正确理解全概率公式与贝叶斯公式-《中学生数理化》高二数学2026年5月刊

中学生数理化 解题篇经典题突破方法 高三数学2026年5月 正确理解全概率公式与 贝叶斯公式 ■河北省张家口市第一中学 冯晓红 在概率统计中，全概率公式与贝叶斯公 C,“选到完全不会的题”为事件D。 式是“因果推断”的核心工具。前者“由因求 果”，将复杂结果拆解为多个原因的概率叠 则P(B)= 2P(C)=1 ,P(D)= 49 加；后者“执果索因”，用结果反推各原因的可 PAB)=1.PA1C)=号，PAD)= 4。 能性。二者相辅相成，共享“样本空间划分” 由全概率公式可得P(A)=P(B)· 的核心前提——事件组需互斥且穷尽所有可 P(AB)+P(C)P(AC)+P(D)P(AID) 能。全概率公式计算结果事件的总概率，贝 1 叶斯公式则依托此结果反推原因的概率，形 ×1+×+×}0 成完整的因果推断闭环，共同构成概率推断 点评：这类题型的核心特征：事件A的 的基础框架。下面按题型分类，结合例题拆 发生依赖于多个“来源”（如不同工厂、不同批 解解题方法。 次、不同供货商)，每个来源的占比（前提事件 一、全概率公式题型 概率)和来源下A的发生概率（条件概率）均 全概率公式是用来求一个事件发生的总 已知。解题时直接按“划分来源→代入公式” 概率的，它的基本步骤：通过分类讨论，先算 的步骤操作即可。 出每个先决事件A:的概率P(A:),以及在每 题型2：阶段划分型 个先决事件A:成立的情况下事件B的概率 例2某学校有A、B两家餐厅，王同 P(B|A:),最后通过公式算出事件B的概 率P(B)。 学第一天去A、B两个餐厅的概率分别是号 题型1：来源划分型 和号。如果第一天去A厅，那么第二天去 例1某次测试由8道四选一的单选 题组成。学生小胡有把握答对其中4道题， A管厅的概率为号：如果第一天去B餐厅， 且在剩下的4道题中，他对2道有思路，其余 2道则完全不会。若小胡对每道有思路的题 那么第二天去A餐厅的概率为号。则王同 答对的概率为2，对每道不会的题答对的概 学第二天去A餐厅的概率为( )。 率为，则当他从这8道题中任抽1道题作 8 B.17 答时，能答对的概率为」 c D号 解析：设“小胡从这8道题中任选1道题 解析：由题意设“王同学第一天去A餐 且答对”为事件A,“选到有把握答对的4道 厅”为事件A1,“第二天去A餐厅”为事件 题”为事件B,“选到有思路的2道题”为事件 A2,“第一天去B餐厅”为事件B1,“第二天 32 解登餐来方青中学生表理化 去B餐厅”为事件B:。 的，事件A:取到的零件为丙车床加工的，事 则P(A,)=,P(B)=号P(A:A) 件B:取到的零件是次品。 5 6 5 3 ，P(AB1)=4。 则P(B1A)=100P(B1A:)=100: 5。 P(BA)= 3 则根据全概率公式，得P(A2)=P(A1)· 100° 3 P(Ag|A1)+P(B1)P(A,|B1)= P(A1)= 5 0P(A)=A 0，P(A)=1。。 号×告-号 由贝叶斯公式可得P(A1|B)= P(A B) P(A)P(B A) 故选C。 P(B) P(AP(BIA k=1 ,点评：当事件A的发生需要经过多个连 3 6 续阶段（如“抽奖→再抽奖”“检测→复检”“传 10×100 18 球·得分”)，且每个阶段的结果会影响下一 .6 ，4 ×53、 。3 47 10×100+10×10010100 阶段时，可按“阶段”划分样本空间，用全概率 因此，若取到的零件是次品，则它是甲车 公式串联各阶段概率。解答这类题型的关键 是厘清事件的先后逻辑，避免混淆阶段顺序。 床加工的概车为}号 二、贝叶斯公式题型 故选C。 贝叶斯公式是用来求一个事件的条件概 题型2：概率修正型 率的，它的基本思想是：利用已知的结果反推 例4李老师一家要外出游玩几天，家 原因的可能性。 里有一盆花交给邻居帮忙照顾，如果这几天 它的一般形式：P(B:|A)= P(AB) 内邻居记得浇水，那么花存活的概率为0.8； P(A 如果这几天内邻居忘记浇水，那么花存活的 P(A|B:)·P(B:) P(A) 概率为03。假设李老师对邻居不了解，即 其中，A是已知的结果，B:是可能的原 可以认为邻居记得和忘记浇水的概率均为 0.5,几天后李老师回来发现花还活着，则邻 因，P(B:)是原因发生的概率，也叫作先验概 率。P(A|B:)是在原因B:发生的条件下， 居记得浇水的概率为一。 结果A发生的条件概率，P(A)是结果发生 解析：设事件B表示“邻居记得浇水”，B 表示“邻居忘记浇水”，A表示“花还活着”。 的总概率，可以用全概率公式求出。P(B|A) 由题意得，P(B)=0.5,P(B)=0.5, 是在结果已知的条件下，原因发生的条件概 P(AB)=0.8,P(AB)=0.3。 率，也叫作后验概率。 由贝叶斯公式可得P(B|A)= 题型1：基础追湖型 P(BP(A B) 例3有甲、乙、丙3台车床加工同一型 P(B)P(AB)+P(B)P(AB) 号的零件，加工的次品率分别为6%、5%、3%， 0.5×0.8 8 加工出来的零件混放在一起。已知甲、乙、丙3 0.5×0.8+0.5×0.311° 台车床加工的零件数分别占总数的30%、 总之，全概率公式是贝叶斯公式的“桥 40%、30%。任取一个零件，若取到的零件是 梁”，贝叶斯公式是全概率公式的“逆用”。全 次品，则它是甲车床加工的概率为()。 概率公式是“多因一果”的汇总，即已知各前 A.器 器c D.10 3 提条件的概率，求结果事件的概率。贝叶斯 公式是“一果多因”的追溯，即已知结果反推 解析：记事件A1:取到的零件为甲车床 原因，需用贝叶斯公式，二者不可混淆。 加工的，事件A2:取到的零件为乙车床加工 (责任编辑徐利杰) 33