深度剖析知识本质，突破函数零点问题-《中学生数理化》高考数学2026年5月刊

深度剖析知识本质 ■山东省垦利第 函数零点问题作为新高考的热点题型之一， 其难点在于对函数零点存在定理的灵活运用。 该定理主要考查形式包括求函数零点判断零点 所在区间、确定零点个数及由零点情况求参数 等。本文通过追根溯源，系统梳理解题策略 与技巧，旨在为突破此类问题提供有效路径。 题型一、直接求函数零点 此类问题属于基础题型，涉及的函数形 式通常较为简单，其核心在于通过解方程的 方法直接求解函数零点。 例1已知函数f(x)= (logx,x>0, 判断函数g(x)=2f2(x)+ x十2，x≤0， f(x)一3的零点个数。 解析：令g(x)=0,即2f(x)十f(x)一 3=0:解得)=-是或f0x)=1. 若f(x)=-号，当x>0时，有10g,x -一三，此时无解：当x≤0时，有x十2 一解得=一子 2。 若f(x)=1,当x>0时，有1log:x|= 1,解得x=之或x=2:当x<0时，有x十2 =1,解得x=-1。 综上所述，函数g(x)=2f(x)+f(x)一 3有4个零点分别是-子-1，日2。 ,点评：本题聚焦于分段函数及其与二次 函数复合情境下的函数零点个数求解问题。 解题的核心思想是通过令函数表达式等于 零，直接解方程即可确定函数零，点，从而避免 复杂的函数性质分析，凸显了代数方法在解决 此类问题时的直接性和实用性。 题型二、判断函数零点所在区间 此类问题是函数零点存在定理的直接应 用，其核心逻辑在于：若函数在区间端点处的 饼概数愿星骨中学生表理化 突破函数零点问题 中学 杨天宇 函数值异号（即f(a)f(b)<0),则可判定该 函数在此区间内必然存在零点。这一判定方 法不仅体现了零点存在定理的简洁性与普适 性，更通过符号运算的直观性，为判断函数零 点所在区间提供了高效可靠的解题路径。 例2已知函数f(x)=lnx+2x-5 的一个零点x。∈(k,k十1)，求整数的值。 解析：对函数f(x)求导得f'(x)=1十 x 2。因为x>0,所以f'(x)>0恒成立，则函 数f(x)在区间(0，+∞)上单调递增。 由函数零点存在定理知，已知函数f(x) 的一个零点x。∈(k,k十1)，则f(k)<0且 f(k+1)>0。 因为f(2)=ln2-1<0,f(3)=1n3+1 >0,所以函数f(x)的零点在区间(2,3)内， 故k=2。 ,点评：本题考查已知函数零，点位于区间(k, 十1)内，确定整数k的值的求解方法。解题 时，首先，通过求导判定函数在定义域内单调递 增，进而确定函数有且仅有一个零点；其次，依 据零点存在定理，通过计算f(2)<0且f(3)> 0,得出f(2)f(3)<0,由此可断定函数零点必位 于区间(2,3)内；最后，根据区间端点k与十1 的对应关系，确定=2为所求整数解。 题型三、讨论或确定函数零点个数 此类问题通常聚焦于无参或含参情境下 函数零点个数的讨论。解题时，以函数零点 存在定理为核心依据，通过求导分析函数的 单调性，进而确定其极值点和极值，由此初步 勾勒出函数的图像轮廓。在此基础上，结合 函数的性质与图像特征，便能准确推断出函 数的零点个数。 例3已知函数f(x)=lnx一ax,讨 论函数f(x)的零点个数。 解析：由题意知，函数f(x)的定义域为 (0,十∞)，对函数f(x)求导得f'(x)= r-a=I-az 1 17 中学生表理化鳞学创新视滑题 当a≤0时，1-a.x>0,即f'(x)>0,所 以函数f(x)在定义域内单调递增，此时有 f(1)=-a≥0，f(e)=lne°-ae°=a(1- e)。因为a≤0，所以1一e>0,则f(e“)= a(1一e“)<0,即f(1)·f(e)<0,所以函数 f(x)在区间(0，+∞)内有1个零点。 当a>0时，令f'(x)>0,即1-a.x>0, 解得x<分，所以函数f)在区间(0，)上 a 单润递增，在区同（日十∞）上单调递说，所 以f(x)=f(）=-na-1. 若一lna一1<0，则a>三，此时函数 e f(x)没有零点： 若lna-1=0,则a三。，此时函数 f(x)有1个零点； 若-1na-1>0则0<a<,此时函数 f(x)有2个零点。 综上所述，当。>。时，函数f)设有零 点：当a<0或a=时，函数fx)有1个零 点；当0<a<一时，函数f(x)有2个零点。 点评：本题聚焦于含参函数的零点个数 讨论，作为典型函数零，点问题的代表，其解法 呈现多样化特征。常见的解题策略主要有两 种：一是分离参变量法，即将函数转化为= g(x)的形式，再在直角坐标系中观察y1=a 与y2一g(x)两函数图像的交点数量，交点个 数即为原函数的零，点个数；二是参数分析法， 通过讨论参数变化对函数单调性及极值（最 值)符号的影响，逐步勾勒出函数图像的大致 轮廓，进而确定零点个数。在方法选择上，建 议客观题优先采用分离参变量法以提升解题 效率，而主观题则推荐参数分析法以展现完 整的逻辑推导过程。 题型四、已知函数零点情况，求参数问题 此类问题属于函数零点的直接应用范 畴，其典型表现形式包括：已知函数零点求解 18 参数值、已知函数零点所在区间确定参数范 围，以及已知函数零点个数确定参数范围等。 在解题时，需先明确问题所属题型类别，进而 选择与之对应的求解方法。 例4已知函数f(x)=ae-x2+3 有三个不同的零点，求实数a的取值范围。 解析：令f(x)=0,即ae一x2+3=0。 分离参数，得a=x一3 e。 设g（x)三。，求导得g(x) 2x-(x2-3)(x+1)(x-3) e 令g'(x)>0,解得一1<x<3,则g(x) 在区间（一∞，一1），(3，十∞)上单调递减，在 区间（一1,3）上单调递增。所以g(x)的极小 值为g(一1)=-2e,极大值为g(3)=。 当x·一o∞时，g(x)→十o∞；当x→十0∞ 时，g(x)→0；当|x|>3 6 时，g(x)>0。作出函数 3 g(x)的图像，如图1所示。 =g(x) 由图可知，要使函数 f(x)=ae2-x2+3有三 图1 个不同的零点，则实数a 的取值范围为(0) ,点评：本题在已知函数存在三个零，点的 前提下，旨在求解参数的取值范围。鉴于该 问题属于客观题范畴，为简化解题流程，可优 先选择分离参数法，亦可选择参数分类讨论 法进行处理。无论选用何种方法，均需深入 分析函数的单调性、极值符号及函数本身的 符号特征，以此为基础勾勒出函数图像的大 致轮廓，进而精准确定参数的取值范围。 综上所述，本文从函数零点存在定理这 一知识本源出发，聚焦函数的单调性与极值 (最值)等核心要素，系统梳理了函数零点问 题的常见题型。通过深入剖析每种题型的结 构特征，提炼出相应的解题策略与技巧，旨在 帮助同学们全面掌握此类问题的解决思路， 实现从知识理解到解题能力的有效提升。 (责任编辑王福华)