导数与函数极值和最值问题归类分析与易错点提醒-《中学生数理化》高考数学2026年5月刊

解题管效号错题归泰脚析中学生教理化 高三数学2026年5月 导数与函数极值和最值问题归类分析与易错点提醒 ● ■深圳市高级中学有为高中 连惠新 函数作为高中数学的核心知识板块，既 易错提醒：本题是典型的求函数极值问 是高考命题的重点，也是难点，其中函数极值 题，同学们在解题时需特别注意以下方面：一 与最值的求解作为基础题型与高频考点，成 是优先确定函数的定义域，并确保极值点落 为同学们解题过程中的易错重灾区。本文基 在该定义域内；二是熟练掌握函数的求导方 于导数工具，系统梳理函数极值与最值问题 法、公式及法则，确保求导准确无误；三是明 的解题策略，通过典型例题分类剖析，归纳总 确区分函数的极值与极值点概念，包括极大 结出忽视隐含定义域、误判极值点、漏算端点 值（点）和极小值（点），避免混淆。 值等共性易错点，旨在帮助同学们构建完整 二、函数最值的求解 的解题思维框架，有效规避常见失分陷阱。 这类问题涵盖了函数在定义域内的最值 一、函数极值（点）的求解 及区间内的最值求解，其核心易错点主要集 这类问题作为考查基础知识的经典题 中于三个方面：一是忽略函数的定义域，导致 型，其核心易错点主要集中于三个方面：一是 求解范围出现偏差；二是未能考虑函数定义 对函数定义域的忽视，导致函数求解范围出 域端点的函数值，从而遗漏可能的最值点；三 现偏差；二是求导过程中因计算失误或公式 是错误地将极值直接等同于最值，混淆了二 应用不当而引发错误；三是对极值点与极值 者之间的概念差异。 概念的认知模糊，尤其是将极值点误解为具 例2已知函数f(x)=e一ax+1 体的点而非函数性质的关键特征，这暴露出 (a∈R)。 对函数极值本质理解的不足。 (1)当a=1时，求函数f(x)的最值； 例1已知函数f(x)=x2十ax一lnx (2)当x∈[0,1]时，求函数f(x)的最小 (a∈R),当a=1时，求函数f(x)的极值。 值g(a),并求g(a)的最大值。 解析：当a=1时，f(x)=x+x-lnx, 解析：(1)当a=1时，f(x)=e一x十1。 对函数f(x)求导得f'(x)=e一1。令 x∈(0，十©∞)。 对函数f(x)求导得f'(x)=2x+1 f'(x)>0,得x>0,则函数f(x)在区间 12x2+x-1 (一∞，0)上单调递减，在区间(0，十∞)上单 -。令f'(x)=0,得x=一1 x 调递增，因此f(x)n=f(0)=2,无最大值。 (舍去)，或x=2 1 (2)对函数f(x)求导得f'(x)=e一a。 当a≤0时，f'(x)=e一a>0,则函数 当x∈(0，)时f(x)<0,则f(x)单 f(x)在区间[0,1]上单调递增，所以g(a)= f(x)mm=f(0)=2。 调递减：当x∈（经，+∞）时，f(x)>0,则 当a>0时，令f'(x)>0,得x>lna,则 函数f(x)在区间（一∞，lna)上单调递减， f(x)单调递增。 在区间(lna,十o∞)上单调递增，所以g(a) 所以当x= 2时，函数f(x)取得极小 =f(x)mi=f(In a)=a-aln a+1. 综上所述，当a≤0时，g(a)=2;当a>0 值为f()是+n2 时，g(a)=a-alna+1。 综上，函数f(x)的极小值为子+ln2,无 对函数g(a)求导得g'(a)=1-lna一1 =-lna。令g'(a)>0,得0<a<1,则函数 极大值。 g(a)在区间(0,1)上单调递增，在区间(1， 31 中学生表理化然题皱学品结军类析 +o∞)上单调递减，所以g(a)mx=g(1)=2。 1 易错提醒：本题是利用导数求解函数最 n号-=-n号令A(a)≥0，得 值问题的经典题型，为全面展现问题层次，采 a<2,则函数h(a)在(0,2)上单调递增，在 用递进式设置了两问：第一问关注函数在定 (2,十c∞)上单调递减，故h(a)mx=h(2)=1, 义域内的最值求解，需特别注意定义域的限 所以受-会1n受1的解集为2。 制条件，并验证最值点是否位于定义域内：第 综上可得，实数a的取值集合为{2}。 二问是在函数含参数的背景下，求解函数在 闭区间内的最值，进一步求出这些最值的最 (2)由1)知，函数M(a)=号-受ln受在 大值。同学们在解题时需特别注意以下方 (0,2)上单调递增，在(2，十∞)上单调递减。 面：一是需准确判定函数的单调性，通过单调 因为a>2e>2,所以h(a)<h(2e)=0,则 性确定最值；二是处理分段函数的最值时，需 注意在各段最大值中取最大者，才能确定函 fx)m=f(2n号)--1m<0 数的整体最大值。 三、函数极值与最值的应用 由1)知函数f在(-，n）上 函数极值与最值的应用广泛而深入，其 单调递减，又f(0)=e°一0=1>0，且 a 2 核心在于依托已知的函数极值或最值，解决 1 求参数、证明不等式、不等式恒成立（或能成 >2n=>o(n）c(-. 立)，以及函数零点等问题。其核心易错点主 要集中于四个方面：一是忽视函数的定义域， 1n受），所以函数x)在区间(o,21n受) 1 导致求解偏离实际；二是对函数求导不准确， 内有一个零点。 影响极值或最值的判断：三是方法决策问题， 同理，因为a>2e,所以2ln(2a)> 由于此类问题通常存在多种解法，需根据问 f (2In (2a))=2a [8a'-In(2a) 1 题特征选择恰当的方法；四是遇到需对参数 进行分类讨论的情况时，参数的分类情况难 4e(64e3-21n2-1)>0。 以准确确定，易造成解题混乱。 由1)知函数f(x)在(n名，+∞)上 例3已知函数f(x)=e一ax。 (1)若f(x)≥1恒成立，求实数a的取 单调递增，又（分n名，21n(2a)(分n名， 值集合： (2)若a>2e,求证：函数f(x)有且仅有 +e),所以函数fx)在(2n受2n(2a) 两个零点。 内有一个零点。 解析：(1)对函数f(x)求导得f’(x)= 综上所述，当a>2e时，函数f(x)有且 2e2z-a。 仅有两个零点。 当a0时，f'(x)>0,则函数f(x)在R 易错提醒：本题聚焦函数最值的实际应 上单调递增，所以函数f(x)没有最小值。 用，为了全面考查解题能力，题目设计采用 当a>0时，令f'(x)>0,得x> 递进式结构：第一问针对不等式恒成立问 2n受，则函数f(x)在(-，21n)上单 题，要求确定参数的取值范围，此类问题本 质上是函数最值的直接应用，解题时需根据 调递减，在(2n名，十）上单调递增，所以 具体情境灵活选择分类讨论思想或分离参 数法：第二问则挑战证明函数存在两个零 点，解题关键在于先确定函数的单调性并求 出极值，再借助零点存在定理精准定位零点 设(a)=号-n受则'(a)= 2 位置。 32 解微學典原突方清中学生教理化 利用韦达定理研究导函数中的一类双变量问题 ■云南省富源县第九中学 薛家兵 在高中数学导数的压轴题型中，双变量 因为函数f(x)有两个极值点，所以方程x 问题因涉及变量众多、关系复杂，成为高考考 一ax十1=0有两个不相等实根，则△=a2一 查的重点与难点。如何有效梳理多变量之间 4>0,解得a<-2或a>2。 的关系，将多变量问题合理转化为单变量问 由韦达定理得x1十x2=a,x1x2=1。 题，是解题的关键所在。其中，有一类问题可 f(x)-f(x2)=xi-x3-2a (x- 借助韦达定理，实现变量之间的等价转换。 这类问题通常表现为函数存在两个极值点或 r:)十21n,将a=x1+xg代入得f(x1)子 零点，并要求证明相关不等式或求解参数的 取值范围。通过韦达定理，将双变量问题转 f（x)=-xi+x+21n 3C9 化为二次方程根的问题，并利用根与系数的 又因为：=子所以f,)-fx) 关系进行消元，从而将原问题简化为单变量 函数问题，实现高效求解。本文系统梳理了 -x+x+21nm4= -xi+4lnx1。 r2 xi 韦达定理在双变量问题中的应用体系，按题 型划分为求取值范围和证明不等式两大类， 因为1<x<,所以x1<1<e 旨在为同学们提供清晰的复习思路与实用方 >2,解得 1 法，帮助其在高考中更好地应对此类问题。 由a>2,x1+ e<x1<1. 类型一、利用韦达定理消元求取值范围 令g(1)=1 -t+4lnt, <t<1,则 e 向题 g'(t)= -2 例1已知函数f(x)=x2-2ax+ -21+4=-2(t2-1) <0,所以 2lnx+1有两个极值点x1,x,且x1<x< e,求f(x1)一f(x)的取值范围。 g()在（仁1）上单调递减，故g()m 分析：若函数f(x)有两个极值点，则其 导函数有两个零点，求导后易知其导函数是 g(日）=c-是-4，g)=g1)=0 一元二次函数，利用韦达定理可得x1十x 所以f(x1)一f(x:)的取值范围为 a,x1x2=1,求f(x1)一f(x)的取值范围， oe--4. 我们需要把三个变量x1,x2,a建立关系，搭 建桥梁，把多变量问题转换为单变量问题，再 点评：利用韦达定理把复杂的双变量问 根据约束条件求出变量的取值范围，进而把 题转化为单变量问题，进而利用函数的单调 问题转化为函数在某区间上的最值问题。 性研究值域。具体步骤可概括为：首先，由极 解：由题意知，函数f(x)的定义域为 值点的存在性，转化为导函数零点所对应的 (0,+@∞)。 二次方程有实数解；其次，运用韦达定理进行 对f(x)求导得f'(r)=2(x-ax十1) 变量代换与消元；再次，构造单变量函数并分 析其单调性；最后，结合端，点值确定值域范 公瓷然燃馆我体公公含公高常然心瓷公高常公点然公高常瓷燃常公瓷常心常瓷然燃瓷常公燃含公蕊体馆点公篇 针对利用导数研究函数的极值与最值 文章深入剖析了各类题目的结构特征，基于 问题，本文系统梳理了相关题型，并将其划 结构特征进一步探讨了相应的解题策略与 分为三大类：函数极值求解、函数最值求解， 易错点，并给出了有效避开常见错误的方法 以及函数极值与最值的实际应用。针对这 与技巧。 些题型，为提升同学们对问题的识别能力， (责任编辑王福华) 33