精品解析：2026年湖北省鄂州市鄂城区模拟预测数学试题

2026年5月中考数学模拟试题 本试题共6页，满分120分，时间120分钟 一、选择题（共10小题，每题3分，共30分） 1. 如果某天中午的气温是，傍晚比中午下降了，那么傍晚的气温是（ ） A. B. C. D. 2. 下列几何体中，主视图和俯视图相同的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 光线在不同介质中的传播速度不同，从一种介质射向另一种介质时会发生折射．如图是一块玻璃的 ， 两面，且，现有一束光线 从玻璃中射向空气时发生折射，光线变成 ， 为射线 延长线上一点，已知，，则的度数为（　　） A. B. C. D. 5. 掷两个质地均匀的小正方体，小正方体的六个面上分别标有1到6的数字．下列事件是必然事件的是（ ） A. 向上两面的数字和为5 B. 向上两面的数字和大于1 C. 向上两面的数字和大于12 D. 向上两面的数字和为偶数 6. 我国清代数学家梅瑴成在《增删算法统宗》中记载了这样一个问题：八百八十八文钱，甜果苦果买八百．苦果四个三文钱．甜果六个九文钱．试问甜苦果各几个？其大意是：用八百八十八文钱共买了八百个苦果和甜果．已知三文钱可以买四个苦果，九文钱可以买六个甜果．那么苦果、甜果各买了多少个？设苦果有 个，甜果有 个，则根据题意可列出的方程组为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在平面直角坐标系中，两点在坐标轴上，四边形是面积为9的正方形．若函数（ ）的图象经过点B，则满足的x的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 在无人机表演中，无人机群由初始位置整体平移至新位置．若点平移后的对应点为，则点平移后的对应点的坐标是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在四边形 中，，，．按下列步骤作图：①以点A为圆心，适当长度为半径画弧，分别交 、 于E、F两点；②分别以点E、F为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点P；③作射线 交 于点G，则的长为（ ） A. 6 B. 5 C. 4 D. 3 10. 如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，将线段AB绕点B顺时针方向旋转，使点A落在BD上的点H，E为边BC的中点，连接HE，交AC于点P．若AC＝12，BD＝16，则线段PC的长为（　　） A. 3 B. 3 C. 4 D. 5 二．填空题（共5小题，每题3分，共15分） 11. 某校学科嘉年华活动中，悟空数学实践研究小组设计了一个“悟空章”，它是由6段相同的圆弧围成的图案，若每段小圆弧的长度是a，则“悟空章”的周长可以表示为________． 12. 如果分式的值为零，那么x的值是___． 13. 在一个平衡的天平左、右两端托盘上，分别放置质量为和的物品后，天平倾斜（如图所示）．现从质量为，，，的四件物品中，随机选取两件放置在天平的左端托盘上，则天平恢复平衡的概率为________． 14. 将直线向上平移 个单位长度，若平移后的直线经过第三、第二、第一象限，则 的值可以是____________（写出一个即可）． 15. 如图1，在四边形 中， ， 平分， ，（a为常数），设 的长为x，长为y，y关于x的函数图象如图2所示，最高点E的纵坐标为16， ______，当时，四边形 的面积为_______． 三．解答题（共9小题，共75分） 16. 计算： 17. 如图，在菱形 中，点E，F分别在边 和 上，且．求证：． 18. 数学综合实践研究小组用自制测角仪，完成了对榕树高度的测量．具体操作方案如下： 课题 制作测角仪，测量榕树的高度 制作及测量过程 （1）把一根细线固定在半圆形量角器的圆心处，细线的另一端系一个重物，制成一个简单的测角仪，利用它可以测量仰角或俯角，如图1； （2）将这个仪器用手托起，拿到眼前，使视线沿着仪器的直径刚好到达榕树的最高点，如图2； （3）得出仰角的度数； （4）测出眼睛离地面的高度以及人到榕树底部的距离； （5）计算这棵榕树的高度． 测量示意图 测量数据 如图3，经测量眼睛离地面的高度，人到榕树底部的距离，测角仪上细线所对应的刻度为 请根据“方案”完成下列任务： 【任务一】（1）的度数是________； 【任务二】（2）计算这棵榕树高度（结果保留整数）． （参考数据：，，） 19. 某校组织开展主题为“节约用水，共建绿色校园”的社会实践活动．对全校七年级和八年级学生开展节约用水知识测试，随机在两个年级中分别抽取20人的测试成绩进行统计分析（满分为100分）．测试成绩为，并绘制相关统计图（不完整），请你根据相关信息完成下列任务： 信息1 七年级成绩：84，78，98，92，98，92，69，92，89，89，85，84，83，79，92，79，83，78，92，58． 信息2 八年级成绩在 之间的数据为：89，88，85，81． 信息3 七年级抽取同学的成绩频数分布直方图和八年级抽取同学的成绩频数分布扇形统计图如下： （1）填空： _____，并补全七年级抽取同学的成绩频数分布直方图； （2）请你补全七年级和八年级抽取同学的成绩数据的特征表： 平均数 众数 中位数 方差 七年级 84.7 ①________ 84.5 67.21 八年级 83.7 96 ②________ 183.68 （3）若该校七年级和八年级分别有学生680人，测试成绩90分以上（含90分）为优秀，则两个年级达到优秀的人数一共大约有多少人？ 20. 如图，反比例函数（ ）的图象与正比例函数（ ）的图象交于点，点B是线段 上异于端点的一点，过点B作y轴的垂线，交反比例函数的图象于点D． （1）求反比例函数的表达式； （2）若，求点D的坐标； （3）反比例函数（ ）的图象关于y轴对称的图象为，直接写出射线 绕点O逆时针旋转 后与的交点坐标． 21. 如图， 为 的直径， 为 上一点，， 交 于 ，且，连接． （1）求证： 是 的切线； （2） 为 上一点，连接，若，，，求 的半径． 22. 为助力乡村振兴，支持惠农富农，某超市销售我市东港社区出产的甲、乙两种梨子．已知2箱甲种梨子和3箱乙种梨子的售价之和为440元；4箱甲种梨子和5箱乙种梨子的售价之和为800元． （1）求甲、乙两种梨子每箱的售价； （2）某单位计划从该超市购买甲、乙两种梨子共12箱，且乙种梨子的箱数不超过甲种梨子的箱数．求该单位最少需花费多少元； （3）该单位计划再从超市购买甲、乙两种梨子共12箱，发现该超市正在进行优惠活动：甲种梨子打八五折，乙种梨子打九折．（注：“打八五折”批按标价的85%出售．）若该单位两种梨子都要购买，且购买总花费不超过910元，求该单位的所有购买方案． 23. 悟空数学综合实践研究小组对八年级第十三章《轴对称》第83页12题，进行了深入研究： 【模型感知】 （1）如图1， 和都是等边三角形，此时线段 与 之间的数量关系是_________； 【模型探究】 （2）如图2， 和都是等边三角形，当 、 、 三点在同一直线上，设 与 交于点F，若， ，求线段 的长； 【模型拓展】 （3）如图2， 和都是等边三角形，固定 不动，从图2的位置开始绕点A逆时针旋转，当时，若 ，． ①求的旋转角（）； ②设直线 与直线 交于点F，直接写出此时线段 的长． 24. 已知抛物线（a为常数）与x轴相交于点B和点，与y轴相交于点C，P是第四象限抛物线上一动点，设点P的横坐标为t． （1）求a的值； （2）如图1，若，求t的值； （3）如图2，直线交y轴于点N，过点B作直线，交y轴于点M，当P点运动时，线段 的长度是否会变化？若不变，请求出其长度；若变化，请求出其长度的变化范围； （4）设，抛物线的一段（）夹在两条均与x轴平行的直线，之间．若直线，之间的距离为9，直接写出的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年5月中考数学模拟试题 本试题共6页，满分120分，时间120分钟 一、选择题（共10小题，每题3分，共30分） 1. 如果某天中午的气温是，傍晚比中午下降了，那么傍晚的气温是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查有理数减法的实际应用，用中午的气温减去下降的气温进行计算即可． 【详解】解：； 故选B． 2. 下列几何体中，主视图和俯视图相同的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了简单几何体的三视图．