从“工具到“桥梁”：高考数学导数试题的知识连通性分析与突破-《中学生数理化》高考数学2026年5月刊

如数攀青氧指的中学生款理化 从行具”到“桥梁”： 高考数学导数试题的知识连通性分析与突破 ■河南省新野县第一高级中学校 李民 新高考数学命题强调知识的整体性与综 设H(t)=t”+(1一t)",t∈[0,1]，则 合性，导数已从研究函数的孤立工具演变为 H'(t)=nt=1-(1-t)"-1]。 串联多个知识模块的核心桥梁。本文以四道 若0≤<号，则1->，1-)1> 高质量模拟题为例，深入剖析导数与数列、不 等式、三角函数、指数函数、对数函数等知识 ,可得H'()<0,H()在[0，)上单调 之间的深层连通关系。研究发现，高考导数 递减； 题通过“函数最值→数列通项”“不等式证明 函数构造”“超越方程→代数转化”等路径， 若2 <t≤1，则1一t<t,(1一t)”-1< 实现跨章节知识的有机融合。本研究揭示了 数学知识的内在统一性，并为高三复习从“模 1,可得H'()>0,H)在（经，]上单调 块分割”转向“网络建构”提供了实证依据与 递增。 学习路径。 故H()≥H(3)=(3）,所以a, 核心连通路径一、导数与数列的生成与 求和 (3) 导数、数列分属函数与离散数学范畴，在 当n=1时，亦适合上式。 教材中虽然相距甚远，但是高考题却创新性 地通过“连续函数的最值”构建起通向“离散 所以。.=（）。 数列通项”的桥梁，实现对数形结合与化归思 ②令S。=】 想的考查。 (2+1Da所以5， 例1记f(x)=sinx,g（x)=cosx, (合)+5(2)+() +…+(2n-1). F(x)=f"(x)+g(x),n∈N'。 (1)判断并证明F(x)的奇偶性。 (2)+(2m+1)(),所以gs.-3· (2)将F(x)的最小值记为am。 (2)）'+5(g)广+7()+…+(2m-1D. ①求数列{am}; ②若∑(2i+1Da:<m恒成立，求m的 (3)+(2m+1)()广°，两式相减得2s, 最小整数值m。。 (g)”+2[(合）》'+（合）广+…+（公）门 解析：(1)因为F(x)=(sinx)m+ (cosx)”的定义域为R,且F(一x)= -) [sin(-x)+[cos(-z)]=(-sin x)+ (2m+1)(2)=3+2· 1- (cosx)"=(sinx)如+(cosx)2"=F(x),所 以F(x)为偶函数。 (2m+1(2）广=5- 4+2n+1=5- 2n+5 2” 2" (2)①F(x)=(sinx)+(cosx)",n∈ N',当n=1时，F(x)=1,a1=1。 则5=10-2+5<10. 2-1 当n≥2时，令t=sinx∈[0,1]，则 故m≥10，即m的最小整数值m。为10。 cosx=1一t。 方法突破：同学们在复习过程中应有意 3 中学生表理化智皱学幸新向 识地将“利用导数求函数最值”与“数列通项 2In a-x+- 公式的探求”进行关联训练。可以设计一类 <0.即2nx<x- x “含自然数的函数族的最值问题”，观察最值 因为”+1>1，所以21n+1<”+1 n n 结果是否构成特殊数列，从而打通认知隔阂。 核心连通路径二、导数与不等式体系的 =1+1 n+=元+n+,即21n(n+1)-21nn< 互相印证与强化 1,1 不等式是导数的“天然盟友”。导数是不 nn+1 等式证明的利器，而不等式结论又常为导数 当n=1时，21n2-21n1<1+2: 分析（如放缩、估值）提供关键工具，两者构成 双向强化的关系。 11 当n=2时，2n3-21n2<2+3' 例2已知函数f(x)=21nx-x+ x 当n=3时，2n4-2n3<专+子 (a>0)。 (1)讨论∫(x)的单调性： (2)求证12+3+…+>加(”+ 当n=n时，21n(n+1)-21nn< n n 1 n 1)+2(m+Dn∈N)。 n+1 以上各式累加可得，21n(n+1)-2ln1< 解析：(1)由f(x)=2nx-x+8(x> 1+名+++++++n 0),得(x)名1“=+2x-0 1+安+++)-(1-》 对于方程-x2十2x一a=0,△=4-4a。 当△=4-4a≤0，即a≥1时，-x2+2x 21++++）- n 一a0,f(x)0,所以函数f(x)在(0， 所以1十2干2+…+、( ,1, 十)上单调递减； ->ln(n+1)+ 当△=4-4a>0,即0<a<1时，方程 2(n+1)n∈N)。 n 一x2+2x一a=0有两个不相等的实数根，设 x1=1+√1-a,x2=1-√1-a,且x1>x 方法突破：对于此类问题，同学们应建立 >0,所以当x>x1或0<x<x时，f'(x)< “导数证明不等式”的专题档案，并按不等式 0;当x。<x<x1时，f'(x)>0。故函数 形式（如指数型、对数型、三角型）和证明方法 f(x)在(0,1-√1-a),(1+√1-a,+∞) (直接构造、放缩转化、多次求导)进行分类。 上单调递减，在(1一√1一a,1十√一a)上 特别要积累如e≥x+1,lnx≤x一1等不 单调递增。 等式模型，并练习如何将它们灵活嵌入更复 综上所述，当a≥1时，函数f(x)的单调 杂的证明过程中。 递减区间为(0，+©∞)，无单调递增区间： 核心连通路径三、导数与超越函数零点 当0<a<1时，函数f(x)的单调递增区 问题的多维度攻坚 间为(1一√1-a,1十√1-a),单调递减区 涉及指数、对数、三角函数的方程是超越 方程，因为其零点无法直接代数求解，所以导 间为(0,1-√1-a),(1+√1-a,+∞)。 数成为研究此类问题的唯一系统性工具，连 (2)由(1)知，当a=1时，函数f(x)= 接了方程、函数图像与代数变形。 21nx-x+1在(0，十∞)上单调递减。 例3已知函数f(x)=e-x-1。 又f(1)=0,所以当x>1时，f(x)= (1)求y=f(x)在x=0处的切线方程； 如器数学备格算育中学生表理化 (2)若f(lnx)≥k.x-xlnx-1恒成立， 求实数k的取值范围； 0,得x1<x<2:由g'(x)<0,得0<x< (3)当a≥1时，讨论g(x)=f(x)一 x1。所以g(x)在区间(0，x1)上单调递减，在区 are0sx在区间(-元，受)上零点的个数。 间(e,受）上单调递增，故g红)<g0)=0 解析：(1)由f(x)=e一x一1，求导得 又s(经）=。于-受-1>0，所以g✉)在 f'(x)=e-1,显然f'(0)=f(0)=0,所以 切线方程为y=0。 (x,)上有唯一零点，即在(0，)上有唯 (2)因为f(lnx)=x-lnx-1≥kx 一零点。 xlnx-1x>0,所以k≤1+lnx-1nx x。 当x∈(-元，-2）时，zsin z-cosx> 令h(x)=1+lnx- 广E,则h'(x)= 0,从而g'(x)=e十a(xsin x-cosx)-1≥ e+xsin x-cos x-1。 11-Inz In z-1 又当x∈(-元，一)时，x<sin,所以 由h'(x)>0,得x>1:由h'(x)<0,得 e+xsin x-cos x-1>>e+sin'x-cos a- 0<x<1。所以h(x)在(0,1)上单调递减，在 1=e一(cosx+cosx)。 (1,十o∞)上单调递增，故h(x)mim=h(1)=1。 又cosx+cosx=cosx·(cosx+1)< 所以k的取值范围为（一©∞，1门。 0,所以e2+xsin x-cosx-1>e- (3)g(x)在区间（-π，)上有3个零 (cosx十cosx)>0恒成立，即g'(x)>0在 点，理由如下： 区间（一元，一）上恒成立，所以g(x)在区间 因为f(0)=0,所以x=0是函数f(x) 的一个零点，也是g(x)的一个零点。 (一元，一)上单调递增。 因为g(x)=f(x)-axcos x=e- a.rcos x-x-l,所以g'(x)=e+a(rsin r 因为g(-)=e专+至-1>0， 2 -cosx)-1。 8( x)=e-aπ十元-1≤e-1<0, 当x∈(-受，0)时，-drcos>0恒成 所以g(x)在区间(-，一)上有唯一 立，又由(1)知e一x一1>0恒成立，从而 零点。 g(x)>0恒成立，所以g(x)在区间 综上所述，函数g(x)在区间（一π，）上 (仁乏0)上没有零点。 有3个零点。 方法突破：对于零点问题，应形成“先定 当x∈(0，受)时g(0)=-a<0, 性（个数、大致区间），再定量（精确关系）”的 g()=e+2a-1>2-1>0. 分析框架。定性分析依赖导数绘制的函数草 图与零点定理：定量分析则需熟练掌握极值 设g"(x)是g'(x)的导数，则g"(x)= 点偏移问题的几种主流代数变形套路（如比 e+a(2sinx+xcos x),因为2sinx+ 值代换、差值代换、对称构造函数)，并理解其 xosx>0在(0，受）上恒成立，所以g”(x) 几何本质。 核心连通路径四、导数与含参问题的分 ≥0，即g(x)在(0，空）上单调递增，故存在 类讨论及临界逻辑 含参问题是导数综合题的常态，它连通 x∈(0，受)，使得g'(x)=0。由g'(x)> 了静态数学分析与动态参数变化的逻辑思 5 知识篇科学备考新指向 中学生数理化高二数学2026年5月 维。分类讨论的关键在于对“参数如何改变 零点x1,且x1∈(x2,π)。 函数形态”这一动态过程的深刻理解。 注意到x1,2x2∈(x2,π)，且f(x)在 例4已知函数f(x)=xe+asin x。 (x2,π)上单调递增。 1)当a=0时，求证：f2)>x+1: 要证明x1<2x2,只需证f(x1)< x f(2x)。因为f(x1)=0,所以只需证 (2)若f(x)>0对于x∈(0，π)恒成立， f(2x2)>0,即证2x2e+asin2x2>0。 求a的取值范围； 又(x2十1)e+acos x2=0,即a= (3)若存在x1,x2∈(0，π)，使得∫(x1) (x+1)e =f'(x2)=0,求证：x1<2x。 ,故需证2x2e2 (x2+1)e cos 2 cos x2 解析：(1)当a=0时，f(x)=xe。 sin2x2>0,即证x2e-(x2+1)sinx:>0, 要证f>x+1,只需证e一x-1>0。 x:∈(0,2). (*) x 令g(x)=e-x-1,则g'(x)=e-1。 由(1)得e>x2十1，因此xe一(x2十 当x∈(-∞，0)时，g(x)<0,g(x)单 1)sin x2>x+x2-(x2十1)sinx2=(xg十 调递减；当x∈(0，十∞)时，g'(x)>0,g(x) 1)(x2-sinx2)。 单调递增。所以g(x)>g(0)=0,故e> 设h(x)=r一in,0<x<受，则 x+1。 因此f)>x+1. h'(x)=1-cosx>0,所以h(x)在(0，)上 x (2)f'(x)=(x+1)e+acos x. 单调递增，故h(x)>h(0)=0。 令n(x)=f'(x),则m'(x)=(x+2)e 所以h(x2)>0,即x:一sinx:>0,因此 -asin x。 (*)式得证，所以x1<2x。 ①当a≥0时，由x∈(0，π)，得xe>0, 方法突破：含参问题训练应超越机械的 asin x≥0，因此f(x)>0,满足题意。 分类步骤记忆，重点思考参数的变化会通过 ②当a<0时，由x∈(0，π)，得(x十2)e 影响导函数的什么（根的存在性？根的个数？ >0,-asin x>0,因此n'(x)>0,则f'(x) 根与定义域的位置关系？)，进而影响原函数 在(0，π)上单调递增。 的什么（单调区间？极值？）。同时，要有“必 若-1≤a<0,则f'(x)>f'(0)=1+a 要性探路”“边界值检验”等策略，这是简化复 ≥0，故f(x)在(0，π)上单调递增，所以f(x) 杂动态讨论的利器。 >f(0)=0,满足题意。 通过对上述试题的深度解析，我们清晰 地看到，高考导数解答题已构建起一个以导 若a<-1,则f'(0)<0,f'()>0,因 数为核心节点，广泛连通函数、数列、不等式、 此f'(x)在(0，π)上存在唯一的零点xo,且 方程等主干知识的密集网络。命题者通过精 x,∈(0，)。当0<x<,时，f'(x)<0, 心设计“连通路径”，旨在考查同学们是否具 备融会贯通知识和迁移应用等能力。这为高 ∫(x)单调递减；当xo<x<π时，f'(x)>0, 三数学复习提出了明确的方向性要求： f(x)单调递增。所以f(x。)<f(0)=0,不 (1)从“章节复习”到“主题复习”：在完成第 符合题意。 一轮基础复习后，应打破章节界限，围绕“最 综上，a的取值范围为[一1，十o∞)。 值问题”“零点问题”“不等式证明”“含参讨 (3)由(2)知a<-1,设x0=x,则f(x) 论”等主题，将导数、函数、数列、不等式等知 在(0，x2)上单调递减，在(x2,π)上单调递增。 识整合训练。(2)强调“思维地图”的绘制： 因为f(0)=0,f(x2)<f(0)=0,f(π) 同学们在解题后，不仅要订正答案，更要绘 =πe>0,所以f(x)在(0，π)上存在唯一的 制解题“思维地图”，标明题目是如何将不同知 知织管数攀学备务播肉中学生款理化 。高考数学导数类试题考点 归类与解题策略研究 ■河南省周口市第三高级中学 李辉 面对“重能力、反套路”的新高考，导数复 当x∈(0,2)时，cosx∈(01) 习需进行战略转型。本文选用的试题突出数 学问题本质，考查创新思维，体现学科价值， 令函数u(x)=x一sinx,则u'(x)=1 突出探究性、创新性的要求，最终实现数学核 osx>0,所以u(x)在(0,5)上单调递增， 心素养的全面提升。 故u(x)>u(0)=0,即f(x)>sinx。 考点一、函数性质的综合应用 令函数o(x)=tanx一x,则o'(x)= 此类问题往往涉及函数变换、构造新函 数，以及利用已证结论进行递推证明。主要 (--o。-1.又当xe(0) 考查同学们对函数关系的深层理解和逻辑链 时，cosx∈(0,1)，则cos2x∈(0,1)，1 cos'x 的构建能力。同学们在日常学习中需注意以 下几点：①洞察结构：不要急于求导，先观察 1.+∞)，故。(x)=-1>0,所以 cos'x 题目中式子的结构特征，思考可能的构造函 数方向。②利用好“桥梁”：前面问题的结论 (x)在(0，受)上单调递增，则u(x)>a(0) 常常是解答后面问题的“桥梁”或“垫脚石”， =0,即tanx>f(x)。 要有意识地联想和应用。③书写逻辑：使用 综上可知，当x∈(o,)时，sinx< 分析法思考，用综合法（由因导果）书写，清晰 f(x)<tanx成立。 地写出“要证…只需证，因为…所以成立”。 (2)f'(x)=(xer)'=(1+a.x)e,x∈ 例1已知f(x)=xe“。 [0,2]。 1)若a=0,证明：当x∈(0，受)时， 若a≥0，则1十ax≥0对任意x∈[0,2] 恒成立，即f'(x)≥0恒成立，所以f(x)在 sin r<f(x)<tan r; [0,2]上单调递增，则f(x)m*=f(2)=2e“。 (2)求f(x)在[0,2]上的最大值； (3)已知f(x)在x=1处的切线与x轴 若a<0,令1十ax=0,则x=-1 平行，若存在x1,x:∈R,x1<x,使得f(x1) 由-}∈0,2，得a<-所以当x∈ =f(x),证明：x1e>eo 解析：(1)若a=0,则f(x)=x。 [0,-)时，f(x)>0,f(x)单调递增：当 Y￥￥Y￥Y￥￥y￥￥￥￥￥￥￥￥￥￥￥￥￥￥￥￥￥Y￥￥￥￥Y￥￥Y￥Y￥￥Y￥Y￥ 识点串联起来的，识别其中的关键连通点和 连通性问题中，规范的数学语言（代数式、逻 转化技巧。 辑符号)是保证思维清晰、推理严谨的基础。 (3)培养自我“双向推理”能力：既要训练 需强化将文字描述、图形关系精确转化为数 从条件到结论的顺向综合推导，也要训练从 学表达的训练。总而言之，面对新高考，同学 结论到条件的逆向分析（如必要性探路），更 们只有建构起这种“连通性”认知，才能真正 要练习在已知某些连通关系（如函数最值构 驾驭高考数学的深度与广度，从解题者成长 成数列)后，如何提出并解决新的问题。 为问题的探究者与知识的整合者。 (4)注重“数学表达”的精准性：在复杂的 (责任编辑王福华)