例谈八省联考试题中蕴含的对称性思想-《中学生数理化》高二数学2026年5月刊

中学生款理化餐驱蕴学细新滑源 例谈八省联考试题中蕴含的对称性思想 ■江南大学理学院 谢广喜 2025年12月教育部门组织的八省联考 一、置换对称 试题，同学们反映难度较大。这里我们不具 例1（八省联考第3题）已知a>0,b 体讨论试卷的难易程度，只是发现其中有不 ≥0瓜+则2+2的最小位 1 1 少试题可以从对称的角度来思考或解决。事 实上，与对称有关的试题在高考数学试题中 为()。 反复出现，值得同学们高度重视。所语对称， A.4 B.22C.√2 D.1 是表达式（或图像）作一定的变换后而保持不 解析：由于这道题相对简单，我们这里并 变的一种性质（这个变换就称为对称变换）， 不想严谨地去求解它。如果注意到问题中两 高中数学中主要表现为置换（交换）对称、齐 变量a,b交换之后式于不变，a,b具有置换 次对称、平移对称等。对于任意有意义的x, 对称特点，可猜测a=b时取最小值（必须注 y,如果表达式f(x,y)总有f(x,y)=f(y, 意：只是可能，不是必然的)。代回已知条件 x),即交换x,y,表达式不变，那么我们称字 等式v西-古+古得a=6=厄，此时g2 1 母x,y对于表达式f(x,y)具有置换（交换） 对称性。所谓齐次对称，不妨以三个变量的 十0g21。而1恰是选项中的最小值，于 情形为例来说明，若对于任意非零实数入，有 是本题的正确答案为D。 f(入x,入y,入之)=入"f(x,y,之)，则称表达式 评注：需要注意的是，即使变量是具有置换 f(x,y,之)是n次齐次对称的，比如我们很熟 对称特，点，有时问题取得目标结果的相应条件 悉的①3a+26,②2x-3y+422 也并不是a=b的情形，例如下面一道题。 xy+2y之+3x.x (2020年天津卷第14题)已知a>0,b> 个十等都是具有齐次对称性 0=1则十元+。6的装小位为一 的表达式，特别是齐次分式的表达式（②、 ③)，可将其中所涉及的所有变量（为具体简单 常规解法：已知a>0,b>0,ab=1,则2a 起见，也仅以三个字母x,y,为例)，定义为 十1+8，=a+b+8 一个空间直角坐标(x,y,x),称√+y+ 26a+b 2 +a十6≥2=4，当且 为该点到坐标原点的距离（或模），我们有重要 枚当6=1且=2。>0，即a十6= 结论：只要x2十y2+x”≠0，则取√/x十y十 时取等号。容易得到取等号的条件之一为 为大于零的任意实数，不影响齐次分式表达式 |a=2+√3， ②的最后结果，这也正是很多齐次分式不等式 即所求的最小值为4。 b=2-√3， 证明时常有的类似措辞“由题意，不妨取 可能有同学容易想到：本题有对称的条 √x+y+2=1”等的由来。 件，采用例1的方法以为a=b=1时取最小 42 解数华新跨翠器贾中学生表理化 值5，结果却是错的。对称性表现在哪呢？ 的图像（此处略），结合题意，易知本题的正确 a=2-3, 答案为B。 其实，取等号的一个条件为 我们 b=2+√3。 评注：本题以隐含的偶函数为例考查了 容易发现，这两个取等号条件关于直线y=x 翻折对称性、参数分离、导函数应用等基础知 对称（但不在直线y=x上），本题条件中a,b 识，发现g(x)是偶函数是非常重要的一步。 置换对称，取得目标结果时却α≠b。 例3（八省联考第11题，多选）已知 二、中心对称与轴对称 正四棱锥P-ABCD的底面边长为1，高为h, 中心对称或轴对称情境在高中数学中是 该正四棱锥的顶点P在正方体ABCD 极其常见的，例如二次函数、正态分布密度函 AB,CD1的内部（包括表面），则下列说法 数等（轴对称）；三次函数、正切函数等（中心 正确的是( )。 对称)；正弦、余弦函数（既是中心对称，又是 A.h的取值范围是(0,1] 轴对称)，也是近年来高考数学反复考查的热 B.若正四棱锥P-ABCD的侧棱长为 点，值得同学们高度关注。 则h-2 3 2 例2（八省联考第8题）已知函数 fx)=/e(2x-1),x>0 C.当点P在正方体ABCD-AB1C1D g(x)=f(x)+ 的上底面A1B,C,D,中心时，正四棱锥P k(x+1),x<0, f(一x),若y=g(x)恰有4个零点，则实数 ABCD外接球的表面积为 4 k的取值范围是( )。 D.当点P在正方体ABCD-A1B,CD A.(-∞，1) B.(4e,+o) 的内切球球心时，正方体ABCD-A,B1CD 的内切球与正四棱锥P-ABCD的公共部分 C.（1,4e) D.(1,十o∞) 的体积为器 解析：我们注意到函数g(x)=f(x)十 解析：本题的正确答案为ACD,我们这里 f(一x)是偶函数，定义域不包括0。原问题 仅重点讨论D选项。注意到当点P在正方体 可等价于当x>0时，g(x)=f(x)+f(一x) ABCD-A1B,CD,的内切球球心时，点P恰 有两个零点，即e(2x一1)+k(-x十1)=0 为正方体的中心，并且正方体六个面中的每两 有两个不同的正数解。显然x=1不是方程 个对面恰好关于点P对称，正方体ABCD 的根，于是参数分离得=。（2r二1(x>0, x-1 AB,CD1被分割为六个全等的以点P为顶 x≠1)。记h(x)=e(2r1D(x>0,x≠1D. 点的正四棱锥，则以点P为球心的内切球恰 x-1 好被这样的六个正四棱锥六等分。于是，正方 则问题转化为h(x)=k在(0，十∞)上有两 体ABCD-A1B1C1D1的内切球与正四棱锥 个不同的根。又'(x)=23(x> (x-1)2 P-ABCD E的公共部分的体积为后×专x· 0,x≠1)，易知当x∈(0,1)时，h(x)单调递 (分)广'=无（其中为正方体的内切球半径）· 减，当x∈(1,2)时，h(x)单调递减，当x∈ 易知D选项正确。 (,+∞)时，h(x)单调递增。而当x·0 联系1：(2025年全国I卷第4题)若点(a, 时，h(0)=1,当x从左侧逼近于1时，函数 o)a>0)是函数y=2ian(x-否)的图像的一 值趋于负无穷，当x从右侧通近于1时，函数 个对称中心，则a的最小值为( )。 值于正无穷，h(受)=4e>1。可画出A(x) B c 43 解题篇创新题追根溯源 中学生数理化高二数学2026年月 简解：利用y=tanx的对称中心为 错误，D正确。对f(x)求导得f'(x)=6x· (经，0)(k∈D,根据题意可令x一吾-经，即 (x一a),进一步判断A正确，B错误。于是 3 2 本题的正确答案为AD。 +受>0，很显然，当长=0时a取最小 a- 三、平移对称 所谓平移对称，我们可以从大家很熟悉的 值a的最小值为5，本题的正确答案为B。 函数图像（例如f(x)=sinx)来理解它，容易 联系2：(2024年全国I卷第18题)已知 发现，此时有f(x+2π)=sin(x十2π)=sinx, 函数f(x)=1n22十ax+bx-1D 二者图像完全重合。当然，有时候（比如定义 域仅是实数集的真于集)平移对称也可理解为 (1)若b=0,且f(x)≥0，求a的最小值； 图像的核心特征不变（例如水平平移时，函数 (2)证明：曲线y=f(x)是中心对称图形： 的零点个数（仍在定义域内），最大值、最小值 (3)当且仅当1<x<2时，f(x)>一2， 等不变)。 求b的取值范围。 例4（八省联考第9题，多选）已知数 简解：(1)、(3)与本文主题联系不大，此处 据x1,x2,…,x。的平均数为x(x≠0)，将这 详细解题过程略，仅给出答案：(1)a的最小值 组数据分别加上它们的平均数，得到一组新 为-286的取值范阔为[号+) 的数据x1十x,x2十x,…,xm十x,则新数据 与原数据相比()。 (2)注意到函数f(x)的定义域为(0,2)， A.极差相同B.平均数不同 据此待测对称中心的横坐标为x。=1,进而 C.方差不同D,中位数相同 探索f(1一x)十f(1十x)是否为常数。 解析：我们容易发现，新数据是原来的数 1一x+a(1- f(1-x)+f(1+x)=Ini+x 据纵向平移|x|个单位的结果(x>0,向上平 x)+6·（-x)+1n+x+aa+x)+b· 移：x<0,向下平移)，很显然，这种平移不改 1-x 变数据的离散程度，且极差不变，但平均数、 x3=2a,确实为常数，于是曲线y=f(x)是 中位数也移动了x|个单位。所以本题的正 中心对称图形，对称中心为点(1，a)。 确答案为AB。 评注：如果中心对称函数的定义域只有 例5（八 C 一个不定义点，例如y=】 ,那么对称中心的 省联考第17题) A 如图1，在三棱柱 横坐标就是不定义的那个值，进一步结合图 ABC-ABC 像，易知对称中心为(0,0)。如果定义域为有 中，∠BAC= 界的区间（如(a,b)或[a,b]),那么对称中心 90°，AB=AC, 的横坐标为这个区间的中点。 联系3：(2024年全国Ⅱ卷第11题，多 ∠A1AB A ∠A1AC,O是 选)设函数f(x)=2x3一3ax2+1,则( 图1 BC的中点。(1) A.当a>1时，f(x)有三个零点 求证：平面BCC1B,⊥平面A1AO:(2)若 B.当a<0时，x=0是f(x)的极大值点 A1OL底面ABC,且直线AA1与底面ABC C.存在a,b,使得x=b为曲线y= 所成角为60°，D是棱BB1的中点，求平面 f(x)的对称轴 AC1D与平面ABC夹角的余弦值。 D.存在a,使得点(1，f(1))为曲线y= 解析：(1)证明过程略。 f(x)的对称中心 (2)结合(1)，如图2，可知OA1,OA,OB 简解：任意一个三次函数（定义域为R) 两两垂直，于是我们以O点为坐标原点，OA 都有一个对称中心，但不存在对称轴，易知C 为x轴，OB为y轴，OA1为之轴，建立空间 44 解题篇创新题追根溯源 高二数学2026年5月 中学生数理化 直角坐标系。 点（√2，√3），椭圆的下顶点为E。 取AB=AC= (1)求椭圆C的方程。 2,则A(1,0, (2)过右焦点 0),B(0,1,0) F:(2,0)的直线1与 C(0,-1,0)。 椭圆C交于A,B两 C 但此时 点（点A在点B的上 A1,B1,C1点的 B 方)，与y轴交于点P 坐标并不像直 图2 (点P在点E的下 棱柱那样，很容 方)，Q为点P关于原 易将xOy平面的点的坐标平移一个之分量， 点的对称点，QB交x 就可以直接得到相应的点的空间坐标。如果 轴于点R,设△PBQ, 图3 充分注意到AA=BB=CC,AA,与底面 △BFQ,△AF,Q的 ABC所成角为60°，易知AA11=2,进而 面积分别为S1,S,Sa。 OA1=√22-1=√3，则A1(0,0,3), ①若直线L的斜率为2，求S,十5的值。 AA1=OA1-OA=(0,0,√3)-(1,0,0)= ②是否存在直线I,使Q,R,F,A四点 (-1,0,3)。也即AA=BB=CC= 共圆？若存在，试判断直线1的条数；若不存 (-1,0,√3)，则OB=OB+BB1=(0,1,0) 在，请说明理由。 +(-1,0,3)=(-1,1,√3)，即B1(-1,1, 8+ 解析：(1) =1(解答过程略)。 4 √3)，进而易得C1(-1,一1，W3)。 (2)①此时直线方程为y=2(x一2)，将 记平面AC,D的一个法向量为n=(x, 其与椭圆方程、+=1联立消去x(注：我 y,x),则有n·AC=0且n·AD=0,易求 得一个n=(35,3,7)。 们这里利用纵坐标表示线段主要是为了充分 利用题中所给出的有关宇母的相对关系，减 取平面ABC的一个法向量为n1=(0, 少不必要的讨论)得9y+8y一16=0。设 0,1),则可得平面AC1D与平面ABC夹角的 余弦值为品设-7得 A(x1),B(y),充分注意到十S是 S2+S3 关于面积的齐一次分式，且△PBQ,△BF,Q, 评注：利用空间向量法研究立体几何问 △AF:Q三个三角形等高，于是可得到 题，首先是在建立恰当的空间直角坐标系基 S+S,IPBI+IAF:I IPBI+IAF:I 础上，给出问题中各个，点的空间坐标（进一步 S:+S;IBF:+AF:I AB 的处理就可以结合问题的具体要求程序化地 这个分式又是关于相同斜率的线段齐次分 推进了)。对于直棱柱，我们可以很容易得到 S,+S=y十4+y,(*)进一步 xOy平面内，点的坐标，也可得到与其平行的 式，立刻有S+S y1一y2 平面内对应点的坐标。然而对于斜棱柱，就 可将()式化为容易利用韦达定理代入的形 不是这么简单了，我们要充分抓住平移失量 式，易得S+S 4+(-8) AA=BB,=CC,从而快速解决这个问题。 S,+S 四、齐次对称 √(-8)-4×(- 例6（八省联考第18题）如图3，已 710 知稻因c,若+ 20 b* =1(a>b>0)的左、右焦 ②存在1条直线（解答过程略）。 点分别为F1(一2,0)、F2(2,0),且椭圆C过 (责任编辑徐利杰) 45