依托导数应用剖析故缩莱略-《中学生数理化》高考数学2026年5月刊

中学生表理化餐蓝学经典圣脑方法 依托导数应用 剖析放缩策略 ■湖北省襄阳市第三中学 宋勇林 函数和导数是高中数学的重要内容，也 故g(x)=f(x) 在(0，十©∞)上单调递增。 是高考中的一个重要考点，导数中的放缩问 x 题是函数与导数综合应用中的一类重要题 (3)由(2)知，当x>0时，(x-1)e+ 型，其常与数列、三角函数、圆锥曲线等知识 xsin x+cos >0,(1-)e<xsin 进行交汇考查，体现了数学知识的交叉性和 cosx。 综合性，题目难度大，对同学们的能力要求 又因为当x∈(0，+∞)时，e>x+1, 高。本文结合实例，对导数应用中的几种放 sinx<x<tanx成立，所以当x∈(0，l)时， 缩方法进行了剖析，供同学们复习时参考。 (1-e<zsincos)sin 题型一、将目标函数放缩成直线 sin x>1>(1-)(1+) 这一类放缩公式主要有：当x∈R时，e x2+1 x2+1 ≥x+1,e≥ex；当x∈(0，十o∞)时，lnx x(1-x)(1+x)_x(1-x) x-1,ln(1+x)≤x,sinx<x；当x∈ (1+x) 1十x (o,)时，x<anx 所以当x∈(0,1)时，8inx>1一 x 1十x 点评：在含有三角画数的导数大题中，二 例1已知函数f(x)=e一ax 级结论“sinx<x(x>0)”和“x<tanx cosx,x∈(0，+o∞)。 (1)求证：当x∈[0，+o∞)时，sinx≤x: (0<x<)”是常用的放缩公式。这类问题 (2)判断g(x)=f（x》的单调性，并说明 常需要先化简整理，再放缩成与题意相关的 x 函数，最后进行不等式的证明与转化。 理由； 题型二、将目标函数放缩成曲线 (3)证明.sinx1一2」 x>1+2x∈(0,1)。 这一类放缩常见的不等式有：当x∈[0， 1 解析：(1)令F(x)=x一sinx,则F'(x) +o∞)时，e≥x+1,e≥2x2+x+1:当 =1一cosx≥0，所以F(x)在x∈[0，十∞) 上单调递增，从而有F(x)≥F(0)=0,即 x∈(0，+e)时nx≥1，lnx≤，号(2 x sinx≤x。 -1),lnx≤x2-x等。 (2)g'(r)=f'x）·x-f(x) 例2已知函数f(x)=e一x。 (1)求函数f(x)的极值； 令h(x)=f'(x)·x-f(x)=x(e-a 1 +sin x)-(e-ax-cos x)=(x-1)e"+ (2)若对任意x>0,f(x)>2ax+1, rsin x十cosx,x>0,则h'(x)=x(e+ 求a的取值范围。 cosx)>0,所以h(x)在(0，十∞)上单调递 解析：(1)令f'(x)=e一1=0，得x=0。 增，故h(x)>h(0)=0。 所以当x<0时，'(x)<0,函数f(x) 所以当x>0时，x·f'(x)-f(x)>0, 单调递减：当x>0时，f'(x)>0,函数f(x) 38 强赞数壁典突壁方青中学生表理化 单调递增。 故f(x)的极小值为f(0)=1,无极大值。 ,易知u(x)在(0,1)上单调递增，在 (2)对任意>0，有f(x)>a+1. 十∞)上单调递减，故当x∈(0,1)U(1, +∞)时，u(x)<u(1)=0,即f'(x)<0。 e-x-2ar2-1>0 所以函数∫(x)的单调递减区间为(0,1) 和(1，十∞)，无单调递增区间。 1 设g(x)=c-x一2ar-1x>0,则 (2)令函数g(x)=1nx-2(x-1 2,则 x+1 g'(x)=e-1-ax,x>0。 当a≤0时，g'(x)>0,g（x)单调递增， g-0 故g(x)>g(0)=0,成立。 注意到g(1)=0,故当0<x<1时，lnx 当0<a≤1时，令h(x)=g'(x),则 h'(x)=e一a>0,g'(x)单调递增。又因为 <2+当1时n≥2 x+1 g′(0)=0，所以g′(x)>0,g(x)单调递增， 先证明x∈(1，+∞)的情况：此时问题 故g(x)>g(0)=0,成立。 等价于要证1nx--1≥2(x-1Dx2-1 e x+1 当a>1时，若0<x<lna,则h'(x)= e一a<0,g'(x)单调递减。又因为g'(0)= 之0，故只需证异>，即证1 e 0,所以g'(x)<0,g(x)单调递减，故g(x) 2e一。构造h(x)=x十1) (x+1)2 <g(0)=0,不成立。 ，则h'(x)= 2e 综上可得，a的取值范围为（一o∞，1]。 二十1<0，放h(x)=h1)=2<1. 点评：本题第(1)问是利用导数研究函数 2e e ∫(x)的单调性即可求极值：第(2)问是由题 下面证明x∈(0,1)的情况：此时问题等 意可得，对任意x>0。一x一2ar-1>0, 价于要证1nx-1<2(x-D--1 x+1 e 设后x)=c--2ar2-1,分u≤0,0< 0,故只需证 异，即证1“. 2e a1及a>1讨论即可求解，若用前面的放 显然h(x)=h(1)=2<1. e 缩公式则能快速得出答案。 故原命题得证。 题型三、指对跨阶同构放缩 ,点评：本题第(2)问是利用“Inx 这一类放缩常见的不等式有：e一ln(x 十1)≥1（当x=0时取等号），e-1nx≥ 2x-1(0<x<1)”和“1nx≥2-1D(x≥ x十1 x+1 (e-1)x十1（当x=1时取等号）。 1)”将对数函数巧妙地进行放缩，大大减少了 例3已知函数f(x)=1n 计算量，体现了“多思少算”的数学思想。类 r-10 (1)求函数f(x)的单调区间： a地运有(-)<n<2 x+1,z （2)证明：f(x)>+1 ∈(0,1)”和“ 2+≤1n≤2(-） x+1 解析：(1)由题意知，函数f(x)的定义域 x∈[1，十o∞)”。 是(0,1)U(1,+∞)。 题型四、其他类型的放缩 求导得f'(x)= r-Inx 1 1 例4已知函数f(x)=nx一x”,x∈ (x-1)2o R,其中n∈N"且n≥2。 令u(x)=1-1 (1)讨论函数f(x)的单调性； 一一1nx,则4(x)= (2)设曲线y=f(x)与x轴正半轴的交 39 中学生表理化餐皱学经鼻翠整方法 点为P,曲线在点P处的切线方程为y= 故对于任意的正实数x,都有f(x) g(x),求证：对于任意的正实数x,都有 g(x)。 f(x)g(x); (3)不妨设x1≤x:,由(2)知g(x)= (3)若关于x的方程f(x)=a(a为实 (n一n)(x一xo)。设方程g(x)=a的根为 数)有两个正实数根x1,x2,求证：|x:一x1 x4,则x= <n+2 n-n十x。 当n≥2时，知g(x)=(n-n)(x-xo) 解析：(1)由f(x)=nx一x”,x∈R,得 在R上单调递减，由(2)知g(x:)≥f(x:)= f'(x)=n一n.x"-1=n(1-x"-1),其中n∈N a=g(x),可得x2≤x。 且n≥2。 同理，设曲线y=f(x)在原点处的切线 下面分两种情况讨论： 方程为y=h(x),则h(x)=nx。当x∈(0， ①当n为奇数时，令f'(x)≥0，得一1≤ 十∞)，f(x)一h(x)=一x"<0,即对于任意 x≤1：令f'(x)≤0，得x≤一1，或x≥1。所 的x∈(0，+o∞)，f(x)<h(x)。 以函数f(x)在（一∞，一1），(1，+∞)上单调 递减，在[一1,1]上单调递增。 设方程h(x)=a的根为x,则x=a ②当n为偶数时，令f'(x)≥0，得x≤ 因为h(x)=nx在（一o∞，十∞）上单调 1;令f'(x)≤0，得x≥1。所以函数f(x)在 递增，且h(x)=a=f(x1)h(x1),因此 (一∞，1)上单调递增，在[1，十∞)上单调递 Ii<T1o 减。 由此可得，x2一x1<x&一x= 综上所述，当n为奇数时，函数∫(x)在 n-n2 (-∞，一1)，(1，十∞)上单调递减，在[一1， a十x0o n 1-n 1]上单调递增。 因为n≥2，所以2"1=(1十1)"-1≥1+ 当n为偶数时，函数f(x)在（一c∞，1）上 单调递增，在[1，十∞)上单调递减。 C。-1=1+n-1=1,所以有2≥n六=x。 (2)设点P(xo,0),则x。=n。 所以x-x1=x:一x<二 十x。 因为f'(x。)=n一n,所以曲线y= f(x)在点P处的切线方程为y=∫'(x。)(x 十2，故1x:-x1<1- 1-n a十2。 -xo),即g(x)=f'(xo)(x-xo)。 ,点评：本题考查导数的综合应用及不等 4F(x)=f(x)-g(x)=f(x)- 式的证明，难点是第(3)问中不等式的证明， f'(x。)(x一x。),则F'(x)=f'(x) 解答时要注意利用导数的几何意义求得切线 f'(xo)。 方程，结合题中曲线y=f(x)在原，点处的切 又n∈N"且n≥2，所以幂函数y=x”-1 线和第(2)问中的切线对|x2一x1|进行放缩， 在(0，十∞)上单调递增，故f'(x)=一nx”- 本质是以直代曲。 十n在(0，十∞)上单调递减，所以F'(x)在 总之，对于函数与导数综合应用中的放 (0,+∞)上单调递减，且F'(x。)=0。 缩技巧，需要根据题目将e,lnx,sinx放缩 所以当x∈(0，x。)时，F'(x)>0:当x∈ 成直线、二次函数、反比例函数等，有时导数 (x。,十∞)时，F'(x)<0。 的放缩问题和同构结合在一起考查，难度比 从而F(x)在(0，x。)上单调递增，在 较大，因此，同学们要熟记常见的几种放缩 [xo,十∞)上单调递减，所以F(x)有最大值 不等式，多思考这类问题的变形技巧，这样 F(xo)。 不仅可以促进对相关导数知识的理解和掌 所以对于任意的正实数x,都有F(x)≤ 握，还可以培养良好的数学品质和数学核心 F(x,)=0。 素养。 (责任编辑王福华) 40