熟练掌握主视图和俯视图，是解决问题的关键． 在正面内得到的由前向后观察物体的视图，叫做主视图；在水平面内得到的由上向下观察物体的视图，叫做俯视图．根据主视图，俯视图定义逐一判断，即得． 【详解】A、圆柱的主视图是矩形，俯视图是圆，主视图和俯视图不相同，故该选项不符合题意； B、三棱柱的主视图是矩形（中间有一条竖线 ），俯视图是三角形，主视图和俯视图不相同主视图是长方形，俯视图是三角形，主视图和俯视图不相同，故该选项不符合题意； C、球的主视图和俯视图都是圆，主视图和俯视图相同，故该选项符合题意；； D、四棱锥的主视图是三角形，俯视图是带对角线的四边形，主视图和俯视图不相同． 故选：C． 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查整式的运算相关知识，熟练掌握运算法则是解题的关键； 可根据合并同类项、幂的乘方、完全平方公式、单项式乘法的运算法则，对选项逐一分析： 【详解】A．与不是同类项，不能合并，所以，该选项错误，不符合题意； B．根据幂的乘方法则，该选项错误，不符合题意； C．根据完全平方公式，该选项错误，不符合题意； D．根据单项式乘法法则，系数相乘，同底数幂相乘，，该选项正确，符合题意； 故选：D． 4. 光线在不同介质中的传播速度不同，从一种介质射向另一种介质时会发生折射．如图是一块玻璃的， 两面，且，现有一束光线 从玻璃中射向空气时发生折射，光线变成 ， 为射线 延长线上一点，已知，，则的度数为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据平行线的性质求出，再根据平角的定义即可得出结果． 【详解】解：如图，， ， ， 故选：B． 【点睛】本题考查了平行线的性质，平角的定义，解题的关键是能灵活运用平行线的性质解题． 5. 掷两个质地均匀的小正方体，小正方体的六个面上分别标有1到6的数字．下列事件是必然事件的是（ ） A. 向上两面的数字和为5 B. 向上两面的数字和大于1 C. 向上两面的数字和大于12 D. 向上两面的数字和为偶数 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了事件分类．熟练掌握必然事件，不可能事件，随机事件的概念是解题的关键．必然事件指在一定条件下一定发生的事件；不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件；不可能事件指在一定条件下一定不发生的事件． 分析各选项中两骰子点数和的可能情况，判断是否必然成立． 【详解】选项A：和为5的可能组合有（1,4）、（2,3）、（3,2）、（4,1），共4种，概率为，非必然事件． 选项B：两骰子最小点数为1，最小和为，因此和必定大于1，概率为1，是必然事件． 选项C：两骰子最大和为，无法超过12，概率为0，为不可能事件． 选项D：和为偶数的概率为，可能发生但不必然． 故选：B． 6. 我国清代数学家梅瑴成在《增删算法统宗》中记载了这样一个问题：八百八十八文钱，甜果苦果买八百．苦果四个三文钱．甜果六个九文钱．试问甜苦果各几个？其大意是：用八百八十八文钱共买了八百个苦果和甜果．已知三文钱可以买四个苦果，九文钱可以买六个甜果．那么苦果、甜果各买了多少个？设苦果有个，甜果有 个，则根据题意可列出的方程组为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先根据甜果和苦果的总个数得到第一个方程，再分别计算两种果实的单价，根据总花费得到第二个方程即可 【详解】解：由题意得 7. 如图，在平面直角坐标系中，两点在坐标轴上，四边形是面积为9的正方形．若函数（）的图象经过点B，则满足的x的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了正方形的性质、坐标与图形、反比例函数的性质等知识点，掌握数形结合思想是解题的关键．由题意可求出正方形的边长，进而得到点 的坐标，再结合反比例函数图象的增减性即可解答． 【详解】解：∵四边形是面积为9的正方形， ∴， ∴点 的坐标为， ∵函数的图象经过点 ，且在第一象限内 随的增大而减小， ∴当 ，时， ∴函数， ∴满足的的取值范围为． 8. 在无人机表演中，无人机群由初始位置整体平移至新位置．