剖析利用导数研究不等式恒成立问题的易错点-《中学生数理化》高考数学2026年5月刊

解题信款号错题类翻析中学生教理化 高三数学2026年5月 剖析利用导数研究不等式恒成立问题的易错点 ■湖北省恩施市第一中学 唐文学 ■湖北省建始县七里坪初级中学 陈娟 利用导数研究不等式恒成立问题作为高 在区间[0,1)上单调递减，在区间[1，+∞)上 中数学中的经典题型，其解题方法虽已形成 单调递增，故g(x)mm=g(1)=e一2。 较为明确的体系，常见如分离参数法、分类讨 所以实数a的取值范围为（一c∞，e一2]。 论法、放缩法等，但在实际解题过程中，同学 易错提醒：本题聚焦于参数可分离的不 们往往因方法选择不当、步骤疏漏或条件误 等式恒成立问题，其核心在于通过分离参数 判而出现丢分现象。为切实提升解题效率与 法精准求解参数的取值范围。针对解题过程 得分率，本文拟从上述三种核心方法切入，深 中的易错环节，需采取以下针对性措施：其 入剖析各方法应用中的典型易错点，并针对 一，方法选择需紧扣题型特征，即参数必须可 性归纳出应对策略，以期帮助同学们构建清 分离，避免误用其他方法；其二，构造新函数 晰的解题思路，有效规避常见错误。 时务必关注其定义域，确保在题目指定范围 一、分离参数法 内函数有定义，防止因定义域错误导致解集 分离参数法作为解决不等式恒成立问题 偏差：其三，分离参数时需严格保持不等式的 的基本策略，其核心在于通过代数变形将参 保号性，避免因符号翻转导致解集错误，确保 数与变量完全分离，进而转化为函数最值问 解集的准确性：其四，当一次求导后导函数符 题。该方法适用于结构相对简单且易于分离 号无法确定时，需对不确定部分进行二次求 参数的恒成立情形，其解题流程可归纳为三 导处理，以准确判断函数的单调性，进而确定 步：首先，基于不等式结构特征，通过移项、通 参数的取值范围。 分等操作实现参数的完全分离：其次，以分离 二、分类讨论法 后的无参表达式为基准，构建新函数并确定 针对参数无法分离的不等式恒成立问 其定义域：最后，通过求导、极值分析等确定 题，其核心在于通过函数构造与分类讨论求 新函数的最值，从而求出参数的取值范围。 解参数的取值范围。其解题流程可归纳为四 例1已知函数f(x)=e-x2一1，若 步：首先，对不等式进行整理，将其转化为变 对任意x≥0，均有f(x)≥ax,求实数a的取 量与常数分离的标准形式：其次，构造以变量 值范围。 为自变量的新函数，并对其求导以分析函数 的单调性；再次，采用分类讨论法，根据参数的 解析：已知f(x)=e-x一1，由f(x) 不同取值区间确定函数的最值，进而建立仅含 ≥ax,即c-r-1≥a,得a<号-- x 参数的不等式：最后，对各类情况下的解集进 行整合，确保参数的取值范围全面且准确。 设函数g(r)=e--1,则g'(x) 例2已知函数f(x)=(a-1)lnx, ex-1D-1+1=x-1Dc-x-1 若在定义域内，不等式∫(x)≤x恒成立，求 2 x 实数a的取值范围。 令h(x)=e-x-1,则h'(x)=e”-1。 解析：已知f(x)=(a-1)lnx,由f(x) 因为x≥0，所以h'(x)=e一1≥0，则函数 ≤x,得(a-1)lnx一x≤0。 h(x)在区间[0，十∞)上单调递增，因此 设函数g(x)=(a一1)lnx一x,则 h(x)n=h(0)=0,所以h(x)≥0。 由g'(x)>0,得x>1,所以函数g(x) g'(x)=a-1-1=a-1-z 29 中学生表理化然题皱学品结军类析 由题意知，函数f(x)和g(x)的定义域 解析：函数f(x)的定义域为(0，十∞)。 均为(0，十∞)。 因为f(x)=ae1一lnx+lna,所以 当a≤1时，a-1-x<0,即g'(x)<0, ae1-lnx+lna≥1. 故函数g(x)在区间(0，十∞)内单调递减，又 因为e≥x十1，所以e-1≥x。 g()=-a+1-=二ae+e-1,当a< 又x-1≥lnx,所以1-x≤-lnx。 e 因此f(x)=ae-1一lnx十lna≥a.x+ 1一二时，g(x)>0,故原不等式不恒成立。 1-x+lna。 设函数g(x)=ax+1一x十lna,则 当a>1时，由g'(x)>0,得x<a-1, g'(x)=a-1。 所以函数g(x)在区间(0，a一1)上单调递增， 当a≥1时，g'(x)≥0，则函数g(x)在 在区间(a一1，十∞)上单调递减，则g(x)m 区间(0，十∞)上单调递增，所以g(x)> =g(a-1)=(a-1)ln(a-1)-a+1=(a g(0)=1+lna≥1，故f(x)≥g(x)≥1，符 1)[ln(a一1)-1]，要使不等式f(x)≤x恒 合题意。 成立，即(a-1)[ln(a-1)一1]≤0，解得1< 当a<1时，g'(x)<0,则函数g(x)在 ae+1。 区间(0，+∞)上单调递减，因为lna0,所 综上，实数a的取值范围为(1，e十1]。 以g(1)=a+lna<1,故不等式f(x)≥1不 易错提醒：本题涉及含对数形式的函数 恒成立，不符合题意。 在不等式恒成立条件下求参数取值范围的问 综上，实数a的取值范围为[1，十∞)。 题。从题目结构特征分析，既可采用分离参 易错提醒：本题所涉及的不等式结构较 数法，亦可运用分类讨论法。在使用分类讨 为复杂，同时包含了对数函数和指数函数，因 论法时，需警惕以下易错点：其一，不等式变 此，在解题过程中，我们采用放缩法将对数项 形环节需确保一侧为常数，避免因变形不当 和指数项进行消元处理，从而将原本复杂的 导致后续分析偏差；其二，参数分类需严谨， 函数形式转化为更易于分析的简单形式，进 通常需从导函数零点个数、零点与定义域端 而结合分类讨论思想逐步解决问题。在使用 点的大小关系，以及零点自身大小三个维度 放缩法时，需警惕以下易错点：其一，放缩方 综合判定；其三，在各类情形中，需准确确定 法的选择需准确，常用的包括切线放缩法和 函数最值，并确保不等式在取最值时依然成 泰勒展开式放缩法，不同方法对函数特性的 立，进而推导出参数的取值范围；其四，最终 处理效果存在差异；其二，完成放缩后，需谨 需整合各类情况下的参数取值范围，确保解 慎判断等号是否成立，这直接关系到不等式 集的完整性与准确性。 的解集范围是否精确，避免因等号取舍不当 三、放缩法 导致最终结论出现偏差。 这种方法特别适用于处理包含指数函 本文聚焦于利用导数解决不等式恒成立 数、对数函数或三角函数的不等式问题。通 问题的研究，通过系统梳理将相关题型归纳 过合理运用经典放缩不等式（如e≥x十1、 为三类基础题型，其余题型均在此基础上衍 x一l≥lnx等)，可以将复杂的函数关系转 生发展。文章对这三类题型进行了深入探 化为更简单的线性形式，从而简化问题。使 究，详细剖析了各题型的内在结构特征，并以 用放缩法的关键是：①根据函数类型选择合 此为基础总结出相应的解题策略与方法，同 适的放缩式：②注意放缩方向与不等号的一 时梳理了解题过程中常见的易错点，针对性 致性；③结合导数分析放缩后的最值情况。 地提出了具体的应对措施，旨在为同学们提 例3已知函数f(x)=ae1-lnx+ 供科学的解题思路，有效减少解题过程中的 lna,且f(x)≥1恒成立，求实数a的取值范 失分情况。 围。 (责任编辑王福华) 30