切线放缩：规避繁杂运算的利器-《中学生数理化》高二数学2026年3月刊

中学生数理化 解题篇创新题追根溯源 高二数学2026年3月 切线放缩：规避繁杂运算的利器 ■四川省成都市龙泉中学校 张昌金（正高级教师） 切线放缩不等式来源于人教A版(2019 ≥(a十】)(Ina十1nx)恒成立，则正数a的 年)《选择性必修第二册》P99第12题：e≥ ex x十1，当且仅当x=0时取等号。由此不等 最大值为( )。 式还可推出lnx≤x一1对x>0恒成立，当 A.e B.e" c.e+ D.1 且仅当x=1时取等号。我们把e≥x十1和 lnx≤x一1(x>0)称为切线放缩不等式，简 解析：e+是≥(a+)na+lnr)等 称切线放缩。它们在解决导数中的求最值或 取值范围、证明不等式和恒成立问题时有重 价于x(e+）≥(ax+是)lnax)=lnax)· 要的应用，尤其可有效规避“隐零点”带来的 (e+)。易知函数f(x)=x(e+)在 难解和繁冗。 一、利用切线放缩求最值或取值范围 (0,十∞)上是增函数，所以x(e+)>≥ 例1已知当x≥0时，不等式e (ax+)ln(ax)等价于f(x)≥fn(ax), ax一1≥0恒成立，求实数a的取值范围。 解析：因为e一1≥x,所以不等式e一 即x≥ln(ax)=lna+lnx。 ax一1≥0，即e-1≥ax(x≥0)恒成立等价 于是不等式e+>(a+)na十 于x≥ax(x≥0)，则a≤1。故实数a的取值 lnx)恒成立等价于lna≤x-lnx对x>0 范围是（一∞，1]。 恒成立，由切线放缩知x一lnx≥1，所以 变式1已知当x∈R时，不等式e lna≤1，解得0<a≤e,答案为A。 ax一l≥0恒成立，求实数a的取值范围。 二、利用切线放缩证明不等式 解析：由例1的解题过程知x≥ax(x∈ R),解得a=1,故实数a的取值范围是{1}。 例3人教A版(2019年)《选择性必 变式2若lnx十ax十1≤xe对x>0 修第二册》P104第18题：已知函数f(x)= 恒成立，求实数a的取值范围。 e-ln(x+m),当m≤2时，求证f(x)>0. 解析：变形得a≤xe一lnx一1 证法1：f(x)=e-ln(x十m)(x> 恒成立。 一m)。当m≤2，x∈(-m,十c∞)时，ln(x十 而 ze-In x-1 e*+ins-In x-1 m)≤ln(x十2)，故只需证明当m=2时， x f(x)>0。 （x+1nx+1)-lnx-1=1,当且仅当x十 当m-2时f(x)-。-2在(-2， lnx=0时取等号，解得a≤1。故实数a的 +∞)上单调递增。又'（一1）<0，'(0)> 取值范围是（一∞，1]。 0,故∫'(x)=0在（一2，十∞）内有唯一实根 例2（重庆巴蜀中学2025届高三下 x0,且x。∈(-1,0)。 1 当x∈(-2，xo)时，f'(x)<0; 学期3月月考试题)对任意的正数x,e+十 e 当x∈(x0,十∞)时，f'(x)>0。 42 器脑数新接攀膏中学生表理化 从而当x=x。时，f(x)取得最小值。 由切线放缩知e1≥x1十1，lnx, b≤x:一1 由f'(xo)=0,得e=1 +2:In(o+2) ×6 。因为存在一条直线与曲线y=e和y =x0 1 =1nx+么均相切，所以一1十≤1，即≤ 故f(x)≥f(x）=。十2+x。 a (xo+1)2 2(取等号的条件是x1=0,x2=1),此时存在 x0+2 >0 直线x-y十1=0与曲线y=e和y=lnx 综上，当m=2时，f(x)>0,从而原不等 +b均相切，切点分别为(0,1)，(1,2)，故m 式成立。 >2。 证法2：（切线放缩）f(x)=e一ln(x十 则使不等式恒成立的最小整数m的值 m)(x>-m)。当m≤2，x∈(-m,十c∞) 是3。 时，ln(x十m)≤ln(x十2)，故只需证明当 注：本题的常规解法是：设直线（与曲线 m=2时，f(x)>0。 因为e≥x十1，ln(x十2)≤x+1,且两 f(x)=ae的切点为P(x1,ae1),与g(x) 式不能同时取等号，所以e一ln(x+2)>(x =alnx十b的切点为Q(x2,alnx2十b),则 十1)一(x十1)=0，故当m=2时，f(x)>0, 由f'(x1)=g'(x2)=ko,得ae1=a= 从而原不等式成立。 aln z:+b-ae 1 点评：用切线放缩证明此题过程简捷，规 一，整理得e= x2-x1 避了“隐零点”的存在性讨论，也规避了“隐零 点"方程c=2ln(,+2)=-,的应 -In x:,aln x:+6-a-a(z:-z) 即 a 用，可以看出利用“隐零点”来解此题难度 =e十x1-x1e1+1。 较大。 令h(x)=e十x一xe十1，则h'(x)=1 三、利用切线放缩解决其他问题 一xe。令h'(xo)=1-xoe0=0,则xoe0= 例4(2025年深圳模拟题)已知曲线 1。故h(x)在(0，x。)上单调递增，在(x。, y=e-l与曲线y=alnx十a(a>0)只有一 +)上单满递减。又（分）=1-子c> 个公共点，则a=()。 B.1 C.e D.e2 0h(号）=1-c<0,故∈（日号）。 解析：由切线放缩得e-1≥x,lnx十1≤ 因此h(x)mx=h(xo)=e0十x。-xoeo十1 x,当且仅当x=1时取等号，所以a=1, 1 eo十xo,则2.1≈e十 选B。 变式已知a≠0，函数f(x)=ae, ≈2.6，即（台）∈2.12.6 g(x)=alnx十b,若存在一条直线与曲线 所以使不等式2<m恒成立的最小整数 y=f(x)和y=g(x)均相切，则使不等式 a b m的值是3。 <m恒成立的最小整数m的值是一。 点评：“切线放缩”解法显然具有很强的 解析：“已知a≠0，函数f(x)=ae, 优越性，规避了e=1, -,x1=-In x:,aln x: g(x)=alnx十b,存在一条直线与曲线y= ∫(x)和y=g(x)均相切”等价于“存在一条 十b-a-a(x一)等较难的代换和运算。 直线与曲线y=e和y=1nx十么均相切” 例5已知函数f(x)=e-ax十b, 43 中学生表理化然氨学新鼻隋源 a∈R,b∈R。 -1(<x<1) (1)若f(x)在点(0，f(0)处的切线方 程为2x十y一1=0，求a,b的值： 由对勾函数性质得2<，十<号故 (2)当a=0时，若函数f(x)≤2e p(xo)>1>0,即h'(x)>0。 1 lnx在2，+o∞）上恒成立，求实数b的取 因此(x)在[公，十)上单调递增， 值范围。 解析：(1)a=3,b=0。过程略。 (2)将恒成立的不等式转化为b≤e 1nx,令(x)=e-xnz(c≥2），求导后 故b≤c十n2,实数6的取值范国为 可得h'(.x)=e-lnx-1。 思路一：令9(x)=e-lnx-1,求导后， 思路二：令p(x)=e一x 结合零点存在定理和p(x)的单调性可证得 1(≥2)， h(x)>0,由此可得h(x)=h(分)，由6≤ 利用导数可证得p(x)>0,由此可得e> x十1，采用放缩法可证得h'(x)>0,由此可 h(分)可得结果。 得h(x)=h(号)，由b<h(侵)可得结果。 方法一：当a=0时，f(x)=e十b。 方法二：当a=0时，由f(x)≤2e* f(x)≤2e-xlnx,得b≤e一xlnx恒 xlnx,得b≤e-xlnx对x∈ 成立。 [2,+∞)恒 设h()=e-zlnx(≥).则h'(x) 成立。 设h(x)=e-xnx(c≥）则n'(x) =e-lnx-1。 令p(x)=e-lnx-1,则p'(x)=e =e-lnx-1。 令g(x)=e-x-1(≥2)，则9'(x) 因为y=e 在[2，十)上单满递增， =。-1≥e-1>0,gx)在[2+)上单 y=在[，十)上单调递减，所以g() 调递增，故x)(分)=e->0。 在[2，十∞)上单调递增。 因此当xe[十e)时，e2--1>0 又因为'(）=e-2<0,g1)=e 即e>x+1。 故lnx=ln(x-1十1)<lne1=x-1, 1>0,所以3x,∈（1）小使得g(x,)=0 即h'(x)=e-1-lnx>x-(x-1)=1 即e=。 当xe[时gx)<0: 0,A)在[合十e)上单调递增，故h)≥ ,1 当x∈(x,十∞)时，P'(x)>0。 -e+2ln2. 故p()在[日上单酒递减，在… 故b≤心+之n2,即实效b的取值范国 十∞)上单调递增。 px)≥x)=e0-ln-1=+ 为(-ee+2m2] 点评：本题考查导数几何意义的应用、恒 44 器脑数新接攀膏中学生表理化 成立问题的求解。求解恒成立问题的基本思 路是通过参变分离的方式将问题转化为b≤ x+1)>0。故h(x)=g'(x)在(-1， 1 h(x)恒成立，则b≤h(x)mm,结合零点存在 +∞)上单调递增。 定理或采用放缩法判断h(x)的单调性，即可 又因为g'(0)=0,所以当x∈（一1,0） 得到最值，点。 时，g'(x)<0;当x∈(0，十o∞)时，g'(x)> 例6已知函数f(x)=lnx十(1 0。 因此g(x)在（一1,0）上单调递诚，在(0， a)·x+1(a∈R)。 (1)讨论函数f(x)的单调性； 十∞)上单调递增，g(x)≥g(0)=1。 (2)若x>-1,不等式f(x+1)<e一 所以a<1,a的取值范围为（一∞，1）。 (a一1)x一2(a一1)恒成立，求实数a的取值 方法二（切线放缩）：因为f(x)=lnx十 (1-a)x十1，f(x+1)<e-(a-1)x-2(a 范围。 解析：(1)当a≤1时，f(x)在(0，十∞) -1)恒成立，所以1n(x+1)十(1一a)·(x十 1)+1<e-(a-1)x-2(a-1),即a<e 上单调递增，当a>1时f(x)在(0，。上 ln(x+1)恒成立。 单调递增，在（二十）上单调递减。过 因为e≥x十1，ln(x+1)≤x,所以e一 ln(x十1)≥1，当且仅当x=0时取等号。 程略。 所以a<1,a的取值范围为（一∞，1）。 (2)方法一：因为f(x)=lnx+(1一a)x 切线放缩应用很广，题目中如果含有e +1,f(x十1)e-(a-1)x-2(a-1)恒成 和1nx,非常有必要试一试切线放缩方法。 立，所以ln(x+1)+(1-a)(x+1)+1<e 此方法在解选择题和填空题时可以放心使 -(a-1)x-2(a-1),即a<e-ln(x十1)。 用，解答题中可先简证切线放缩不等式再使 令g(x)=e-ln(x+1),且x>-1,则 用。需要提醒的是，利用切线放缩求最值，务 g'(x)=e"- 1 必要考虑取等号的条件。 x十1 (责任编辑徐利杰) 令h(x)=g'(x),则h'(x)=e十 (上接第41页) 错解：如图1，给4个区域A、B、C、D涂 由分步计数原理知，共有5×4×4×3= 色可分四步完成： 240(种)方法。 剖析：给C涂色有4种方法，给D涂色 不一定有3种方法(B、C同色时，D有4种涂 法)。C区域的涂色直接影响D区域的涂色 A B 方法，但分步时未予考虑。 正解：分三步：①给A涂色有5种方法； D ②给B涂色有4种方法；③当C与B异色 时，C有3种方法，D有3种方法，共9种方 法，当C与B同色时，C有1种方法（与B同 图1 色)，D有4种方法。由计数原理知，共有5× ①给A涂色有5种方法； 4×(9+4)=260(种)方法。 ②给B涂色有4种方法； 评注：计数涂色种数是学习和巩固两个 ③给C涂色有4种方法（与A不同色）； 原理的有效载体，因此，在各级、各类考试中 ④给D涂色有3种方法（与B、C不同色）。 常能看到其靓影。 （责任编辑徐利杰) 45