若点平移后的对应点为，则点平移后的对应点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了点的平移，掌握平移规律是解题的关键． 首先根据点平移后的对应点为，得出平移的方式，再根据平移的规律，即可得出答案． 【详解】解：∵点平移后的对应点为， ∴平移方式为向右平移 个单位，向上平移3个单位， ∴点的对应点的坐标为． 故选：A． 9. 如图，在四边形 中，，，．按下列步骤作图：①以点A为圆心，适当长度为半径画弧，分别交 、 于E、F两点；②分别以点E、F为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点P；③作射线交 于点G，则的长为（ ） A. 6 B. 5 C. 4 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意可得：平分，即，根据平行线的性质结合等腰三角形的判定可得，进一步即可求解 【详解】解：根据题意可得：平分，即， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴. 10. 如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，将线段AB绕点B顺时针方向旋转，使点A落在BD上的点H，E为边BC的中点，连接HE，交AC于点P．若AC＝12，BD＝16，则线段PC的长为（　　） A. 3 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】D 【解析】 【分析】根据菱形的性质和勾股定理得BC=10，即可得BH＝AB＝BC＝10，则OH＝BH﹣OB＝2，根据角之间的关系和线段之间的关系得△HOP∽△HFE，根据相似三角形的性质得OP＝1，即可得． 【详解】解：过E点作EF⊥BD于F， ∵四边形ABCD是菱形， ∴AC⊥BD， ∴EF∥AC， ∵AC＝12，BD＝16， ∴OC＝OA＝AC＝6，OB＝OD＝BD＝8， ∴， ∴BH＝AB＝BC＝10， ∴OH＝BH﹣OB＝2， ∵E是BC的中点，EF∥AC， ∴EF＝OC＝3，OF＝OB＝4， ∴HF＝OH+OF＝6， ∵EF∥AC， ∴△HOP∽△HFE， ∴， ∴， ∴OP＝1， ∴CP＝OC﹣OP＝5， 故选D． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理，菱形的性质，解题的关键是熟练掌握菱形的性质． 二．填空题（共5小题，每题3分，共15分） 11. 某校学科嘉年华活动中，悟空数学实践研究小组设计了一个“悟空章”，它是由6段相同的圆弧围成的图案，若每段小圆弧的长度是a，则“悟空章”的周长可以表示为________． 【答案】 【解析】 【详解】解：根据周长的定义，“悟空章”的周长等于围成该图形的所有圆弧长度之和， 已知共有 段相同的圆弧，每段圆弧长度为，因此周长为： 12. 如果分式的值为零，那么x的值是___． 【答案】 1 【解析】 【分析】根据分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零，列式求解即可． 【详解】解： 分式的值为零， ， 解得． 13. 在一个平衡的天平左、右两端托盘上，分别放置质量为和的物品后，天平倾斜（如图所示）．现从质量为，，，的四件物品中，随机选取两件放置在天平的左端托盘上，则天平恢复平衡的概率为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查概率的应用，通过画树状图或列表罗列出所有等可能的情况，再从中找出符合条件的情况数，最后利用概率公式求解． 【详解】解：要使天平恢复平衡，则选取两件物品的质量和为， 列表如下： 10 20 30 40 10 30 40 50 20 30 50 60 30 40 50 70 40 50 60 70 ∴共有12种可能结果，其中使天平恢复平衡的有4种， ∴天平恢复平衡的概率为． 故答案为：． 14. 将直线向上平移个单位长度，若平移后的直线经过第三、第二、第一象限，则的值可以是____________（写出一个即可）． 【答案】2（答案不唯一，满足即可） 【解析】 【分析】本题考查一次函数图象的平移，根据直线经过的象限，求参数的范围，根据平移规则求出新的解析式，根据图象经过第三、第二、第一象限，得到，进行求解即可． 【详解】解：由题意，平移后的解析式为：， ∵平移后的直线经过第三、第二、第一象限， ∴， ∴； ∴的值可以是2； 故答案为：2（答案不唯一，满足即可） 15. 如图1，在四边形 中， ， 平分， ，（a为常数），设 的长为x，长为y，y关于x的函数图象如图2所示，最高点E的纵坐标为16， ______，当时，四边形 的面积为_______． 【答案】 ①. 8 ②. 或 【解析】 【分析】先证明，得到，进而可得，结合图2知，，求出 （负值舍去），当时，求出 或，过点 作于点 ，分和两种情况讨论即可，利用等腰三角形三线合一及勾股定理求出，即可解答． 【详解】解：∵ ， 平分， ∴， ∴， ∴ ， ∵ ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵（a为常数）， 长为x，长为y， ∴， ∵， ∴当时， 有最大值， 由图2知，， ∴ （负值舍去）， ∴， 当时，则，即， 解得 或， 过点 作于点 ， 当 时，则， ∴， ∵ ， ∴， ∵，即， ∴， ∴四边形 的面积为； 当时，则， ∴ ， 同理，得， ∴四边形 的面积为； 综上，四边形 的面积为或． 三．解答题（共9小题，共75分） 16. 计算： 【答案】 1 【解析】 【详解】解：原式. 17. 如图，在菱形 中，点E，F分别在边 和 上，且．求证：． 【答案】证明：∵四边形 是菱形， ∴． 在 和中， ， ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题主要考查菱形的性质及全等三角形的性质与判定，熟练掌握菱形的性质及全等三角形的性质与判定是解题的关键；由题意易得，然后可得，进而问题可求证． 【详解】略 18. 数学综合实践研究小组用自制测角仪，完成了对榕树高度的测量．具体操作方案如下： 课题 制作测角仪，测量榕树的高度 制作及测量过程 （1）把一根细线固定在半圆形量角器的圆心处，细线的另一端系一个重物，制成一个简单的测角仪，利用它可以测量仰角或俯角，如图1； （2）将这个仪器用手托起，拿到眼前，使视线沿着仪器的直径刚好到达榕树的最高点，如图2； （3）得出仰角的度数； （4）测出眼睛离地面的高度以及人到榕树底部的距离； （5）计算这棵榕树的高度． 测量示意图 测量数据 如图3，经测量眼睛离地面的高度，人到榕树底部的距离，测角仪上细线所对应的刻度为 请根据“方案”完成下列任务： 【任务一】（1）的度数是________； 【任务二】（2）计算这棵榕树高度（结果保留整数）． （参考数据：，，） 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形的性质，解直角三角形的实际应用，熟练掌握知识点，正确理解题意是解决本题的关键． （1）根据直角三角形两锐角互余即可求解． （2）明确直角三角形中边与已知条件（人到树距离、人眼离地高度）的对应关系．再依据直角三角形中三角函数定义求出长度．最后根据树高的线段组成关系求出大树高度． 【详解】解：（1）由题可知， 故答案为：. （2）由题意可得，， 在直角三角形中， ∴ ∵结果保留整数，即 答：大树的高度约为． 19. 某校组织开展主题为“节约用水，共建绿色校园”的社会实践活动．对全校七年级和八年级学生开展节约用水知识测试，随机在两个年级中分别抽取20人的测试成绩进行统计分析（满分为100分）．测试成绩为，并绘制相关统计图（不完整），请你根据相关信息完成下列任务： 信息1 七年级成绩：84，78，98，92，98，92，69，92，89，89，85，84，83，79，92，79，83，78，92，58． 信息2 八年级成绩在 之间的数据为：89，88，85，81． 信息3 七年级抽取同学的成绩频数分布直方图和八年级抽取同学的成绩频数分布扇形统计图如下： （1）填空： _____，并补全七年级抽取同学的成绩频数分布直方图； （2）请你补全七年级和八年级抽取同学的成绩数据的特征表： 平均数 众数 中位数 方差 七年级 84.7 ①________ 84.5 67.21 八年级 83.7 96 ②________ 183.68 （3）若该校七年级和八年级分别有学生680人，测试成绩90分以上（含90分）为优秀，则两个年级达到优秀的人数一共大约有多少人？ 【答案】（1）45， （2）①92；②88.5 （3）人 【解析】 【分析】（1）先求出 和 的百分比，进而可求出n的值；找出 的人数即可补全频数分布直方图； （2）根据众数、中位数的定义求解即可； （3）用680乘以成绩90分以上（含90分）所占的比例即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴． 七年级成绩在 的有：84，89，89，85，84，83，83，共7人， 【小问2详解】 解：∵92出现了5次，出现的次数最多， ∴七年级的众数是92． ∵， ∴八年级成绩的中位数在 之间， ∵ 之间的数据从小到大排列为：81，85，88，89， ∴八年级的中位数为． 故答案为：92，88.5； 【小问3详解】 解：（人）， 答：两个年级达到优秀的人数一共大约544人 【点睛】本题考查了频数分布直方图，扇形统计图，中位数，众数，以及方差等知识，熟练掌握各知识点是解答本题的关键． 20. 如图，反比例函数（）的图象与正比例函数（ ）的图象交于点，点B是线段 上异于端点的一点，过点B作y轴的垂线，交反比例函数的图象于点D． （1）求反比例函数的表达式； （2）若，求点D的坐标； （3）反比例函数（）的图象关于y轴对称的图象为，直接写出射线 绕点O逆时针旋转 后与的交点坐标． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）求得点 坐标，再利用待定系数法即可解答； （2）设，再表示出点 坐标，根据，列方程即可解答； （3）可得，证明，即可解答． 【小问1详解】 解： （ ）的图象经过点， ， 的图象经过点， ， ∴反比例函数的表达式为； 【小问2详解】 解：设， ， 可得， ， 则， 解得，（舍去）， 经检验，是原方程的解， ； 【小问3详解】 解：如图，设射线 绕点O逆时针旋转 后与的交点为 ，过点 作轴于点 ，过点 作轴于点 ， 反比例函数（）的图象关于y轴对称的图象为（）， ， ， 绕点O逆时针旋转 ， ， ， ， ， ， ， ， 设，则， ， ， 解得（负值舍去）， ， 即射线 绕点O逆时针旋转 后与的交点坐标为． 21. 如图，为 的直径， 为 上一点，， 交 于 ，且，连接． （1）求证： 是 的切线； （2） 为 上一点，连接，若，，，求 的半径． 【答案】（1）见解析； （2）． 【解析】 【分析】连接 ，根据圆周角定理可得，根据等腰三角形的性质可得，从而可证，即可得 是 的切线； 延长交于点 ，根据平行线的性质可证，根据垂径定理可得，利用勾股定理可求，在根据勾股定理 即可求出圆的半径． 【小问1详解】 证明：如下图所示，连接 ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 是 的切线； 【小问2详解】 解：如下图所示，延长交于点 ， ， ， ， ， 设， 则， ， ， 解得：． 【点睛】本题考查了垂径定理，勾股定理，切线的性质和判定，平行线的性质和判定，等腰三角形的性质和判定的应用，解决本题的关键是作辅助线构造直角三角形，利用勾股定理求半径的长 ． 22. 为助力乡村振兴，支持惠农富农，某超市销售我市东港社区出产的甲、乙两种梨子．已知2箱甲种梨子和3箱乙种梨子的售价之和为440元；4箱甲种梨子和5箱乙种梨子的售价之和为800元． （1）求甲、乙两种梨子每箱的售价； （2）某单位计划从该超市购买甲、乙两种梨子共12箱，且乙种梨子的箱数不超过甲种梨子的箱数．求该单位最少需花费多少元； （3）该单位计划再从超市购买甲、乙两种梨子共12箱，发现该超市正在进行优惠活动：甲种梨子打八五折，乙种梨子打九折．（注：“打八五折”批按标价的85%出售．）若该单位两种梨子都要购买，且购买总花费不超过910元，求该单位的所有购买方案． 【答案】（1）甲种梨子每箱售价100元，乙种梨子每箱售价80元； （2）最少需花费1080元； （3）所有购买方案为：①购买甲1箱，乙11箱；②购买甲2箱，乙10箱；③购买甲3箱，乙9箱． 【解析】 【分析】（1）设甲种梨子每箱售价x元，乙种梨子每箱售价y元，根据题干给出的两个总价条件，列出二元一次方程组求解即可得到甲乙每箱的售价； （2）设购买甲种梨子m箱，总花费为W元，则购买乙种梨子箱，根据乙的箱数不超过甲得到自变量的取值范围，再结合一次函数的增减性求出最小花费； （3）设购买甲种梨子a箱，则购买乙种梨子箱，根据优惠规则列出一元一次不等式，结合两种梨子都要买的条件，求出所有符合要求的整数购买方案． 【小问1详解】 解：设甲种梨子每箱售价x元，乙种梨子每箱售价y元． 根据题意，得  ， 解得， 答：甲种梨子每箱售价100元，乙种梨子每箱售价80元． 【小问2详解】 解：设购买甲种梨子m箱，总花费为W元，则购买乙种梨子箱． 根据题意，得 ， 解得，其中m为非负整数． 总花费，  ∵，  ∴W随m的增大而增大，  ∴当时，W取得最小值，为（元）． 答：该单位最少需花费1080元． 【小问3详解】 解：设购买甲种梨子a箱，则购买乙种梨子箱，  ∵两种梨子都要购买，  ∴，且a为整数， 根据题意，得 ， 解得， ∵，且a为整数， ∴a的值为1，2，3， 当时，； 当时，； 当 时，； 答：该单位的所有购买方案为：方案1：购买甲种梨子1箱，乙种梨子11箱；方案2：购买甲种梨子2箱，乙种梨子10箱；方案3：购买甲种梨子3箱，乙种梨子9箱． 23. 悟空数学综合实践研究小组对八年级第十三章《轴对称》第83页12题，进行了深入研究： 【模型感知】 （1）如图1， 和都是等边三角形，此时线段 与之间的数量关系是_________； 【模型探究】 （2）如图2， 和都是等边三角形，当 、 、 三点在同一直线上，设与 交于点F，若， ，求线段 的长； 【模型拓展】 （3）如图2， 和都是等边三角形，固定 不动，从图2的位置开始绕点A逆时针旋转，当时，若 ，． ①求的旋转角（）； ②设直线与直线 交于点F，直接写出此时线段 的长． 【答案】（1）相等 （2） （3） 或 【解析】 【分析】（1）证明即可解答； （2）过点 作于点 ，推出，即可证明，求得和 ，再利用勾股定理求得即可解答； （3）①分两种情况，即点 在点 左侧或者右侧，分别解答即可； ②根据两种不同情况，计算即可． 【小问1详解】 解：和都是等边三角形， ，， ， 即， ， ； 【小问2详解】 解：如图，过点 作于点 ， 和都是等边三角形， ，， ， ， ， ， ， ， ，， ， ； 【小问3详解】 解：①当点 在点 右侧时，如图，过点 作于点 ，过点 作于点 ，则， ， ， ， ， 四边形为平行四边形， ， 在中，， ，即的旋转角为 ； 当点 在点 左侧时，如图，过点 作于点 ，过点 作于点 ， 同理可得四边形为平行四边形， ， 在中，， ， ， 即的旋转角为； 综上，的旋转角为 或； ②当点 在点 右侧时， ， ，， ， ； 当点 在点 左侧时， ，， ， ， ， ， 综上， 的长度为 或 ． 24. 已知抛物线（a为常数）与x轴相交于点B和点，与y轴相交于点C，P是第四象限抛物线上一动点，设点P的横坐标为t． （1）求a的值； （2）如图1，若，求t的值； （3）如图2，直线交y轴于点N，过点B作直线，交y轴于点M，当P点运动时，线段 的长度是否会变化？若不变，请求出其长度；若变化，请求出其长度的变化范围； （4）设，抛物线的一段（）夹在两条均与x轴平行的直线，之间．若直线，之间的距离为9，直接写出的最大值． 【答案】（1）； （2）； （3）不变，； （4） 【解析】 【分析】（1）把代入抛物线即可解答； （2）过点 作轴于点 ，证明，可得，设点，代入即可解答； （3），证明，，表示出的长度； （4）可得抛物线的一段夹在直线，之间的最大值为 ，计算出此时对应的值，相减即可． 【小问1详解】 解：把代入抛物线， 可得， 解得； 【小问2详解】 解：根据（１）可得 ， 如图，过点 作轴于点 ， 令，， ， ， ，， ， ， 设，， 则，， 可得， 解得（负值舍去）； 【小问3详解】 解：线段 的长度不变，为 ，理由如下： 令，， 解得，， ， 如图，过点 作轴于点 ，设，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 即 的长度不变； 【小问4详解】 解： 抛物线的顶点为， ， 抛物线的一段（）的最小值为， ∴要使最大，则，中较低那条为直线， 直线，之间的距离为9， ，中较高那条为直线， 当时，， 解得，， 的最大值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $