端点效应应用，解决导数问题-《中学生数理化》高考数学2026年5月刊

端点效应应用， ■山东省博兴第 端点效应法是一种必要性探路法，是指 对某些与函数有关的恒成立问题，基于相应 函数在其定义域内的一些相关特殊值来确定 一个对应的必要条件，由此得到相应参数的 值或取值范围，再在该范围内进行讨论，或去 验证其充分性，进而得到参数的准确范围的 方法。在解决一些含参的函数、方程或不等 式的恒成立及其综合问题时，经常借助端点 效应法来思维，使得问题处理起来更加简捷 有效。 一、一阶端点效应 如果连续函数f(x)在某一点x。处的函 数值f(x。)恰好为零，则当x≥x。时，f(x) ≥0成立的一个必要条件为端点x。处的导 数值f'(x。)≥0（如果f'(x)<0,那么函数 会在x。右侧的一个小区间内先单调递减，此 时函数f(x)在x≥x。时不恒为非负值，不 满足要求)，这个方法把某个区间上函数的恒 成立问题转化为判断端点处的导数值符号， 这就是端点效应。类似地，如果连续函数 f(x)在某一点x。处的函数值f(x。)恰好为 零，则当x>x。时，f(x)<0成立的一个必 要条件为x。处的导数值f'(x。)<0。 例1设函数f(x)=ln(1+x),g(x) =xf'(x),x≥0，其中f'(x)是f(x)的导函 数。若f(x)≥ag(x)恒成立，求实数a的取 值范围。 1 解析：依题意f'（x=1十x,则g(x)= xf'(x)=1十xx≥0。 由f(x)≥ag(x)恒成立，得ln(1十x)≥ 1十x恒成立。 ax 令函数F(x)=ln(1十x)一1十x ax (x2 解颗年肠愿星骨中学生表理化 解决导数问题 一中学 潘娜娜 0),则F(x)≥0恒成立。 因为F(0)=0,所以此时必须保证函数 F(x)在x=0右侧附近区间上单调递增，即 保证F'(x)≥0在x=0右侧附近区间上恒 1 a 成立。又因为F（x）=1十x一a十) 1+x-0,所以F'(0)=1-a,故F'(0)≥0， (1+x)2 即a≤1。 下证：当a≤1时，F(x)≥0恒成立。 当a1时，函数F（x)三1十)二 1十r)≥0，故函数F(x)在[0，十∞)上单 调递增，即F(x)≥F(0)=0。 故当a1时，函数F(x)≥0恒成立，即 原命题成立。 所以实数a的取值范围是（一∞，1]。 点评：对于本题这类恒成立题目，通过恒 大于等于0（或者小于等于0）的不等式所对 应的函数构建，利用区间端点值确定函数值 是否为0，借助求导运算得相应一阶导函数 所对应的值，当端点处的一阶导函数所对应 的值不为0时，通过对应导函数在端点处的 函数所对应的不等式（大于等于0或者小于 等于0)来确定相应参数的取值范围，并加以 推理论证。 二、二阶端点效应 如果连续函数f(x)在区间[a,b]上，有 f(x)≥0恒成立，且f(a)=0,f'(a)=0,则 f"(a)≥0。 例2设函数f(x)=x(e-1)一 ax2。若当x≥0时，不等式f(x)≥0恒成 立，试确定实数a的取值范围。 解析：因为f(0)=0,所以要使得函数 f(x)≥0在L0,十∞)上恒成立，需函数f(x) 21 ,解题篇创新题追根溯源 中学生数理化离数学02年月 在x=0右侧附近区间上单调递增，即函数 f'(x)≥0在x=0右侧附近区间上恒成立。 求导得f'(x)=e一1十xe一2a.x= (x+1)e-2ax-1,故f'(0)=1-1=0,即 此时需函数∫'(x)在x=0右侧附近区间上 单调递增，即函数"(x)≥0在x=0右侧附 近区间上恒成立。 而f"(.x)=(x+2)e一2a,故f"(0)= 2e°-2a=2-2a。 要使函数f”(x)≥0在x=0右侧附近 区间上恒成立，则f"(0)≥0，即a≤1。 下证：当a≤1时，f(x)≥0在[0，+∞) 上恒成立。 当a≤1时，f"(.x)=(x+2)e-2a≥ (x+2)e一2。 令函数9(x)=(x+2)e一2，x≥0，则 '(x)=(x十3)e>0,故函数p(x)单调递 增，则p(x)≥9(0)=2一2=0，即"(x)≥ 9(x)≥0，此时函数f'(x)单调递增，所以 f'(x)≥f'(0)=0,故函数f(x)单调递增， 所以f(x)≥f(0)=0,故当a≤1时，函数 f(x)≥0在[0，十∞)上恒成立。 所以实数a的取值范围是（一∞，1]。 ,点评：如果端点处的一阶导函数所对应 的值为0，由此将对应的一阶导函数作为一 个新函数，进一步加以求导，通过对应二阶导 函数在端，点处的函数所对应的不等式来确定 相应参数的取值范围，并加以推理论证。 三、端点失效 一般情况下，单调函数是可以用端点效 应的，但有时会遇到端点失效的情况，即通过 必要条件得到的参数范围并不是最终的解。 当函数不单调时，端点效应就会失效了。 例3已知函数f(x)=e十ax2一x。 若当x≥0时，f(x)≥7x+1恒成立，求实 数a的取值范围。 解析：必要性探路。 当x≥0时，f(x)≥2x+1恒成立。 1 令函数h(x)=e十a.x一x- 2x3-1, 22 则h'（x)=e+2ax-1-2x. 3 1 h(x,)=e+ax6-x-2x8-1=0, 由 消 3 h'x)=e+2ax-1-2x6=0, 1 去a得(x。-2)e+x。-2x8+2=0,即(x -2)e- 2x8+x6-x8+2x。-x+2=0, 1 即，-2e-286,-2》-,-2）- -2)=0.即，-2(e-3--）=0. 又当≥0时，e≥1+x+之（泰勒展开 式)，所以x,=2,放h(2)≥0，即a≥7二c 4。 下证充分性：要证当a>≥时1x) =e十ar-x≥e+7,e.x-,只需证 4 g+7e.x-x≥2x3+1x≥0).即证 1 4 (e-7)x2+4x+2x+4≤4(x≥0)恒成立。 令4(x)=c-7)x+4x+2x+4(x≥ e 0),则t(x)=13-e)x+2(e2-9)x-2x =-x(x-2)[2x+(e-9)] e 所以当x∈(o,92)时，t(x)<0: x)单调递减：当x←（②22）时'(x)> 0,t(x)单调递增：当x∈(2，十∞)时，t'(x) <0,t(x)单调递减。故t(x)max=max{t(0), t(2)}=4,即t(x)4成立。 所以当a≥时，fx)≥号+1恒 成立。 综上，a的取位花图是，十小. 点评：在解决此类综合应用问题时，可以 借助端点效应来分析与处理。必须注意的 是：在含参函数不单调的问题中，不能使用端