浅谈三次函数的切线问题-《中学生数理化》高二数学2026年5月刊

解题篇创新题追根溯源 高二数学2026年5月 中学生数理化 浅谈三次函数的切线问题 ■河南省信阳市第二高级中学 杨进 普通高中教材2019年人教A版《数学 x0)(x一x1)。 选择性必修二》第87页正文指出：形如∫(x) b =ax3十bx2十cx十d(a≠0)的函数应用广 因为≠一品，所以，≠ 泛！紧接着在例3、例5、例6中均以三次函 不妨设a>0,若x。<x1,则当x<x。或 数为载体利用导数研究它的单调区间、极值 x>x1时，F'(x)>0,当x。<x<x1时， 和最值问题。纵观近几年新课标全国卷，每 F'(x)<0。 年三次函数都未缺席，虽然是以中档题型来 故F(x)在（一∞，x),(x1,+∞）上分 考查的，但它是一种熟而不俗，俗中有变，变 别为增函数，在(x。,x1)上为减函数。 中有新的常青树！下面以它的切线浅谈一 而F(x。)=0,故F(x1)<0。 二，希望能起到抛砖引玉的作用。 而当x>十∞时，F(x)>十∞，故F(x) 有两个不同的零点。 例1（多选题）下列关于三次函数 故f(x)的图像与切线y=f'(x。)(x f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0)(x∈R)叙 x。)十f(x。)有且只有两个不同交点。 述正确的是()。 同理可得，当x。>x1时，f(x)的图像与 A.函数f(x)的图像一定是中心对称图形 切线有且只有两个不同的交点，故C正确。 B.函数f(x)可能只有一个极值点 对于D,设过点(x。,f(x。))的切线的切 C当，≠-品时f(x)在x=,处的切 点为(s,f(s))。 线与函数y=f(x)的图像有且仅有两个交点 易知过点(x。,f(x。)的切线方程为 f(s)=f'(xo)(s-xo)+f(xo). D.当，≠一会时过点(f,》的 故f(s)一f(x。)=f'(x。)(s一x。)。 切线可能有一条或者三条 整理得到(s一x)[a(s2十sx0十x)十 解析：本题考查三次函数的对称性及切 b(s十x。)+c]=f'(x。)(s-xo)。 线的条数。 故s=x。或a(s2十sx。十x)十b(s十x。) 对于A,由三次函数是中心对称图形，且 十c=f'(x。)。 中心的横坐标是它二阶导数为零的点，可得 下面分析a(s2十sx。十x)十b(s十x。)十 f(-品+x+f(一品-)为定值，故函数 c=f'(x)的解。 整理可得as2+(ax。十b)s-2ax一bxo f(x)的图像一定是中心对称图形，A正确。 =0,是关于s的二次方程。 对于B,f'(x)=3ax2十2bx十c,若 △=(ax。+b)2+8a2x8+4abxo=(3axo f(x)有极值点，则'(x)有变号零点。而 +b)>0。 f'(x)的图像为抛物线，故△=4b2-12ac> 而ax6十(ax。十b)x。-2ax6-b.x。=0, 0,f'(x)有两个变号零点，f(x)有两个极值 故方程as2+(a.x。十b)s一2a.x8一bx。=0有 点，B错误。 且只有一个异于x。的实数根。 对于C,f(x)在x=x。处的切线方程为 则过点(x,f(x)的切线有且只有两 y=f'(xo)(x-x6)+f(x。)。 条，故D错误。 令F(x)=f(x)一f'(x。)(x一x。) 正确答案为AC。 f(x),则F'(x)=f'(x)-f'(x。)=3ax2+ 点评：求过，点P(a,b)的切线条数本质上 2bx十c-f'(x。)。当x=x。时，F'(x0)=0。 是研究方程根的个数，可以设切点为(x。, 所以F'(x)=f'(x)-f'(x。)=3a(x f(x。),则切线方程为y一f(x。)= 35 中学生表理化然题皱学新隔除程预酒 f(x。)·(x一x),将点P的坐标代入切线 函数P(x)有三个零点，易求得P'(x)= 方程可得b一f(x。)=f'(xo)(a-x。)。这一 12x2-12x=12x(x-1)。 关于x。的方程有几个实数解，过点P就可 P'(x)>0→x<0或x>1: 以作出函数y=f(x)图像的几条切线。通过 p'(x)<0台0<x<1。 本题C、D的解析可以给出一个二级结论便 从而P(x)在（一∞，0）上单调递增，在 于选择题、填空题作答。 (0,1)上单调递减，在(1，十∞)上单调递增。 结论：一般地，过三次函数y=f(x)图 故p(x)有极大值9(0)=t十3，极小值 像的对称中心作切线！，则坐标平面被切线和 p(1)=t+1。 函数的图像分割为四个区域，有以下结论，简 所以由三次函数图像特征知9(x)有三 记为“内1上2外3”。 个零点的充要条件是p(0)(1)=(t十3)· (1)过区域I、V内记为“外区”的点作 (t+1)<0,解得-3<t<-1。 y=f(x)的切线，有且仅有3条： 故实数t的取值范围是（一3，一1）。 (2)过区域Ⅱ、Ⅲ内记为“内区”的点及对 (3)显然函数y=f(x)的对称中心是原 称中心作y=f(x)的切线，有且仅有1条； 点，且函数f(x)在原点处的切线方程为y= (3)过切线1或函数y=f(x)图像（除去 一3x,如图2，A、B、C三点与函数y=f(x) 对称中心)上的点作y=f(x)的切线，有且 的图像的位置关系如图3所示。 仅有2条。 这一结论如图1所示。 y=f(x) 2条 2 3条 1条 图1 例2已知函数f(x)=2x3-3x。 (1)求f(x)在区间[一2,1]上的最大值； 图2 图3 (2)若过点P(1,t)存在三条直线与曲线 由图可知过点A、B、C分别可作曲线 y=f(x)相切，求实数t的取值范围； y=f(x)的3条、2条、1条切线。 (3)过点A(-1,2)、B(2,10)、C(0,2)分 点评：若知道有关结论，则第三问就很快 别存在几条直线与曲线y=∫(x)相切？（只 得解。 需写出结论) 例3(2024年宁夏银川二模)已知点 解析：(1)答案略。 P(1,m)不在函数f(x)=x3一3mx的图像 (2)设过点P(1,t)的直线与曲线y= 上，且过点P仅有一条直线与f(x)的图像 f(x)相切于点Q(a,2a一3a),则该切线的 相切，则实数m的取值范围为( )。 方程为y-(2a3-3a)=(6a2-3)(x-a)。 将点P(1,t)代入上式，整理可得4a3-6a+ Ao,)u(,2) t+3=0。① B.(-∞，0U(分，+∞） 因为过点P存在三条直线与曲线y= f(x)相切，所以关于a的方程①有三个不同 c.(o,)u(+) 的实数解。 设P(x)=4x3-6x2+t+3(x∈R),则 D.(-.)U(3,+) 36 数學新膏中学生教理化 解题篇创新题追根溯源 解析：解法1：点P(1,m)不在函数f(x) 因为(m,n)(m>0)在切线上，所以n =x3-3m.x的图像上，则f(1)=1一3m≠ (x8-3xo)=(3x6-3)(m-xg)。 m即m子子 整理得2x8-3mx6+3m十n=0。 因为过点(m,n)(m>0)可作曲线y= 设过点P的直线与f(x)=x3一3n.x的 x3一3x的三条切线，所以关于x。的方程 图像相切于Q(t,t3一3mt)。 2x8一3mx十3m十n=0有三个实数根。 则切线的斜率=f'(t)=3t一3m= 设g(xo)=2x8一3mx号十3n十n,则 t3-3mt一m,整理可得2-3t+4m=0。 t-1 g′(x。)=6x。一6mx0=6x。(x。-m)。 则问题可转化为g(t)=2t3一3t+4m 由g'(x。)=0,得x。=0或m。 只有一个零点，且g'(t)=6t2一6t。 已知m>0,由g'(x。)=6x。(x。-m)> 令g'(t)=0,可得t=0或t=1。 0,得xo>m或x。<0。 当t∈（一o∞，0）时，g'(t)>0,则g(t)单 由g'(x。)=6x。(x。-m)<0,得0< 调递增； x。<n,此时g(x。)单调递减。 当t∈(0,1)时，g'(t)<0,则g(t)单调 所以g(x。)=2x8-3mx。十3m十n的极 递减： 大值点为x。=0,极小值点为x。=m。 当t∈(1，+∞)时，g'(t)>0,则g(t)单 故2x一3mx。十3m十n=0有三个实数 调递增。 根的充要条件为 g(0)>0, 即 故当t=0时，g(t)取极大值，当t=1 g(n)0, 时，g(t)取极小值。 (3m十n>0, 解得一3n<n<n3一 要使g(t)=2t一3t+4m仅有一个零 -m3+3m+n<0。 1 点，只需g(0)·g(1)>0→m<0或m>4: 3n。故选D。 解法2（优解）：显然f(x)图像的对称中 故选B。 心是原点，易求得f'(x)=3x一3，所以 解法2（优解）：显然f(x)图像的对称中 f(x)在原点处的切线为y=一3.x。要使过 心是原点，易求得f'(x)=3x一3，所以 点(m,n)(m>0)可作曲线y=x3一3x的三 f(x)在原点处的切线为y=一3nx。要使过 条切线，则点(m,n)(m>0)在外区，即切线 点(1，m)可作曲线一条切线，则点(1，m)在 y=一3x与y=f(x)的图像之间，结合图像 内区，结合图像可知当m>0时，需m> 可知一3m<n<f(m),故选D。 f),得m>当m<0时，需m<-3m ,点评：当遇到这种题型时，利用结论解题 要比传统方法更快！ 得m<0。综合可知选B。 例5(2024年广东深圳一模)已知函 例4(2023~2024年高三上学期广 f(x)=a(x-x)(x-x:)(x-x;)(a> 东汕头阶段练习)若过点(m,n)(m>0)可作 0),设曲线y=f(x)在点(x:,f(x:))处切线 曲线y=x3一3x的三条切线，则()。 的斜率为k:(i=1,2,3),若x1,x2,x3均不相 A.n<-3m 等，且k2=一2，则1十4k,的最小值为】 B.n>>m-3m 解析：瞅一眼像三条切线，再细看不一定 C.n=m3-3m或n=-3m 过同一点，此法失灵！通性通法出手，求出函 D.-3m<n<m-3m 数的导数，可得k:(i=1,2,3)的表达式，由此 解析：解法1：设切点为M(x6,yo),则 yo=f(x。)=x8-3x0。 化简出十-·合=一2说明 f'(x)=3x2-3,故f'(x。)=3x8一3，且 k,>0,?>0,继而利用基本不等式，即可求 切线方程为y一y=(3x一3)(x一x,)。 得答案。 37 解题篇创新题追根溯源 中学生数理化高二数学206年月 已知f(x)=a(x-x1)(x-x2)(x- xg)(a>0),故f'(x)=a[(x-x1)(x-x) 26+套+)≥26+2层)=18 +(x-x)(x-x3)+(x-x3)(x-x1)]。 故k1=a(x1一x)（x1一xg),k2=a(x 当且仅当 即k1=6,k,=3时， 一x3)(xg-x1),kg=a(x3一x1)(xg一x2)。 1 1 则+1+1 k1k2 1 k1k2kga(x1一x2)(x1一xg) 等号成立。 1 1 故k1十4k:的最小值为18。 a(a:-x)(a:-a(a:-)(a:-x) 通过以上几例，同学们对三次函数的切 (x￥-x2)+(x1-x)+(x2-x1) =0。 线已不再陌生，虽说现在高考明确淡化技巧、 a(x-x2)(x2-x3)(xs-x1) 反套路出题，但我们不刻意去追求技巧，也不 能忽略现有事物的特征！罗增儒教授说过： 我们可以通过对有限的典型考题的学习，去 由k=一2，即k:=a(x2-x3)(x2-x1) 理解那种解无限道题的数学机智！茫茫题 <0,知x2位于x1,x之间。 海，寻觅根源，悟其道方能提升我们的数学能 不妨设x1<x2<x,则k1>0,kg>0。 力和学科素养！ 故，十4，=2(，十4k:)(+安) (责任编辑徐利杰) (上接第34页) (其中两块小型三角形、一块中型三角形和两 整数组成的一个n阶方阵，其各行各列及两 块大型三角形)、一块正方形和一块平行四边 条对角线所含的n个数之和（简称幻和）相 形。现从七巧板中取出两块，已知取出的是 等，例如“3阶幻方”的幻和为 6 三角形，则两块板恰好是全等三角形的概率 15。现从如图4所示的3阶幻 为一。 方中任取3个不同的数，记“取 解析：两块小型三角形记为a,b,一块中 到的3个数之和为15”为事件 9 型三角形记为c,两块大型三角形记为d,e。 A,“取到的3个数可以构成一 图4 取出的是三角形的样本有(a,b),(a,c),(a, 个等差数列”为事件B,则 d),(a,e),(b,c),(b,d),(b,e),(c,d),(c, P(B|A)=( )。 e),(d,e),共10个。在这10个样本中，两块 板恰好是全等三角形的样本有(a,b),(d,e), c D. 共2个：故所求概车P=品-行 解析：根据题意可知，A={(8,1,6),(3, 5,7),(4,9,2),(8,3,4),(1,5,9),(6,7,2), 点评：本题以七巧板为背景，考查样本空 (8,5,2),(4,5,6)},n(A)=8,AB={(3,5, 间与条件概率。利用缩减样本空间法求条件 7),(1,5,9),(8,5,2),(4,5,6)},n(AB)=4, 概率的步骤：(1)将原来的基本事件全体2缩 所以P(B1A)=n(AB2=4=1 减为事件A,原来的事件B缩减为事件AB: n(A)=8=2,则P(B (2)求出事件A和事件AB所包含的基本事 A=1-P(B1A)=1-号故选D. 件数：8)利用P(B1A-求得站采 点评：本题以幻方为背景，考查条件概率 四、幻方 的性质。利用条件概率的性质，转化为对立 例4“幻方”最早记载于我国《大戴 事件的概率，从而巧妙求解问题。 (责任编辑赵待) 礼》，n阶幻方(n≥3，n∈N')是由前n个正 38