精品解析：　河北省石家庄市第五十中学2026年 初中学业水平模拟数学（实战演练）

2026年河北初中学业水平模拟 数学（实战演练） 注意事项：共8页，总分120分，时间120分钟． 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题意） 1. 在数轴上，表示下列四个数的点在和之间的是（ ） A. B. C. D. 2. 如图为一个简易“人”字梯，已知，则（　　）． A. B. C. D. 3. 在平面直角坐标系中，点在第二象限，则的值可以是（ ） A. 2 B. 1 C. 0 D. 4. 截至2025年底，中国芯片产业在多个领域取得了显著进展，其中最引人瞩目的是5nm芯片设计产品的量产．已知5nm用科学记数法表示为m，将它还原成小数后，小数点和数字“5”之间有（ ） A. 9个0 B. 8个0 C. 7个0 D. 6个0 5. 如下图，涂色的小正方形是一个正方体展开图的其中5个面，添上①~④中的（ ）号面可以使其折成一个完整的正方体． A. ① B. ② C. ③ D. ④ 6. 化简时，琳琳将看成了它的相反数，最终她的化简结果不含项，则正确的化简结果为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，某种近视眼镜的度数（度）与镜片焦距（米）成反比例函数关系．某同学的镜片焦距为米，经过矫正治疗后调整到了米，则近视眼镜的度数减少了（ ） A. 400度 B. 300度 C. 200度 D. 100度 8. 在圆形纸片中，圆心，为直径．将圆形纸片折叠，使点与点重合后展开，折痕为，如图1．将圆形纸片再次折叠，使点与点重合后展开，折痕为，连接，如图2，则（ ） A. B. C. D. 9. 关于x的一元二次方程的两个根分别是3，，则p，q的值为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 10. 如图，在中，点是边上一点．现将四个条件：，，，，分别写到四张卡片上，这些卡片除正面的条件不同外，其余均相同．将这四张卡片背面朝上洗匀，随机抽取一张，则卡片上的条件能使的概率是（ ） A. B. C. D. 11. 已知为大于1的整数，的值记为，的值记为，则下列正确的是（ ） A. B. C. D. 大小无法比较 12. 如图，在菱形框架中并排摆放着3个全等的正六边形螺母（①~③），其中①号螺母的两条边恰好在边上，③号螺母的两条边恰好在边上．嘉嘉和淇淇仔细观察后，得出如下结论． 结论Ⅰ：菱形框架的边长恰好是正六边形螺母边长的4倍； 结论Ⅱ：换种摆法，该菱形框架中最多可以摆放4个这样的正六边形螺母． 针对结论Ⅰ和Ⅱ，判断正确的是（ ） A. Ⅰ和Ⅱ都对 B. Ⅰ和Ⅱ都不对 C. Ⅰ对Ⅱ不对 D. Ⅰ不对Ⅱ对 二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分．把答案写在题中横线上） 13. 如图，点与量角器中心重合，射线均与量角器刻度线重合，根据度数判断，是否平分？___________（填“是”或“否”）． 14. 计算：___________． 15. 如图是一个正方体箱子和斜坡的截面图，其中正方形的边长为6，斜坡的坡度为．现将正方形绕点顺时针旋转，使旋转后的点落在斜坡上，恰有，则旋转过程中点运动的路径长为___________． 16. 在平面直角坐标系中，若，则称为点的“斜值”．如图，边长为2的正方形的四条边分别与坐标轴平行，点的坐标为，点是正方形边上的点（包括顶点），则斜值的最大值为___________． 三、解答题（本大题共8小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 珍珍利用人工智能工具编制了一个数字运算程序，如图，当输入一个数时，按照程序进行运算，最终输出运算结果． （1）若输入数为，求输出的结果； （2）若输入的数为，输出的结果为12，试通过列方程的方法求出的值． 18. 将三张正方形卡片（边长不同）的其中一个直角重叠摞成三层，按如图方式摆放，设最上层正方形的边长为，最下层正方形的边长为，中间层正方形的面积为． （1）若中间层正方形的边长介于和之间，求整数的值； （2）已知中间层正方形的边长比大，比小． ①直接写出的值（结果要求化简） ②计算． 19. 某校开展以“持续弘扬长征精神”为主题的演讲比赛，选手的成绩由演讲内容、语言表达、临场表现三项组成，每项成绩均由7位评委打分，取平均分作为该项的实际成绩，再将演讲内容、语言表达、临场表现三项成绩按的比例计算出每人的总评成绩．其中，甲、乙两位选手的三项实际成绩和总评成绩（单位：分）如下表． 演讲内容 语言表达 临场表现 总评成绩 甲 86 76 82 81.4 乙 84 82 已知7位评委给乙的临场表现打出的分数（单位：分）为78、82、79、82、76、83、80． （1）将7位评委给乙的临场表现打出的分数看作一组数据，则该组数据的中位数是__________分，众数是__________分； （2）求乙临场表现的实际成绩； （3）若根据总评成绩从高到低确定最终名次，则两位选手谁的最终名次比较靠前？ 20. 2026年6月6日是第31个全国“爱眼日”，使用电脑时一般正确的坐姿是：当眼睛望向显示器屏幕时，“视线角”为（望向屏幕上边缘的水平视线与望向屏幕中心的视线的夹角），小臂水平放在桌面上，肘部形成的“手肘角”为．（参考数据：取，取） （1）如图1，当水平视线与屏幕垂直，“视线角”为，时，求眼睛与屏幕的距离； （2）如图2，肩膀到水平地面的距离，大臂，小臂水平放在桌面上，为保持正确坐姿，求桌面到地面的距离． 21. 探究问题 实验内容 探究小球速度随时间变化的规律 实验仪器 刻度尺，秒表，斜面，测速仪等 实验过程 将小球由静止开始沿斜面向下滚动，到达斜面底端后，在水平面上继续滚动直至停止，如图1所示． 实验记录 用相关仪器测得小球在滚动过程中的速度与时间之间关系的图象如图2所示． 实验数据 当小球滚动时，小球的速度达到最大值； 当小球滚动时，小球的速度为； 已知在图2中，所在的直线解析式为． 根据以上信息，解决下列问题． （1）求实验中的小球由静止开始滚动至停止所用的时长； （2）当时，求小球的速度； （3）根据（2）的结果和图2可以看出，小球的速度有两次达到，直接写出这两次间隔的时间． 22. 综合与实践 等腰三角形和平行四边形具有特殊的性质，现按如下步骤操作． 【操作】第一步：作等腰三角形，使； 第二步：作，使与关于边对称； 第三步：过点作的平行线，交直线于点； 第四步：分别以为边作平行四边形． 嘉嘉和淇淇按上述步骤作出了不同的图形，如图1和图2，但两个图形蕴含着一些一般性的结论． （1）【探究】结合嘉嘉和淇淇的作图，与的数量关系为__________； （2）嘉嘉和淇淇发现，他们作图均有，请从图1和图2中任选一种情况，给出证明； （3）【应用】在图2中，淇淇测得，求的长． 23. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线的顶点为，与轴交于点，直线经过两点． （1）__________，__________； （2）求直线的解析式； （3）先作关于轴的轴对称图形，再将得到的图形向右平移个单位长度得到，使得抛物线的顶点与点恰好关于原点对称． ①直接写出的值及抛物线的解析式； ②若将直线沿轴向下平移个单位长度后，与抛物线交于两点，两点的纵坐标分别为，设，直接用含的式子表示． 24. 如图1~图3，在中，直径，绕圆心逆时针旋转至，且．点在优弧上运动，以为斜边向右侧作，使． （1）如图1，当经过点时，点在___________；（填“上”“内”或“外”） （2）如图2，当经过点时，用尺规作图过点作的垂线，垂足为（保留作图痕迹，不写作法），并直接写出的长； （3）如图3，当与相切时，与交于点． ①试判断弦与直径的位置关系，并说明理由； ②求长； （4）直接写出点与点的最大距离． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年河北初中学业水平模拟 数学（实战演练） 注意事项：共8页，总分120分，时间120分钟． 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题意） 1. 在数轴上，表示下列四个数的点在和之间的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题主要考查了数轴及有理数的比较大小，解决此类问题的关键是注意负数比较大小绝对值大的反而小的理解．本题是对有理数的大小比较的综合考查，注意负数比较大小绝对值大的反而小． 【详解】解：， 在和之间． 故选：C． 2. 如图为一个简易的“人”字梯，已知，则（　　）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查三角形外角的性质，熟练掌握三角形外角的性质是解题的关键． 根据，求出，根据三角形外角和定理，进行求解即可． 【详解】解：如图： 故选：B． 3. 在平面直角坐标系中，点在第二象限，则的值可以是（ ） A. 2 B. 1 C. 0 D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据第二象限的坐标点的特征进行作答即可． 【详解】解：因为点在第二象限， 所以， ∴ 只有2符合题意． 4. 截至2025年底，中国芯片产业在多个领域取得了显著进展，其中最引人瞩目的是5nm芯片设计产品的量产．已知5nm用科学记数法表示为m，将它还原成小数后，小数点和数字“5”之间有（ ） A. 9个0 B. 8个0 C. 7个0 D. 6个0 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查负指数形式科学记数法的还原，解题思路是将给定的科学记数法转化为原小数，再数出小数点与数字5之间0的个数即可． 【详解】解：∵表示将5的小数点向左移动9位， ∴， 观察可得，小数点和数字5之间共有8个0． 5. 如下图，涂色的小正方形是一个正方体展开图的其中5个面，添上①~④中的（ ）号面可以使其折成一个完整的正方体． A. ① B. ② C. ③ D. ④ 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了正方体的展开图．根据正方体展开图的特征解答即可． 【详解】解：根据题意得：添上①~④中的④号面可以使其折成一个完整的正方体． 故选：D． 6. 化简时，琳琳将看成了它的相反数，最终她的化简结果不含项，则正确的化简结果为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了整式的加减中不含项问题，熟练掌握解题的基本思路是解题的关键．先合并同类项，确定项的系数，根据题意，求得m值，化简即可得到最后的答案． 【详解】解：又∵琳琳将看成了它的相反数，最终她的化简结果不含项， ∴琳琳的计算过程为：， ∴， ， ∴正确的化简结果为， 故选：D． 7. 如图，某种近视眼镜的度数（度）与镜片焦距（米）成反比例函数关系．某同学的镜片焦距为米，经过矫正治疗后调整到了米，则近视眼镜的度数减少了（ ） A. 400度 B. 300度 C. 200度 D. 100度 【答案】B 【解析】 【分析】利用待定系数法求出反比例函数的解析式，根据函数解析式求出函数值，最后进行比较即可． 【详解】解：假设反比例函数的解析式为， 将代入解析式得， ， ∴， 当时，， ∴， ∴近视眼镜的度数减少了300度． 8. 在圆形纸片中，圆心为，为直径．将圆形纸片折叠，使点与点重合后展开，折痕为，如图1．将圆形纸片再次折叠，使点与点重合后展开，折痕为，连接，如图2，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】通过折叠的性质以及圆周角定理进行求解． 【详解】解：通过折叠的性质可得， ， ∴． 9. 关于x的一元二次方程的两个根分别是3，，则p，q的值为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程根与系数关系，解答的关键是熟知一元二次方程根与系数的关系：设一元二次方程的两个根为、，则，． 对于方程，两根之和为，两根之积为．已知两根为3和，直接计算即可求解． 【详解】解：∵方程 的两根分别为3和， ∴两根之和：，即， ∴； 两根之积：， 即． 故选：B． 10. 如图，在中，点是边上一点．现将四个条件：，，，，分别写到四张卡片上，这些卡片除正面的条件不同外，其余均相同．将这四张卡片背面朝上洗匀，随机抽取一张，则卡片上的条件能使的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先根据相似三角形的判定定理找出能够结合证明的条件，再根据概率公式即可得解． 【详解】解：由图可知， 则抽到，均可通过两对应角相等证明， 抽到可通过边对应成比例及其夹角相等判定， 抽到不能证明， 综上，随机抽取一张，则卡片上的条件能使的概率是，选项符合题意． 11. 已知为大于1的整数，的值记为，的值记为，则下列正确的是（ ） A. B. C. D. 大小无法比较 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意可求出，根据为大于1的整数，得到，则． 【详解】解：， ， ∵为大于1的整数， ∴， ∴， ∴． 12. 如图，在菱形框架中并排摆放着3个全等的正六边形螺母（①~③），其中①号螺母的两条边恰好在边上，③号螺母的两条边恰好在边上．嘉嘉和淇淇仔细观察后，得出如下结论． 结论Ⅰ：菱形框架的边长恰好是正六边形螺母边长的4倍； 结论Ⅱ：换种摆法，该菱形框架中最多可以摆放4个这样的正六边形螺母． 针对结论Ⅰ和Ⅱ，判断正确的是（ ） A. Ⅰ和Ⅱ都对 B. Ⅰ和Ⅱ都不对 C. Ⅰ对Ⅱ不对 D. Ⅰ不对Ⅱ对 【答案】A 【解析】 【分析】根据正六边形的性质，菱形的性质，等边三角形的判定和性质，菱形的判定，平行四边形的判定和性质，求解即可； 【详解】解：如图，根据题意，得正六边形的每一个外角是，每一个内角是， ，， ， 是等边三角形， ， 在菱形框架中并排摆放着3个全等的正六边形螺母， ， ， 菱形， ， ， 延长交于点， ， ， 四边形是平行四边形， ，， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形是菱形， ， ， ， 故菱形框架的边长恰好是正六边形螺母边长的4倍； 可以排列如图所示， 故该菱形框架中最多可以摆放4个这样的正六边形螺母． 二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分．把答案写在题中横线上） 13. 如图，点与量角器中心重合，射线均与量角器刻度线重合，根据度数判断，是否平分？___________（填“是”或“否”）． 【答案】是 【解析】 【分析】根据角的概念与角平分线的定义解决此题． 【详解】解：由题意得，， ∴，， ∴是的角平分线． 14. 计算：___________． 【答案】 【解析】 【分析】按照同级运算从左到右的顺序，结合同底数幂的乘除运算法则计算即可． 解题的关键在于正确掌握同底数幂的乘除运算法则和运算顺序． 【详解】解：． 15. 如图是一个正方体箱子和斜坡的截面图，其中正方形的边长为6，斜坡的坡度为．现将正方形绕点顺时针旋转，使旋转后的点落在斜坡上，恰有，则旋转过程中点运动的路径长为___________． 【答案】 【解析】 【分析】设旋转后点A和点D的对应点分别为点，过点作，交直线于点E，解直角三角形可得，根据等边对等角和三角形外角的性质可得，由正方形的性质可得，，则，由旋转的性质可得，，则，再根据弧长公式求解即可． 【详解】解：如图所示，设旋转后点A和点D的对应点分别为点，过点作，交直线于点E， ∵斜坡的坡度为， ∴， ∴， ∴， 由题意得，， ∴， ∵， ∴； ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， 由旋转的性质可得，， ∴， ∴旋转过程中点运动的路径长为． 16. 在平面直角坐标系中，若，则称为点的“斜值”．如图，边长为2的正方形的四条边分别与坐标轴平行，点的坐标为，点是正方形边上的点（包括顶点），则斜值的最大值为___________． 【答案】 【解析】 【详解】解：根据题意得：若，则称为点的“斜值”， ∴． ∵边长为2的正方形的四条边分别与坐标轴平行，点的坐标为， ∴，，，正方形边上的点满足，， 当点在边上时，则点，点的“斜值”随着的增大而减小，最大值为； 点在边上时，则点，点的“斜值”随着的增大而增大，最大值为； 点在边上时，则点，点的“斜值”随着的增大而增大，最大值为； 点在边上时，则点，点的“斜值”随着的增大而增大，最大值为； 综上，最大值为． 三、解答题（本大题共8小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 珍珍利用人工智能工具编制了一个数字运算程序，如图，当输入一个数时，按照程序进行运算，最终输出运算结果． （1）若输入的数为，求输出的结果； （2）若输入的数为，输出的结果为12，试通过列方程的方法求出的值． 【答案】（1）2 （2） 【解析】 【分析】（1）根据流程图可得输出的结果为式子的值，据此求解即可； （2）根据题意可得方程，解方程即可得到答案． 【小问1详解】 解： ， ∴输入的数为时，输出的结果为2； 【小问2详解】 解：由题意得，， ∴， 解得． 18. 将三张正方形卡片（边长不同）的其中一个直角重叠摞成三层，按如图方式摆放，设最上层正方形的边长为，最下层正方形的边长为，中间层正方形的面积为． （1）若中间层正方形的边长介于和之间，求整数的值； （2）已知中间层正方形的边长比大，比小． ①直接写出的值（结果要求化简） ②计算． 【答案】（1） （2）①，；②． 【解析】 【分析】（1）先根据正方形面积求出中间层正方形的边长，再通过估算无理数的大小确定整数的值； （2）①根据中间层正方形边长与、的关系，用含中间层边长的式子表示、，②利用平方差公式计算的值． 【小问1详解】 解：设中间层正方形的边长为．则 ， ∴． ∵ ∴ ∵中间层正方形边长介于和之间， ∴． 【小问2详解】 解：① 设中间层正方形的边长为． ∵， ∴． 由题意得：，． ∴，， ② ∵，， ∴，， ∴． 19. 某校开展以“持续弘扬长征精神”为主题的演讲比赛，选手的成绩由演讲内容、语言表达、临场表现三项组成，每项成绩均由7位评委打分，取平均分作为该项的实际成绩，再将演讲内容、语言表达、临场表现三项成绩按的比例计算出每人的总评成绩．其中，甲、乙两位选手的三项实际成绩和总评成绩（单位：分）如下表． 演讲内容 语言表达 临场表现 总评成绩 甲 86 76 82 81.4 乙 84 82 已知7位评委给乙的临场表现打出的分数（单位：分）为78、82、79、82、76、83、80． （1）将7位评委给乙的临场表现打出的分数看作一组数据，则该组数据的中位数是__________分，众数是__________分； （2）求乙临场表现的实际成绩； （3）若根据总评成绩从高到低确定最终名次，则两位选手谁的最终名次比较靠前？ 【答案】（1）80，82 （2）80 （3）乙排在甲的前面 【解析】 【分析】（1）把78，82，79，82，76，83，80，按从小到大的顺序排列找出中位数，众数； （2）实际成绩是7位评委打分的平均分； （3）利用加权平均数的计算方法计算乙的总评成绩，与甲的总成绩比较做出判断即可． 【小问1详解】 解：把78，82，79，82，76，83，80，按从小到大的顺序排列：76，78，79，80，82，82，83， ∴中位数为80（分）， 众数为82（分）； 【小问2详解】 解：实际成绩是7位评委打分的平均分：（分）； 【小问3详解】 解：乙的总评成绩为（分）． ∵， ∴乙排在甲的前面． 20. 2026年6月6日是第31个全国“爱眼日”，使用电脑时一般正确的坐姿是：当眼睛望向显示器屏幕时，“视线角”为（望向屏幕上边缘的水平视线与望向屏幕中心的视线的夹角），小臂水平放在桌面上，肘部形成的“手肘角”为．（参考数据：取，取） （1）如图1，当水平视线与屏幕垂直，“视线角”为，时，求眼睛与屏幕的距离； （2）如图2，肩膀到水平地面的距离，大臂，小臂水平放在桌面上，为保持正确坐姿，求桌面到地面的距离． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意，在中，，列式计算即可； （2）延长交于点，则，，先解直角三角形得到，继而得到本题答案． 【小问1详解】 解：在中，，，， ． 故眼睛与屏幕的距离为； 【小问2详解】 解：如图，延长交于点， 则，， ∵， ∴． 在中，，， ， ． 21. 探究问题 实验内容 探究小球速度随时间变化的规律 实验仪器 刻度尺，秒表，斜面，测速仪等 实验过程 将小球由静止开始沿斜面向下滚动，到达斜面底端后，在水平面上继续滚动直至停止，如图1所示． 实验记录 用相关仪器测得小球在滚动过程中的速度与时间之间关系的图象如图2所示． 实验数据 当小球滚动时，小球的速度达到最大值； 当小球滚动时，小球的速度为； 已知在图2中，所在的直线解析式为． 根据以上信息，解决下列问题． （1）求实验中的小球由静止开始滚动至停止所用的时长； （2）当时，求小球的速度； （3）根据（2）的结果和图2可以看出，小球的速度有两次达到，直接写出这两次间隔的时间． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）在中，求出时x的值即可得到答案； （2）求出点A的坐标，进而求出直线的解析式，把代入直线的解析式求出对应的y的值即可得到答案； （3）把分别代入和中，求出对应的x的值即可得到答案． 【小问1详解】 解：在中，当时，，解得， 答：实验中小球由静止开始滚动至停止所用的时长为； 【小问2详解】 解：在中，当时，， ∴， 设直线的解析式为， ∴， 解得， ∴直线的解析式为， 在中，当时，， ∴当时，小球的速度为； 【小问3详解】 解：在中，当时，，解得， 在中，当时，，解得， ， ∴两次间隔的时间为． 22 综合与实践 等腰三角形和平行四边形具有特殊的性质，现按如下步骤操作． 【操作】第一步：作等腰三角形，使； 第二步：作，使与关于边对称； 第三步：过点作的平行线，交直线于点； 第四步：分别以为边作平行四边形． 嘉嘉和淇淇按上述步骤作出了不同的图形，如图1和图2，但两个图形蕴含着一些一般性的结论． （1）【探究】结合嘉嘉和淇淇的作图，与的数量关系为__________； （2）嘉嘉和淇淇发现，他们的作图均有，请从图1和图2中任选一种情况，给出证明； （3）【应用】在图2中，淇淇测得，求的长． 【答案】（1） （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）图1中，由轴对称的性质和等边对等角可证明，由平行线的性质可证明，再由平角的定义和三角形内角和定理可证明，则可证明；图2中，同理可证明，由平行线的性质和三角形内角和定理可证明； （2）图1中，由平行四边形的性质得到，，则，由轴对称的性质可得，则可证明，；再证明，则可证明；图2中，由平行四边形的性质得到，，则，证明 ，进而证明，则； （3）过点作，垂足为，由三线合一定理和勾股定理可得；由全等三角形的性质可得；过点作交的延长线于点，可证明四边形是矩形，得到，，设，由勾股定理得，解方程可推出，由平行四边形的性质得到． 【小问1详解】 解：如图1所示，由轴对称性质可得， ∵， ∴， ∴； ∵， ∴； ∵， ∴， ∴； 如图2所示，由轴对称的性质可得， ∵， ∴， ∴； ∵， ∴，即， 又∵， ∴； 【小问2详解】 证明：如图1所示， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， 由轴对称的性质可得， ∴ ∵， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴； 如图2所示，∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， 由轴对称的性质可得， ∴ ； ∵， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：如图所示，过点作，垂足为， ，， ，， ； 由（2）可得， ∴； 如图所示，过点作交的延长线于点， ， ， 四边形是平行四边形， 四边形是矩形， ，， 设， ，， 在中，由勾股定理得， ， ， 即， ∵四边形是平行四边形， ∴． 23. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线的顶点为，与轴交于点，直线经过两点． （1）__________，__________； （2）求直线的解析式； （3）先作关于轴的轴对称图形，再将得到的图形向右平移个单位长度得到，使得抛物线的顶点与点恰好关于原点对称． ①直接写出的值及抛物线的解析式； ②若将直线沿轴向下平移个单位长度后，与抛物线交于两点，两点的纵坐标分别为，设，直接用含的式子表示． 【答案】（1）10，6 （2） （3）①4，；② 【解析】 【分析】（1）根据顶点坐标写出抛物线的顶点式，然后展开即可求解； （2）根据待定系数法求解即可； （3）①根据平移前后对应点的坐标可求出p的值，根据关于原点对称点的坐标特征求出抛物线的顶点坐标，根据轴对称的性质求出抛物线解析式的二次项系数，即可求解； ②联立直线平移后解析式与抛物线解析式，化简得到，根据根与系数的关系得出，然后结合，，代入计算即可． 【小问1详解】 解：∵抛物线的顶点为， ∴抛物线的解析式为， ∴，； 【小问2详解】 解：当时，， ∴， 设直线解析式为， 则， 解得， ∴； 【小问3详解】 解：①∵抛物线的顶点与点恰好关于原点对称， ∴抛物线的顶点坐标为， ∵作关于轴的轴对称图形，再将得到的图形向右平移个单位长度得到， ∴抛物线解析式的二次项系数为，， ∴抛物线解析式为； ②∵直线沿轴向下平移个单位长度， ∴平移后的解析式为， 联立方程组， 化简得， ∴， 又，， ∴ ． 24. 如图1~图3，在中，直径，绕圆心逆时针旋转至，且．点在优弧上运动，以斜边向右侧作，使． （1）如图1，当经过点时，点在___________；（填“上”“内”或“外”） （2）如图2，当经过点时，用尺规作图过点作的垂线，垂足为（保留作图痕迹，不写作法），并直接写出的长； （3）如图3，当与相切时，与交于点． ①试判断弦与直径的位置关系，并说明理由； ②求的长； （4）直接写出点与点的最大距离． 【答案】（1）上 （2）图见解析， （3）①，理由见解析；② （4）7 【解析】 【分析】（1）连接，由圆的性质和直角三角形的性质得到，据此可得答案； （2）根据垂线的尺规作图方法作图即可；根据圆的性质可得；可证明，得到，设，由勾股定理，解方程即可得到答案； （3）①连接，由切线的性质可得，证明，得到，则可证明；由等边对等角得到，则，即可证明；②过点O作于点H，则，可推出，设，由勾股定理，解方程可得，即；可证明，同理可得； （4）作，且使得，连接，可证明，推出；再证明，可推出，根据，得到当O、P、T三点共线时，有最大值，最大值为． 【小问1详解】 解：如图所示，连接， ∵点A和点B都在上，且经过点， ∴， ∵， ∴，即点P到点O的距离等于的半径， ∴点在上； 【小问2详解】 解：如图2所示，点E即为所求； ∵在中，直径， ∴； ∵， ∴； ∵，， ∴， ∴在中，， 设， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得或（舍去）， ∴； 【小问3详解】 解：①，理由如下： 如图3所示，连接， ∵与相切， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； 又∵， ∴， ∴， ∴； ②如图3所示，过点O作于点H，则， ∵在中，直径， ∴； 由（3）①可知， ∴， ∴在中，， 设， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得或（舍去）， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴在中，， 设， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得或， ∴； 【小问4详解】 解：如图所示，作，且使得，连接， ∵， ∴， ∴在中，， 设，则， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴ 又∵， ∴， ∴，即， ∴； ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴当O、P、T三点共线时，有最大值，最大值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $