拓展3 条件概率、全概率公式及贝叶斯公式9种常见考法归类讲义（71题）-2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第三册

【考点通关】2025-2026学年高二数学高频考点与解题策略(人教A版2019选择性必修第三册) 拓展3 条件概率、全概率公式及贝叶斯公式9种常见考法归类（75题） 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 考点一 条件概率的定义及计算 （一）利用定义求条件概率 （二）缩小样本空间求条件概率 考点二 包含事件的条件概率问题 考点三 相互独立事件的条件概率问题 考点四 概率的乘法公式 考点五 条件概率的性质及应用 考点六 全概率公式的计算 考点七 全概率公式解决实际问题 （一）产品质检 （二）游戏获胜问题 （三）普查疾病 考点八 贝叶斯公式的应用 考点九 全概率公式与数列的综合 1、一个概念三个公式 条件概率 条件概率是理解并进行复杂概率运算的基础，乘法公式、全概率公式和贝叶斯公式是条件概率的应用和拓展.条件概率的本质是缩小样本空间后的事件概率，通过古典概型(或其他概型)，抽象概括成条件概率的概念（定义式） 注：条件概率定义式反映了“原”样本空间的与缩小后的样本空间的之间的关系. 条件概率概念的建立要抓住“事件”和“空间”进行分析，要分析“条件”是必然性还是“随机”性，是以“条件”重构的样本空间还是在原样本空间中运用“条件”.因此，“事件”“空间”和“条件”是概念建立的关键词. (1)对条件的理解：第一，从缩小样本空间的角度上看，在条件“已经发生”的基础上，样本空间缩小了，是在缩小了的空间上用概率模型或概率计算方法求解概率.第二，从概率之间的相互联系分析，在事件发生的条件下，事件发生的概率又与在原样本空间上事件发生的概率有关系，正因为此时的是事件在原样本空间发生的概率，因而事件在原样本空间里不是“必然发生”的事件，不是“发生过了”的事件，而是随机事件. (2)对和的分析.学生容易混淆和，认为它们都是“事件发生了，事件也发生了”，实际上，它们有着本质的区别.第一，前者指缩小样本空间后事件发生的概率，此时，事件已经发生了，以发生为条件重新组构样本空间.第二，后者指原样本空间上事件同时发生的概率，此时事件不一定是必然发生的事件，一般为随机事件.亦即，第一，它们的样本的空间不同，前者以事件发生为条件，缩小了样本空间即，后者是原来样本空间没有改变.第二，事件不同，前者是针对缩小样本空间后的事件，后者是针对原样本空间的事件. (3)注意“条件”的变化.条件概率中的“条件”具有相对性， ①. ①式中含两个式子，其“条件”不一样，说明在一个样本空间中，条件不是一成不变的，这在之后的乘法公式、贝叶斯公式中能够更好的体现. (4)条件概率的计算.条件概率一般有三种求法，一是原样本空间概率法，即定义式，二是缩小样本空间法，是指在缩小的样本空间上用古典概型或几何概型等计算，三是原样本空间计数法，即. (5)条件概率的性质.根据条件重构样本空间、缩小样本空间后“新”的样本空间上概率的性质即是条件概率的性质 乘法公式 将条件概率的“定义式”进行变形即可得到乘法公式，乘法公式与条件概率定义式是概率的同一关系的不同显现形式，由乘法公式立即可以得到独立事件概率计算公式.乘法公式彻底解决了积事件概率问题. 乘法公式:注重条件的变化，条件概率定义的变式运用 由条件概率公式得乘法公式， ②. ②式与①式是等价的，说明在求积事件概率时，“条件”可以是，也可以是，积事件中的“条件”是相对的.“一个概念，三个公式”的概念建立环环相扣，积事件中“条件”的变化是之后理解贝叶斯公式的基础. 运用公式②时，由于与在同一式子中，我们一般通过缩小样本空间先求出条件概率，再用公式②求积事件的概率. 两个事件的积事件概率公式可以推广到个事件，即之前发生的事件作为之后事件发生的条件. 直观上，当事件与相互独立时，事件发生与否对事件发生的概率没有影响，此时注意:作为条件的事件其概率必须大于零)，相应的，公式②变成了③.如果从直观上判定两个事件是独立事件后，③式是作为独立事件的结论的，如果我们假定或已知两个事件相互独立，则可以用③式的结论求积事件概率了.而如果从独立事件定义角度上看，③式则作为判断独立事件的条件. 以下四条中的任意一条均可作为判断独立性的条件: (1). (2). (3). (4). 全概率公式 全概率公式是概率加法和乘法公式的综合运用，其本质是将一个复杂事件的概率分解成若干个两两互斥的事件“相并”的概率，用以解决由“原因”事件引起“结果”事件概率问题，从已知的可求的事件的概率推算末知的复杂事件的概率是概率论问题解决的基本思想，全概率公式充分体现了这一思想. 全概率公式的基本含义是通过事件转化求解概率.怎样把事件进行转化呢?第一，当一个事件发生有多种情况时，要考虑分类，通过分类理出事件发生发展的条理.第二，分类后的每一个事件一般不再是“单一”的事件，而是积事件.第三，事件转化后，通过和事件与积事件求概率. 1、建立全概率公式意图和思想方法 把一个复杂事件变成若干个互斥事件相并，通过并事件(互斥)概率和积事件概率乘法公式即可求得复杂事件的概率，这就是全概率公式的基本思想. 全概率公式是概率论的重要内容，生产实践中我们遇到的事件是复杂的，用“隐含的事件关系简单”“概率关系简单”的事件表示复杂事件，然后求其概率是我们处理概率问题的基本方法. 2、全概率公式及其证明 “一般地，设是一组两两互斥的事件，，且，则对任意的，有 称为全概率计算公式. 记称为样本空间的一个“完全事件组”，或样本空间的“一个划分”，是事件B发生的一系列“可能的原因”，它们两两互斥，而一般认为是样本空间的最简划分，即. 全概率公式可以利用并事件与积事件概率关系证明.由于，所以，由概率性质， ，再由积事件公式②，④式即得证. 3、注重通过逻辑和直观理解全概率公式 注重通过“逻辑”和“直观”理解全概率公式.全概率公式的逻辑基础是并事件、积事件的概率，用并事件求概率体现了求事件概率的分类讨论思想.