专题01 相交线与平行线（期末真题汇编，云南专用）七年级数学下学期人教版

**基本信息** 云南多地期末试题汇编，覆盖相交线、平行线判定与性质等6个考点，结合生活情境（如测量跳远成绩）和跨学科应用（如物理折射），基础题与动态几何综合题梯度分布。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择|约15题|相交线（垂线段最短应用）、平行线判定（铁轨铺设原理）|生活情境题占比30%，如测量跳远成绩| |填空|约5题|补角计算、角平分线应用|结合角平分线动态问题，如OD平分∠AOB| |解答|约15题|平行线性质与判定综合（动态点P运动）、平移（三角形平移面积计算）|跨学科融合物理折射（烧杯光线）、共享单车结构，云南期末真题占比90%|

专题01 相交线与平行线 高频考点概览 考点01相交线 考点02平行线的判定 考点03平行线的性质 考点04平行线的性质和判定的综合 考点05定义、命题、定理 考点06 平移 ( 考点01 相交线 )1．(24-25七下·云南昆明市石林彝族自治县·期末)我们要学会用数学的眼光观察现实世界，下列各选项中能用“垂线段最短”来解释的现象是（   ） A．弯曲河道改直 B．木板上弹墨线 C．测量跳远成绩 D．两钉子固定木条 2．(24-25七下·云南昭通·期末)如图，在三角形ABC中，∠C=，AC=4，点P是BC边上一动点，AP的长不可能是（   ） A．4 B．5.5 C．3 D．5 3.(24-25七下·云南昭通·期末)如图，直线AB、CD相交于点O，OE⊥AB于O，∠EOC=35°，则∠AOD的度数为（ ） A. 125° B. 115° C. 105° D. 95° 4．(24-25七下·云南昭通·期末)如图，下列说法正确的是（   ） A．∠1与∠8是同位角 B．∠4与∠7是内错角 C．∠3与∠6是同旁内角 D．∠2与∠5是互为邻补角 5．(24-25七下·云南德宏州·期末)下列各图中，∠1和∠2是对顶角的是（   ） A．B．C． D． 6.(24-25七下·云南丽江·期末)如图所示，如果∠AOB=∠COD，那么（ ） A. ∠α>∠β B. ∠α<∠β C. ∠α=∠β D. ∠α+∠β=∠COD 7.(24-25七下·云南丽江·期末)若∠ABC=41°20′，则∠ABC的补角的度数为____。 8.(24-25七下·云南丽江·期末)已知OD平分∠AOB，作射线OC在∠AOB内部， (1)若∠BOD=60°，∠DOE=35°，求∠COE的度数； (2)若∠AOE=80°，∠DOE=2∠COE，求∠BOD的度数。 9.(24-25七下·云南普洱市·期末)如图，AB与CD相交于点O，OC⊥OE，∠BOD=30°，OA平分∠FOC。 (1)求∠EOB的度数； (2)求钝角∠FOE的度数。 10．(24-25七下·云南丽江·期末)点O是直线AB上一点，射线OD平分∠AOC． (1)如图①所示，射线OE在∠AOC内部，，若∠DOE=，求∠BOC的度数； (2)如图②所示，射线OE在直AB下方，∠BOC：∠AOD：∠AOE=2:5:8，求∠BOE的度数． ( 考点02 平行线 的判定 ) 1．(24-25七下·云南昆明五县区·期末)在铺设钢轨时，两条钢轨必须是平行的．如图，若测得∠1是直角，则只需测得∠2也是直角，就可以确定两条钢轨平行．这其中的原理是（   ） A．两直线平行，同旁内角相等 B．两直线平行，同旁内角互补 C．同旁内角相等，两直线平行 D．同旁内角互补，两直线平行 2．(24-25七下·云南昆明呈贡区·期末)在铺设铁轨时，两条直轨必须是互相平行的，如图，已经知道∠2是直角，那么再度量图中已标出的哪个角，不能判断两条直轨是否平行(   ) A．∠1 B．∠3 C．∠4 D．∠5 3．(24-25七下·云南昆明东川区·期末)如图，由下列条件：①∠B +∠BAD＝180°； ②∠B＝∠5； ③∠D＝∠5； ④∠3＝∠4；⑤∠1 ＝∠2，能判定AD∥BC的条件为（     ） A．①②③④⑤ B．①②④ C．①③⑤ D．①②③ 4．(24-25七下·云南德宏州·期末)如图，在四边形ABCD中，若要AB∥CD，则需增加条件：______．（填一个即可） 5.(24-25七下·云南临沧市耿马傣族佤族自治县·期末)如图，∠A+∠EFB=180°，∠A与∠ECD互为补角。求证：AB∥CD。 ( 考点0 3 平行线的性质 )1．(24-25七下·云南临沧市耿马傣族佤族自治县·期末)如图，直线c与直线a，b都相交，．若，则（   ） A． B． C． D． 2．(24-25七下·云南丽江·期末)如图，AB∥DE，BC∥EF．若，则∠B的度数为（   ） A． B． C． D． 3.(24-25七下·云南保山市腾冲市·期末)如图，直线a∥b，AC⊥BC，若∠1=55°，则∠2=（ ） A. 35° B. 40° C. 45° D. 50° 4．(24-25七下·云南昆明呈贡区·期末)如图，一束光线AB先后经平面镜OP、OQ反射后，反射光线CD与入射光线AB平行，若∠ABP=∠CBO=，则∠BCD的度数为（   ） A．60° B．80° C．50° D．40° 5．(24-25七下·云南昆明石林彝族自治县·期末)如图，烧杯内液体表面AB与烧杯下底CD平行，光线EF从液体中射向空气时发生折射，光线变成FH，点G在射线EF上。若∠HFB=20°，∠FED=58°，则∠GFH的度数为（ ） A．32° B．38° C．42° D．58° 6．(24-25七下·云南昆一中西山学校·期末)如图，已知，则∠3=（   ） A．140° B．100° C．70° D．170° 7．(24-25七下·云南文山州·期末)为倡导绿色出行，某城市港口设置了共享单车服务，图①是某款共享单车的实物图，图②是其结构示意图。AB和CD与地面平行，∠MAC=60°，∠BAC=50°，当AM平行于支撑杆CE时，∠BCD的度数为______。 8.(24-25七下·云南临沧市耿马傣族佤族自治县·期末) 如图，直线AB∥CD，直线EF与AB、CD分别相交于点M、N，GM⊥AB，垂足为M，MH平分∠BME。 (1)若∠AMF=78°，求∠GMH的度数； (2)若∠DNE -∠GME=58°，求∠AMH的度数。 【答案】(1)∠GMH=51° (2) ∠AMH=143° 9.(24-25七下·云南丽江·期末) 动手操作可提升我们的数学核心素养，现将含30°的直角三角板DEF和含45°的直角三角板ABC按不同的方式摆放，可解决下列问题： (1)如图1，将三角板直角顶点A与顶点E重合，若AF∥BC，求∠CAD的度数。 (2)如图2，含45°角的三角板ABC的顶点B放在三角板DEF的边DF上，若AC∥DF，求证：BC平分∠ABF。 【答案】(1)135° (2)见解析 【分析】本题考查平行线的性质：两直线平行内错角相等和两直线平行同旁内角互补，两种直角三角板的特殊度数，角平分线定义： (1)由AF∥BC得出∠FAC=∠ACB=45°，再利用∠CAD=∠DEF+∠FAC，∠DEF=90°，即可得出∠CAD的度数； (2)由AC∥DF得∠BAC+∠ABF=180°，又因为∠BAC=90°，所以∠ABF=90°，利用∠ABC=45°得出。 10.(24-25七下·云南楚雄彝族自治州·期末)如图，∠A=60°，AM∥BN，P为射线AM上一动点，连接BP，作BC平分∠PBA，交AM于点C，BD平分∠PBN，交AM于点D。 (1)如图1，当BP⊥AM时，求∠ABC的度数。 (2)如图2，当BC⊥AM时，求∠PBD的度数。 (3)请说明在点P的运动过程中，∠PCB+∠PDB的值是否为定值。若是定值，请求出∠PCB+∠PDB的度数；若不是定值，请说明理由。 ( 考点0 4 平行线的性质和判定的综合 ) 1.(24-25七下·云南丽江·期末) 如图是修路工程车的工作示意图，工作篮底部与支撑平台平行，若∠1=30°，∠2=60°，则∠3的度数为（ ） A. 130° B. 140° C. 150° D. 160° 2.(24-25七下·云南昆明市·期末)如图，已知AB∥EF，∠B=60°，∠2=25°，则∠C的度数为____。 3．(24-25七下·云南德宏州·期末)如图，已知AD∥BE，AE平分∠BAD，CD与AE相交于点F，∠CFE=∠E．试说明AB∥CD，完成下列推理过程： 解：∵AD∥BE（已知）， ∴∠DAE=______．（____________） ∵AE平分∠BAD（已知）， ∴∠DAE=______．（角平分线的定义） ∵∠CFE=∠E（已知）， ∴∠BAE=______，（等量代换） ∴AB∥CD．（____________） 4．(24-25七下·云南大理州·期末)已知：如图，点D，E，F分别是三角形ABC的边BC，CA，AB上的点，DF∥CA，∠FDE＝∠A； (1)求证：DE∥BA． (2)若∠BFD＝∠BDF＝2∠EDC，求∠B的度数． 5．(24-25七下·云南昆明东川区·期末) 如图，AE∥BD，∠A=∠BDC，∠AEC的平分线交CD的延长线于点F。 (1)求证：AB∥CD； (2)探究∠A，∠AEC，∠C之间的数量关系，并说明理由； (3)若∠BDC=140°，∠F=20°，求∠C的度数。 6.(24-25七下·云南昆明一中·期末) 如图，在三角形ABC中，点D，F在边BC上，点E在边AB上，点G在边AC上，连接AD，EF，GD，延长EF与GD交于点H，∠1=∠B，∠2+∠3=180°。 (1) EH与AD平行吗？为什么？ (2) 若∠DGC=58°，且∠H=∠4+10°，求∠H的度数。 7．(24-25七下·云南昆一中西山学校·期末)如图，射线AM∥BN，点E，F，D在射线AM上，点C在射线BN上，且∠BCD＝∠A，BE平分∠ABF，BD平分∠FBC． (1)求证：AB∥CD． (2)如果平行移动CD，那么∠AFB与∠ADB的比值是否发生变化？若变化，找出变化规律；若不变，求出这两个角的比值． (3)如果∠A＝100°，那么在平行移动CD的过程中，是否存在某一时刻，使∠AEB＝∠BDC？若存在，求出此时∠AEB的度数；若不存在，请说明理由． 8．(24-25七下·云南玉溪·)如图，AD∥BC，∠BCD的平分线CG交AD于点G。 (1)试说明：∠DGC=∠DCG； (2)如图，线段CG上有一点P，满足∠CDP=3∠PDG，过点A作AH∥CG交BC于点H。 ①若∠BAH=2∠PDG，试判断AB与AD的位置关系，并说明理由； ②在①的条件下，在射线CG上取一点M，使得∠PDM=∠BAH，直线DM交直线BC于点Q，求的值。 9．(24-25七下·云南大理州·)如图，线段AB、AD交于点A，点C为直线AD上一点（不与点A、D重合），在BC的右侧，作射线CE⊥BC，过点D作直线DF∥AB，交CE于点G（G与D不重合）。 (1)若点C在线段AD上， ①如图①，若∠BCA为钝角，∠B=18°，嘉嘉过点C作了辅助线求出∠CGD的度数，你试着完成求解过程。 ②如图②，若∠BCA为锐角，判断∠B与∠CGD的数量关系并说明理由。 (2)若点C在线段DA的延长线上，画出图形，写出∠B与∠CGD的数量关系，说明理由． 10．(24-25七下·云南临沧中学等学校·期末)根据下列叙述填依据． (1)已知如图1，AB∥CD，求∠B+∠BFD+∠D的度数． 解：过点F作FE∥AB 所以∠B+∠BFE=180°（     ） 因为AB∥CD、FE∥AB（已知） 所以 （   ） 所以∠D+∠DFE=180°（ ） 所以∠B+∠BFE+∠D=∠B+∠BFE+∠EFD +∠D=360° (2)根据以上解答进行探索．如图（2）（3）AB∥EF、∠D与∠B、∠F有何数量关系（请选其中一个简要证明） 备用图： (3)如图（4）AB∥EF，∠C=90°，∠与∠、∠有何数量关系（直接写出结果，不需要说明理由） 11.(24-25七下·云南曲靖市·期末)（1）【问题解决】如图1，已知AB∥CD，PQ∥AB，∠AEP=142°，∠PFD=34°，求∠EPF的度数； （2）【问题迁移】如图2，若AB∥CD，点P在CD的下方，看一看，想一想，证一证：以下与∠PFC、∠PEA、∠EPF有关的三个结论：∠PEA+∠EPF>∠PFC，∠PEA+∠EPF=∠PFC，∠PEA+∠EPF＜∠PFC，你认为哪个正确？请说明理由。 12．(24-25七下·云南保山腾冲第八中学·期末)探索下面不同的情境，回答问题： (1)【探索发现】已知：如图1，AB∥CD，点P在AB，CD之间，连接AP，CP． 易证：∠APC=∠BAP+∠PCD． 下面是两位同学添加辅助线的方法： 小刚：如图2，过点P作PQ∥AB． 小红：如图3，延长AP交CD于点M． 请你选择一位同学的方法，并进行证明； (2)【深入思考】如图4，点E，F分别是射线AB，CD上一点，点G是线段CF上一点，连接AG并延长， 交直线EF于点P，连接AC、EG，若∠PAC+∠PEG=∠AGE，求证：AC∥EF； (3)【拓展延伸】如图5，在(2)的条件下，AB∥CD，AH平分∠PAC，FH平分∠PFC，AH与FH交于点H，若∠CAH=25°，∠AHF=∠AEG，∠PGE=2∠CAH+3∠PEG，求∠PFC的度数。 13.(24-25七下·云南普洱市·期末) 如图，AB∥CD，M，N分别在AB，CD上，点P在AB，CD之间，连接MP，NP。 (1)如图1，当∠MPN=90°，∠BMP=35°时，∠DNP=____。 (2)如图2，MP平分∠BMP，NP平分∠DNP，此时∠MPN和∠MP'N的数量关系是什么？请说明理由。 (3)如图3，在(2)的条件下，在AB的上方有一点Q，连接MQ，NQ，MB平分∠QMP，NP平分∠QND，求证：。 14.(24-25七下·云南丽江·期末) 如图，直线AB、CD被直线MN所截，且AB∥CD，点E在线段MN上，P，Q分别在直线AB，CD上，连接PE、EQ。 (1)如图1，求证：∠PEQ=∠APE+∠CQE； (2)如图2，∠FPB=∠EPB，∠FQD=∠EQD，若∠PEQ=70°，请利用(1)中的结论，求∠PFQ的度数； (3)如图3，若∠FPB=∠EPB，∠FQD=∠EQD，请写出∠PEQ和∠PFQ之间的数量关系，并说明理由。 15．(24-25七下·云南丽江中学等学校·期末) 如图1，∠ACB=90°，MA∥BN。 (1)①如果∠MAC=30°，求∠CBN的度数； ②设∠MAC=α，∠CBN=β，直接写出α、β之间的数量关系：____； (2)如图2，∠MAC、∠CBN的角平分线交于点P，当∠MAC的度数发生变化时，∠APB的度数是否发生变化？如果变化，请说明理由；如果不变，请求出∠APB的度数； (3)在(2)的条件下，若∠MAC=40°，点E为射线BN上的一个动点，过点E作EF∥BC交直线AP于点F，连接EP，已知∠FEP=10°，求∠BPE的度数。 ( 考点0 5 定义、命题、定理 ) 1．(24-25七下·云南昆明石林彝族自治县·期末)下列命题中，是真命题的是（   ） A．同位角相等 B．相等的角是对顶角 C．互补的两个角一定一个是锐角，一个是钝角 D．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 2．(24-25七下·云南昆明东川区·期末)下列命题中，是真命题的是（    ） A．同位角相等 B．在同一平面内，平行于同一条直线的两条直线平行 C．若，则 D．0没有相反数 3．(24-25七下·云南临沧耿马傣族佤族自治县·期末)下列命题中，是假命题的是（   ） A．直线外一点到这条直线的线段的长度，叫作点到直线的距离 B．两直线平行，同旁内角互补 C．过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行 D．若两条直线都与第三条直线平行，则这两条直线也互相平行 4．(24-25七下·云南丽江·期末)下列命题中，是真命题的是（   ） A．相等的两个角是对顶角 B．同旁内角互补 C．连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短 D．经过一点，有且只有一条直线与这条直线平行 5．(24-25七下·云南普洱·期末)下列命题中，是真命题的是（    ） ①坐标平面内的点与有序实数对是一一对应的；②平方根是它本身的数只有0和1；③过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行；④同旁内角互补；⑤垂线段最短． A．①②③ B．①③④ C．①③⑤ D．②④⑤ 6．(24-25七下·云南昆一中西山学校·期末)下列命题中，是真命题的是（    ） A．一个二元一次方程有无数个解 B．相等的角是对顶角 C．过一点，有且只有一条直线与已知直线平行 D．同旁内角互补 7．(24-25七下·云南昆明盘龙区·期末)下列命题中，是真命题的是（　　） A．若，则 B．-5的立方根是-125 C．相等的角是对顶角 D．同旁内角互补 8．将命题“对顶角相等”改写成“如果……那么……”的形式：如果_____________，那么_____________． 9．(24-25七下·云南保山腾冲第八中学·期末)9. 已知三条不同的直线a，b，c在同一平面内，有下列三个命题：①如果a∥b，a⊥c，那么b⊥c；②如果b⊥a，c⊥a，那么b⊥c；③如果b⊥a，c⊥a，那么b∥c。其中，是真命题的有______（填序号） ( 考点0 6 平移 ) 1．(24-25七下·云南临沧耿马傣族佤族自治县·期末)下列“比”字的四种书法字体中，可以看作是由一个“基本图形”平移得到的是（   ） A． B． C． D． 2．(24-25七下·云南德宏州·期末)《哪吒之魔童闹海》以震撼特效、精彩故事、鲜活形象和浓厚文化，展现了中国动画电影的强劲实力．图是哪吒头像，在下列四个图中能由图经过平移得到的是（　　） A． B． C． D． 3．(24-25七下·云南保山腾冲第八中学·期末)甲骨文是在我们安阳发现的最早的一种古代文字，是汉字的早期形式，下列甲骨文中，能用其中一部分平移得到的是（   ） A． B． C． D． 4.(24-25七下·云南保山市腾冲市·期末) 如图，将△ABC沿BC方向平移到△DEF，若A、D之间的距离为2，CE=3，则BF等于（ ） A．6 B．7 C．8 D．9 5．(24-25七下·云南曲靖·期末)如图，△ABC沿射线 BC方向平移到△DEF，若BC=8，CE=3，则平移的距离为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 6．(24-25七下·云南昆一中西山学校·期末)如图，在三角形ABC中，∠ABC=，将三角形ABC沿BC方向平移得到三角形DEF，其中AB=7，BE=3，DM=2，则阴影部分的面积是（    ） A．15 B．18 C．21 D．24 7．(24-25七下·云南临沧地区·期末)如图，在直角三角形ABC中，∠ABC=90°，AB=5，BC=8，将三角形ABC沿BC向右平移得到三角形FDE，DF与AC交于点O，连接AF。若O是DF的中点，图中阴影部分的面积S₁=15，则平移的距离为______。 8.(24-25七下·云南昆明市东川区·期末) 如图，将直角三角形ABC沿AB方向平移3个单位得到三角形DEF，AB=9，EF=6，CH=2，则图中阴8．如图，将直角三角形ABC沿AB方向平移3个单位得到三角形DEF，AB=9，EF=6，CH=2，则图中阴影部分的面积为________． 9．(24-25七下·云南大理州·期末)如图，△ABC的周长为12cm，若将△ABC沿射线BC方向平移3cm后得到△DEF，AC与DE相交点G，连结AD，则△ADG与△ECG的周长和为（　　） A．15cm B．13cm C．12cm D．9cm 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 相交线与平行线 高频考点概览 考点01相交线 考点02平行线的判定 考点03平行线的性质 考点04平行线的性质和判定的综合 考点05定义、命题、定理 考点06 平移 ( 考点01 相交线 )1．(24-25七下·云南昆明市石林彝族自治县·期末)我们要学会用数学的眼光观察现实世界，下列各选项中能用“垂线段最短”来解释的现象是（   ） A．弯曲河道改直 B．木板上弹墨线 C．测量跳远成绩 D．两钉子固定木条 【答案】C 【分析】本题考查了两点确定一条直线，垂线段最短，两点之间，线段最短等知识．熟练掌握两点确定一条直线，垂线段最短，两点之间，线段最短是解题． 根据线段的性质，直线的性质和垂线段最短分别判断即可． 【详解】解：A、弯曲河道改直为两点之间，线段最短，故不符合题意； B、木板上弹墨线为两点确定一条直线，故不符合题意； C、测量跳远成绩为垂线段最短，故符合题意； D、两钉子固定木条两点确定一条直线，故不符合题意； 故选：C ． 2．(24-25七下·云南昭通·期末)如图，在三角形ABC中，∠C=，AC=4，点P是BC边上一动点，AP的长不可能是（   ） A．4 B．5.5 C．3 D．5 【答案】C 【分析】本题考查了垂线段最短，熟练掌握垂线段最短是解题关键．根据垂线段最短可得AP≥4，由此即可得． 【详解】解：∵在三角形ABC中，∠C=，AC=4，，点\P是BC边上一动点， ∴由垂线段最短可知，AP≥AC，即AP≥4（当点P与点C重合时，等号成立）， 故选：C． 3.(24-25七下·云南昭通·期末)如图，直线AB、CD相交于点O，OE⊥AB于O，∠EOC=35°，则∠AOD的度数为（ ） A. 125° B. 115° C. 105° D. 95° 【答案】A 【分析】先根据垂直的定义求出∠BOC的度数，再根据邻补角的定义求出∠AOD的度数。 【详解】解：∵OE⊥AB， ∴∠EOB=90°， 又∵∠EOC=35°， ∴∠BOC=∠EOB+∠EOC=125°， ∵∠AOD与∠BOC是对顶角， ∴∠AOD=∠BOC=125°。 4．(24-25七下·云南昭通·期末)如图，下列说法正确的是（   ） A．∠1与∠8是同位角 B．∠4与∠7是内错角 C．∠3与∠6是同旁内角 D．∠2与∠5是互为邻补角 【答案】C 【分析】本题考查了同位角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两条直线的同一方，并且在第三条直线（截线）的同一侧，则这样一对角叫做同位角；内错角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角在两条直线之间，并且在第三条直线（截线）的两侧，则这样一对角叫做内错角；同旁内角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角在两条直线之间，并且在第三条直线（截线）的同一侧，则这样一对角叫做同旁内角；邻补角：两个角有一条公共边，且它们的另一边互为反向延长线，具有这种关系的两个角互为邻补角．熟记同位角、内错角、同旁内角、邻补角的定义是解题关键．根据同位角、内错角、同旁内角、邻补角的定义逐项判断即可得． 【详解】解：A、∠1与∠5是同位角，∠4与∠8是同位角，∠1与∠8不是同位角，则此项错误，不符合题意； B、∠4与∠6是内错角，∠4与∠7不是内错角，则此项错误，不符合题意； C、∠3与∠6是同旁内角，则此项正确，符合题意； D、∠2与∠1是互为邻补角，∠2与∠3是互为邻补角；∠5与∠6是互为邻补角，∠5与∠8是互为邻补角；∠2与∠5不是互为邻补角，则此项错误，不符合题意； 故选：C。 5．(24-25七下·云南德宏州·期末)下列各图中，∠1和∠2是对顶角的是（   ） A．B．C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了对顶角的定义，熟练掌握以上知识是解题的关键． 根据对顶角定义：有公共顶点且两条边都互为反向延长线的两个角称为对顶角，判断即可． 【详解】解：A.∠1和∠2有公共顶点，但是两条边不互为反向延长线，所以不是对顶角； B.∠1和∠2没有公共顶点，所以不是对顶角； C.∠1和∠2没有公共顶点，所以不是对顶角； D.∠1和∠2有公共顶点且两条边都互为反向延长线，所以是对顶角； 故选：D 6.(24-25七下·云南丽江·期末)如图所示，如果∠AOB=∠COD，那么（ ） A. ∠α>∠β B. ∠α<∠β C. ∠α=∠β D. ∠α+∠β=∠COD 【答案】C 【分析】本题考查几何图形中角的计算，根据角的和差关系得出∠AOB-∠BOC=∠COD-∠BOC，即∠AOC=∠BOD，得出答案即可。 【详解】解：∵∠AOB=∠COD， ∴∠AOB-∠BOC=∠COD-∠BOC，即∠AOC=∠BOD， ∴∠α=∠β， 故选：C。 7.(24-25七下·云南丽江·期末)若∠ABC=41°20′，则∠ABC的补角的度数为____。 【答案】138°40′ 【分析】本题考查求一个角的补角，角度的运算。根据互补的两角之和为180°求解即可。 【详解】解：∵∠ABC=41°20′， ∴∠ABC的补角为180°-41°20′=179°60′-41°20′=138°40′。 故答案为：138°40′。 8.(24-25七下·云南丽江·期末)已知OD平分∠AOB，作射线OC在∠AOB内部， (1)若∠BOD=60°，∠DOE=35°，求∠COE的度数； (2)若∠AOE=80°，∠DOE=2∠COE，求∠BOD的度数。 【答案】(1)25°；(2)60° 【分析】本题考查角的计算、角平分线的定义： (1)根据角平分线的定义得∠COD=∠BOD=60°，进而根据∠COE=∠COD-∠DOE，即可求解； (2)根据已知设∠COE=x，则∠DOE=2x，∠AOD=∠AOE-∠DOE=80°-2x，再结合∠AOD=∠BOD=2∠COD=2(∠COE+∠DOE)=6x，代入得80°-2x=6x，求出x后即可求解。 【详解】(1)解：∵OD平分∠AOB， ∴∠AOD=∠BOD=60°， 又∵∠COD=∠BOD=60°，∠DOE=35°， ∴∠COE=∠COD-∠DOE=60°-35°=25°； (2)解：设∠COE=x，则∠DOE=2x， ∵OD平分∠AOB， ∴∠AOD=∠BOD=∠AOB/2， ∠COD=∠COE+∠DOE=3x，故∠AOD=∠BOD=2∠COD=6x， 又∵∠AOE=∠AOD+∠DOE=80°，即6x+2x=80°， 解得x=10°， ∴∠BOD=6x=60°。 (2)解：∵OD平分∠BOC， ∴∠COD=∠BOD， 又∵∠DOE=2∠COE， ∴∠BOD=∠COD=∠COE+∠EOD=3∠COE， ∴∠BOE=∠EOD+∠BOD=2∠COE+3∠COE=5∠COE=180°-∠AOE=100°， ∴∠COE=20°， ∴∠BOD=3∠COE=60°。 9.(24-25七下·云南普洱市·期末)如图，AB与CD相交于点O，OC⊥OE，∠BOD=30°，OA平分∠FOC。 (1)求∠EOB的度数； (2)求钝角∠FOE的度数。 【答案】(1)60°；(2)150° 【分析】本题考查角度求解，解题的关键是掌握对顶角的性质、垂直的性质，以及角平分线的性质。 (1)根据OC⊥OE得出∠EOD=90°，即可求出∠EOB的度数； (2)先根据对顶角相等求出∠AOC=∠BOD=30°的度数，再由角平分线的性质得到∠FOC=2∠AOC=60°，即可求出∠EOF的度数。 【详解】(1)解：∵OC⊥OE， ∴∠DOE=∠COE=90°， ∵∠BOD=30°， ∴∠EOB=90°-∠BOD=90°-30°=60°； (2)解：∵直线AB与CD相交于点O， ∴∠AOC=∠BOD=30°， ∵OA平分∠FOC， ∴∠FOC=2∠AOC=60°， 10．(24-25七下·云南丽江·期末)点O是直线AB上一点，射线OD平分∠AOC． (1)如图①所示，射线OE在∠AOC内部，，若∠DOE=，求∠BOC的度数； (2)如图②所示，射线OE在直AB下方，∠BOC：∠AOD：∠AOE=2:5:8，求∠BOE的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了角平分线的定义及平角的定义、角的和差，熟练掌握知识点是解题的关键。 （1）设∠BOC=3x，则∠COE=x，利用角平分线的定义求得∠AOD=∠COD=50°+x，再利用平角的定义列式计算求得x，据此求解即可； （2）由题意设∠BOC=2α，∠AOD=5α，∠AOE=8α，利用角平分线的定义求得∠COD=∠AOD=5α，再利用平角的定义列式计算求得α=15°，据此求解即可。 【详解】(1) 解：设∠BOC=3x，则∠COE=x。 ∵∠DOE=50°， ∴∠COD=50°+x， ∵OD平分∠AOC， ∴∠AOD=∠COD=50°+x， ∴50°+x+50°+x+3x=180°， 解得x=16°， ∴∠BOC=3x=48°， ∴∠BOC的度数为48°。 (2) 解：∵∠BOC:∠AOD:∠AOE=2:5:8， 设∠BOC=2α，∠AOD=5α，∠AOE=8α， ∵OD平分∠AOC， ∴∠COD=∠AOD=5α， ∴5α+5α+2α=180°， 解得α=15°， ∴∠BOE=180°-∠AOE=180°-8α=180°-120°=60°。 ( 考点02 平行线 的判定 ) 1．(24-25七下·云南昆明五县区·期末)在铺设钢轨时，两条钢轨必须是平行的．如图，若测得∠1是直角，则只需测得∠2也是直角，就可以确定两条钢轨平行．这其中的原理是（   ） A．两直线平行，同旁内角相等 B．两直线平行，同旁内角互补 C．同旁内角相等，两直线平行 D．同旁内角互补，两直线平行 【答案】D 【分析】本题考查平行线的判定，根据同旁内角互补，两直线平行，进行判断即可． 【详解】解：由题意，解决这个问题所应用的数学原理是同旁内角互补，两直线平行； 故选D． 2．(24-25七下·云南昆明呈贡区·期末)在铺设铁轨时，两条直轨必须是互相平行的，如图，已经知道∠2是直角，那么再度量图中已标出的哪个角，不能判断两条直轨是否平行(   ) A．∠1 B．∠3 C．∠4 D．∠5 【答案】A 【分析】因为∠2是直角，只要找出与∠2互为同位角、内错角、同旁内角的其他角，根据平行线的判定定理判定即可得到正确答案． 【详解】因为∠2是直角，∠4和∠2是同位角，如果度量出∠4=90°，根据“同位角相等，两直线平行”，就可以判断两条直线平行。 ∠5和∠2是内错角，如果度量出∠5=90°，根据“内错角相等，两直线平行”，就可以判断两条直线平行。 ∠3和∠2是同旁内角，如果度量出∠3=90°，根据“同旁内角互补，两直线平行”，就可以判断两条直线平行。 所以答案为：A。 3．(24-25七下·云南昆明东川区·期末)如图，由下列条件：①∠B +∠BAD＝180°； ②∠B＝∠5； ③∠D＝∠5； ④∠3＝∠4；⑤∠1 ＝∠2，能判定AD∥BC的条件为（     ） A．①②③④⑤ B．①②④ C．①③⑤ D．①②③ 【答案】C 【分析】根据平行线的判定定理逐个分析排除即可求解． 【详解】解：①∵∠B +∠BAD＝180°； ∴AD∥BC ②∵∠B＝∠5； ∴AB∥CD ③∵∠D＝∠5； ∴AD∥BC ④∵∠3＝∠4； ∴AB∥CD ⑤∵∠1 ＝∠2， ∴AD∥BC 故符合题意的为①③⑤ 故选C 4．(24-25七下·云南德宏州·期末)如图，在四边形ABCD中，若要AB∥CD，则需增加条件：______．（填一个即可） 【答案】∠1=∠4（或∠A+∠ADC=180°或∠C+∠ABC=180°） 【分析】本题考查了平行线的判定定理，解题的关键是熟悉并运用同位角相等、内错角相等或同旁内角互补时两直线平行的判定方法。明确要使AB∥CD，需依据平行线的判定定理寻找条件；可从同位角、内错角或同旁内角的关系入手，找出能判定两直线平行的条件。 【详解】解：要使AB∥CD，根据“内错角相等，两直线平行”，若∠1=∠4（∠1、∠4是AB与CD被BD所截形成的内错角），则AB∥CD； 根据“同旁内角互补，两直线平行”，若∠A+∠ADC=180°（∠A和∠ADC是AB与CD被AD所截形成的同旁内角），或∠C+∠ABC=180°（∠C和∠ABC是AB与CD被BC所截形成的同旁内角），也可判定AB∥CD。 故答案为：∠1=∠4（或∠A+∠ADC=180°或∠C+∠ABC=180°）。 5.(24-25七下·云南临沧市耿马傣族佤族自治县·期末)如图，∠A+∠EFB=180°，∠A与∠ECD互为补角。求证：AB∥CD。 【答案】见解析 【分析】本题考查了补角的性质：同角的补角相等，平行线的判定等知识，熟悉这些知识是关键；由题意得∠EFB=∠ECD，再由平行线的判定即可证明。 【详解】证明：∵∠A+∠EFB=180°，∠A与∠ECD互为补角， ∴∠EFB=∠ECD， ∴AB∥CD。 ( 考点0 3 平行线的性质 )1．(24-25七下·云南临沧市耿马傣族佤族自治县·期末)如图，直线c与直线a，b都相交，．若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的性质，根据两直线平行，内错角相等，得，即可作答． 【详解】解：∵，， ∴， 故选：B 2．(24-25七下·云南丽江·期末)如图，AB∥DE，BC∥EF．若，则∠B的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了平行线的性质，熟知两直线平行，内错角相等,同旁内角互补是解题的关键． 根据平行线的性质求出∠BHE，再由平行线的性质进行求解即可． 【详解】解：设BC与DE交于点H， ∵BC∥EF，， ∠BHE=， ∵AB∥DE， ∴∠B=∠BHE=． 故选：A． 3.(24-25七下·云南保山市腾冲市·期末)如图，直线a∥b，AC⊥BC，若∠1=55°，则∠2=（ ） A. 35° B. 40° C. 45° D. 50° 【答案】A 【分析】本题考查垂直的定义、平行线的性质，由AC⊥BC可得∠1+∠3=90°，求出∠3=35°，再根据平行线的性质即可得出∠2=∠3=35°。 【详解】解：如图， ∵AC⊥BC， ∴∠1+∠3=90°， ∵∠1=55°， ∴∠3=90°-∠1=35°， ∵直线a∥b， ∴∠2=∠3=35°， 故选A。 4．(24-25七下·云南昆明呈贡区·期末)如图，一束光线AB先后经平面镜OP、OQ反射后，反射光线CD与入射光线AB平行，若∠ABP=∠CBO=，则∠BCD的度数为（   ） A．60° B．80° C．50° D．40° 【答案】A 【分析】本题主要考查了平行线的性质，根据题意可知∠ABP=∠CBO=30°，AB∥CD，可求出∠ABC，再根据“两直线平行，同旁内角互补”得出答案。 【详解】解：根据题意可知∠ABP=∠CBO=30°，AB∥CD， ∴∠ABC=180°-30°-30°=120°。 ∵AB∥CD， ∴∠ABC+∠BCD=180°， ∴∠BCD=60°。 故选：A。 5．(24-25七下·云南昆明石林彝族自治县·期末)如图，烧杯内液体表面AB与烧杯下底CD平行，光线EF从液体中射向空气时发生折射，光线变成FH，点G在射线EF上。若∠HFB=20°，∠FED=58°，则∠GFH的度数为（ ） A．32° B．38° C．42° D．58° 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的性质，掌握两直线平行同位角相等是解题的关键。根据两直线平行同位角相等可得∠GFB=∠FED=58°，再根据角的和差计算即可解答。 【详解】解：∵AB∥CD，∠FED=58°， ∴∠GFB=∠FED=58°， 又∵∠HFB=20°， ∴∠GFH=∠GFB-∠HFB=58°-20°=38°。 故选：B。 6．(24-25七下·云南昆一中西山学校·期末)如图，已知，则∠3=（   ） A．140° B．100° C．70° D．170° 【答案】A 【分析】如图，延长AB交直线b于C，由平行线性质可得∠ACD的度数，根据外角性质即可求出∠3的度数. 【详解】延长AB交直线b于C， ∵a//b， ∴∠1+∠ACD=180°， ∴∠ACD=180°-130°=50°， ∵∠2=90°， ∴∠3=∠ACD+∠CBD=50°+90°=140°， 故选A. 7．(24-25七下·云南文山州·期末)为倡导绿色出行，某城市港口设置了共享单车服务，图①是某款共享单车的实物图，图②是其结构示意图。AB和CD与地面平行，∠MAC=60°，∠BAC=50°，当AM平行于支撑杆CE时，∠BCD的度数为______。 【答案】70° 【分析】本题考查了平行线的性质，掌握两直线平行，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补是解题关键。由平行线的性质可得∠ACB=60°，∠ACD=130°，即可求解。 【详解】解：∵AM∥CE，∠MAC=60°， ∴∠ACB=∠MAC=60°， ∵AB∥CD，∠BAC=50°， ∴∠ACD=180°-∠BAC=130°， ∴∠BCD=∠ACD-∠ACB=130°-60°=70°。 故答案为：70°。 8.(24-25七下·云南临沧市耿马傣族佤族自治县·期末) 如图，直线AB∥CD，直线EF与AB、CD分别相交于点M、N，GM⊥AB，垂足为M，MH平分∠BME。 (1)若∠AMF=78°，求∠GMH的度数； (2)若∠DNE -∠GME=58°，求∠AMH的度数。 【答案】(1)∠GMH=51° (2) ∠AMH=143° 【分析】本题考查了平行线的性质，角平分线的性质，解二元一次方程组等知识。 (1)由对顶角相等及角平分线的性质得∠BMH，再由垂直关系即可求解； (2)由平行线的性质得∠BME=∠DNE，再由∠BME+∠GME=90°、∠BME-∠GME=58°可求出∠BME，从而求出∠BMH，再由互补关系即可求解。 【详解】(1)解：∵∠BME=∠AMF=78°，MH平分∠BME， ∴∠BMH=1/2∠BME=39°， ∵GM⊥AB，∴∠BMG=90°， ∴∠GMH=∠BMG-∠BMN=90°-39°=51°。 (2)解：∵AB∥CD，∴∠BME=∠DNE， 又∵∠DNE-∠GME=58°，GM⊥AB， ∴∠BMG=90°， ∴∠GMH=∠BMG-∠BMH=90°-39°=51°； (2)解：∵AB∥CD， ∴∠BME=∠DNE， 又∵∠BME-∠GME=58°①， ∵GM⊥AB， ∴∠BMG=90°， 即有∠BME+∠GME=90°②， 由①+②得：2∠BME=148°， ∴∠BME=74°， ∵MH平分∠BME， ∴∠BMH=∠BME=37°， ∴∠AMH=180°-∠BMH=143°。 9.(24-25七下·云南丽江·期末) 动手操作可提升我们的数学核心素养，现将含30°的直角三角板DEF和含45°的直角三角板ABC按不同的方式摆放，可解决下列问题： (1)如图1，将三角板直角顶点A与顶点E重合，若AF∥BC，求∠CAD的度数。 (2)如图2，含45°角的三角板ABC的顶点B放在三角板DEF的边DF上，若AC∥DF，求证：BC平分∠ABF。 【答案】(1)135° (2)见解析 【分析】本题考查平行线的性质：两直线平行内错角相等和两直线平行同旁内角互补，两种直角三角板的特殊度数，角平分线定义： (1)由AF∥BC得出∠FAC=∠ACB=45°，再利用∠CAD=∠DEF+∠FAC，∠DEF=90°，即可得出∠CAD的度数； (2)由AC∥DF得∠BAC+∠ABF=180°，又因为∠BAC=90°，所以∠ABF=90°，利用∠ABC=45°得出。 【详解】(1)解：∵△ABC是含45°的直角三角板，△EDF是含30°的直角三角板， ∴∠ACB=45°，∠DEF=90°， ∵AF∥BC， ∴∠FAC=∠ACB=45°， ∴∠CAD=∠DEF+∠FAC=45°+90°=135°。 (2)证明：∵△ABC是含45°的直角三角板， ∴∠BAC=90°，∠ABC=45°， ∵AC∥DF， ∴∠BAC+∠ABF=180°， ∴∠ABF=180°-∠BAC=180°-90°=90°， ∴∠CBF=∠ABF-∠ABC=90°-45°=45°， ∴∠ABC=∠CBF， ∴BC平分∠ABF。 10.(24-25七下·云南楚雄彝族自治州·期末)如图，∠A=60°，AM∥BN，P为射线AM上一动点，连接BP，作BC平分∠PBA，交AM于点C，BD平分∠PBN，交AM于点D。 (1)如图1，当BP⊥AM时，求∠ABC的度数。 (2)如图2，当BC⊥AM时，求∠PBD的度数。 (3)请说明在点P的运动过程中，∠PCB+∠PDB的值是否为定值。若是定值，请求出∠PCB+∠PDB的度数；若不是定值，请说明理由。 【答案】(1)15° (2)30° (3)是定值，∠PCB+∠PDB=120° 【分析】本题考查平行线的性质、角平分线的性质、角度的计算，熟练掌握平行线的性质、角平分线的性质是解题的关键。 (1)由于BP⊥AM可得∠APB=90°，根据平行线的性质可得∠A+∠ABN=180°、∠PBN=∠APB=90°，进而推出∠ABP=30°，再利用角平分线的性质得到∠ABC=15°。 (2)由于BP⊥AM可得∠APB=90°，根据平行线的性质可得∠ACB=∠CBN=90°、∠A+∠ABN=180°、∠ABC=30°，再利用角平分线的性质得到∠PBA=2∠ABC=2×30°=60°，根据平行线的性质可得∠A+∠ABN=180°，可推出∠ABN=120°、∠PBN=60°，再由BD平分∠PBN，得∠PBD=1/2∠PBN=1/2×60°=30°。 (3)由平行线的性质得到∠A+∠ABN=180°，从而得到∠ABN=180°−∠A=120°，再由角平分线的性质得到∠PBA=2∠PBC，∠PBN=2∠PBD，从而得到2∠PBC+2∠PBD=120°，即可以得∠CBD=60°。由于∠PCB+∠PDB+∠CBD=180°，∠PCB+∠PDB=180°−∠CBD=180°−60°=120°，∠PCB+∠PDB的值为定值。 【详解】(1)解：∵BP⊥AM， ∴∠APB=90°。 ∵AM∥BN， ∴∠A+∠ABN=180°，∠PBN=∠APB=90°。 ∵∠A=60°， ∴∠ABN=∠ABP+∠PBN=120°， ∴∠ABP=30°。 ∵BC平分∠PBA， ∴∠ABC=∠PBA=×30°=15°。 (2)解：∵BC⊥AM， ∴∠ACB=90°。 ∵AM∥BN， ∴∠ACB=∠CBN=90°，∠A+∠ABN=180°， ∴∠ABC=180°−∠CBN−∠A=180°−90°−60°=30°。 ∵BC平分∠PBA， ∴∠PBA=2∠ABC=2×30°=60°。 ∵AM∥BN， ∴∠A+∠ABN=180°， ∴∠ABN=180°−∠A=180°−60°=120°， ∴∠PBN=∠ABN−∠PBA=120°−60°=60°。 ∵BD平分∠PBN， ∴∠PBD=∠PBN=×60°=30°。 (3)解：∠PCB+∠PDB的值是定值， ∵AM∥BN， ∴∠A+∠ABN=180°， ∴∠ABN=180°−∠A=180°−60°=120°。 ∵BC平分∠PBA，BD平分∠PBN， ∴∠PBA=2∠PBC，∠PBN=2∠PBD。 ∵∠ABN=∠PBA+∠PBN， ∴2∠PBC+2∠PBD=120°， ∴∠PBC+∠PBD=60°，即∠CBD=60°。 易证∠PCB+∠PDB+∠CBD=180°， ∴∠PCB+∠PDB=180°−∠CBD=180°−60°=120°， ∴∠PCB+∠PDB是定值，∠PCB+∠PDB=120°。 ( 考点0 4 平行线的性质和判定的综合 ) 1.(24-25七下·云南丽江·期末) 如图是修路工程车的工作示意图，工作篮底部与支撑平台平行，若∠1=30°，∠2=60°，则∠3的度数为（ ） A. 130° B. 140° C. 150° D. 160° 【答案】C 【分析】本题考查了平行线的性质，过∠2的顶点作直线支撑平台，直线l把∠2分成两个角α、β，再根据平行线的性质计算即可得出答案，熟练掌握平行线的性质是解题的关键。 【详解】解：如图，过∠2顶点作直线l支撑平台，直线l将∠2分成两个角∠4和∠5。 ∵工作篮底部与支撑平台平行， ∴直线l∥支撑平台和工作篮底部， ∴∠1=∠4=30°，∠5+∠3=180°。 ∵∠5+∠4=∠2=60°， ∴∠5=60°-∠4=30°， ∴∠3=180°-∠5=150°。 故选：C。 2.(24-25七下·云南昆明市·期末)如图，已知AB∥EF，∠B=60°，∠2=25°，则∠C的度数为____。 【答案】85° 【分析】本题主要考查平行线的判定与性质，过点E作EF∥AB，由平行线的判定与性质推出∠1+∠ABE=180°、∠2=∠C，即可得到∠C的度数。 【详解】解：如图，过点E作EF∥AB。 ∵∠1+∠ABE=180°，∠ABE=120°， ∴∠1=60°， ∵AB∥CD，EF∥AB， ∴EF∥CD， ∴∠2=∠ECD=25°， ∴∠C=∠1+∠2=60°+25°=85°。 故答案为：85°。 3．(24-25七下·云南德宏州·期末)如图，已知AD∥BE，AE平分∠BAD，CD与AE相交于点F，∠CFE=∠E．试说明AB∥CD，完成下列推理过程： 解：∵AD∥BE（已知）， ∴∠DAE=______．（____________） ∵AE平分∠BAD（已知）， ∴∠DAE=______．（角平分线的定义） ∵∠CFE=∠E（已知）， ∴∠BAE=______，（等量代换） ∴AB∥CD．（____________） 【答案】∠E；两直线平行，内错角相等；∠BAE；∠CFE；同位角相等，两直线平行 【分析】本题主要考查了平行线的判定和性质，角平分线定义，解题的关键是熟练掌握平行线的判定定理和性质定理．根据平行线的性质得出∠DAE=∠E，根据角平分线定义得出∠DAE=∠BAE，得出∠BAE=∠CFE，根据平行线的判定得出AB∥CD． 【详解】解：∵AD∥BE (已知)， ∴∠DAE=∠E．(两直线平行，内错角相等 ) ∵AE平分∠BAD (已知)， ∴∠DAE=∠BAE ． (角平分线的定义) ∵∠CFE=∠E(已知)， ∴∠BAE=∠CFE, (等量代换) ∴AB∥CD． ( 同位角相等，两直线平行 ) 4．(24-25七下·云南大理州·期末)已知：如图，点D，E，F分别是三角形ABC的边BC，CA，AB上的点，DF∥CA，∠FDE＝∠A； (1)求证：DE∥BA． (2)若∠BFD＝∠BDF＝2∠EDC，求∠B的度数． 【答案】(1)见解析 (2)36° 【分析】(1)根据平行线的性质与判定方法证明即可； (2)设∠EDC=x°，由∠BFD=∠BDF = 2∠EDC可得∠BFD=∠BDF = 2x°，根据平行线的性质可得∠DFB= ∠FDE= 2x°，再根据平角的定义列方程可得x的值，进而得出∠B的度数． 【详解】（1）证明：∵DF∥CA， ∴∠DFB=∠A， 又 ∵∠FDE=∠A， ∴∠DFB=∠FDE， ∴DE∥AB； （2）解：设∠EDC=xº， ∵∠BFD=∠BDF=2∠EDC， ∴∠BFD=∠BDF=2xº， 由（1）可知∠DFB=∠FDE=2xº， ∴∠BDF+∠EDF+∠EDC=2xº+2xº+xº=180º， ∴x=36， 又∵DE∥AB， ∴∠B=∠EDC=36 º． 5．(24-25七下·云南昆明东川区·期末) 如图，AE∥BD，∠A=∠BDC，∠AEC的平分线交CD的延长线于点F。 (1)求证：AB∥CD； (2)探究∠A，∠AEC，∠C之间的数量关系，并说明理由； (3)若∠BDC=140°，∠F=20°，求∠C的度数。 【答案】(1)见解析 (2)∠A+∠AEC+∠C=360°，理由见解析 (3)100° 【分析】本题考查了平行线的性质与判定，角度的和差，角平分线，熟练掌握平行线的性质与判定是解题的关键． (1)根据两直线平行，同旁内角互补得出∠A+∠ABD=180°，结合已知∠A=∠BDC，得到∠BDC+∠ABD=180°，于是问题得证； (2)过点作EH∥AB，于是有EH∥CD∥AB，根据两直线平行，同旁内角互补得出∠A+∠AEH=180°，∠C+∠CEH=180°，两式相加即可证明； (3)先得出∠A=∠BDC=140°，由EH∥CD∥AB，求出∠HEF=∠F=20°，∠AEH=180°-∠A=40°，则可求出∠AEF，利用角平分线定义求出∠AEC，结合∠A+∠AEC+∠C=360°即可求解。 【详解】(1)解：∵AE∥BD ∠A+∠ABD=180°， 又∵∠A=∠BDC， ∴∠BDC+∠ABD=180°， ∴AB∥CD； (2)解：∠A+∠AEC+∠C=360°， 理由： 如图，过点E作EH∥AB， 由(1)知AB∥CD， ∴EH∥CD∥AB， ∴∠A+∠AEH=180°，∠C+∠CEH=180°， ∴∠A+∠AEH+∠C+∠CEH=360°， 即∠A+∠AEC+∠C=360°； (3)解：∵∠BDC=140°，∠A=∠BDC， ∴∠A=∠BDC=140°， ∵EH∥CD∥AB， ∴∠HEF=∠F=20°，∠AEH=180°-∠A=40°。 ∴∠AEF=∠AEH+∠HEF=40°+20°=60°， ∵∠AEC的平分线交CD的延长线于点F， ∴∠AEC=2∠AEF=120°， ∵∠A+∠AEC+∠C=360°， ∴∠C=360°-∠A-∠AEC=360°-140°-120°=100°。 6.(24-25七下·云南昆明一中·期末) 如图，在三角形ABC中，点D，F在边BC上，点E在边AB上，点G在边AC上，连接AD，EF，GD，延长EF与GD交于点H，∠1=∠B，∠2+∠3=180°。 (1) EH与AD平行吗？为什么？ (2) 若∠DGC=58°，且∠H=∠4+10°，求∠H的度数。 【答案】(1)平行，理由见解析 (2)∠H=34° 【分析】本题主要考查了平行线的判定以及性质，熟知平行线的性质与判定定理是解题的关键。 (1) 先根据已知条件得出AB∥GD，由平行线的性质得出∠2=∠BAD，结合已知条件可得出∠BAD+∠3=180°，进而可得出EH∥AD。 (2) 由(1)可得出∠2=∠BAD，∠DGC=∠BAC=58°，由平行线的性质得出∠H=∠BAD，根据角的和差关系以及角的等量代换可得出∠BAC=∠BAD+∠4=∠H+∠4=，进而可得出答案。 【详解】(1) 解：EH与AD平行，理由如下： ∵∠1=∠B， ∴AB∥GD， ∴∠2=∠BAD， 又∵∠2+∠3=180°， ∴∠BAD+∠3=180°， ∴EH∥AD。 (2) 解：由(1)知AB∥GD、EH∥AD， ∴∠2=∠BAD，∠DGC=∠BAC=58°，∠2=∠H， ∴∠H=∠BAD， ∴∠BAC=∠BAD+∠4=∠H+∠4=58°， 又∵∠H=∠4+10°， ∴∠4+10°+∠4=58°， 解得∠4=24°， ∴∠H=34°。 7．(24-25七下·云南昆一中西山学校·期末)如图，射线AM∥BN，点E，F，D在射线AM上，点C在射线BN上，且∠BCD＝∠A，BE平分∠ABF，BD平分∠FBC． (1)求证：AB∥CD． (2)如果平行移动CD，那么∠AFB与∠ADB的比值是否发生变化？若变化，找出变化规律；若不变，求出这两个角的比值． (3)如果∠A＝100°，那么在平行移动CD的过程中，是否存在某一时刻，使∠AEB＝∠BDC？若存在，求出此时∠AEB的度数；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）证明见解析；（2）不变，理由见解析；（3）存在，60° 【分析】（1）根据平行线的性质，以及等量代换证明∠A+∠ABC=180°，然后可证得AB∥CD； （2）根据三角形外角的性质可直接得出结论； （3）根据平行线的性质得到∠ABC=80°，设∠CBD=∠FBD=∠FDB=x°，根据角平分线的性质得到∠EBD=40°，于是得到∠AEB=x°+40°．得到∠BDC=80°-x°，根据∠AFC=∠ADB，列方程即可得到结论． 【详解】（1）证明：∵AM∥BN， ∴∠A+∠ABC=180°， 又∵∠BCD=∠A， ∴∠ABC+∠BCD=180°， ∴AB∥CD； （2）∵AM∥BN，∴∠ADB=∠DBC， ∵BD平分∠FBC， ∴∠FBD=∠DBC， ∴∠FBD=∠FDB， 当CD向右平移时，∠FBD增大，∠ABC不变， ∵∠FBD=∠FDB，∠BFA=∠FBD+∠FDB，∴∠AFB：∠ADB=2：1； （3）存在， 理由：∵∠A=100°， ∴∠ABC=80°， 设∠CBD=∠FBD=∠FDB=x°， ∵BE平分∠ABF，BD平分∠FBC， ∴∠EBD=40° ∴∠AEB=x°+40°． ∵AM∥BN，∠BCD=100°， ∴∠CDA=80°， ∴∠BDC=80°-x°， ∵∠AEB=∠BDC， ∴x°+40°=80°-x°，解得x=20°， ∴∠AEB=20°+40°=60°． 8．(24-25七下·云南玉溪·)如图，AD∥BC，∠BCD的平分线CG交AD于点G。 (1)试说明：∠DGC=∠DCG； (2)如图，线段CG上有一点P，满足∠CDP=3∠PDG，过点A作AH∥CG交BC于点H。 ①若∠BAH=2∠PDG，试判断AB与AD的位置关系，并说明理由； ②在①的条件下，在射线CG上取一点M，使得∠PDM=∠BAH，直线DM交直线BC于点Q，求的值。 【答案】(1)见解析 (2)①AB⊥AD，理由见解析；②或 【分析】本题考查平行线的判定与性质，角平分线的定义，几何图形中角度的计算，熟练掌握以上知识点，作出合适的辅助线是解题的关键． （1）根据平行线的性质几何角平分线的定义即可说明结论； (2)①设∠PDG=α，则∠CPD=3α，∠ADC=4α，∠BAH=2α，根据平行线的性质可得∠BCD=180°−4α，再根据角平分线的定义得到∠DCG=90°−2α，由(1)可知∠DGC=∠DCG=90°−2α，最后根据AH∥CG，推出∠DAH=∠DGC=90°−2α，进而得到∠BAD=90°，即可得到结论；②由①得∠DCG=90°−2α，求出∠AGC=90°+2α，过点M作MT∥AD，则∠GMT=∠DGC=90°−2α，然后分点M在线段CG上时，当点M在线段CG的延长线上时，分情况分别求得∠GMQ即可得到结论。 【详解】(1)解：∵AD∥BC， ∴∠BCG=∠DGC， ∵CG平分∠BCD， ∴∠BCG=∠DCG ∴∠DGC=∠DCG。 (2)解：①AB⊥AD，理由如下： 设∠PDG=α， ∵∠CDP=3∠PDG，∠BAH=2∠PDG， ∴∠CPD=3α，∠ADC=∠CDP+∠PDG=4α，∠BAH=2α， ∵AD∥BC， ∴∠ADC+∠BCD=180°， ∴∠BCD=180°−4α， 又∵CG平分∠BCD， ∴∠DCG=∠BCD=(180°−4α)=90°−2α。 ． （2）解：①AB⊥AD，理由如下： 设∠PDG=α， ∵∠CDP=3∠PDG，∠BAH=2∠PDG， ∴∠CPD=3α，∠ADC=∠CDP+∠PDG=4α，∠BAH=2α， ∵AD∥BC， ∴∠ADC+∠BCD=180°， ∴∠BCD=180°−4α， 又∵CG平分∠BCD， ∴∠DCG=∠BCD=(180°−4α)=90°−2α 由(1)可知，∠DGC=∠DCG=90°−2α ∵AH∥CG ∴∠DAH=∠DGC=90°−2α 又∵∠BAH=2α ∴∠BAD=∠DAH+∠BAH=90°−2α+2α=90° ∴AB⊥AD ②同①设∠PDG=α，则∠DGC=90°−2α ∴∠AGC=180°−∠DGC=180°−(90°−2α)=90°+2α 过点M作MT∥AD，则∠GMT=∠DGC=90°−2α 当点M在线段CG上时，如图所示。 ∵∠PDM=∠BAH， ∴∠PDM=∠BAH=2α， ∴∠GDM=∠PDG+∠PDM=3α， ∵MT∥AD， ∴∠TMQ=∠GDM=3α， ∴∠GMQ=∠GMT+∠TMQ=90°−2α+3α=90°+α， ∴； 当点M在线段CG的延长线上时，如图所示。 ∵∠PDM=∠BAH=2α， ∴∠GDM=∠PDM−∠PDG=2α−α=α， ∵MT∥AD， ∴∠TMQ=∠GDM=α， ∴∠GMQ=∠GMT−∠TMQ=90°−2α−α=90°−3α， ∴， 综上所述，的值为或． 9．(24-25七下·云南大理州·)如图，线段AB、AD交于点A，点C为直线AD上一点（不与点A、D重合），在BC的右侧，作射线CE⊥BC，过点D作直线DF∥AB，交CE于点G（G与D不重合）。 (1)若点C在线段AD上， ①如图①，若∠BCA为钝角，∠B=18°，嘉嘉过点C作了辅助线求出∠CGD的度数，你试着完成求解过程。 ②如图②，若∠BCA为锐角，判断∠B与∠CGD的数量关系并说明理由。 (2)若点C在线段DA的延长线上，画出图形，写出∠B与∠CGD的数量关系，说明理由． 【答案】(1)①108° ②∠CGD=90°+∠B，理由见解析 (2)∠CGD=90°−∠B，理由见解析 【分析】本题考查了平行线的性质，解的和差运算，作出平行线的辅助线是解题的关键。 (1)①过点C作CH∥AB，则得∠BCH=∠B=18°，从而求得∠HCG=72°；再由DF∥AB得DF∥CH，由同旁内角互补即可求解； ②过点C作CH∥AB，则得∠BCH=∠B，从而求得∠HCG；再由DF∥AB得DF∥CH，进而即可得到答案； (2)过点C作CH∥AB，则得∠BCH=∠B，从而求得∠HCG=90°+∠B；再由DF∥AB得DF∥CH，由同旁内角互补即可求解； 【详解】(1)解：①如图，过点C作CH∥AB，则∠BCH=∠B=18°， ∵BC⊥CE， ∴∠HCG=90°−∠BCH=72°； ∵DF∥AB，CH∥AB， ∴DF∥CH， ∴∠HCG+∠CGD=180°， ∴∠CGD=180°−∠HCG=108°； ②∠CGD=90°+∠B，理由如下： 过点C作CH∥AB。 ∴∠BCH=∠B； ∠HCG=90°−∠BCH=90°−∠B； ∵DF∥AB，CH∥AB， ∴DF∥CH， ∴∠HCG=∠CGD=90°−∠B； (2)解：∠CGD=90°−∠B，理由： 过点C作CH∥AB。 ∴∠BCH=∠B； 由题意可得：∠HCG=90°+∠BCH=90°+∠B； ∵DF∥CH， ∴∠HCG+∠CGD=180°， ∴∠CGD=180°−∠HCG=180°−(90°+B)=90°−∠B。 10．(24-25七下·云南临沧中学等学校·期末)根据下列叙述填依据． (1)已知如图1，AB∥CD，求∠B+∠BFD+∠D的度数． 解：过点F作FE∥AB 所以∠B+∠BFE=180°（     ） 因为AB∥CD、FE∥AB（已知） 所以 （   ） 所以∠D+∠DFE=180°（ ） 所以∠B+∠BFE+∠D=∠B+∠BFE+∠EFD +∠D=360° (2)根据以上解答进行探索．如图（2）（3）AB∥EF、∠D与∠B、∠F有何数量关系（请选其中一个简要证明） 备用图： (3)如图（4）AB∥EF，∠C=90°，∠与∠、∠有何数量关系（直接写出结果，不需要说明理由） 【答案】(1)两直线平行，同旁内角互补；EF∥DC，平行于同一直线的两直线平行；两直线平行，同旁内角互补 (2)见解析 (3)∠α+∠β−∠γ=90° 【分析】(1)过点F作FE∥AB，得到∠B+∠BFE=180°，再根据AB∥CD、FE∥AB得到FE∥CD，∠D+∠DFE=180°，最后利用角度的和差即可得出答案； (2)类比问题(1)的解题方法即可得解； (3)类比问题(1)的解题方法即可得解。 【详解】(1)解：过点F作FE∥AB，如图， ∴∠B+∠BFE=180°(两直线平行，同旁内角互补)， ∵AB∥CD、FE∥AB(已知) ∴FE∥CD(平行于同一直线的两直线平行)， ∴∠D+∠DFE=180°(两直线平行，同旁内角互补)， ∴∠B+∠BFE+∠D=∠B+∠BFE+∠EFD +∠D=360°； 故答案为：两直线平行，同旁内角互补；FE∥CD，平行于同一直线的两直线平行；两直线平行，同旁内角互补； （2）解：选图（2），∠D与∠B、∠F的数量关系为：∠BDF+∠B=∠F； 理由如下： 过点D作DC//AB， ∴∠B=∠BDC， ∵AB∥EF，DC∥AB， ∴DC∥EF， ∴∠CDF=∠F， ∴∠BDF+∠BDC =∠F， 即∠BDF+∠B=∠F； 选图（3），∠D与∠B、∠F的数量关系：∠BDF+∠B=∠F 过点D作DC∥AB， ∴∠B=∠BDC， ∵AB∥EF，DC∥AB， ∴DC∥EF， ∴∠CDF=∠F， ∴∠BDF+∠BDC =∠F， 即∠BDF+∠B=∠F ∠BDF+∠B=∠F ； （3） (3)解：∠α+∠β−∠γ=90° 如图(4)所示，过点C作MC∥AB，过D作DN∥EF， ∴∠α=∠BCM，∠γ=∠NDE， ∵AB∥CM，EF∥AB，DN∥EF， ∴AB∥EF∥CM∥DN， ∴∠CDN=∠MCD， ∵∠MCD+∠BCM=90°，∠β=∠CDN+∠NDE， ∴∠α+∠β−∠γ=90°。 11.(24-25七下·云南曲靖市·期末)（1）【问题解决】如图1，已知AB∥CD，PQ∥AB，∠AEP=142°，∠PFD=34°，求∠EPF的度数； （2）【问题迁移】如图2，若AB∥CD，点P在CD的下方，看一看，想一想，证一证：以下与∠PFC、∠PEA、∠EPF有关的三个结论：∠PEA+∠EPF>∠PFC，∠PEA+∠EPF=∠PFC，∠PEA+∠EPF＜∠PFC，你认为哪个正确？请说明理由。 【答案】(1)∠EPF=72°；(2)∠PFC=∠PEA+∠EPF正确，理由见解析 【分析】本题考查了平行线的判定与性质以及作辅助线。 (1)根据平行线的判定，得AB∥CD∥PQ，根据平行线的性质得 ∠EPF=∠QPE+∠FPQ=(180°−∠AEP)+∠PFD，进而可以算出答案； (2)关键作出辅助线，过P点作PN∥CD，则有AB∥CD∥PN，根据平行线的性质，知∠FPN=∠PFC，∠FPN=∠NPE+∠EPF=∠PEA+∠EPF，即可知道哪个结论正确。 【详解】解：(1)∵PQ∥AB， ∴∠AEP+∠QPE=180°， ∵∠AEP=142°， ∴∠QPE=180°−142°=38°， ∵AB∥CD， ∴CD∥PQ， ∴∠QPF=∠PFD=34°， ∴∠EPF=∠QPE+∠FPQ=38°+34°=72°。 (2)∠PFC=∠PEA+∠EPF正确，理由如下：如图2，过P点作PN∥CD， 过点P作PN∥CD， ∵AB∥CD， ∴AB∥CD∥PN， ∴∠PEA=∠NPE，∠PFC=∠FPN， 又∵∠FPN=∠NPE+∠EPF， ∴∠PFC=∠PEA+∠EPF。 12．(24-25七下·云南保山腾冲第八中学·期末)探索下面不同的情境，回答问题： (1)【探索发现】已知：如图1，AB∥CD，点P在AB，CD之间，连接AP，CP． 易证：∠APC=∠BAP+∠PCD． 下面是两位同学添加辅助线的方法： 小刚：如图2，过点P作PQ∥AB． 小红：如图3，延长AP交CD于点M． 请你选择一位同学的方法，并进行证明； (2)【深入思考】如图4，点E，F分别是射线AB，CD上一点，点G是线段CF上一点，连接AG并延长， 交直线EF于点P，连接AC、EG，若∠PAC+∠PEG=∠AGE，求证：AC∥EF； (3)【拓展延伸】如图5，在(2)的条件下，AB∥CD，AH平分∠PAC，FH平分∠PFC，AH与FH交于点H，若∠CAH=25°，∠AHF=∠AEG，∠PGE=2∠CAH+3∠PEG，求∠PFC的度数。 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3)90° 【分析】（1）小刚的证明：过点P作PQ∥AB，可得AB∥PQ∥CD，再根据平行线的性质证明即可求证；小红的证明：延长AP交CD于点M，可得∠BAP=∠PMC，再利用三角形内角和定理即可求证； （2）利用三角形内角和定理证明∠APE=∠PAC即可求证； （3）由角平分线的定义得∠PAC=2∠CAH=50°，设∠PEG=α，则∠PGE=2∠CAH+3∠PEG=50°+3α，得∠AGE=180°-∠PGE=130°-3α，再根据(2)的条件得50°+α=130°-3α，解得∠PEG=20°，设∠PFH=β，同理可得∠PFC=2β=90°，即可求解； 【详解】(1)解：小刚的证明如下： 过点P作PQ∥AB如图2，过点P作PQ∥AB， ∵AB∥CD， ∴AB∥PQ∥CD， ∴∠APQ=∠BAP，∠CPQ=∠PCD ∴∠APQ+∠CPQ=∠BAP+∠PCD 即∠APC=∠BAP+∠PCD； 小红的证明如下： 如图3，延长AP交CD于点M， ∵AB∥CD ∴∠BAP=∠PMC ∴∠PCD+∠CPM+∠PMC=180°，∠CPM+∠APC=180° ∴∠APC=∠PMC+∠PCD ∠APC=∠BAP+∠PCD； (2)证明：∵∠PGE+∠APE+∠PEG=180°，∠AGE+∠PGE=180° ∴∠AGE=∠APE+∠PEG 又∵∠AGE=∠PAC+∠PEG ∴∠APE=∠PAC ∴AC∥EF； (3)解：∵AH平分∠PAC，∠CAH=25° ∴∠PAC=2∠CAH=50° 设∠PEG=α，则∠PGE=2∠CAH+3∠PEG=50°+3α ∴∠AGE=180°−∠PGE=130°−3α ∵在(2)的条件下， ∴∠PAC + ∠PEG = ∠AGE ∴50°+α=130°−3α 解得α=20° ∴∠PEG=20° 设∠PFH=β ∵FH平分∠PFC ∴∠PFC=2∠PFH=2β ∵AB∥CD ∴∠AEF=∠PFC=2β ∴∠AEG=∠AEF−∠PEG=2β−20° ∴∠AHF=∠AEG=2β−20° ∵在(2)的条件下， AC∥EF 同理可得，∠AHF = ∠CAH + ∠PFH，即2β−20° = 25°+β， 解得β = 45°， ∴∠PFC = 2β = 90° 13.(24-25七下·云南普洱市·期末) 如图，AB∥CD，M，N分别在AB，CD上，点P在AB，CD之间，连接MP，NP。 (1)如图1，当∠MPN=90°，∠BMP=35°时，∠DNP=____。 (2)如图2，MP平分∠BMP，NP平分∠DNP，此时∠MPN和∠MP'N的数量关系是什么？请说明理由。 (3)如图3，在(2)的条件下，在AB的上方有一点Q，连接MQ，NQ，MB平分∠QMP，NP平分∠QND，求证：。 【答案】(1)55° 【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定的综合运用，解题的关键是作辅助线构造内错角，利用平行线的性质进行角度的推导。 (1)过点P作PQ∥AB，根据平行线的传递性得到PQ∥CD，再由平行线的性质得出∠MPQ=∠BMP、∠QPN=∠DNP，结合∠MPN=90°即可求解； (2)设∠BMP=2α，∠DNP=2β，结合(1)的结论与角平分线的性质推导两角的数量关系； (3)结合(2)的结论与角平分线定义、平行线性质，将角度关系代入式子化简即可得证。 【详解】(1)解：如图，过P作PQ∥AB。 ∵∠MPQ=∠BMP=35°， 又∵AB∥CD，PQ∥AB， ∴PQ∥CD， ∴∠QPN=∠DNP， ∵∠MPN=90°， ∴∠DNP=∠QPN=90°-35°=55°， 故答案为：55°。 (2)解：∠MPN=2∠MP'N，理由如下： 设∠BMP'=α，则∠DNP'=β，作PQ∥AB，P'Q'∥AB， 同理PQ∥CD，P'Q'∥CD， ∴∠MP'Q'=∠BMP'=α，∠NP'Q'=∠DNP'=β， ∵MP平分∠BMP，NP平分∠DNP， ∴∠BMP=2∠BMP'=2α=∠MPQ，∠DNP=2∠DNP'=2β=∠NPQ， ∴∠MP'N=α+β，∠MPN=2α+2β， ∴∠MPN=2∠MP'N。 (3)解：设∠QMB=x，∠QNP=y， ∵MB平分∠QMP，NP平分∠QND， ∴∠PMB=x，∠DNP=y，∠QMP=2∠QMB=2x，∠QND=2∠QNP=2y， 由(2)知∠P=x+y， ∴∠QOM=∠PON， ∴2x+∠MQN=y+∠P，即2x+∠MQN=y+x+y， ∴∠MQN=2y-x， ∴。 14.(24-25七下·云南丽江·期末) 如图，直线AB、CD被直线MN所截，且AB∥CD，点E在线段MN上，P，Q分别在直线AB，CD上，连接PE、EQ。 (1)如图1，求证：∠PEQ=∠APE+∠CQE； (2)如图2，∠FPB=∠EPB，∠FQD=∠EQD，若∠PEQ=70°，请利用(1)中的结论，求∠PFQ的度数； (3)如图3，若∠FPB=∠EPB，∠FQD=∠EQD，请写出∠PEQ和∠PFQ之间的数量关系，并说明理由。 【答案】(1)见解析 (2)35° (3)∠PEQ + n∠PFQ = 360°，理由见解析 【分析】本题考查平行线的判定和性质，通过构造平行线利用平行线的性质是解决问题的关键。 (1)过点E作EH∥AB，得到EH∥AB∥CD，利用平行线的性质得到∠1=∠APE，∠2=∠CQE，得出结论； (2)根据(1)的结论得到∠PEQ=70°，利用平行线的性质得到∠EPB+∠EQD=290°，结合角平分线定义及利用(1)的结论得出结果； (3)设∠FPB=α，∠FQD=β，得到∠1+∠2=360°-(∠EPB+∠EQD)=360°-n(α+β)，利用(1)的结论得出结果。 【详解】(1)解：过点E作EH∥AB。 ∵AB∥CD，过E作EH∥AB后有EH∥AB∥CD， ∴∠1=∠APE，∠2=∠CQE， ∴∠1+∠2=∠APE+∠CQE，即∠PEQ=∠APE+∠CQQE。 (2) 解：由(1)的结论得∠PEQ=∠APE+∠CQE=70°， ∠EPB+∠EQD=180°-∠APE+180°-∠CQE=360°-(∠APE+∠CQE)=290°， ∵∠FPB=1/2∠EPB，∠FQD=∠EQD， ∴∠FPB+∠FQD=(∠EPB+∠EQD)=145°， 由(1)的结论得∠PFQ=∠FPB+∠FQD=145°。 (3)解：∠PEQ + n∠PFQ = 360°，理由如下： 如图，设∠FPB=α，∠FQD=β， ∵∠FPB=∠EPB，∠FQD=∠EQD， ∴∠EPB=n∠FPB=nα，∠EQD=n∠FQD=nβ， ∴∠1+∠2=360°-(∠EPB+∠EQD)=360°-n(α+β)， 由(1)的结论得∠PFQ=∠FPB+∠FQD=α+β，∠PEQ=∠1+∠2， ∴∠PEQ=360°-n∠PFQ，即∠PEQ + n∠PFQ = 360°。 15．(24-25七下·云南丽江中学等学校·期末) 如图1，∠ACB=90°，MA∥BN。 (1)①如果∠MAC=30°，求∠CBN的度数； ②设∠MAC=α，∠CBN=β，直接写出α、β之间的数量关系：____； (2)如图2，∠MAC、∠CBN的角平分线交于点P，当∠MAC的度数发生变化时，∠APB的度数是否发生变化？如果变化，请说明理由；如果不变，请求出∠APB的度数； (3)在(2)的条件下，若∠MAC=40°，点E为射线BN上的一个动点，过点E作EF∥BC交直线AP于点F，连接EP，已知∠FEP=10°，求∠BPE的度数。 【答案】(1)①∠CBN=120°；②β=α+90° (2)不发生变化；∠APB=135°，理由见详解 (3)当点F在点P的左侧时，∠BPE=55°；当点F在点P的右侧时，∠BPE=75° 【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定，角平分线的定义： (1)①过点C作CD∥AM，则有MA∥CD∥BN，然后得到∠ACD=∠A=30°，∠DCB+∠CBN=180°，然后计算解题； ②过点C作CD∥AM，则有∠ACD=∠A=α，∠DCB=180°−∠B=180°−β，再根据直角得到结论； (3) 由(1)②可得∠MAC=α，∠CBN=β=90°+α，然后根据角平分线的定义得到∠MAP=∠MAC=α，∠NBP=∠NBC=(90°+α)=45°+α，然后利用(1)②的推导过程得到结论； (4) (3)由(2)可得∠MAP=∠MAC=20°，∠CBN=90°+40°=130°，∠APB=135°，然后分点F在点P的左侧和点F在点P的右侧两种情况进行解题。 【详解】(1)解：过点C作CD∥AM， ∵MA∥BN， ∴MA∥CD∥BN， ∴∠ACD=∠A=30°，∠DCB+∠CBN=180°， 又∵∠ACB=90°， ∴∠DCB=90°−∠ACD=90°−30°=60°， ∴∠CBN=180°−∠DCB=180°−60°=120°。 ②过点C作CD∥AM， ∵MA∥BN， ∴MA∥CD∥BN， ∴∠ACD=∠MAC=α，∠DCB=180°−∠CBN=180°−β， 又∵∠ACB=90°， ∴α+180°−β=90°， ∴β=α+90°， 故答案为：β=α+90°； (2)解：不发生变化；∠APB=135°，理由为： 由②可得∠MAC=α，∠CBN=β=90°+α， ∵∠MAC、∠CBN的角平分线交于点P， ∴∠MAP=∠MAC=α，∠NBP=∠CBN=45°+α。 ∠EPB=180°−∠NBP=180°−(45°+α)=135°−α 过P作PE∥AM， ∴∠EPA=∠MAP， ∴∠APB=∠EPA+∠EPB=α+135°−α=135°。 (3)由(2)得 ∠MAP=∠MAC=20°，∠CBN=90°+40°=130°，∠APB=135°， ∵EF∥BC， ∴∠FEB=180°−∠CBN=180°−130°=50°。 ∠EPB=180°−∠NBP=180°−(45°+α)=135°−α 过P作PE∥AM， ∴∠EPA=∠MAP， ∴∠APB=∠EPA+∠EPB=α+135°−α=135°。 (3)由(2)得 ∠MAP=∠MAC=20°，∠CBN=90°+40°=130°，∠APB=135°， ∵EF∥BC， ∴∠FEB=180°−∠CBN=180°−130°=50°。 过点P作PG∥AM， ∵MA∥BN， ∴MA∥PG∥BN， ∴∠APG=∠MAP=20°，∠GPE=∠PEB， ∴∠APE=∠APG+∠GPE=20°+∠PEB。 当点F在点P的左侧时，如图， 则∠PEB=∠FEB+∠FEP=50°+10°=60°， ∴∠APE=20°+∠PEB=20°+60°=80°， ∴∠BPE=∠APB−∠APE=135°−80°=55°； 当点F在点P的右侧时，如图， 则∠PEB=∠FEB−∠FEP=50°−10°=40°， ∴∠APE=20°+∠PEB=20°+40°=60°， ∴∠BPE=∠APB−∠APE=135°−60°=75°。 ( 考点0 5 定义、命题、定理 ) 1．(24-25七下·云南昆明石林彝族自治县·期末)下列命题中，是真命题的是（   ） A．同位角相等 B．相等的角是对顶角 C．互补的两个角一定一个是锐角，一个是钝角 D．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 【答案】D 【分析】本题考查的是命题真假的判断，平行线的性质，对顶角的含义，补角的定义，垂线的定义理解，熟记基本概念与平行线的性质是解本题的关键． 分别根据平行线的性质对顶角的含义，补角的定义，垂线的定义对选项依次判断即可． 【详解】解：A、两直线平行，同位角相等，原说法错误，是假命题，不符合题意； B、相等的角不一定是对顶角，原说法错误，是假命题，不符合题意； C、互补的两个角可以都是直角，原说法错误，是假命题，不符合题意； D、在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，原说法正确，是真命题，符合题意， 故选：D． 2．(24-25七下·云南昆明东川区·期末)下列命题中，是真命题的是（    ） A．同位角相等 B．在同一平面内，平行于同一条直线的两条直线平行 C．若，则 D．0没有相反数 【答案】B 【分析】本题考查判断命题的真假，根据平行线的性质和判定，等式的性质，相反数的定义逐一进行判断即可． 【详解】解：A、同位角不一定相等，原命题是假命题； B、在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行，原命题是真命题； C、若，则，原命题是假命题； D、0的相反数是其本身，原命题是假命题； 故选：B． 3．(24-25七下·云南临沧耿马傣族佤族自治县·期末)下列命题中，是假命题的是（   ） A．直线外一点到这条直线的线段的长度，叫作点到直线的距离 B．两直线平行，同旁内角互补 C．过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行 D．若两条直线都与第三条直线平行，则这两条直线也互相平行 【答案】A 【分析】本题考查判断命题的真假．选项A中点到直线的距离定义错误，应为垂线段的长度，而非任意线段的长度；其他选项均为真命题，符合平行线的性质与公理． 【详解】解：点到直线的距离是指从点向直线作垂线，垂线段的长度才叫点到直线的距离，而选项A中未指定垂线段，故A为假命题； 两直线平行，同旁内角互补，故B为真命题； 过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行，故C为真命题； 若两条直线都与第三条直线平行，则这两条直线也互相平行，故D为真命题； 故选：A． 4．(24-25七下·云南丽江·期末)下列命题中，是真命题的是（   ） A．相等的两个角是对顶角 B．同旁内角互补 C．连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短 D．经过一点，有且只有一条直线与这条直线平行 【答案】C 【分析】本题主要考查命题与定理，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．根据同旁内角的概念、对顶角相等、平行公理、垂线段最短判断即可． 【详解】解：A．相等的两个角不一定是对顶角，选项是假命题，不符合题意； B．两直线平行，同旁内角互补，选项是假命题，不符合题意； C．连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短，选项是真命题，不符合题意； D．过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，选项是真命题，符合题意； 故选：C． 5．(24-25七下·云南普洱·期末)下列命题中，是真命题的是（    ） ①坐标平面内的点与有序实数对是一一对应的；②平方根是它本身的数只有0和1；③过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行；④同旁内角互补；⑤垂线段最短． A．①②③ B．①③④ C．①③⑤ D．②④⑤ 【答案】C 【分析】本题考查命题的真假判断，熟记点与坐标关系、平方根定义、平行公理、同旁内角和垂线段最短等知识是解决问题的关键． 根据初中数学知识，逐一分析各命题：①正确，坐标系中点与有序实数对一一对应；②错误，平方根是它本身的数只有0（1的平方根包括-1，不完全是本身）；③正确，平行公理；④错误，同旁内角互补需两直线平行；⑤正确，垂线段最短． 【详解】解： ① 坐标平面内的点与有序实数对是一一对应的，正确； ② 平方根是它本身的数：0的平方根是0，1的平方根是（不完全是本身），故错误； ③ 过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行，正确； ④ 同旁内角互补需两直线平行，否则不一定成立，错误； ⑤ 垂线段最短，正确。 综上所述，真命题有①、③、⑤， 故选：C． 6．(24-25七下·云南昆一中西山学校·期末)下列命题中，是真命题的是（    ） A．一个二元一次方程有无数个解 B．相等的角是对顶角 C．过一点，有且只有一条直线与已知直线平行 D．同旁内角互补 【答案】A 【分析】此题考查了判断命题真假，根据相关知识逐项进行分析判断即可． 【详解】解：A．一个二元一次方程有无数个解,是真命题，故选项符合题意； B．相等的角不一定是对顶角，故选项是假命题，不符合题意； C．过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行，故选项是假命题，不符合题意； D．同旁内角不一定互补，故选项是假命题，不符合题意． 故选：A． 7．(24-25七下·云南昆明盘龙区·期末)下列命题中，是真命题的是（　　） A．若，则 B．-5的立方根是-125 C．相等的角是对顶角 D．同旁内角互补 【答案】A 【分析】本题考查命题真假判断，解题关键是掌握算术平方根、立方根定义，对顶角、同旁内角性质．根据算术平方根、立方根定义，对顶角、同旁内角性质，逐一分析各选项，判断其正确性． 【详解】A．由，，故该选项为真命题，符合题意； B．立方根的定义为：若，则是b的立方根．-5的立方为，因此-5是-125的立方根，而非“-5的立方根是-125”，故该选项为假命题，不符合题意； C．对顶角一定相等，但相等的角未必是对顶角（如平行线中的同位角），故该选项为假命题，不符合题意； D．同旁内角互补的条件是两直线平行，否则不成立，故该选项为假命题，不符合题意； 故选：A． 8．将命题“对顶角相等”改写成“如果……那么……”的形式：如果_____________，那么_____________． 【答案】 两个角是对顶角 这两个角相等 【来源】重庆市永川中学初中部（教共体）2026年春期半期质量监测七年级数学试题 【详解】解：将命题“对顶角相等”改写成“如果……那么……”的形式：如果两个角是对顶角，那么这两个角相等． 9．(24-25七下·云南保山腾冲第八中学·期末)9. 已知三条不同的直线a，b，c在同一平面内，有下列三个命题：①如果a∥b，a⊥c，那么b⊥c；②如果b⊥a，c⊥a，那么b⊥c；③如果b⊥a，c⊥a，那么b∥c。其中，是真命题的有______（填序号） 【答案】①③ 【分析】此题主要考查了平行线的判定，关键是掌握平行线具有传递性．根据同一平面内，平行于同一条直线的两直线平行，平行线的传递性进行分析． 【详解】解：①③是真命题，②是假命题， 故答案为：①③． ( 考点0 6 平移 ) 1．(24-25七下·云南临沧耿马傣族佤族自治县·期末)下列“比”字的四种书法字体中，可以看作是由一个“基本图形”平移得到的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平移的概念与性质，根据平移的概念即可判断． 【详解】解：选项B中的“比”字形状一样，因此可以看作是由一个“基本图形”平移得到； 故选：B． 2．(24-25七下·云南德宏州·期末)《哪吒之魔童闹海》以震撼特效、精彩故事、鲜活形象和浓厚文化，展现了中国动画电影的强劲实力．图是哪吒头像，在下列四个图中能由图经过平移得到的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查图形的平移，根据平移前后图形的形状，大小和方向都不发生改变，只是位置发生改变，进行判断即可． 【详解】解：由题意，平移能得到的图形为： 故选A． 3．(24-25七下·云南保山腾冲第八中学·期末)甲骨文是在我们安阳发现的最早的一种古代文字，是汉字的早期形式，下列甲骨文中，能用其中一部分平移得到的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了平移的性质，平移只改变位置，不改变大小，方向和形状．据此求解即可． 【详解】解：由平移的不变性可知，四个图形中只有D选项中的图形是经过平移得到的． 故选：D． 4.(24-25七下·云南保山市腾冲市·期末) 如图，将△ABC沿BC方向平移到△DEF，若A、D之间的距离为2，CE=3，则BF等于（ ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】B 【分析】本题主要考查了平移的性质，根据平移的性质得到BE=AD=CF=2，再根据线段之间的关系进行求解即可。 【详解】解：由平移的性质可得BE=AD=CF=2， ∵CE=3， ∴BF=BE+CE+CF=7， 故选：B。 5．(24-25七下·云南曲靖·期末)如图，△ABC沿射线 BC方向平移到△DEF，若BC=8，CE=3，则平移的距离为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】本题主要考查平移的距离，由平移的性质可知EF=BC，平移的距离为BE，根据已知求出即可 【详解】解：由平移的性质可知：EF=BC， ∵BC=8， ∴EF=BC=8 ∵CE=3， ∴BE=EF-CE=8-3=5， 故选C． 6．(24-25七下·云南昆一中西山学校·期末)如图，在三角形ABC中，∠ABC=，将三角形ABC沿BC方向平移得到三角形DEF，其中AB=7，BE=3，DM=2，则阴影部分的面积是（    ） A．15 B．18 C．21 D．24 【答案】B 【分析】本题主要考查平移的性质，掌握平移前后对应线段平行且相等，根据平移得出，是解题的关键． 由平移的性质可知：△ABC≌△DEF，DE=AB=7，从而得出，ME=DE-DM=7-2=5，根据，得出，根据梯形面积公式求出结果即可． 【详解】解：由平移的性质可知：△ABC≌△DEF，DE=AB=7， ∴，ME=DE-DM=7-2=5， ∴， ∴． 故选：B 7．(24-25七下·云南临沧地区·期末)如图，在直角三角形ABC中，∠ABC=90°，AB=5，BC=8，将三角形ABC沿BC向右平移得到三角形FDE，DF与AC交于点O，连接AF。若O是DF的中点，图中阴影部分的面积S₁=15，则平移的距离为______。 【答案】4 【分析】本题考查了平移的性质，由平移的性质可得DF=AB=5，DE=BC=8，结合题意可得，再由计算即可得解，熟练掌握平移的性质是解此题的关键． 【详解】解：由平移的性质可得：DF = AB = 5，DE = BC = 8， ∵O是DF的中点， ∴OD = DF = 。 ∵图中阴影部分的面积S₁=15， S阴影=S△DEF - S△CDO=×5×8 -××CD =15， ∴CD=5， ∴CE=DE - CD=4， ∴平移的距离为4， 故答案为：4。 8.(24-25七下·云南昆明市东川区·期末) 如图，将直角三角形ABC沿AB方向平移3个单位得到三角形DEF，AB=9，EF=6，CH=2，则图中阴8．如图，将直角三角形ABC沿AB方向平移3个单位得到三角形DEF，AB=9，EF=6，CH=2，则图中阴影部分的面积为________． 【答案】 【分析】求阴影部分的面积时，若阴影部分不是规则的几何图形，可以通过面积的和差关系，将阴影部分的面积转化为几个规则的几何图形面积的和或差。根据平移的性质得到△ABC≌△DEF，BC = EF = 6，BE = 3，再根据梯形面积公式计算，得到答案。 【详解】解：由平移的性质可知：△ABC≌△DEF，BC = EF = 6，BE = 3， ∴S△ABC = S△DEF，BH = BC - CH = 6 - 2 = 4， ∴S阴影部分 = S△ABC - S△DBH = S△DEF - S△DBH = S梯形BEFH = 1/2×(4 + 6)×3 = 15， 故答案为：15． 9．(24-25七下·云南大理州·期末)如图，△ABC的周长为12cm，若将△ABC沿射线BC方向平移3cm后得到△DEF，AC与DE相交点G，连结AD，则△ADG与△ECG的周长和为（　　） A．15cm B．13cm C．12cm D．9cm 【答案】C 【分析】本题考查了平移的性质，平移后AD=BE，AB=DE，△ADG与△ECG的周长相加即可转换为△ABC的周长，即可解题。 【详解】解：∵△ABC沿BC方向平移3cm得到△DEF， ∴AD=BE=3cm，DE=AB， ∵BC=CE+BE=AD+CE， ∴△ADG与△ECG的周长和为AD+CE+AC+DE=BC+AC+AB=12(cm)， 故选：C。 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 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