以原方程组的解为 像这种已知未知数之间数量比的问题，通常采用设参数的方法，将“多元”化为“一元”，使解题过程更简便. 返回 综合应用题 (2) 返回 【解】设＝a，＝b，＝c， 则原方程组可化为 综合应用题 ①＋②，得2a＋2c＝1，④ ②＋③，得2a＋4c＝4.⑤ ④与⑤组成方程组 解这个方程组，得 返回 综合应用题 把代入①，得b＝6. 因此，＝－1，＝6，＝， 所以原方程组的解为 返回 综合应用题 14. ［2026台州期末］小满时节，日照增，气温升，降雨多，清热利湿很重要，中医记载：取茯苓15 g、陈皮6 g、白扁豆 15 g，可制成一包祛湿茶，可以宁神、健脾、化湿、开胃.某中药店购入一批茯苓、陈皮、白扁豆各若干克，按标准制成100包袪湿茶，茯苓刚好用完，剩余的白扁豆比陈皮多888 g. (1)购入茯苓的质量为　　　　g；这100包祛湿茶所用原料陈皮与白扁豆的质量比为　　　　　. 返回 1 500 2∶5 创新拓展题 (2)若第二批购入茯苓若干克、陈皮300 g、白扁豆771 g，和剩余原料一起按标准制成第二批祛湿茶，所有原料恰好用完，则第二批能制成祛湿茶多少包？ 返回 【解】设第一批剩下的陈皮有x g，白扁豆y克， 由题意得 解得所以＝151. 所以第二批能制成祛湿茶151包. 创新拓展题 (3)药店将第一批制成的100包祛湿茶全部售出后，获得900元的利润(利润＝祛湿茶销售额－所用原料的成本)，若第二批购入的茯苓价格上涨10％，陈皮和白扁豆的价格不变，于是药店将祛湿茶单价上涨10％，将第二批祛湿茶也全部售出，药店两次销售共获得2 410元的利润，则两次购买的陈皮和白扁豆共花费多少元？ 返回 创新拓展题 【解】设第一批祛湿茶单价为x元/包，第一批购入的茯苓价格为y 元/克，第一批祛湿茶用掉的陈皮和白扁豆共花费z元， 由题意得， 解得z＝100.所以z＝151.所以z＋z＝251. 所以两次购买的陈皮和白扁豆共花费251元. 返回 创新拓展题 $ 第五章 二元一次方程组 4 二元一次方程与一次函数 第1课时 二元一次方程与一次函数 知识点1 二元一次方程与一次函数的关系 1.直线上每个点的坐标都是二元一次方程x－2y＝2的解的直线是(　　) 返回 C 基础提优题 2.若以二元一次方程x＋2y－b＝0的解为坐标的点(x，y)都在直线y＝－x＋1上，则常数b＝(　　) A.　　 B.1　　 C.－1　　 D.2 返回 D 基础提优题 3.一次函数y＝2x－4的图象上有一点的坐标是(　　，2)，则 方程2x－y＝4必有一个解为　　　　. 返回 3 基础提优题 知识点2 二元一次方程组与一次函数的关系 4.［2026北京海淀区期中］若直线y＝3x＋6与直线y＝2x－4的交点坐标为(a，b)，则解为的方程组是(　　) A.　　 B. C.　　 D. 返回 C 基础提优题 5.直线y＝ax＋2与直线y＝3x－2平行，下列说法不正确的是(　　) A.a＝3 B.直线y＝ax＋2与y＝3x－2没有交点 C.方程组无解 D.方程组有无穷多个解 返回 D 基础提优题 6.［2026绍兴期末］已知关于x，y的方程组所对应的两个一次函数的图象如图所示，则4a－b的值为　　　. 返回 11 基础提优题 【点拨】根据题意得，方程组的解为将代入ax－3y＝5，得a＝4.将代入6x＋by＝－2，得b＝5.则4a－b＝4×4－5＝11. 返回 基础提优题 7. 如图，直线l1：y＝x＋1与直线l2：y＝mx＋n相交于点P(1，b). (1)求b的值. 返回 【解】把点P(1，b)的坐标代入y＝x＋1，得b＝1＋1＝2. 基础提优题 (2)不解关于x，y的方程组请你直接写出它的解. 返回 【解】方程组 的解为 基础提优题 (3)直线l3：y＝nx＋m是否也经过点P？请说明理由. 返回 基础提优题 【解】直线l3：y＝nx＋m也经过点P.理由如下：因为直线l2：y＝mx＋n经过点P(1，2)，所以m＋n＝2. 所以易知直线y＝nx＋m也经过点P. 返回 基础提优题 8.若关于x，y的方程组无解，则直线y＝－ (k＋3)x－k不经过(　　) A.第一象限　　 B.第二象限 C.第三象限　　 D.第四象限 返回 C 综合应用题 【点拨】因为方程组无解，所以直线y＝－x＋1与y＝(2k＋1)x－3平行，所以－1＝2k＋1，解得k＝－1，则直线y＝－(k＋3)x－k＝－(－1＋3)x－(－1)＝－2x＋1.直线y＝－2x＋1经过一、二、四象限，不经过第三象限.故选C. 返回 综合应用题 9.正比例函数y＝kx(k为整数)的图象与直线y＝x＋8的交点恰好是整点(横、纵坐标都是整数的点称为整点)，则满足条件的正比例函数有(　　) A.5个　　 B.6个　　 C.7个　　 D.无数个 返回 C 综合应用题 【点拨】联立得 解得x＝.因为x为整数，所以k－1＝±8，±4，±2，±1，所以k＝9，－7，5，－3，3，－1，2，0.又因为k≠0，所以满足条件的k值有7个，即满足条件的正比例函数有7个. 返回 综合应用题 10.如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝x＋m与y＝nx＋1的图象分别与y轴交于点，，则关于x，y的二元一次方程组的解为(　　) A.　　　　 B. C.　　　　 D. 返回 A 综合应用题 【点拨】因为一次函数y＝x＋m的图象与y轴交于点，将一次函数y＝x＋m的图象向下平移3个单位长度得到一次函数y＝x＋m－3的图象，所以一次函数y＝x＋m－3的图象与y轴交于点.而一次函数y＝nx＋1的图象与y轴也交于点，所以一次函数y＝x＋m－3与y＝nx＋1的图象的交点为，所以关于x，y的二元一次方程组的解为 返回 综合应用题 11. 如图，直线y＝kx(k≠0)与y＝x＋4在第二象限交于点A，直线y＝x＋4与x轴、y轴分别交于点B，C.若S△ABO：S△ACO＝1：2，则方程组 的解为　　　 　. 返回 综合应用题 【点拨】设点A的坐标为(a，b)，在直线y＝x＋4上，当x＝0时，y＝4，则C(0，4)；当y＝0时，x＝－6，则B(－6，0).因为S△ABO:S△ACO＝1:2，所以×6b＝××4×(－a)，所以a＝－3b，则A(－3b，b).将(－3b，b)代入y＝x＋4，解得b＝，则A，所以方程组的解为 返回 综合应用题 12.［2026济宁期中］如图，直线l1：y＝2x＋1与直线l2：y＝－x＋4相交于点P，直线l1，l2与x轴分别交于A，B两点. 返回 综合应用题 (1)求b的值，并结合图象写出关于x，y的方程组的解； 返回 【解】把点P代入y＝2x＋1，得 b＝2×1＋1＝3，所以P. 因为直线l1：y＝2x＋1与直线l2：y＝ －x＋4相交于点P， 综合应用题 所以方程组的解为 所以方程组的解为 返回 综合应用题 (2)求△ABP的面积； 返回 【解】对于直线l1：y＝2x＋1，令y＝0，则2x＋1＝0， 解得x＝－，所以A. 对于直线l2：y＝－x＋4， 令y＝0，则－x＋4＝0， 解得x＝4，所以B. 所以AB＝4－＝. 所以S△ABP＝AB•yP＝××3＝. 综合应用题 (3)垂直于x轴的直线x＝a与直线l1，l2分别交于点C，D，若线段CD的长为4，求出a的值. 返回 综合应用题 【解】由题意得：直线x＝a与直线l1的交点C的坐标为，与直线l2的交点D的坐标为. 因为CD＝4，所以＝4， 即：＝4，解得a＝或－. 返回 综合应用题 13.以方程x－y＝1的解为坐标的点落在同一条直线上，同时这条直线上的点的坐标全都是该方程的解.我们把这条直线称为该方程的图象. 返回 创新拓展题 (1)请在图①中画出二元一次方程组 中的两个二元一次方 程的图象，该方程组的解为　　　 　　； 返回 如图①. 创新拓展题 (2)已知关于x，y的二元一次方程组无解，请在图②中画出符合题意的两条直线，设方程①的图象与x，y轴的交点分别是A，B，方程②的图象与x，y轴的交点分别是C，D，计算∠ABO＋∠DCO的度数. 返回 创新拓展题 【解】因为关于x，y的二元一次方程组无解，所以AB∥CD，如图②.因为AB∥CD，所以∠BAO＝∠ACD.因为∠AOB＝90°，所以∠ABO＋∠OAB＝90°.所以∠ABO＋∠DCO＝90°. 返回 创新拓展题 (3)图③中包含关于x，y的二元一次方程组中的两个二元一次方程的图象，请求出该方程组的解. 返回 创新拓展题 【解】易得直线l1为方程2x＋y＝4的图象. 若方程mx－2m＋y＝－3的图象过点(0.5，3)，则 0.5m－2m＋3＝－3，解得m＝4.因为4×7－2×4 ＋2＝22≠－3，所以mx－2m＋y＝－3的图象不 是直线l3.所以mx－2m＋y＝－3的图象为直线l2.由 图象得l1，l2相交于点(3，－2)，所以该方程组的解为 返回 创新拓展题 $ 第五章 二元一次方程组 3 二元一次方程组的应用 第3课时 几何问题与行程问题 答 案 呈 现 温馨提示：点击 进入讲评 7 8 9 25 (2)20 (1)－24；－10；10 习题链接 1.在长方形ABCD中，放入六个形状、大小相同的长方形，所标尺寸如图所示，设小长方形长、宽分别为x cm，y cm，则下列方程组正确的是(　　) A.　　 B. C.　　 D. 返回 A 知识点1 几何图形问题 基础提优题 2. 古代中国是世界中心，诸多技艺均领先世界水平，榫卯(sǔn mǎo)结构就是其中最为华丽的一点.榫卯是在两个木构件上所采用的一种凹凸结合的连接方式.已知有若干个相同的木构件，其形状如图①所示.当3个木构件紧密拼成一列时，总长度为17 cm，当9个木构件紧密拼成一列时，总长度为50 cm，如图②所示，则图①中的木构件长度为　　　　. 返回 6 cm 基础提优题 【点拨】设题图①中，去掉凸起部分的木构件长度为x cm，凸起部分的长度为y cm，由题意得解得所以题图①中的木构件长度为5.5＋0.5＝6(cm). 基础提优题 知识点2 行程问题 3.滨德高速是连通滨州德州的重要路线，全长约144 km.一辆小汽车、一辆货车分别从滨州、德州两地同时相向开出，经过45分钟相遇，……设小汽车和货车的速度分别为x km/h，y km/h.可以列出方程组为则“……”处省略的条件为(　　) A.相遇时货车比小汽车多行12 km B.相遇45分钟后货车比小汽车多行12 km C.相遇时小汽车比货车多行12 km D.相遇45分钟后小汽车比货车多行12 km 返回 C 基础提优题 4. 我国古典文学名著《西游记》讲述了孙悟空、猪八戒、沙和尚保护唐僧西天取经，沿途降妖除魔，历经九九八十一难，到达西天取得真经修成正果的故事.现请你欣赏下面描述孙悟空追妖精的数学诗：悟空顺风探妖踪，千里只用四分钟；归时四分行六百，试问风速是多少？题目的意思是：孙悟空追寻妖精的行踪，去时顺风，1 000里只用了4分钟；回来时逆风，4分钟只走了600里，则风的速度为　　　　里/分钟. 返回 50 基础提优题 5.一列动车组与一列普通列车同向而行，动车组在普通列车的后面，动车组从追上普通列车到完全超出需16秒；若它们相向而行，则两车从相遇到完全分开只需5秒.若动车组长度为180米，普通列车长度为220米，则普通列车的速度是　　 　　，动车组的速度是　　　　　　. 返回 90千米/时 180千米/时 综合应用题 6.甲、乙两地相距74千米，途中有上坡路、平路和下坡路.一汽车从甲地下午1点出发到乙地是下午3点30分，停留30分钟后从乙地出发，6点48分返回甲地.已知汽车在上坡路每小时行驶20千米，平路每小时行驶30千米，下坡路每小时行驶40千米，则甲地到乙地的行驶过程中平路、上坡路、下坡路分别是　　　　　　　　　　　　. 返回 30千米、16千米、28千米 综合应用题 【点拨】从下午1点到下午3点30分共2.5小时，从下午4点到下午6点48分共2.8小时.设甲地到乙地的行驶过程中平路是x千米，上坡路是y千米，则下坡路是千米，根据题意，得整理，得解得所以74－x－y＝74－30－16＝28.所以甲地到乙地的行驶过程中平路是30千米，上坡路是16千米，下坡路是28千米. 综合应用题 7. ［2026武汉江岸区期中］如图，从A至B，步行走粗线道A－D－B需要35分钟，坐车走曲细线道A－C－D－E－B需要22.5分钟， D－E－B车行驶的路程是D至B步行路程的3倍，A－C－D车行驶的路程是A至D步行路程的5倍，已知车速是步行速度的6倍，那么先从A至D步行，再从D－E－B坐车所需要的总时间是　　　　分钟. 返回 25 综合应用题 【点拨】设步行速度为v，则车速为6v，设AD＝x，DB＝y，则D－E－B的路程为3y，A－C－D的路程为5x，根据题意，得解得 则先从A步行至D，再从D－E－B坐车所需总时间为＋＝15＋10＝25(分钟). 返回 综合应用题 8.现有8个大小相同的小长方形，可拼成如 图①②所示的图形，在拼图②时，中间留 下了一个边长为2的小正方形，求小长方形 的面积. 小明设小长方形的长为x，宽为y，观察图形 得出关于x，y的二元一次方程组，解出x，y的值，再根据长方形的面积公式得出每个小长方形的面积. 返回 综合应用题 【解】根据题意得解得 所以xy＝10×6＝60. 所以每个小长方形的面积为60. (1)请按照小明的思路求出每个小长方形的面积； 返回 综合应用题 (2)某周末上午，小明在超市帮妈妈买回一袋纸杯，他把纸杯整齐地叠放在一起，如图③所示.当小明把13个纸杯整齐叠放在一起时，它的高度约是　　　cm； 返回 20 综合应用题 【点拨】设每两个纸杯叠放在一起比单独的 一个纸杯增高x cm，单独一个纸杯的高度为 y cm，则解得12x＋y＝ 12×1＋8＝20.所以当小明把13个纸杯整齐叠放在一起时，它的高度约是20 cm. 返回 综合应用题 (3)拓展学习：如图④是由7个正方形组成的长方形，已知中间小正方形A的边长为1，求这个长方形的面积. 返回 综合应用题 【解】如图，设1，2，3号正方形的边长为x，则4号正方形的边长为x＋1，5号正方形的边长为x＋2，6号正方形的边长为x＋3，所以该长方形的长为3x＋x＋1＝4x＋1或x＋2＋x＋3＝2x＋5，宽为x＋3＋x＝2x＋3. 所以4x＋1＝2x＋5，解得x＝2. 所以该长方形的长为9，宽为7. 所以这个长方形的面积为9×7＝63. 返回 综合应用题 9. 在数轴上，点A表示数a，点B表示数b，点C表示数c，xc－5y与－2xb＋15y的和是－6x5y. (1)a＝　　　　，b＝　　　　，c＝　　　　. 返回 －24 －10 10 创新拓展题 (2)点P为数轴上一点，且满足PA＝3PB＋1，请求出点P所表示的数. 返回 【解】设点P所表示的数为x，根据题意，需要分两种情况： ①当点P在线段AB上时，PA＝x＋24，PB＝－10－x， 所以x＋24＝3(－10－x)＋1，解得x＝－； 创新拓展题 ②当点P在点B的右侧时，PA＝x＋24，PB＝10＋x， 所以x＋24＝3(10＋x)＋1，解得x＝－. 所以点P所表示的数是－或－. 返回 创新拓展题 (3)点M为数轴上点A右侧一点，甲、乙两点分别从A，M出发，相向而行，2分钟后在途中相遇，相遇后，两点的速度都提高了1个单位长度/分，当甲到达点M后立刻按原路向A返行，当乙到达点A后也立刻按原路向点M返行.甲、乙两点在第一次相遇后3分36秒又再次相遇，则A，M两点间的距离是多少个单位长度？ 返回 创新拓展题 【解】设提速前甲、乙的速度分别为m个单位长度/分、n个单位长度/分，A，M两点间的距离为s个单位长度， 则提速后甲、乙的速度分别为(m＋1)个单位长度/分、(n＋1)个单位长度/分， 根据题意可知， 解得s＝36. 则A，M两点间的距离是36个单位长度. 返回 创新拓展题 $