5.3 二元一次方程组的应用（第1课时）课件 2025--2026学年北师大版八年级数学上册

该初中数学课件聚焦二元一次方程组的应用，通过复习代入消元法和加减消元法的步骤导入，衔接《孙子算经》“鸡兔同笼”问题，以旧知为支架，引导学生从实际问题中抽象等量关系，建立知识联系。 其亮点在于融合古代数学情境，培养数学眼光，如从“鸡兔同笼”抽象数量关系，发展抽象能力与创新意识。通过归纳“审设列解检答”步骤，强化数学思维的推理意识，对比一元与二元方法明晰联系。采用表格梳理量与关系，规范数学语言表达，助力学生掌握建模方法，教师可借助实例提升教学效率。

二元一次方程组 的应用 第五章 二元一次方程组 第1课时 数学北师大版八年级上册 北 东 60° 西 南 B A 1.分析“鸡兔同笼”等简单问题中的数量关系，准确找出等量关系. 2.掌握列二元一次方程组解决实际问题的一般步骤. 3.在经历和体验运用方程（组）解决实际问题的过程中，进一步体会方程（组）是刻画现实世界的有效数学模型，培养学生抽象、概括、分析解决实际问题的能力. 4.进一步丰富学生数学学习的成功体验，激发学生对数学学习的好奇心，进一步形成积极参与数学活动、主动与他人合作交流的意识. 重点 难点 学习目标 思考 解二元一次方程组的方法有哪些？具体步骤是什么？ 代入法 加减法 变 用含一个未知数的式子表示另一个未知数； 代 将新式子代入到另一个方程中得一元一次方程； 求 解一元一次方程进而求出两个未知数的值； 写 写出方程组的解. 变 将同一个未知数的系数化为 相同或互为相反数； 加/减 将两个方程相加减，消去一个未知数，得到一个 一元一次方程； 求 解一元一次方程进而求出两个未知数的值； 写 写出方程组的解. 情境导入 探究 《孙子算经》中有一个“雉兔同笼”问题：今有雉(鸡)兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问雉兔各几何? 你能解开这个问题吗，说说你的方法？ 情境导入 探究 《孙子算经》中有一个“雉兔同笼”问题：今有雉(鸡)兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问雉兔各几何？ (1)这个问题涉及哪些量？这些量之间有怎样的等量关系？ 鸡头+兔头＝35 鸡脚+兔脚＝94 涉及量： 鸡数量可设为x，兔子数量可设为y； 鸡头数量为x，兔头数量为y； 鸡脚数量为2x，兔脚数量为4y. 等量关系： 情境导入 探究 今有雉(鸡)兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问雉兔各几何？(2)你能列方程解决这个有趣的问题吗？你是怎么做的？与同伴进行交流. 解：设鸡数量为x，设兔子数量为y； 35 94 x y 4y 2x 脚 头 总数 鸡 兔 鸡头+兔头＝35 鸡脚+兔脚＝94 x+y＝35， 2x+4y＝94. 你会计算这个方程组吗？ 情境导入 探究 今有雉(鸡)兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问雉兔各几何？ 解：设鸡为x只，兔为y只，则 x+y＝35， ① 2x+4y＝94. ② 解法一：(加减消元法) ② - ③得：2y＝24， y＝12. 把 y＝12 代入①，得：x＝23. 原方程组的解是 x＝23， y＝12. 所以笼中有鸡23只，兔12只. ①×2 得： 2x+2y＝70 ③ 探究新知 探究 今有雉(鸡)兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问雉兔各几何？ 解：设鸡为x只，兔为y只，则 x+y＝35， ① 2x+4y＝94. ② 解法二：(代入消元法) 把③代入②，得： 2(35- y)+4y＝94， 把 y＝12 代入①，得：x＝23. 原方程组的解是 x＝23， y＝12. 所以笼中有鸡23只，兔12只. y＝12. 也可以设兔为(35-x)只，然后可以列一元一次方程进行求解. 由①得：x ＝35-y ③ 探究新知 做一做 今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几何? 解：设鸡为x只，兔为(35-x)只，则 2x+4(35- x)＝94. 解得2x＝46，x＝23. 所以 35-x＝12. 所以笼中有鸡23只，兔12只. 探究新知 归纳 用二元一次方程组解决实际问题的基本过程： 审 设 列 解 检 答 等量关系 探究新知 归纳 1.审——通过审题找出等量关系； 6.答——回答题目中要解决的问题，注意单位名称. 5.检——检验所得的解是否是方程组的解，并且要检验其是否符合实际问题的意义，包括单位名称； 4.解——解方程组，求出未知数的值； 3.列——依据找到的等量关系，列出方程组； 2.设——用字母表示题目中的两个未知数； 探究新知 例1 今有甲、乙怀钱，各不知其数.甲得乙十钱，多乙余钱5倍.乙得甲十钱,适等.问甲、乙怀钱名几何?(选自《张丘建算经》) 题目大意：甲、乙两人各带了若干钱.如果甲得到乙的10钱，那么甲的钱数比乙剩余的钱数多5倍；如果乙得到甲的10钱，那么两人钱数相等.甲乙两人各带了多少钱? 题目涉及哪些数量关系？你能用含未知量的式子表示这些数量关系吗？ 关系量：甲带的钱数，乙带的钱数. 等量关系：①甲的钱数加10钱=乙的钱减少10钱后的六倍. ②甲的钱数减10钱=乙的钱数加10钱. 应用新知 例1 甲、乙两人各带了若干钱.如果甲得到乙的10钱，那么甲的钱数比乙剩余的钱数多5倍；如果乙得到甲的10钱，那么两人钱数相等.甲乙两人各带了多少钱？ 解这个方程组，得 所以，甲带了38钱，乙带了18钱. 解：设甲带的钱数为x，乙带的钱数为y，根据题意，得 两个未知数，需要有两个条件！ 应用新知 思考 列二元一次方程组解决问题与列一元一次方程解决问题有什么区别和联系？与同伴进行交流. 区别： 未知数的个数：列一元一次方程解决问题时，设一个未知数，列二元一次方程组解决问题时，设两个未知数. 方程的个数：列一元一次方程解决问题时，列一个方程，列二元一次方程组解决问题时，列两个方程. 解题的思路：列一元一次方程解决问题时，需找一个等量关系，列二元一次方程组解决问需找两个等量关系. 应用新知 思考 列二元一次方程组解决问题与列一元一次方程解决问题有什么区别和联系？与同伴进行交流. 联系： 本质一致：两者都基于问题中的 “等量关系” 建立数学模型，核心都是通过等式变形求解未知量． 相互转化：二元一次方程组的求解核心是 “消元”，最终转化为一元一次方程，一元一次方程可看作二元一次方程组的特殊形式（其中一个未知数系数为 0）． 应用新知 1.某校春季运动会比赛中，八年级(1)班、(5)班的竞技实力相当，关于比赛结果，甲同学说：(1)班与(5)班得分比为6:5；乙同学说：(1)班得分比(5)班得分的2倍少40分．若设(1)班得x分，(5)班得y分，根据题意所列的方程组应为( ) D B. C. D. 课堂练习 2.一只蛐蛐6条腿，一只蜘蛛8条腿，现有蛐蛐和蜘蛛共10只，共有68条腿，若设蛐蛐有x只，蜘蛛有y只，则列出方程组为______________． 解析：根据蛐蛐和蜘蛛共10只，可得x+y＝10； 蛐蛐和蜘蛛共有68条腿，可得6x+8y＝68. 课堂练习 3.用一根绳子环绕一棵大树.若环绕大树3周，则绳子还多4尺；若环绕大树4周，则绳子又少了3尺. 这根绳子有多长？环绕大树一周需要多少尺？ 解：设绳子长 x 尺，环绕大树一周需要y尺. 根据题意，得： ① ② 由②-①得： y＝7. 将y＝7代入①得：x＝25. 原方程组的解是 答：绳子长25尺，环绕大树一周需要7尺. 课堂练习 鸡兔同笼 用二元一次方程组解决实际问题的基本步骤： 注意：列方程的关键是正确找出等量关系. 总结归纳 北 东 60° 西 南 B A $