精品解析：2026年河北省石家庄市长安区河北师范大学附属中学初中学业水平模拟数学（状元卷二）

2026年河北初中学业水平模拟 数学（状元卷二） 注意事项：共8页，总分120分，时间120分钟． 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题意） 1. 氢氧化钠具有强碱性，用途广泛．已知该化合物中各元素的正负化合价代数和为0，下表是部分元素的化合价，则氢H元素的化合价应该为（ ） 元素 钠 氧O 氢H 化合价 ▲ A. 0 B. C. D. 2. 如图，射线，，，，分别对应量角器上外圈的，，，，刻度线，点与量角器的中心重合，下列最大的角是（ ） A. B. C. D. 3. 要使二次根式的值是有理数，则的值可以是（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 4. （传统文化）石碾是我国古代劳动人民智慧的结晶，由碾盘、碾砣等部件组成，如图，其俯视图是（ ） A. B. C. D. 5. 不等式组的整数解有（ ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 无数个 6. 如图，在中，，，点是边上一点，且，则的度数为（ ） A. B. C. D. 7. 设一个正多边形的边数为，每一个外角的度数为，则与函数关系的图象大致是（ ） A. B. C. D. 8. 已知，其中，均为常数，则与的关系正确的是（ ） A. B. C. D. 9. 在如图1所示的等边三角形中，内部一点为等边三角形的中心，边上的点均为三等分点．现连接其中一些点围成一个三角形（阴影部分），如图2，则（ ） A. B. C. D. 1 10. 已知，是关于的一元二次方程的两个根，且，在数轴上的对应点如图所示，则点在平面直角坐标系中位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 11. （跨学科）在光的反射中，反射角等于入射角．如图，已知是半圆的直径，且，平面镜与半圆相切于点，从上的点发出一束光线，经平面镜反射后与半圆交于点．若，要使劣弧的长为，需调整（） A. B. C. D. 12. 已知抛物线与抛物线关于原点成中心对称，当时，函数值有最大值，则的值为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分．把答案写在题中横线上） 13. 规定：对于一个三位数，当时，则称这样的三位数为“上升数”．现有一个三位数，若从，，，，，这6个数中任意抽取一个数作为百位上的数，组成的三位数为“上升数”的概率为__________． 14. 如图，菱形与正方形的两个对角顶点重合于点和点，若，，则正方形的对角线的长为__________． 15. 嘉嘉计算时，由于错将分式前的“”抄成了“”，得到的错误结果为，则正确的计算结果应是__________． 16. （传统文化）图1是我国三国时期数学家赵爽在《周髀算经》注中绘制的几何图形，通过四个全等的直角三角形围成一个中空正方形，利用面积关系证明勾股定理．已知大正方形的边长为，将绕点逆时针旋转得到，如图2，当点与点的距离最大时，的值为__________． 三、解答题（本大题共8小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 图是一个计算程序． （1）按照顺序计算并填写其中的“ ”，并在下面横线上列出综合算式； 综合算式：___________________（仅列算式无需计算）； （2）计算：． 18. 一个多项式的错误的计算过程如下： 计算：． 解：原式…第一步 …第二步 ．…第三步 （1）请指出在第几步开始出现错误，并写出正确的计算过程； （2）当时，求原式的值（结果用科学记数法表示）． 19. 为守护青少年健康成长，我国对于青少年使用手机的规定涵盖合理使用、内容健康、隐私保护及网络安全等诸多方面．某校开展合理使用手机宣传活动，随机挑选了甲、乙、丙、丁四名同学进行经验分享，并收集了这四名同学近10天使用手机时长（单位：分钟）的数据，并进行整理、描述和分析，得到如下信息． a．甲同学10天使用手机时长：，，，，，，，，，； b．乙、丙同学10天使用手机时长的折线统计图，如图； c．四名同学10天使用手机时长的情况统计分析表： 甲 乙 丙 丁 平均数 16 17 16 中位数 15.5 15 16.5 方差 15 7.8 7.8 根据以上信息，解答下列问题： （1）比较大小：__________15（填“”“”或“”）； （2）求，的值； （3）规定：首先比较平均数，平均数较小者优先进行分享；若平均数相等，则比较方差，方差较小者优先进行分享；若平均数、方差分别相等，则使用手机时长小于平均数的次数较多者优先进行分享．该校决定按上述方式决定四名同学的分享顺序，则四名同学最先分享的是__________，最后分享的是__________．（均填“甲”“乙”“丙”或“丁”） 20. “这么近，那么美，周末到河北”．嘉淇周末到赵州桥游览，如图11，她想估算圆弧形主桥拱（即）的高度（即的中点到弦的距离），在，两处观察桥洞的同一点的仰角分别为和（即，），已知主桥拱的跨度（即弦的长）为 ． （1）尺规作图：在图中，作出弦的垂直平分线（保留作图痕迹，不写作法）； （2）若（1）中所作的垂直平分线分别与，弦交于，两点，求的度数及点到的距离．（参考数据：取0.38） 21. 综合与实践 【情境】有两块形状完全相同的不规则的四边形木板，如图1所示，已知，，，，现要把每块木板都只分割一次，将其拼成正方形（说明：木板拼接不重叠，无缝隙，无剩余）； 【操作】选取其中一块四边形木板拼成一个正方形，如图2，嘉嘉过点分别作于点，交的延长线于点，并说：“沿进行分割，得到能与完全重合的，即可拼得正方形．” （1）求证：； （2）求的长； 【拓展】将两块四边形木板拼成一个大正方形，淇淇说：“如图3，将每一块四边形都沿同一条分割线进行分割，即可拼成两个等腰直角三角形，最终拼得一个大正方形．” （3）在图3中画出一条分割线，并直接写出这条分割线的长． 22. 某综合实践小组对教学楼的楼梯开展探究活动，并了解了楼梯的信息如下表，楼梯的示意图如图所示，设踏步总级数为（为正整数），歇脚台宽度为． 关于教学楼楼梯的技术参数表 踏步面宽 每级楼梯水平踩踏面的宽度，为保障行走安全，规范要求：，且每级踏步面宽相等 踏步高度 每级楼梯的垂直高度，规范要求：，且每级踏步高度相等 歇脚台 楼梯顶端与大门之间的水平平台，供行人临时停留 总进深 从楼梯最底端到大门的水平总距离，本次测量值为 总高度 从地面到大门的垂直总高度，本次测量值为 （1）当，时，求踏步高度和踏步面宽的值； （2）用含，的式子表示歇脚台宽度； （3）为最大化歇脚台使用空间，即当歇脚台宽取得最大值时，请通过计算确定最合理的踏步高度和踏步面宽，并求出此时歇脚台的宽度的值． 23. 如图1和图2，在中，，，，，分别是，上的点，将四边形沿折叠，点，分别落在，处，且点始终在边上． （1）如图1，当点与点重合时，判断的形状，并说明理由； （2）如图2，当点恰好落在的延长线上时，求的长； （3）随点在边上位置的改变， ①直接写出的最小值； ②当是直角三角形时，直接写出的长． 24. 如图，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，顶点为点，抛物线 的顶点为点． （1）求抛物线的解析式及顶点的坐标； （2）第一象限内一点到轴的距离为8，当抛物线经过点时，点也恰好落在上，求点的坐标； （3）记抛物线与相交于点，直线与的另一个交点为． ①试说明点的横坐标始终为定值，并求出这个定值； ②作直线，当直线与直线交于点时，直接写出的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年河北初中学业水平模拟 数学（状元卷二） 注意事项：共8页，总分120分，时间120分钟． 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题意） 1. 氢氧化钠具有强碱性，用途广泛．已知该化合物中各元素的正负化合价代数和为0，下表是部分元素的化合价，则氢H元素的化合价应该为（ ） 元素 钠 氧O 氢H 化合价 ▲ A. 0 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据化合物化合价代数和为0的规则，先设未知数，再列方程求解，即可得到结果． 【详解】解：设氢元素的化合价为， ∵化合物中各元素正负化合价代数和为，且中钠、氧、氢各有个原子，钠元素化合价为，氧元素化合价为， ∴列方程得：， 解得：， 故氢元素化合价为， 2. 如图，射线，，，，分别对应量角器上外圈的，，，，刻度线，点与量角器的中心重合，下列最大的角是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据量角器上各射线对应的刻度，利用角的和差关系分别计算出 、、、 的度数，比较大小即可得出答案． 【详解】解：由题意可知，射线、、、、对应量角器外圈的刻度分别为、、、、， ，，，， ，  最大． 3. 要使二次根式的值是有理数，则的值可以是（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】将各选项的x依次代入计算，判断开方结果是否为有理数即可得到答案． 【详解】解：将各选项x的值分别代入计算判断： ∵当时， ，，3是有理数，符合要求； 当时，，是无理数，不符合要求； 当时，，是无理数，不符合要求； 当时，，是无理数，不符合要求． 4. （传统文化）石碾是我国古代劳动人民智慧的结晶，由碾盘、碾砣等部件组成，如图，其俯视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据俯视图的定义，从物体正上方往下看，所得到的图形即为俯视图，结合石碾的结构特征（碾盘为圆柱体，碾砣为横放的圆柱体）进行分析即可． 【详解】解：A、是从正面看到的图形，是主视图，故选项不符合题意； B、是从左面看到的图形，是左视图，故选项不符合题意； C、从物体正上方往下看，碾砣的投影是矩形，故选项不符合题意； D、呈现了圆形的碾盘，内部是矩形的碾砣投影，故选项符合题意． 5. 不等式组的整数解有（ ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 无数个 【答案】B 【解析】 【分析】先分别求解每个不等式的解集，再根据不等式组解集的确定方法得到公共解集，最后找出范围内的整数解即可得到结果． 【详解】解：， 解不等式得：， 解不等式得：， ∴原不等式组的解集为， ∴解集内的整数解为：，共个． 6. 如图，在中，，，点是边上一点，且，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先利用三角形内角和定理求出的度数，进而判定为等腰直角三角形，得到；再结合已知条件推导出，从而判定为等腰三角形，最后利用等腰三角形性质及内角和定理求出的度数即可． 【详解】解：，， ， ， 又， ， ． 7. 设一个正多边形的边数为，每一个外角的度数为，则与函数关系的图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据多边形的外角和定理得出与的函数关系式，结合自变量的取值范围及反比例函数的性质判断图象即可． 【详解】解：∵任意多边形的外角和等于，且正多边形的每一个外角都相等， ∴， ∵表示正多边形的边数，则为大于等于的整数， ∴与是反比例函数关系，且图象在第一象限， ∴随的增大而减小，且图象是双曲线上的离散点， 只有D选项图象为反比例函数上的点且随增大而减小，符合题意． 8. 已知，其中，均为常数，则与的关系正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】将等式左边展开后，对比等式两边对应项的系数，即可得到与的关系． 【详解】解：∵ 利用完全平方公式展开等式左边，得 ， 又∵ ， ∴对比等式两边一次项系数，可得，即． 9. 在如图1所示的等边三角形中，内部一点为等边三角形的中心，边上的点均为三等分点．现连接其中一些点围成一个三角形（阴影部分），如图2，则（ ） A. B. C. D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】连接点、点，先证明是等边三角形，再证明是直角三角形，得到阴影三角形的边长，证明阴影部分也是等边三角形，得到，根据相似三角形面积比是边长比的平方，得出阴影部分与大三角形的面积比，进而求出阴影部分与空白部分的面积比． 【详解】解：如下图是等边三角形，点是三条边上的三等分点，连接点、点，  ，, ， 是等边三角形，， 点、点是等边边上的三等分点， ，即是等腰三角形， 又， ， ， 是直角三角形，且， 设，则，， ， 同理可证也是是直角三角形，， 也是等边三角形， ， ， ． 10. 已知，是关于的一元二次方程的两个根，且，在数轴上的对应点如图所示，则点在平面直角坐标系中位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】C 【解析】 【分析】根据，在数轴上的对应点的位置可判断出，，根据根与系数的关系得出，，则，，即可得出结论. 【详解】解：由数轴知：，，， ∴，， ∵，是关于的一元二次方程的两个根， ∴，， ∴，， ∴点位于第三象限． 11. （跨学科）在光的反射中，反射角等于入射角．如图，已知是半圆的直径，且，平面镜与半圆相切于点，从上的点发出一束光线，经平面镜反射后与半圆交于点．若，要使劣弧的长为，需调整（） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先利用弧长公式求出对应的圆心角为，再结合等腰三角形性质和平行线性质，得到；接着由切线性质知为法线，根据反射角等于入射角，得；最后利用三角形外角性质，求出． 【详解】解：∵半圆直径， ∴半径． ∵劣弧的长为， 设其圆心角为，由弧长公式，得 解得，即． ∵， ∴为等腰三角形， ∵， ∴． ∵平面镜与半圆相切于点，为半径， ∴，即为法线． 根据光的反射定律，入射角等于反射角， ∵入射光线与法线的夹角为入射角，反射光线与法线的夹角为反射角， ∴． ∵是的外角， ∴． 12. 已知抛物线与抛物线关于原点成中心对称，当时，函数值有最大值，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先整理抛物线的顶点式，利用关于原点中心对称的点的坐标关系得到抛物线的解析式，再结合当时和的最大值条件计算的值． 【详解】解：对配方得：， ∵与关于原点中心对称，若在上，则对称点在上，代入得：， 整理得， ∴的对称轴为，顶点纵坐标为， ∵当时，有最大值，且（顶点纵坐标）， ∴抛物线开口向上，，即， 对于开口向上的抛物线，其最大值在离对称轴最远的端点处取得， ∵， ∴当时，取得最大值， 将，代入得：， 解得． 二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分．把答案写在题中横线上） 13. 规定：对于一个三位数，当时，则称这样的三位数为“上升数”．现有一个三位数，若从，，，，，这6个数中任意抽取一个数作为百位上的数，组成的三位数为“上升数”的概率为__________． 【答案】 【解析】 【分析】先确定所有等可能的结果总数，再找出满足“上升数”定义的结果数，代入概率公式计算即可． 【详解】解：根据“上升数”的定义，三位数为上升数需要满足 ，其中恒成立，因此只需满足， 由题意可知，从，，，，，共个数中任意抽取，共有种等可能的结果，其中满足的结果为，，共种， 根据概率公式可得，组成的三位数为“上升数”的概率为． 14. 如图，菱形与正方形的两个对角顶点重合于点和点，若，，则正方形的对角线的长为__________． 【答案】 【解析】 【分析】先根据菱形的性质说明是等边三角形，可得，再根据正方形的性质得出答案． 【详解】解：∵四边形是菱形，且， ∴是等边三角形， ∴． ∵正方形的对角线是和， ∴． 15. 嘉嘉计算时，由于错将分式前的“”抄成了“”，得到的错误结果为，则正确的计算结果应是__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据错误计算列出关于的等式，求出的化简结果，再将代入正确的分式算式，通分化简即可得到正确结果． 【详解】解：由题意可知，错算的等式为 移项得 ， ∴ ； 16. （传统文化）图1是我国三国时期数学家赵爽在《周髀算经》注中绘制的几何图形，通过四个全等的直角三角形围成一个中空正方形，利用面积关系证明勾股定理．已知大正方形的边长为，将绕点逆时针旋转得到，如图2，当点与点的距离最大时，的值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】取中点O，连接，过作于E，连接，，，则，根据勾股定理求出，根据旋转的性质得出，，根据直角三角形斜边上的中线的性质求出，则点的运动轨迹是以O为圆心，为半径的半圆（在的上方），故当在的延长线上时，最大，证明，根据相似三角形的性质求出，，则，然后在中，根据正切的定义求解即可． 【详解】解：∵大正方形的边长为， ∴， 取中点O，连接，过作于E，连接，，，则， ∴， ∵绕点逆时针旋转得到， ∴，， ∴， ∴点的运动轨迹是以O为圆心，为半径的半圆（在的上方）， ∴当在的延长线上时，最大， ∵，， ∴， 又， ∴， ∴，即， 解得，， ∴， ∴． 三、解答题（本大题共8小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 图是一个计算程序． （1）按照顺序计算并填写其中的“ ”，并在下面横线上列出综合算式； 综合算式：___________________（仅列算式无需计算）； （2）计算：． 【答案】（1），， （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意计算即可； （2）先计算乘方和绝对值，再计算乘除，最后计算减法． 【小问1详解】 解：；；综合算式： 【小问2详解】 解： ． 18. 一个多项式的错误的计算过程如下： 计算：． 解：原式…第一步 …第二步 ．…第三步 （1）请指出在第几步开始出现错误，并写出正确的计算过程； （2）当时，求原式的值（结果用科学记数法表示）． 【答案】（1）第一步开始出现错误，正确的计算过程见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）利用幂的运算法则判断原计算的错误步骤，再重新正确化简 （2）把代入化简的结果，并用科学记数法表示即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴原计算第一步开始出现错误． 正确计算过程如下： 原式    ； 【小问2详解】 解：当时， ． 19. 为守护青少年健康成长，我国对于青少年使用手机的规定涵盖合理使用、内容健康、隐私保护及网络安全等诸多方面．某校开展合理使用手机宣传活动，随机挑选了甲、乙、丙、丁四名同学进行经验分享，并收集了这四名同学近10天使用手机时长（单位：分钟）的数据，并进行整理、描述和分析，得到如下信息． a．甲同学10天使用手机时长：，，，，，，，，，； b．乙、丙同学10天使用手机时长的折线统计图，如图； c．四名同学10天使用手机时长的情况统计分析表： 甲 乙 丙 丁 平均数 16 17 16 中位数 15.5 15 16.5 方差 15 7.8 7.8 根据以上信息，解答下列问题： （1）比较大小：__________15（填“”“”或“”）； （2）求，的值； （3）规定：首先比较平均数，平均数较小者优先进行分享；若平均数相等，则比较方差，方差较小者优先进行分享；若平均数、方差分别相等，则使用手机时长小于平均数的次数较多者优先进行分享．该校决定按上述方式决定四名同学的分享顺序，则四名同学最先分享的是__________，最后分享的是__________．（均填“甲”“乙”“丙”或“丁”） 【答案】（1） （2）， （3）乙，甲 【解析】 【分析】（1）根据方差计算公式求解即可； （2）根据平均数和中位数的定义求解即可； （3）根据题意描述方式比较即可． 【小问1详解】 解：丙的数据为：12，12，17，19，21，23，21，16，16，13， ∴； 【小问2详解】 解：； 丙的数据排列为：12，12，13，16，16，17，19，21，21，23， 则中位数是第5，6个数据的平均数，故； 【小问3详解】 解：平均数比较：乙(16)、丁(16)甲(17)、丙(17)， 因此乙、丁优先于甲、丙； 乙和丁比较：平均数相等，方差均为7.8，需比较小于平均数(16)的次数， 乙的中位数为15，说明排序后第5、6个数均，因此小于16的数有6个， 丁的中位数为16.5，说明排序后第5个数，第6个数，因此小于16的数最多有4个， ∴乙的次数更多，故乙优先于丁； 甲和丙比较：平均数相等，丙的方差(14)甲的方差(15)，故丙优先于甲， 综上，分享顺序为：乙→丁→丙→甲， 因此最先分享的是乙，最后分享的是甲． 20. “这么近，那么美，周末到河北”．嘉淇周末到赵州桥游览，如图11，她想估算圆弧形主桥拱（即）的高度（即的中点到弦的距离），在，两处观察桥洞的同一点的仰角分别为和（即，），已知主桥拱的跨度（即弦的长）为 ． （1）尺规作图：在图中，作出弦的垂直平分线（保留作图痕迹，不写作法）； （2）若（1）中所作的垂直平分线分别与，弦交于，两点，求的度数及点到的距离．（参考数据：取0.38） 【答案】（1）如图所示，即为所求； （2）点D到的距离是 【解析】 【分析】（1）分别以点A，B为圆心，以为半径画弧，两弧交于点M，N，作直线，则即为所求； （2）先根据三角形内角和定理求出，再根据圆周角定理求出，然后根据线段垂直平分线的性质得，进而得，接下来根据可得答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图所示， ∵， ∴， ∴． ∵是的垂直平分线，， ∴， ， ∴． 在中，， 即 ， 解得 ， 所以点D到的距离是 ． 21. 综合与实践 【情境】有两块形状完全相同的不规则的四边形木板，如图1所示，已知，，，，现要把每块木板都只分割一次，将其拼成正方形（说明：木板拼接不重叠，无缝隙，无剩余）； 【操作】选取其中一块四边形木板拼成一个正方形，如图2，嘉嘉过点分别作于点，交的延长线于点，并说：“沿进行分割，得到能与完全重合的，即可拼得正方形．” （1）求证：； （2）求的长； 【拓展】将两块四边形木板拼成一个大正方形，淇淇说：“如图3，将每一块四边形都沿同一条分割线进行分割，即可拼成两个等腰直角三角形，最终拼得一个大正方形．” （3）在图3中画出一条分割线，并直接写出这条分割线的长． 【答案】（1）见解析 （2）1 （3）作图见解析，分割线长为 【解析】 【分析】（1）根据证明即可； （2）先证明四边形是正方形，则，而，再进行等量代换求解即可； （3）将四边形沿着剪开，再将拼接到的位置即可，连接，过点作交的延长线于点，证明，得到是等腰直角三角形，再由勾股定理求解即可． 【小问1详解】 证明：∵， ∴ ∵ ∴四边形是矩形， ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ 又∵ ∴ ∴； 【小问2详解】 解：∵ ∴， ∵四边形是矩形， ∴四边形是正方形， ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴； 【小问3详解】 解：如图，分割线即为所求； 将四边形沿着剪开，再将拼接到的位置即可， 连接，过点作交的延长线于点， ∴ ∴ ∵在四边形中， ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∴， ∴ ∵ ∴ ∴． 22. 某综合实践小组对教学楼的楼梯开展探究活动，并了解了楼梯的信息如下表，楼梯的示意图如图所示，设踏步总级数为（为正整数），歇脚台宽度为． 关于教学楼楼梯的技术参数表 踏步面宽 每级楼梯水平踩踏面的宽度，为保障行走安全，规范要求：，且每级踏步面宽相等 踏步高度 每级楼梯的垂直高度，规范要求：，且每级踏步高度相等 歇脚台 楼梯顶端与大门之间的水平平台，供行人临时停留 总进深 从楼梯最底端到大门的水平总距离，本次测量值为 总高度 从地面到大门的垂直总高度，本次测量值为 （1）当，时，求踏步高度和踏步面宽的值； （2）用含，的式子表示歇脚台宽度； （3）为最大化歇脚台使用空间，即当歇脚台宽取得最大值时，请通过计算确定最合理的踏步高度和踏步面宽，并求出此时歇脚台的宽度的值． 【答案】（1）踏步高度和踏步面宽 ； （2） ； （3）最合理的踏步高度为 ，踏步面宽为，此时歇脚台的宽度为． 【解析】 【分析】（）由题意可得， ，然后把，代入即可求解； （）由题意得，总进深为所有踏步总水平宽度加歇脚台宽度得 ，然后整理即可； （）由（）得，由（）得 ，所以，又，则，根据为正整数，得或，然后分当和当时两种情况，分别通过一次函数的性质即可求解． 【小问1详解】 解：由题意可得，级踏步总高度为总高度，得，即；总进深为所有踏步总水平宽度加歇脚台宽度，得 ， 当时，， ∴时， ，解得：， ∴踏步高度和踏步面宽 ； 【小问2详解】 解：由题意得，总进深为所有踏步总水平宽度加歇脚台宽度，得 ， ∴ ； 【小问3详解】 解：由（）得，由（）得 ， ∵， ∴， ∴， ∵为正整数， ∴或， 当时， ，， ∵ ，， ∴随的增大而减小， ∴当时，取得最大值，为 ； 当时， ， ∵ ，， ， ∴随的增大而减小， ∴当时，取得最大值，为 ； ∵， ∴最合理的踏步高度为 ，踏步面宽为，此时歇脚台的宽度为． 23. 如图1和图2，在中，，，，，分别是，上的点，将四边形沿折叠，点，分别落在，处，且点始终在边上． （1）如图1，当点与点重合时，判断的形状，并说明理由； （2）如图2，当点恰好落在的延长线上时，求的长； （3）随点在边上位置的改变， ①直接写出的最小值； ②当是直角三角形时，直接写出的长． 【答案】（1）为等腰三角形；理由见解析 （2） （3）①的最小值为4；②或 【解析】 【分析】（1）根据平行线的性质和折叠的性质得出，根据等腰三角形的判定得出 ，即可得出答案； （2）由平行四边形的性质可得，，由平行线的性质可得，由折叠的性质可得，，，求出，作交于点，则，解直角三角形得出，由勾股定理可得，从而得出，即可得出结果； （3）①过点D作于点G，解直角三角形得出，从而得出与间的距离为4，根据当正好是与间的距离时，最小，即可得出答案； ②分两种情况：当时，延长交的延长线于点；当时，延长交于点，分别结合平行四边形的性质、折叠的性质、解直角三角形、相似三角形的性质以及勾股定理计算即可得出结果． 【小问1详解】 解：为等腰三角形；理由见解析； ∵四边形为平行四边形， ∴， ∴， 根据折叠可得：， ∴， ∴， ∴为等腰三角形； 【小问2详解】 解：∵在中，， ∴， ∵将四边形沿直线翻折，点，的对应点分别是点，， ∴，，， ∴， ∴， ∴， 如图，作交于点，则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：①过点D作于点G，如图所示： 则， ∵，， ∴， ∴与间的距离为4， ∵，分别是，上的点， ∴当正好是与间的距离时，最小，且最小值为4； ②当时，如图，延长交的延长线于点， ∵四边形为平行四边形， ∴，，，， ∵， ∴， ∴设，则， ∴， 由折叠的性质可得：， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴，即， ∴，， ∴， ∵， ∴由折叠的性质可得， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 如图，当时，延长交于点， ∵四边形为平行四边形， ∴，，，， ∵， ∴， ∴设，则， ∴， 由折叠的性质可得：， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 由折叠的性质可得：，，， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 综上所述，的值为或． 24. 如图，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，顶点为点，抛物线 的顶点为点． （1）求抛物线的解析式及顶点的坐标； （2）第一象限内一点到轴的距离为8，当抛物线经过点时，点也恰好落在上，求点的坐标； （3）记抛物线与相交于点，直线与的另一个交点为． ①试说明点的横坐标始终为定值，并求出这个定值； ②作直线，当直线与直线交于点时，直接写出的值． 【答案】（1）， （2） （3）①联立抛物线与的方程解得． 将代入中， 可得 ． 已知点，， 设直线的方程为， 将点、的坐标代入直线方程可得：， 解得， ∴直线的方程为 ． 联立直线与抛物线的方程， 解得或． ∵点的横坐标为， ∴点的横坐标为，即点的横坐标始终为定值． 因此，点的横坐标始终为定值； ②10 【解析】 【分析】（1）将点A、C坐标代入抛物线解析式，求出系数得到表达式，再利用顶点坐标公式算出顶点M坐标． （2）把点代入求出，确定解析式；根据点到x轴距离得到纵坐标，代入方程求解，结合象限条件取舍，得到点D坐标． （3）①联立两条抛物线解析式，求出交点P坐标；结合点C求出直线解析式，再联立直线与，解得两根，确定点Q横坐标为定值．②求出顶点，结合求直线解析式；将的横坐标分别代入两条直线，利用交点纵坐标相等列方程，解出k． 【小问1详解】 解：∵抛物线：与轴交于点，与轴交于点， 将点、的坐标代入抛物线方程可得： 解得 ∴抛物线的解析式为． 对于抛物线，其顶点坐标公式为， 在抛物线：中，，，， 则，． ∴顶点的坐标为． 因此，抛物线的解析式为，顶点的坐标为． 【小问2详解】 解：已知抛物线：经过点， 将点的坐标代入抛物线的方程可得：， 解得． ∴抛物线的解析式为． ∵点在第一象限内，且到轴的距离为， ∴点的纵坐标为， 将代入抛物线的解析式中，可得， 解得或（舍去）． ∴点的坐标为． 【小问3详解】 ①略 ②已知抛物线：，其顶点的横坐标为，纵坐标为， ∴顶点的坐标为． 已知点，，设直线的方程为， 将点、的坐标代入直线方程可得： ， 解得， ∴直线的方程为． ∵直线与直线交于点，点的横坐标为， 将代入直线的方程 中， 可得 ， 将代入直线的方程，可得 ． 因为点是直线与直线的交点， ∴， 解得． 因此，的值为10． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $