利用导数研究函数单调性问题的失分点探秘-《中学生数理化》高考数学2026年5月刊

解题信数号错题归类制析中学生教理化 高三数学2026年5月 利用导数研究函数单调性问题的失分点探秘 ■曲阜师范大学附属中学 张梅 在高中数学中，利用导数研究函数的单 易错点，即对单调区间的完整理解，应同时包 调性作为函数问题的重要核心模块，不仅为 含单调递增区间和单调递减区间，避免遗漏。 研究函数最值（极值）、恒成立（能成立）及函 题型二、判断含参函数的单调性 数零点等问题提供了基础支撑，更是贯穿函 此类问题成为同学们失分的主要题型， 数知识体系的关键环节。在具体考查中，该 其根源在于三个方面：其一，对分类讨论思想 内容主要聚焦于求函数单调区间、判断函数 缺乏系统认知与实践训川练，导致在解题时难 的单调性及函数单调性的应用三大类题型， 以灵活运用该思想进行有效分析：其二，面对 本文将围绕这三个方面展开深入探讨，系统 含参数的复杂问题时，对参数的分类情况把握 梳理同学们在解题过程中常见的失分原因。 不准，无法准确界定不同参数值对应的解题路 题型一、求函数的单调区间 径：其三，解题过程的逻辑结构呈现松散状态 求函数的单调区间作为函数问题中最基 缺乏清晰的层次递进与严密论证，使得整体解 础且关键的环节，其解决过程直接影响后续 答显得杂乱无章，难以准确厘清解题思路。 相关问题的求解。然而，同学们在处理此类 例2已知函数f(x)=nx+号a 问题时，往往因忽略函数的定义域而导致解 十(a十l)x,a∈R,讨论函数f(x)的单调性。 题方向偏差，或因求导不准确而无法正确分 解析：由题意知，函数f(x)的定义域为 析函数性质，又或缺乏对特殊不等式的解法 掌握而最终失分。 (0,+∞)，对函数f(x)求导得f'(x)= x 例1已知函数f(x)=(x+1)ln(x a.x+a+1=a+(a+1Dx+1 +1)一2x,求函数f(x)的单调区间。 解析：由题意知，函数f(x)的定义域为 当a<0时，令f'(x)>0,得-1<x< (一1，+o∞)。 1 。又因为x∈(0，十∞)，所以0<x< 对函数f(x)求导得f'(x)=ln(x+1) +1一2=1n(x+1)一1。 ,即函数f(x)在区间(0，一)上单调递 令f'(x)>0,得x>e-1:令f'(x)<0, 得-1<x<e-1。 增，在区间(-，十©）上单调递诚。 所以函数f(x)的单调递增区间为(e 当a=0时，f(x)=+1>0恒成立， 1,+∞)，单调递减区间为（一1，e一1）。 易错提醒：本题作为典型的求函数单调区 所以函数f(x)在区间(0，十∞)上单调递增。 间问题，其解题步骤已形成明确规范，故不再 当a>0时，因为x∈(0，+∞)，所以 赘述。解题时同学们需着重把握以下要点：一 '()=+a+1Dx+10恒成立，放雨 x 是确定函数的定义域，并在后续求解中始终关 数f(x)在区间(0，十∞)上单调递增。 注自变量的取值范围，确保所有区间均通过与 综上所述，当a<0时，函数f(x)在区间 自变量取交集处理；二是需熟练掌握基本初等 函数的求导公式，并灵活运用加、减、乘、除及 (0,- ）上单调递增，在区间（一子十）上 复合函数的求导法则：三是要突破三角不等 单调递减；当a≥0时，函数f(x)在区间(0， 式、对数不等式和指数不等式等特殊不等式的 十∞)上单调递增。 解法瓶颈。此外，本题还存在一个易被忽视的 易错提醒：本题是讨论含参函数的单调 27 中学生表理化然题皱学品结军类析 性，是高考的热点题型之一。解题时同学们 =2x+x+a,为二次函数，开口向上，对称 需着重把握以下要点：一是熟练分类讨论思 轴为x=一 4所以函数h(x)=2x+x十@ 想，这是数学中的重要思想之一：二是明确参 数的分类依据，主要考虑函数f'(x)的零点 在区间[1,2]上单调递增，因此有 个数、函数f'(x)的零点与定义域端点的大 h(1)=3+a0, 解得一10<a一3。 小关系、函数f'(x)的零点大小关系：三是分 h(2)=10+a>0, 类要按从小到大的顺序进行，且要进行综上 所以实数a的取值范围为（一10，一3）。 所述。 易错提醒：本题聚焦函数单调性的实际 题型三、函数单调性的应用 应用，通过深入剖析问题，暴露出同学们在理 此类题型通常以已知函数在特定区间内 解单调区间、导函数、原函数的内在关联时存 的单调性或直接给出函数的单调区间为条 在的典型认知误区。为系统攻克这一核心难 件，要求同学们求解相关参数的具体取值或 点，题目采用递进式结构精心设计了三问：第 取值范围。其主要易错点是同学们未能透彻 一问要求同学们先精准识别函数的单调递增 区间，进而求解相关参数的具体取值，解题的 理解函数单调区间、导函数、原函数三者之间 关键在于深刻把握导函数的零点恰为原函数 紧密且复杂的逻辑关系，导致在解题过程中 出现思路混乱、判断失误等问题。 单调区间端点这一核心性质：第二问是在已 知函数在特定区间内保持单调性的前提下， 例3已知函数f(x)=2x+Inx-a 要求同学们求解参数的取值范围，此时需深 (1)若函数f(x)的单调递增区间为[1， 入分析导函数的最值问题，通过精准判定导 2],求实数a的值； 数的极值点来确保函数在给定区间内的单调 (2)若函数f(x)在区间[1,2]上单调递 性得以有效维持：第三问是针对函数在区间 增，求实数a的取值范围： 内不单调的情境，要求同学们求解参数的取 (3)若函数f(x)在区间[1,2]上不单调， 值范围，此时需特别注意，函数在区间内不单 求实数a的取值范围。 调的充要条件是导函数在该区间内存在零 解析：(1)对函数f(x)求导得f'(x)= 点。解题时同学们需着重把握以下要点：一 2+1+=2x+x十@ 是明确题目所强调的是单调性还是单调区 间，若强调单调区间，则函数原有单调区间应 已知函数f(x)的单调递增区间为[1， 与题目提供的区间完全一致：若强调单调性， 2],所以1,2是函数f'(x)的两个零点，则a 则函数原有单调区间应包含题目所指区间。 =1×2×2=4 二是要清晰区分单调递增（减）、单调和不单 (2)由(1)知f'()=2x+x+@ 调的概念，避免因概念混淆导致解题失误。 2 本文以利用导数研究函数单调性这一基 当a≥0时，f'(x)=2+1 x >0,所 础性问题为切入点，通过系统梳理相关题型， 深入剖析解题过程中的失分根源，从以上三 以f(x)在定义域内单调递增，满足题意。 大题型维度全面梳理具体失分原因，并针对 当a<0时，f'(x)≥f'(1)=3十a,因为 性地提出强化思想训练、明确分类标准、规范 函数f(x)在区间[1,2]上单调递增，所以3 解题步骤等主要应对措施，为突破此类题型 +a≥0，解得a≥一3，此时一3≤a0。 提供切实可行的指导。当然，鉴于个体差异， 综上，实数a的取值范围为[一3，十∞)。 在具体解题过程中可能还存在个别易错点， (3)若函数f(x)在区间[1,2]上不单调， 本文仅针对常见的易错原因进行深入分析， 则函数f'(x)在区间[1,2]内有零点。 以期帮助同学们更全面地掌握解题要领。 由1)知f()=2x十x+a,设(x) (责任编辑王福华) 28