2026年海南澄迈县永发初级中学等校中考数学模拟卷一

**基本信息** 九年级数学二模试卷，以“基础巩固-能力提升-创新应用”为梯度，融合社会热点（如“十四五”湿地修复数据）、实际情境（火车过隧道）及探究性主题（三角形角平分线），考查抽象能力、推理意识与应用意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|12/36|实数、科学记数法、几何视图等|第2题结合湿地修复数据考科学记数法，体现数据意识| |填空题|4/12|因式分解、概率、勾股定理等|第15题以花圃“捷径”考勾股定理应用，强化几何直观| |解答题|6/72|方程、统计、函数、几何综合等|21题抛物线与菱形存在性问题，考查推理能力；22题“角平分线”主题学习，突出创新意识|

九年级数学试题 一．选择题（共12小题，满分36分，每小题3分） 1．四个数﹣8，﹣2，0，10中，最小的数是（　　） A．﹣2 B．﹣8 C．0 D．10 2．“十四五”期间，全国科学修复湿地434.4万亩．数据4344000用科学记数法表示为（　　） A．434.4×104 B．43.44×105 C．4.344×106 D．434.4×106 3．如图是由4个相同的小正方体组成的几何体，它从前面看到的图形是（　　） A． B． C． D． 4．下列说法错误的是（　　） A．若a+3＞b+3，则a＞b B．若，则a＞b C．若a＞b，则ac＞bc D．若a＞b，则a+3＞b+2 5．下列各式的计算结果与x2•x3相等的是（　　） A．x3+x3 B．x7﹣x2 C．（x2）3 D．x7÷x2 6．分式方程的解是（　　） A． B．x＝﹣1 C． D．x＝3 7．如图，在平面直角坐标系xOy中，一面朝右的平面镜贴在y轴上，一束光线从点B（4，3）处射出，射到平面镜上的点A（0，1）处，被平面镜反射后射到x轴上的点C处，则点C的坐标为（　　） A．（1，0） B．（2，0） C．（3，0） D．（4，0） 8．将一副三角板按如图所示的方式摆放，点D在边AC上，BC∥EF，则∠ADE的大小为（　　） A．60° B．65° C．75° D．85° 9．如图，CD与⊙O相切于点C，交直径AB的延长线于点D，∠CAB＝30°，若AB＝8，则CD的长度为（　　） A．4 B．6 C． D． 10．如图，点A在反比例函数的图象上，过点A作x轴的垂线交反比例函数（x＞0）的图象于点C，直线BD垂直平分线段AC，分别交两反比例函数的图象于点D，B，设点A的横坐标为n．下列关于观点1，2的判断正确的是（　　） 观点1：当n＝4时，线段AC的长为1； 观点2：若四边形ABCD是正方形，则AB的长为． A．只有观点1正确 B．只有观点2正确 C．观点1、2都正确 D．观点1、2都不正确 11．如图，在△ABC中，AB＝AC，分别以点A，B为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点M和点N，作直线MN分别交BC、AB于点D和点E，若∠B＝48°，则∠CAD的度数是（　　） A．34° B．36° C．38° D．40° 12．如图，在平行四边形ABCD中，AB＝6，BC＝8，将线段AB水平向右平移a个单位长度得到线段EF，若四边形ECDF为菱形时，则a的值为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 二．填空题（共4小题，满分12分，每小题3分） 13．因式分解：3x3y﹣27xy3＝　 　 ． 14．重庆市某中学校初2026届某班有45名同学，其中共有10名同学参加了周末的社区志愿服务活动．从该班随机抽取1名同学，抽到参加社区志愿服务活动的同学的概率是　 　 ． 15．如图，学校有一块长方形花圃，有极少数人为了避开拐角走“捷径”，在花圃内走出了一条“路”，踩伤了花草．则他们仅仅少走了　 　 米． 16．如图，沿EF折叠菱形纸片ABCD，使得AD的对应边恰好经过点C，若∠B＝60°，AB＝2，A′E⊥AB，则 （1）∠EFD′＝　 　 °． （2）线段AE的长是 　 　 ． 三．解答题（共6小题，满分72分） 17．（10分）（1）计算：（﹣2）﹣1+|3﹣2|﹣tan45°； （2）化简：x（x+1）﹣（x+1）（x﹣2）． 18．（6分）火车以40m/s的速度经过一个隧道，从车头进入隧道到车尾驶出隧道，共用时30s，其中火车全身都在隧道里的时间是20s，求隧道和火车的长度． 19．（12分）某校为了增强学生体质，丰富大课间活动，组织了以“跳出健康，跃出精彩”为主题的跳绳比赛，学生跳绳成绩得分用x表示，共分成五组，为了解本次大赛的成绩，学校随机抽取了部分学生的成绩作为样本进行统计，制成以下不完整的统计图表，根据所给信息，解答下列问题： 成绩x（分） 频数（人） A：50≤x＜60 10 B：60≤x＜70 30 C：70≤x＜80 40 D：80≤x＜90 m E：90≤x≤100 50 （1）表中m的值为　 　 ，并补全频数分布直方图； （2）求扇形统计图中E组所对应的圆心角的度数； （3）若成绩不低于80分为优秀，该校共有2000名学生参与了本次跳绳比赛，请你估计该校参加本次跳绳比赛的学生成绩为优秀的人数是多少？ 20．（8分）在一次课外活动中，某数学兴趣小组测量一棵树CD的高度．如图所示，测得斜坡BE的坡度，坡底AE的长为8米，在B处测得树CD顶部D的仰角为30°，在E处测得树CD顶部D的仰角为60°，求树高CD．（结果保留根号） 21．（18分）如图，抛物线y＝﹣x2+3x+4与x轴交于点A，点B（点A在点B左侧），与y轴交于点C，连接BC，点P为线段CB上一个动点（不与点C，B重合），过点P作PQ∥y轴交抛物线于点Q． （1）直接写出点A和点B的坐标； （2）设P的横坐标为t，请用含t的式子表示线段PQ的长，并求出线段PQ的最大值； （3）已知点M是抛物线对称轴上的一个点，点N是平面直角坐标系内一点，当线段PQ取得最大值时，是否存在这样的点M，N，使得四边形PBMN是菱形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 22．（18分）综合与实践：九年级某学习小组围绕“三角形的角平分线”开展主题学习活动． 【特例探究】 （1）如图①，②，③是三个等腰三角形（相关条件见图中标注），列表分析两腰之和与两腰之积． 等腰三角形两腰之和与两腰之积分析表 图序 角平分线AD的长 ∠BAD的度数 腰长 两腰之和 两腰之积 图① 1 60° 2 4 4 图② 1 45° 2 图③ 1 30° 　 　 　 　 　 　 请补全表格中数据，并完成以下猜想． 已知△ABC的角平分线AD＝1，AB＝AC，∠BAD＝α，用含α的等式写出两腰之和AB+AC与两腰之积AB•AC之间的数量关系：　 　 ． 【变式思考】 （2）已知△ABC的角平分线AD＝1，∠BAC＝60°，用等式写出两边之和AB+AC与两边之积AB•AC之间的数量关系，并证明． 【拓展运用】 （3）如图④，△ABC中，AB＝AC＝1，点D在边AC上，BD＝BC＝AD．以点C为圆心，CD长为半径作弧与线段BD相交于点E，过点E作任意直线与边AB，BC分别交于M，N两点．请补全图形，并分析的值是否变化？ 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 B． C． B C D D B C D A B 题号 12 答案 B 13．3xy（x+3y）（x﹣3y）． 14．． 15．4． 16．（1）135； （2）． 17．（1）；（2）2x+2． 解：（1）（﹣2）﹣1+|3﹣2|﹣tan45° 1﹣1 ； （2）x（x+1）﹣（x+1）（x﹣2） ＝（x+1）（x﹣x+2） ＝2（x+1） ＝2x+2． 18．隧道的长度为1000m，火车的长度为200m． 解：设隧道的长度为xm，火车的长度为ym， 依题意得， 解得． 答：隧道的长度为1000m，火车的长度为200m． 19．（1）70；； （2）90°； （3）1200人． 解：（1）由题意可知，B等级人数为30人，占比为15%，故调查的总人数为30÷15%＝200（人）， m＝200﹣10﹣30﹣40﹣50＝70， 补全频数分布直方图如图， 故答案为：70； （2）扇形统计图中E组所对应的圆心角为． （3）（人）， 答：估计该校参加本次跳绳比赛的学生成绩为优秀的人数是1200人． 20．CD的高度是7米． 解：作BF⊥CD于点F，根据题意可得ABFC是矩形， ∴CF＝AB， ∵斜坡BE的坡度i：4，坡底AE的长为8米， ∴AB＝2米， ∴CF＝2米， 设DF＝x米， 在Rt△GEH中，tan∠GEH， ∴EH＝2， ∴BG＝AH＝AE+EH＝8+2＝10（米）， ∵∠DGF＝∠GEH＝60°，∠DBG＝30°， ∴DG＝BG＝10（米）， 在直角△DGF中，sin∠DGF， ∴DF＝5， 则CD＝527（米）． 答：CD的高度是7米． 21．（1）点A、B的坐标分别为：（﹣1，0）、（4，0）； （2）PQ＝﹣t2+4t，PQ的最大值为4； （3）存在，点M的坐标为（，）或（，）． 解：（1）令y＝﹣x2+3x+4＝0， 解得：x＝﹣1或4， 故点A、B的坐标分别为：（﹣1，0）、（4，0）； （2）设直线BC的表达式为：y＝kx+4， 将点B的坐标代入上式得：0＝4k+4，解得：k＝﹣1， 故直线BC的表达式为：y＝﹣x+4， 设点P（t，﹣t+4），则点Q（t，﹣t2+3t+4）， 则PQ＝（﹣t2+3t+4）﹣（﹣t+4）＝﹣t2+4t， ∵﹣1＜0，故PQ有最大值， 当t＝2时，PQ的最大值为4； （3）存在，理由： 当t＝2时，点P（2，2）， 设点M（，m），而点B（4，0）； ∵四边形PBMN是菱形， 则BP＝BM，即（4﹣2）2+22＝（4）2+m2， 解得：m， 即点M的坐标为（，）或（，）． 22．（1），，，AB+AC＝2AB•AC•cosα； （2）AB•AC＝AB+AC，证明见解答； （3）画图见解答，2为定值． 解：（1）如图③， ∵AB＝AC，AD平分∠BAC， ∴AD⊥BC， 在Rt△ABD中，AB， ∴AC＝AB， 两腰之和为AB+AC，两腰之积为AB•AC， 猜想：AB+AC＝2AB•AC•cosα， 证明：如图， ∵AB＝AC，AD平分∠BAC， ∴AD⊥BC， 在Rt△ABD中，AB， ∴AB+AC，AB•AC， ∴AB+AC＝2AB•AC•cosα； 故答案为：，，，AB+AC＝2AB•AC•cosα； （2）AB•AC＝AB+AC． 证明：如图，过点D作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，过点C作CG⊥AB于G， 则DE＝AD•sin∠BAD＝1×sin30°， ∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC， ∴DF＝DE， 在Rt△ACG中，CG＝AC•sin∠BAC＝AC•sin60°AC， ∵S△ABC＝S△ABD+S△ACD， ∴AB•ACAB•AC•， ∴AB•AC＝AB+AC； （3）补全图形如图所示： 设∠A＝α， ∵BD＝AD， ∴∠ABD＝∠A＝α， ∴∠BDC＝∠ABD+∠A＝2α， ∵BD＝BC， ∴∠BCD＝∠BDC＝2α， ∵AB＝AC， ∴∠ABC＝∠ACB＝2α， ∵∠A+∠ABC+∠ACB＝180°， ∴α+2α+2α＝180°， 解得：α＝36°， ∴∠A＝∠ABD＝∠CBD＝36°， 如图，过点E作EF⊥AB于F，EH⊥BC于H，过点N作NG⊥AB于G， ∵S△BMN＝S△BEM+S△BEN， ∴BM•NGBM•EFBN•EH， ∵∠ABD＝∠CBD，EF⊥AB，EH⊥BC， ∴EF＝EH， ∴BM•BN•sin72°＝（BM+BN）•EH， ∴， ∵sin∠CBD＝sin36°， ∴EH＝BE•sin36°， ∴， 如图，设CD＝m，则AD＝BD＝BC＝1﹣m， ∵∠A＝∠CBD，∠ACB＝∠BCD， ∴△ABC∽△BDC， ∴，即， ∴m2﹣m+1＝0， ∴m1，m2， ∵1﹣m＞0， ∴m＜1， ∴m， ∴CD，BC＝1， ∵CE＝CD， ∴∠CED＝∠CDE＝72°， ∴∠DCE＝36°， ∴∠BCE＝∠CBE＝36°， ∴BE＝CE＝CD， 过点A作AH⊥BC于H，过点C作CK⊥AB于K，则BH＝CHBC， ∴AH， ∴sin72°， ∵CK•AB＝BC•AH，即CK×1， ∴CK， ∴sin36°， ∴2， 即2为定值． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2026/5/29 10:22:49；用户：ta 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $