例读必要性探路法在导数含参问题中的应用-《中学生数理化》高考数学2026年5月刊

解题信创新题滤提潮酒中学生教理化 高三数学2026年5月 例谈心要性路法在导数含参▣题中的应用 ■江苏省盐城市京师实验学校 张凤卿 近几年高考数学对函数与导数板块的考 2 则h'(x)= x+1一e一1。因为h”(x)= 查呈现综合化、复杂化趋势，突出体现了学科 核心素养的要求。导数中的含参恒成立问题 (x+1)一e<0,所以'(x)单调递减。 2 是核心难点，参数的不确定性增加了分类讨 由h′(0)=0，可知h(x)在（一1,0）上单调递 论的难度。必要性探路法是破解此类问题的 有效方法，其核心在于“全称命题对特殊点成 增，在(0，十∞)上单调递减，所以h(x)mx= 立”，通过取特殊值锁定参数范围再验证充分 h(0)=0,即h(x)≤0恒成立。 性，能够缩小讨论范畴，降低思维难度，而精 点评：本题依托“等号成立端点”快速锁 准选择特殊点是关键。本文以节选的模考题 定参数，体现了端点效应的典型考法——将 为载体，从端点效应、极值点效应与整数点效 端，点的等号特征与洛必达法则结合，简化极 应三个视角展开剖析，希望能为同学们的复 限计算，避免对参数的烦琐讨论。 习备考提供参考。 例2已知函数f(x)=ln(x+1)+ 一、端点效应：从区间端点切入，锚定参 acos z,a∈R。若对任意x≥0，有f(x)≥0 数边界 恒成立，求整数a的值。 解题步骤：第一，识别区间端点的特殊性 解析：要使对任意x≥0，有1n(x十1)十 (如函数值为0或导数易求)：第二，代入端点 acos x≥0恒成立。 椎导参数的必要条件：第三，构造辅助函数， (1)端点探路（必要性）： 通过单调性与最值分析完成充分性验证。 取左端点x=0→f(0)=a≥0。 例1已知函数f(x)=aln(x+1)+ 当a=0时，取区间内特征点x=π→ f(π)=ln(π+1)一a≥0→aln(π十1)1.5。 x,a∈R。当a=2时，设函数g(x)=f(x) 若a为整数，则a的可能值为0,1。 一(e十x),若函数g(x)≤mx一1恒成立， (2)充分性验证： 求实数n的值。 解析：要使对任意x>一1，有21n(x+1) 当a=0时，f(x)=ln(x+1)≥ln1=0, 显然恒成立。 e一mx十10恒成立。 (1)端点探路（必要性）： 当a=1时，f(x)=ln(x+1)十cosx, 取区间（一1，十∞）的特征端点x=0(不 下面分段证明：对任意的x≥0，f(x)≥0。 等式取等的端点)，代入得g(0)=一1≤一1， 若x∈[0，]，则1m(x+1)≥n1=0 等号成立。 cosx≥0，所以f(x)>0(取等条件不能同时 由洛必达法则得，lim 2ln(x+1)-e+1 成立)：若r∈[管2]，则1n(x+1)≥1n(受十 2 =1im十-e=1。当x>0时，m2 1)>In 2.cos x>cos 2>cos 2π=-1 一2 21n(x+1)-e+1,若x0*,m≥1：当-1< 所以f(x)≥0（取等条件不能同时成立）：若 x<0时，m≤21nx+1)-e+1,若x0, x∈[2，+∞)，则ln(x+1)≥ln3>1,cosx≥ 一1，所以f(x)>0(取等条件不能同时成立)。 n≤1。故m=1是唯一可能的取值。 ,点评：本题采用“双端点探路”策略，突破 (2)充分性验证： 了单一端点无法锁定参数的局限，是对端点 令函数h(x)=2ln(x+1)一e一x+1, 效应的创新考查。解题的关键在于结合三角 19 中学生表理化然皱学创新摩视猜题 函数的特殊角选取特征端，点，同时关注函数 在不同区间的性质，并通过合理分段放缩完 f1)=1-2a=0,得a=分 成充分性证明。 (2)充分性验证： 二、极值点效应：从导数零点切入，精准 当a-时fx)xnx-合e+ 2 定位参数 解题步骤：第一，预判函数的极值点；第 f(x)=1nx十1-x,(x)=1-1,故 二，利用极值点的性质推导必要条件：第三， f'(x)在(0,1)上单调递增，在(1，十∞)上单 验证参数满足全局成立的充分性。 调递减，所以f'(x)mx=0,故f(x)在（(0， 例3已知f(x)=e-mx-nsin z 十∞)上单调递减，所以f(x)f(1)=0。 (m,n∈R)。当m=n时，f(x)≥0在(0，π) ,点评：本题直接通过极值，点的导数为0 上恒成立，求正整数m的最大值。（参考数 锁定参数，体现了对极值，点效应的深度考查， 据：e≈2.2，e≈4.8) 此类问题参数往往唯一，验证过程简洁高效。 三、整数点效应：从整数点切入，确定整 解析：(1)极值点探路（必要性）： 令m=n,则f(x)=e-n(x十sinx)。 数解范围 解题步骤：第一，分析参数的整数属性， 取snx的极值点x一受，代入得r(受) 选取区间内关键整数点；第二，代入整数点缩 小参数的范围；第三，逐一验证范围内的整 。-m(经+)≥0，解得m< ≈1.87。 数，确认充分性。 +1 例5已知函数f(x)=e-ax一2在 故正整数m的最大值可能为1。 (0,十∞)上有零点，求整数a的最小值。 (2)充分性验证： 解析：(1)整数点探路（必要性）： 当m=1时，f(x)=e2-x-sinx≥e -x-1,x∈(0，π)。令h(x)=e-x-1, 由f(x)=0得a=e-2 x∈(0，π)，则h'(x)=e2一1>0恒成立，所以 取整数点x=1,得a=e一2≈0.718； h(x)在(0，π)上单调递增，则h(x)>h(0)= 取整数点x=2得a=c,2≈2.695。 0,所以f(x)>0在(0，π)上恒成立。 2 故整数a的最小值可能为1。 当m=2时，取x=开，f(纤）=。- (2)充分性验证： 当a=1时，f(x)在(0，+∞)上单调递 im开≈2.2-1.57-1,414三-0.78 增，且f(1)=e-3<0,f(2)=e2-4>0,由 0,不满足条件。 零点存在定理知，f(x)在(1,2)上有零点。 ,点评：本题结合三角函数的极值特征选 ,点评：本题通过整数，点快速划定参数的整 取探路点，是极值点效应的典型考法。此类 数边界，避免了对连续参数的复杂分析，是整数 问题的核心是识别“函数值对参数最敏感的 点效应的基础考法。解题的关键在于选取简单 极值，点”，通过该，点快速压缩参数范围，再通 整数，点，利用函数值直接约束参数的整数范围。 过反例排除不符合条件的参数。 综上，必要性探路的三类细分形式契合导 例4已知函数f(x)=xlnx一ax+ 数题的命题规律，其“以特殊点破题、以逻辑闭 a,a∈R。若f(x)≤0在(0，+∞)上恒成 环解题”的核心思想为导数含参问题的求解提 立，求a的值。 供了清晰路径。同学们在备考过程中，要结合 解析：(1)极值点探路（必要性）： 典型题目强化“精准选点一锁定边界一充分验 求导得f'(x)=lnx+1-2ax。 证”的三阶解题思维，切实提升导数压轴题的 由f(1)=0且x=1为等号成立点，得 求解效率与准确性。 (责任编辑王福华) 20