从逻辑的角度上讲，原样本空间被分成个两两互斥事件后，在原样本空间中的每一个上，事件就是积事件(“新的样本空间上事件就是积事件即是这个含义)，而，求出事件在原样本空间的每一个上发生其概率和即可.直观上，可以借助于概率“树图”和韦恩图分析，以集合视角理解全概率公式.教学时，要根据高中学生的认知特点，对照直观的图形，用通俗易懂的语言解释全概率公式. 4、全概率公式的运用要领 第一，化难为易，找准样本空间及空间的合理“划分”. 用全概率公式解决概率问题，关键要理解原样本空间和该空间的一个“划分”的意义，什么是样本空间的一个“划分”，为什么要划分？如果不把空间进行划分，问题理不出条理，我们称事件中隐含的关系复杂.因此，划分样本空间，可以突出样本空间的层次，使事件关系变得简单. 有些问题，明显可以看出构成“空间”的样本点(基本事件)具有不同的类型，这往往也是我们划分空间的标准. 第二，用全概率公式解决问题的基本路径是:(1)全概率问题一般涉及事件和“条件”，所以要用字母表示相应的事件，这里的“事件”尽量“单一”，一般不交叉，如:涉及男女性别不同和色盲与否的问题，一般不用如:“男生色盲”“女生不色盲”作为一个事件，而用“男生”“女生”“色盲”“不色盲”为一个事件.(2)根据问题所反映的“事实”，确定具体的样本空间及其“构成”空间中的样本点(基本事件).(3)分析样本空间中的事件有没有层次和不同的类型，依据事件的层次和类型进行空间划分.(4)分析问题中(题目)的每一个条件，把条件转化为相应的“事件关系”或“事件的概率”.(5)根据全概率公式进行计算. 贝叶斯公式 贝叶斯公式是条件概率、全概率公式和概率乘法公式的融合.贝叶斯公式的本质是条件概率，其应用的意义在于，按照事件发生发展的顺序针对“结果”反求“原因”的概率问题. 贝叶斯公式的本质是条件概率，从思维策略上分析，全概率公式和贝叶斯公式体现了解决概率问题的两种不同的思维方式，前者“由因推果”，分类讨论，用来解决已知“原因”事件求“结果”事件概率的问题，后者“执果寻因”，“分析每个原因对结果所做的贡献”，用以求解已知“结果”发生时，“某个原因”事件导致的概率. 一般情形下的贝叶斯公式，即:在公式④的条件下，若，则⑤. 特别地，.⑥ 为什么说贝叶斯公式是“执果寻因”，对于高中学生，不能仅从概念上和意义上讲解，要引导他们直观观察.我们观察公式⑤即可发现其“形式上”的特征，由“条件下事件发生的概率(右式)，可求条件下事件发生的概率(左式)”，说明在一个样本空间里，“条件”是变化的，条件是相对的.如果从形式上理解和记忆，公式⑥的前半部分即为条件概率，而该条件概率分子、分母中的可用积事件和全概率公式求出，不过与公式左边的“”相比，右边的“条件”改变了. 2、条件概率的3种求法 定义法 先求P(A)和P(AB)，再由P(B|A)＝求P(B|A) 基本事件法 借助古典概型概率公式，先求事件A包含的基本事件数n(A)，再求事件AB所包含的基本事件数n(AB)，得P(B|A)＝ . 缩样法 缩小样本空间的方法，就是去掉第一次抽到的情况，只研究剩下的情况，用古典概型求解，它能化繁为简 3、条件概率的性质 条件概率只是缩小了样本空间，因此条件概率同样具有概率的性质.设P(A)>0，则 (1)P(Ω|A)＝1，0≤P(B|A)≤1； (2)如果B和C是两个互斥事件，则P(B∪C|A)＝P(B|A)＋P(C|A)． (3)设和B互为对立事件，则P(|A)＝1－P(B|A)． 4、两个事件的全概率问题求解策略 (1)拆分：将样本空间拆分成互斥的两部分如A1，A2(或A与)． (2)计算：利用乘法公式计算每一部分的概率． (3)求和：所求事件的概率P(B)＝P(A1)P(B|A1)＋P(A2)P(B|A2)． 5、“化整为零”求多事件的全概率问题 (1)如图，． (2)已知事件B的发生有各种可能的情形Ai(i＝1,2，…，n)，事件B发生的可能性，就是各种可能情形Ai发生的可能性与已知在Ai发生的条件下事件B发生的可能性的乘积之和． 6、贝叶斯公式：设是一组两两互斥的事件，，且，则对任意的事件，,有 注：(1)公式P(A1|B)＝＝反映了P(A1B)，P(A1)，P(B)，P(A1|B)，P(B|A1)之间的互化关系． (2)P(A1)称为先验概率，P(A1|B)称为后验概率，其反映了事情A1发生的可能在各种可能原因中的比重． 考点一 条件概率的定义及计算 （一）利用定义求条件概率 1．（2026高二·黑龙江哈尔滨·期中）一袋中有大小相同的4个红球和2个白球，若从中不放回地取球2次，每次任取1个球，记“第一次取到红球”为事件，“第二次取到白球”为事件，则（    ） A． B． C． D． 2．（2026高二·山西临汾·期中）甲、乙两人各自独立破译一个密码，甲、乙两人能译出这个密码的概率分别为，已知该密码被译出，则甲译出密码的概率是（    ） A． B． C． D． 3．（2026高三·山东·阶段检测）从编号的7张卡片中依次不放回地抽出两张，记事件：“第一次抽到的卡片编号数字为3的倍数”，事件：“第二次抽到的卡片编号数字大于第一次抽到的卡片编号数字”，则__________ 4．（2026高二·北京朝阳·期中）某班学生的考试成绩中，数学优秀的占，语文优秀的占，两门都优秀的占，已知一学生数学优秀，则他的语文也优秀的概率是（    ） A． B． C． D． 5．【多选】（2026·广东广州·模拟预测）在5道试题中有3道代数题和2道几何题，每次从中随机抽出1道题，抽出的题不再放回．设事件“第1次抽到代数题”，“第2次抽到几何题”，则（   ） A． B． C． D． 6．（2026·天津红桥·模拟预测）一个袋子里放有除颜色外完全相同的个白球、个红球，若采取有放回的抽样方式，从中依次摸出两个小球，则两个小球颜色不同的概率为______；若采取不放回的抽样方式，从中依次摸出两个小球，则在第一次摸到的是红球的条件下，第二次摸到的是红球的概率为______． 7．（2026·福建莆田·模拟预测）有6个球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中每次随机取出一个，取出的球不放回，直到6个小球都取完为止．记第次取出球的号码为，在和至少有一个大于的条件下，数列是递增数列的概率为___________． （二）缩小样本空间求条件概率 8．（2026·安徽合肥·模拟预测）盒中有6个相同的小球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中不放回地随机取两次，每次取1个球．记事件A为“取出2个小球的数字之和大于6”，事件B为“第二次取出小球的数字为5”，则（   ） A． B． C． D． 9．（2026·陕西西安·模拟预测）两位游客准备分别从华清池、兵马俑、钟楼、大雁塔4个景点中随机选择其中一个景点游玩，记事件“两位游客中至少有一人选择华清池”，事件“两位游客选择的景点不同”，则（   ） A． B． C． D． 10．（2026·重庆·模拟预测）甲、乙两名游客慕名来到重庆旅游，准备分别从解放碑、洪崖洞、李子坝、磁器口、长江索道这5个景点中随机选一个.事件：甲和乙选择的景点不同，事件：甲和乙恰好有一人选择洪崖洞.则条件概率________. 11．（2026·天津河北·模拟预测）袋中有除颜色外均相同的7个球，其中4个红球和3个白球. 不放回抽取3个球，其中两个红球和一个白球的概率为________；在前两个是红球的条件下，第三个是白球的概率为________. 12．（2026·天津南开·模拟预测）将颜色分别红、黄、蓝的三个小球放入甲、乙、丙三个盒子中，每个小球放入各个盒子的概率均为，且互不影响，则三个小球分别放入不同盒子的概率为_____；在至少有两个小球放入甲盒的前提下，红球放入甲盒的概率为_____． 考点二 包含事件的条件概率问题 13．（2026·全国·模拟预测）设集合，且，，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 14．【多选】（2026高二·湖北襄阳·期末）已知随机事件A，B发生的概率分别为，，下列说法正确的有（    ） A．若，则 B．若，则A，B相互独立 C．若A，B不相互独立，则 D．若，则 考点三 相互独立事件的条件概率问题 15．（2026高二·江西·期末）已知事件A与事件B相互独立，，则（    ） A． B． C． D． 16．（江西赣州市2026届高三年级下学期适应性考试数学试题）已知事件、满足．若，，则（   ） A． B． C． D． 17．【多选】（2026高三·四川成都·月考）已知随机事件，满足：，，则（   ） A．事件与互为对立事件 B．如果，那么 C．如果事件，互斥，那么 D．如果事件，相互独立，那么 18．（2026高三·河北承德·期末）甲、乙两名同学进行乒乓球比赛，采用5局3胜制（先胜3局者获胜，比赛结束），已知每局比赛甲获胜的概率为，且各局比赛的结果相互独立，则在已知甲最终获胜的条件下，甲第一局获胜的概率是___________． 19．（2026高二·广东广州·期中）甲、乙两人进行乒乓球比赛，采用“赢球方发球”规则（即当前回合胜出的一方，将获得下一回合的发球权）.已知，当甲发球时，甲赢得该回合的概率为；当乙发球时，乙赢得该回合的概率为.假设每回合比赛的结果相互独立，且比赛没有平局，经抽签决定，第个回合由甲发球. (1)前两个回合甲均获胜的概率； (2)求第3个回合由甲发球的概率； (3)若已知第4个回合是由甲发球的，求第3个回合是由乙发球的概率. 20．（2026高二·上海奉贤·月考）湘绣，是中国优秀的民族传统工艺之一，有着两千多年的历史.湘绣的制作工艺繁杂，一幅湘绣作品要经过设计图案和刺绣两大主要环节，且只有设计图案通过后才能进行刺绣，两个环节相互独立.只有同时通过这两个环节才能成为成品.某绣坊准备制作、、三幅不同的湘绣作品，已知、、三幅作品通过设计图案环节相互独立，且通过的概率依次为、、. (1)求、、三幅中恰有一幅作品通过设计图案环节的概率； (2)若已知、、三幅中恰有一幅作品通过设计图案环节，求通过的作品为的概率. 考点四 概率的乘法公式 21．（2026高二·江苏淮安·月考）已知，，则（     ） A． B． C． D． 22．（2026高一·上海奉贤·期中）已知，，则_________． 23．（2026高二·山西晋中·期中）已知事件、满足，，则（    ） A． B． C． D． 24．（2026高二·广西南宁·期中）对于事件，，，，，（    ） A． B． C． D． 25．（2026高二·上海·期末）已知两个随机事件，，若，，，则________． 26．（2026·江西·模拟预测）某班级进行了一次数学测试，题目分为选择题和填空题两类．已知某同学答对所有选择题的概率为0.8，在答对所有选择题的前提下，答对所有填空题的概率为0.75，则该同学同时答对所有选择题和填空题的概率为____________． 考点五 条件概率的性质及应用 27．（2026高二·云南昭通·期中）已知，是随机事件，若，，则（   ） A． B． C． D． 28．（2026高二·山东济南·期中）已知随机事件、，满足，，，则（    ） A． B． C． D． 29．（2026·山东临沂·模拟预测）对于事件A，B，，，，则（   ） A． B． C． D． 30．（2026高三·湖南湘西·期末）设是两个随机事件，已知，，，记，则（    ） A． B． C． D． 31．（2026·上海·模拟预测）已知和分别表示事件和事件发生的概率，且 ，则在下列各项中，“和独立”的充分条件是（   ）． A． B． C． D． 32．【多选】（2026高三·全国·一轮复习）随机事件A，B满足，，，其中和分别指事件A和B的概率，则下列说法中正确的是（   ） A． B． C．事件A与B不独立 D． 33．（2026高二·浙江杭州·期末）随机事件、满足，，，下列说法正确的是（   ） A．事件A与事件独立 B． C． D． 34．【多选】（2026·福建泉州·模拟预测）已知随机事件，均包含于必然事件，若，，则（    ） A． B． C． D． 35．【多选】（2026高二·安徽滁州·期中）在一个有限样本空间中，，且与相互独立，与互斥，则（    ） A． B． C． D．若，则与互斥 36．【多选】（2026·江西赣州·模拟预测）设是一个试验中的两个事件，且，则下列结论正确的有（    ） A． B． C． D． 37．【多选】（2026高三·江苏无锡·期末）设，，是同一概率空间中的随机事件，满足，，，，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 38．【多选】（2026高三·湖北武汉·月考）设A，B是一个随机试验中的两个事件，，，则（   ） A．事件A，B相互独立 B．若，则 C． D．若，则必有 考点六 全概率公式的计算 39．（2026高二·黑龙江哈尔滨·期中）某高校有、两家餐厅，王同学第一天去、两家餐厅就餐的概率分别为0.6和0.4，如果他第一天去餐厅，那么第二天去餐厅的概率为0.4，如果第一天去餐厅，那么第二天去餐厅的概率为0.5，则王同学第二天去了餐厅的概率为__________. 40．（2026·天津东丽·模拟预测）某AI对话系统的对话轮次分配规则如下：若当前大模型生成的回答符合要求（回答合格），则下一轮继续由该模型生成；若回答不合格，则切换为另一个模型生成.已知模型A每次回答合格的概率为0.6，模型B每次回答合格的概率为0.7，两次回答相互独立.若第1轮生成回答的是模型A，则第1轮A回答不合格且第2轮B回答合格的概率为______；若第1轮生成回答的是模型A、B的概率各为0.5，则第2轮生成回答的是模型A的概率为______． 41．（2026·上海静安·模拟预测）现有两个罐子，都放有3个球，这些球除颜色外，大小与质地都相同，A罐中放有2个红球，1个白球，B罐中放有3个红球，从两个罐子中各摸出1个球并交换，这样交换2次后，白球还在A罐子中的概率是______． 42．（2026高二·北京朝阳·期中）某手机销售店只销售甲、乙两个品牌的手机，其中甲品牌的销售量占本店手机销售量的，优质率为，乙品牌的优质率为. 从该店中随机买一部手机，则“买到的是优质品”的概率为____________. 43．（2026高二·安徽合肥·期中）已知甲箱中有2个红球和2个黑球，乙箱中有1个红球和3个黑球（所有球除颜色外完全相同），某学生先从甲箱中随机取出2个球放入乙箱，再从乙箱中随机取出1个球，记“从乙箱中取出的球是黑球”为事件，则________. 44．【多选】（2026·海南省直辖县级单位·模拟预测）在某电商平台上，用户获取商品信息的途径有两种，一种是系统推荐，一种是用户自主搜索．根据大数据，用户在该平台获取的商品信息中有来自系统推荐．若商品由系统推荐，则用户购买的概率为，若商品由用户自主搜索，则用户购买的概率为．从该平台随机抽取一件商品，设事件为“该商品被用户购买”，事件为“该商品由系统推荐”，则（    ） A． B． C． D． 45．【多选】（2026高二·广东深圳·期中）有甲、乙两个小组参加某项测试，甲组的合格率为，乙组的合格率为已知甲、乙两组的人数分别占这两组总人数的，从这两组组成的总体中任选一个人，用事件，分别表示选取的该人来自甲、乙组，事件B表示选取的该人测试合格，则（   ） A． B． C． D． 考点七 全概率公式解决实际问题 （1） 产品质检 46．（2026高三·湖北黄石·期末）一批产品共10件，其中有两件不合格品，其他都是合格品.将这批产品随机分装到两只箱中，每箱5件，收货方不放回地随机抽取产品进行检验，并按以下规则判断是否接收这批产品：如果抽检的第一件产品不合格，则拒收整批产品；如果抽检的第一件产品合格，则从另一箱中再抽检一件，若合格，则接收整批产品，若不合格，则拒收整批产品. (1)求两件不合格品包装在同一箱中的概率； (2)求这批产品被拒收的概率. 47．（2026高二·江苏镇江·期中）甲箱的产品中有5个正品和3个次品，乙箱的产品有4个正品和3个次品． (1)从甲箱中任取2个产品，求这2个产品中至少有1件是正品的取法有多少种？ (2)若从甲箱中任取2个产品放入乙箱中，然后再从乙箱中任取一个产品，求取出的这个产品是正品的概率． 48．（2026高二·广东佛山·月考）一批产品的质量检验方案是：先从这批产品中任取4件作检验，这4件产品中优质品的件数记为.如果，再从这批产品中任取4件作检验，若都为优质品，则这批产品通过检验；如果，再从这批产品中任取1件作检验，若为优质品，则这批产品通过检验；其他情况下，这批产品都不能通过检验.假设这批产品的优质品率为50%，即取出的每件产品是优质品的概率都为0.5，且各件产品是否为优质品相互独立. (1)求这批产品通过检验的概率： (2)已知每件产品的检验费用为100元，且抽取的每件产品都需要检验，对这批产品作质量检验所需的费用记为X（单位：元），分别求和. 49．（2026·陕西西安·模拟预测）某芯片加工厂对其生产的芯片采用AI质检系统进行检测，该厂芯片的次品率为，系统检测到次品时，有95%的概率正确标记为“不合格”，检测到正品时有90%的概率正确标记为“合格” (1)现从生产线上随机抽取1件芯片进行检测，若，求被系统标记为合格品的概率； (2)若质检系统把次品标记为“合格”或把正品标记为“不合格”，则称系统检测误判，且将单件产品被系统检测误判的概率称之为系统检测误判率.已知该工厂通过技术升级使芯片的次品率有所降低，那么随着的降低，系统检测误判率是升高还是降低?并说明理由. 50．（2026高二·宁夏固原·期末）甲箱的产品中有6个正品和2个次品，乙箱的产品中有5个正品和2个次品. (1)从甲､乙箱中各随机取出1个产品，求其中至少有1个次品的概率； (2)若先从甲箱中任取2个产品放入乙箱，再从乙箱中任取1个产品，求取出的这个产品是正品的概率. （2） 游戏获胜问题 51．（2026高二·北京·期中）A、B两个三口之家进行游戏活动，从6人中随机选出2人． (1)求选出的2人来自不同家庭的概率； (2)在选出的第1个人来自A家庭的条件下，求第2个人也来自A家庭的概率； (3)若选出的2人来自同一个家庭，游戏成功的概率为0.6，若来自不同的家庭，游戏成功的概率为0.3，求最终游戏成功的概率． 52．（2026高二·江西宜春·月考）在一个名为“奇幻冒险岛”的游戏中，玩家可以选择战士、法师和猎人这三种不同的角色．根据游戏设定，一名玩家选择战士、法师和猎人的概率分别为0.4，0.3，0.3，每种角色在进入游戏后，都有可能触发“神秘宝藏”事件．已知战士、法师和猎人触发“神秘宝藏”事件的概率分别为0.2，0.5，0.1，现在随机选择一名玩家进入游戏，则该玩家触发“神秘宝藏”事件的概率为______． 53．（2026·海南·模拟预测）某同学在课下进行一场纸牌游戏，其规则如下：现有标注数字1—5和7的六张纸牌，随机发给三位同学，每位同学分到2张牌，则第一、二位同学分到的牌面数字之和均不小于第三位同学的牌面数字之和的概率是___________． 54．（2026高二·贵州贵阳·月考）三门问题（Monty Hall problom）也称蒙提霍尔问题，是比较著名的一种游戏，某个综艺节目利用这个规则进行了适当修改制定了一个抽奖游戏，有4扇编号为1，2，3，4的四个外观相同的门，只有一扇门后面有奖品，其余的门后面都没有奖品，主持人知道奖品在哪扇门后面，当抽奖人选择了某扇门后，在门打开之前，主持人先随机打开了另一扇没有奖品的门，并问抽奖人是否愿意更改选择以便增加中奖概率.现在已知某嘉宾选择了2号门，用表示号门后有奖品，用表示主持人打开号门，则________；若抽奖人更改了选择，则其中奖概率为________. （3） 普查疾病 55．（2026高二·广西玉林·期中）在秋冬季节，疾病D1的发病率为2%，病人中40%表现出症状S，疾病D2的发病率为5%，病人中18%表现出症状S，疾病D3的发病率为0.5%，病人中60%表现出症状S.则任意一位病人有症状S的概率为_______.（症状S只在患有疾病D1，D2，D3时出现） 56．（2026高二·上海·期末）设甲、乙两个地区爆发了某种流行病，且两个地区感染此病的比例分别为 、  ，若从这两个地区中任选一个地区选择一个人，则此人感染此疾病的概率是_______． 57．（2026高三·辽宁葫芦岛·期末）随着冬季到来，各种流行疾病也开始传播，国家为了防止患者集中在大型医院出现交叉感染，呼呼大家就近就医.某市有市级医院，区级医院，社区医院三个等级的医院，对于出现的流行疾病三个医院都能治愈患者.若患者去三个医院就医的概率是，三个医院就医时出现交叉感染的概率分别为，患者在医院没有出现交叉感染且治愈的概率为__________. 考点八 贝叶斯公式的应用 58．（2026高二·江苏南京·期中）甲盒装有1个白球和2个黑球，乙盒装有3个白球和2个黑球，丙盒装有4个白球和1个黑球．采取掷骰子决定选盒，出现1，2或3点选甲盒，4，5点选乙盒，6点选丙盒．在选出的盒子中随机摸一球，经过秘密选盒摸球后，宣布摸得1个白球，则此球来自乙盒的概率是___________． 59．（2026·天津南开·模拟预测）学校举办“校园歌手大赛”，某参赛同学的参赛曲库中有5首歌，分别是：抒情歌1首，流行歌2首，摇滚歌2首.若他演唱这三类歌曲能晋级下一轮的概率分别为，，，他比赛时，随机从这5首歌里选择一首演唱，则他能晋级的概率为______；若他晋级了，则这名学生是演唱流行歌晋级的概率为______. 60．（2026高二·天津河北·期中）两台车床加工同样的零件，第一台出现废品的概率是，第二台出现废品的概率是．加工出来的零件放在一起，并且已知第一台加工的零件比第二台加工的零件多一倍．则任意取出一个零件是合格品的概率为___________；如果任意取出的零件是废品，则它是第二台车床加工的概率为___________． 61．（2026高二·河南·期中）某商场在清明节假期期间举办有奖消费活动，抽奖方法如下：，袋中各有5张奖券，其中袋中有2张一等奖和3张二等奖，袋中有3张一等奖和2张二等奖，先从装着标有数字1，2，3，4，5，6的号签筒中任抽1签，若是1，2，3，4 号签，则从袋中随机抽取1张奖券，若是5，6号签，则从袋中随机抽取1张奖券．已知某顾客抽到了一等奖奖券，则该一等奖奖券来自袋的概率 ______． 62．（2026·天津·模拟预测）甲、乙两人进行多轮猜谜比赛，每轮比赛两人各答一题，已知每轮比赛中，甲、乙猜对的概率分别为和，每轮比赛中两人猜对与否互不影响，每轮结果互不影响，在一轮比赛中，恰有一人猜对的概率为__________；若两轮比赛中只有两次猜对，则这两次都是乙猜对的概率为__________． 63．【多选】（2026高二·浙江台州·期中）英国数学家贝叶斯在概率论研究方面成就显著，根据贝叶斯定理，随机事件，存在如下关系：.张同学每天的运动计划包括两种主要方式：室内健身和户外运动.张同学第一天选择室内健身的概率为，选择户外运动的概率为.如果第一天选择室内健身，那么第二天继续选择室内健身的概率为；如果第一天选择户外运动，那么第二天选择室内健身的概率为.则张同学（   ） A．第二天去室内健身的概率为 B．第二天去户外运动的概率为 C．若第二天去了室内健身，则第一天去户外运动的概率为 D．若第二天去了户外运动，则第一天去室内健身的概率为 64．【多选】（2026高三·广东深圳·期末）某商场举行抽奖活动，规则如下：参与者从甲、乙两个箱子中随机选择一个，然后从该箱中有放回地抽取小球两次，每次抽取1个球，已知甲箱中有4个红球和2个白球，乙箱中有3个红球和3个白球，每次抽到红球记1分，抽到白球记0分，设事件“参与者选择甲箱”，事件“两次抽球总得分为2分”，则（   ） A． B． C．与相互独立 D． 65．（2026高三·山东滨州·期末）某市场供应三种品牌的工具刀，相应的市场占有率和优质率的信息如下表： 品牌 甲 乙 丙 市场占有率 50% 30% 20% 优质率 90% 80% 70% 记，，表示买到的工具刀的品牌分别为甲、乙、丙，表示买到的工具刀是优质品．在该市场中随机买一种品牌的工具刀，则下列结论正确的有（    ） A． B． C． D． 66．（2026高二·广东云浮·期中）某足球队为评估队员的场上作用，对球员进行数据分析.球员甲在场上出任边锋、前卫、中场三个位置，根据过往多场比赛，其出场率与出场时球队的胜率如下表所示 场上位置 边锋    前卫   中场   出场率     0.2     0.5     0.3   球队胜率     0.5 0.6     0.8 (1)当甲出场比赛时， 求球队赢球的概率； (2)当甲出场比赛时，在球队获胜的条件下，求球员甲担任前卫的概率； (3)如果你是教练员，将如何安排球员甲在场上的位置？请说明安排理由. 67．（2026高二·广西南宁·期中）某系列盲盒中有隐藏款、稀有款、普通款三种玩偶，从中随机抽取一盒，每盒必为其中一款.已知抽到隐藏款、稀有款、普通款的概率分别为、、，若抽到隐藏款、稀有款、普通款，则消费者给出好评的概率依次为、、. (1)求随机抽取一盒盲盒，消费者给出好评的概率； (2)若消费者未给出好评，求其抽到普通款的概率. 考点九 全概率公式与数列的综合 68．（河南华大新高考联盟2026届高三学期5月联考数学试卷）投掷一枚质地均匀的骰子，直到掷出数字1或6为止，则在掷出1或6之前，数字2，3，4，5每个都至少出现一次的概率为_________． 69．（2026高二·河南南阳·期中）细胞A有两种状态：活跃和休眠.该细胞每秒的状态转移规律如下：若细胞A这一秒为活跃状态，下一秒仍保持活跃状态的概率为，转为休眠状态的概率为；若细胞A这一秒为休眠状态，下一秒转为活跃状态的概率为，保持休眠状态的概率为.已知细胞A第1秒为活跃状态，则第3秒为休眠状态的概率为____________，第秒为活跃状态的概率____________. 70．（2026高三·重庆渝中·月考）小明手中有2张“中奖”奖券和1张“谢谢惠顾”的未中奖奖券，小红手中有3张“谢谢惠顾”的未中奖奖券．小明与小红商量后，他俩进行交换奖券的游戏：每次小明、小红都从对方手中各随机取一张奖券作为交换．记交换次后，小明恰有1张“中奖”奖券的概率为． (1)求； (2)推导与之间的递推关系； (3)求数列的通项公式及其前项和． 71．（2026高二·福建三明·月考）某中学的体育馆同时具有羽毛球、乒乓球和篮球场馆，甲同学每天都会去体育馆锻炼，若甲当天选择羽毛球，则后一天选择羽毛球的概率为，选择乒乓球的概率为；若甲当天选择乒乓球，则后一天选择羽毛球的概率为，选择乒乓球的概率为；若甲当天选择篮球，则后一天等可能地选择其中一个项目.已知甲第一天等可能地选择一个场馆进行相应的体育锻炼.请完成下列计算： (1)求甲第2天选择羽毛球的概率； (2)求在甲第2天选择羽毛球的条件下，甲第1天选择篮球的概率； (3)记甲第天选择羽毛球的概率为，请写出与的关系. $【考点通关】2025-2026学年高二数学高频考点与解题策略(人教A版2019选择性必修第三册) 拓展3 条件概率、全概率公式及贝叶斯公式9种常见考法归类（75题） 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 考点一 条件概率的定义及计算 （一）利用定义求条件概率 （二）缩小样本空间求条件概率 考点二 包含事件的条件概率问题 考点三 相互独立事件的条件概率问题 考点四 概率的乘法公式 考点五 条件概率的性质及应用 考点六 全概率公式的计算 考点七 全概率公式解决实际问题 （一）产品质检 （二）游戏获胜问题 （三）普查疾病 考点八 贝叶斯公式的应用 考点九 全概率公式与数列的综合 1、一个概念三个公式 条件概率 条件概率是理解并进行复杂概率运算的基础，乘法公式、全概率公式和贝叶斯公式是条件概率的应用和拓展.条件概率的本质是缩小样本空间后的事件概率，通过古典概型(或其他概型)，抽象概括成条件概率的概念（定义式） 注：条件概率定义式反映了“原”样本空间的与缩小后的样本空间的之间的关系. 条件概率概念的建立要抓住“事件”和“空间”进行分析，要分析“条件”是必然性还是“随机”性，是以“条件”重构的样本空间还是在原样本空间中运用“条件”.因此，“事件”“空间”和“条件”是概念建立的关键词. (1)对条件的理解：第一，从缩小样本空间的角度上看，在条件“已经发生”的基础上，样本空间缩小了，是在缩小了的空间上用概率模型或概率计算方法求解概率.第二，从概率之间的相互联系分析，在事件发生的条件下，事件发生的概率又与在原样本空间上事件发生的概率有关系，正因为此时的是事件在原样本空间发生的概率，因而事件在原样本空间里不是“必然发生”的事件，不是“发生过了”的事件，而是随机事件. (2)对和的分析.学生容易混淆和，认为它们都是“事件发生了，事件也发生了”，实际上，它们有着本质的区别.第一，前者指缩小样本空间后事件发生的概率，此时，事件已经发生了，以发生为条件重新组构样本空间.第二，后者指原样本空间上事件同时发生的概率，此时事件不一定是必然发生的事件，一般为随机事件.亦即，第一，它们的样本的空间不同，前者以事件发生为条件，缩小了样本空间即，后者是原来样本空间没有改变.第二，事件不同，前者是针对缩小样本空间后的事件，后者是针对原样本空间的事件. (3)注意“条件”的变化.条件概率中的“条件”具有相对性， ①. ①式中含两个式子，其“条件”不一样，说明在一个样本空间中，条件不是一成不变的，这在之后的乘法公式、贝叶斯公式中能够更好的体现. (4)条件概率的计算.条件概率一般有三种求法，一是原样本空间概率法，即定义式，二是缩小样本空间法，是指在缩小的样本空间上用古典概型或几何概型等计算，三是原样本空间计数法，即. (5)条件概率的性质.根据条件重构样本空间、缩小样本空间后“新”的样本空间上概率的性质即是条件概率的性质 乘法公式 将条件概率的“定义式”进行变形即可得到乘法公式，乘法公式与条件概率定义式是概率的同一关系的不同显现形式，由乘法公式立即可以得到独立事件概率计算公式.乘法公式彻底解决了积事件概率问题. 乘法公式:注重条件的变化，条件概率定义的变式运用 由条件概率公式得乘法公式， ②. ②式与①式是等价的，说明在求积事件概率时，“条件”可以是，也可以是，积事件中的“条件”是相对的.“一个概念，三个公式”的概念建立环环相扣，积事件中“条件”的变化是之后理解贝叶斯公式的基础. 运用公式②时，由于与在同一式子中，我们一般通过缩小样本空间先求出条件概率，再用公式②求积事件的概率. 两个事件的积事件概率公式可以推广到个事件，即之前发生的事件作为之后事件发生的条件. 直观上，当事件与相互独立时，事件发生与否对事件发生的概率没有影响，此时注意:作为条件的事件其概率必须大于零)，相应的，公式②变成了③.如果从直观上判定两个事件是独立事件后，③式是作为独立事件的结论的，如果我们假定或已知两个事件相互独立，则可以用③式的结论求积事件概率了.而如果从独立事件定义角度上看，③式则作为判断独立事件的条件. 以下四条中的任意一条均可作为判断独立性的条件: (1). (2). (3). (4). 全概率公式 全概率公式是概率加法和乘法公式的综合运用，其本质是将一个复杂事件的概率分解成若干个两两互斥的事件“相并”的概率，用以解决由“原因”事件引起“结果”事件概率问题，从已知的可求的事件的概率推算末知的复杂事件的概率是概率论问题解决的基本思想，全概率公式充分体现了这一思想. 全概率公式的基本含义是通过事件转化求解概率.怎样把事件进行转化呢?第一，当一个事件发生有多种情况时，要考虑分类，通过分类理出事件发生发展的条理.第二，分类后的每一个事件一般不再是“单一”的事件，而是积事件.第三，事件转化后，通过和事件与积事件求概率. 1、建立全概率公式意图和思想方法 把一个复杂事件变成若干个互斥事件相并，通过并事件(互斥)概率和积事件概率乘法公式即可求得复杂事件的概率，这就是全概率公式的基本思想. 全概率公式是概率论的重要内容，生产实践中我们遇到的事件是复杂的，用“隐含的事件关系简单”“概率关系简单”的事件表示复杂事件，然后求其概率是我们处理概率问题的基本方法. 2、全概率公式及其证明 “一般地，设是一组两两互斥的事件，，且，则对任意的，有 称为全概率计算公式. 记称为样本空间的一个“完全事件组”，或样本空间的“一个划分”，是事件B发生的一系列“可能的原因”，它们两两互斥，而一般认为是样本空间的最简划分，即. 全概率公式可以利用并事件与积事件概率关系证明.由于，所以，由概率性质， ，再由积事件公式②，④式即得证. 3、注重通过逻辑和直观理解全概率公式 注重通过“逻辑”和“直观”理解全概率公式.全概率公式的逻辑基础是并事件、积事件的概率，用并事件求概率体现了求事件概率的分类讨论思想.从逻辑的角度上讲，原样本空间被分成个两两互斥事件后，在原样本空间中的每一个上，事件就是积事件(“新的样本空间上事件就是积事件即是这个含义)，而，求出事件在原样本空间的每一个上发生其概率和即可.直观上，可以借助于概率“树图”和韦恩图分析，以集合视角理解全概率公式.教学时，要根据高中学生的认知特点，对照直观的图形，用通俗易懂的语言解释全概率公式. 4、全概率公式的运用要领 第一，化难为易，找准样本空间及空间的合理“划分”. 用全概率公式解决概率问题，关键要理解原样本空间和该空间的一个“划分”的意义，什么是样本空间的一个“划分”，为什么要划分？如果不把空间进行划分，问题理不出条理，我们称事件中隐含的关系复杂.因此，划分样本空间，可以突出样本空间的层次，使事件关系变得简单. 有些问题，明显可以看出构成“空间”的样本点(基本事件)具有不同的类型，这往往也是我们划分空间的标准. 第二，用全概率公式解决问题的基本路径是:(1)全概率问题一般涉及事件和“条件”，所以要用字母表示相应的事件，这里的“事件”尽量“单一”，一般不交叉，如:涉及男女性别不同和色盲与否的问题，一般不用如:“男生色盲”“女生不色盲”作为一个事件，而用“男生”“女生”“色盲”“不色盲”为一个事件.(2)根据问题所反映的“事实”，确定具体的样本空间及其“构成”空间中的样本点(基本事件).(3)分析样本空间中的事件有没有层次和不同的类型，依据事件的层次和类型进行空间划分.(4)分析问题中(题目)的每一个条件，把条件转化为相应的“事件关系”或“事件的概率”.(5)根据全概率公式进行计算. 贝叶斯公式 贝叶斯公式是条件概率、全概率公式和概率乘法公式的融合.贝叶斯公式的本质是条件概率，其应用的意义在于，按照事件发生发展的顺序针对“结果”反求“原因”的概率问题. 贝叶斯公式的本质是条件概率，从思维策略上分析，全概率公式和贝叶斯公式体现了解决概率问题的两种不同的思维方式，前者“由因推果”，分类讨论，用来解决已知“原因”事件求“结果”事件概率的问题，后者“执果寻因”，“分析每个原因对结果所做的贡献”，用以求解已知“结果”发生时，“某个原因”事件导致的概率. 一般情形下的贝叶斯公式，即:在公式④的条件下，若，则⑤. 特别地，.⑥ 为什么说贝叶斯公式是“执果寻因”，对于高中学生，不能仅从概念上和意义上讲解，要引导他们直观观察.我们观察公式⑤即可发现其“形式上”的特征，由“条件下事件发生的概率(右式)，可求条件下事件发生的概率(左式)”，说明在一个样本空间里，“条件”是变化的，条件是相对的.如果从形式上理解和记忆，公式⑥的前半部分即为条件概率，而该条件概率分子、分母中的可用积事件和全概率公式求出，不过与公式左边的“”相比，右边的“条件”改变了. 2、条件概率的3种求法 定义法 先求P(A)和P(AB)，再由P(B|A)＝求P(B|A) 基本事件法 借助古典概型概率公式，先求事件A包含的基本事件数n(A)，再求事件AB所包含的基本事件数n(AB)，得P(B|A)＝ . 缩样法 缩小样本空间的方法，就是去掉第一次抽到的情况，只研究剩下的情况，用古典概型求解，它能化繁为简 3、条件概率的性质 条件概率只是缩小了样本空间，因此条件概率同样具有概率的性质.设P(A)>0，则 (1)P(Ω|A)＝1，0≤P(B|A)≤1； (2)如果B和C是两个互斥事件，则P(B∪C|A)＝P(B|A)＋P(C|A)． (3)设和B互为对立事件，则P(|A)＝1－P(B|A)． 4、两个事件的全概率问题求解策略 (1)拆分：将样本空间拆分成互斥的两部分如A1，A2(或A与)． (2)计算：利用乘法公式计算每一部分的概率． (3)求和：所求事件的概率P(B)＝P(A1)P(B|A1)＋P(A2)P(B|A2)． 5、“化整为零”求多事件的全概率问题 (1)如图，． (2)已知事件B的发生有各种可能的情形Ai(i＝1,2，…，n)，事件B发生的可能性，就是各种可能情形Ai发生的可能性与已知在Ai发生的条件下事件B发生的可能性的乘积之和． 6、贝叶斯公式：设是一组两两互斥的事件，，且，则对任意的事件，,有 注：(1)公式P(A1|B)＝＝反映了P(A1B)，P(A1)，P(B)，P(A1|B)，P(B|A1)之间的互化关系． (2)P(A1)称为先验概率，P(A1|B)称为后验概率，其反映了事情A1发生的可能在各种可能原因中的比重． 考点一 条件概率的定义及计算 （一）利用定义求条件概率 1．（2026高二·黑龙江哈尔滨·期中）一袋中有大小相同的4个红球和2个白球，若从中不放回地取球2次，每次任取1个球，记“第一次取到红球”为事件，“第二次取到白球”为事件，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】依题意，， 所以． 2．（2026高二·山西临汾·期中）甲、乙两人各自独立破译一个密码，甲、乙两人能译出这个密码的概率分别为，已知该密码被译出，则甲译出密码的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据相互独立事件及对立事件的概率公式可计算“密码被译出”的概率再用条件概率公式即可. 【详解】设“密码被译出”为事件，“甲译出密码”为事件，则， 已知该密码被译出，则甲译出密码的概率是． 3．（2026高三·山东·阶段检测）从编号的7张卡片中依次不放回地抽出两张，记事件：“第一次抽到的卡片编号数字为3的倍数”，事件：“第二次抽到的卡片编号数字大于第一次抽到的卡片编号数字”，则__________ 【答案】 【详解】第一次抽到3或6的概率为，所以， 当第一次抽到3时：第二次可抽4，5，6，7，共4种情况； 当第一次抽到6时，第二次可抽7，共1种情况， 所以，. 4．（2026高二·北京朝阳·期中）某班学生的考试成绩中，数学优秀的占，语文优秀的占，两门都优秀的占，已知一学生数学优秀，则他的语文也优秀的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设为事件“数学优秀”，为事件“语文优秀”， 则 由条件概率公式， 所以当一学生数学优秀，则他的语文也优秀的概率为． 5．【多选】（2026·广东广州·模拟预测）在5道试题中有3道代数题和2道几何题，每次从中随机抽出1道题，抽出的题不再放回．设事件“第1次抽到代数题”，“第2次抽到几何题”，则（   ） A． B． C． D． 【答案】AC 【详解】对于A，由题意得：，，正确； 对于B，，，错误; 对于C，，正确； 对于D，，错误. 6．（2026·天津红桥·模拟预测）一个袋子里放有除颜色外完全相同的个白球、个红球，若采取有放回的抽样方式，从中依次摸出两个小球，则两个小球颜色不同的概率为______；若采取不放回的抽样方式，从中依次摸出两个小球，则在第一次摸到的是红球的条件下，第二次摸到的是红球的概率为______． 【答案】 / / 【分析】第一空分先白后红和先红后白两种情况，由概率公式计算；第二空利用条件概率公式即可求解． 【详解】第一空： 令事件表示用放回抽样方式摸出两个颜色不同的小球， 所以每次摸一个白球的概率为，每一次摸一个红球的概率为， 所以， 第二空： 令事件表示不放回的抽样方式第次摸到红球，， ，， 所以在第一次摸到红球的条件下，第二次摸到红球的概率为 ． 7．（2026·福建莆田·模拟预测）有6个球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中每次随机取出一个，取出的球不放回，直到6个小球都取完为止．记第次取出球的号码为，在和至少有一个大于的条件下，数列是递增数列的概率为___________． 【答案】 【分析】设事件为“在和至少有一个大于”，事件为“数列是递增数列””，根据组合数可求数列的种数，再由条件概率公式可求题设中的概率. 【详解】设事件为“在和至少有一个大于”， 事件为“数列是递增数列”，则， 因为在和至少有一个大于， 故数列是先减后增或递增或递减数列， 考虑排列左侧的元素的个数及种类，则不同的排列有， 故，故. （二）缩小样本空间求条件概率 8．（2026·安徽合肥·模拟预测）盒中有6个相同的小球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中不放回地随机取两次，每次取1个球．记事件A为“取出2个小球的数字之和大于6”，事件B为“第二次取出小球的数字为5”，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由已知条件，，，所以. 9．（2026·陕西西安·模拟预测）两位游客准备分别从华清池、兵马俑、钟楼、大雁塔4个景点中随机选择其中一个景点游玩，记事件“两位游客中至少有一人选择华清池”，事件“两位游客选择的景点不同”，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】依题意，，， 所以. 10．（2026·重庆·模拟预测）甲、乙两名游客慕名来到重庆旅游，准备分别从解放碑、洪崖洞、李子坝、磁器口、长江索道这5个景点中随机选一个.事件：甲和乙选择的景点不同，事件：甲和乙恰好有一人选择洪崖洞.则条件概率________. 【答案】/ 【详解】事件：甲和乙选择的景点不同，从个景点中任选个排列给甲乙二人种． 事件:甲和乙选择的景点不同，甲选洪崖洞，乙可任选另外个景点，同理乙选洪崖洞，甲可任选另外个景点，共种． 所以． 11．（2026·天津河北·模拟预测）袋中有除颜色外均相同的7个球，其中4个红球和3个白球. 不放回抽取3个球，其中两个红球和一个白球的概率为________；在前两个是红球的条件下，第三个是白球的概率为________. 【答案】 【分析】第1空考查古典概型，代入古典概型公式分别求出分子和分母的事件总数，计算即可； 第2空考查条件概率，根据条件概率公式，分别求出事件的概率，以及事件和同时发生的概率，代入公式计算即可. 【详解】解：（两个红球和一个白球）； 设事件为前两个是红球，事件为第三个是白球， 又，，所以， 即在前两个是红球的条件下，第三个是白球的概率为. 12．（2026·天津南开·模拟预测）将颜色分别红、黄、蓝的三个小球放入甲、乙、丙三个盒子中，每个小球放入各个盒子的概率均为，且互不影响，则三个小球分别放入不同盒子的概率为_____；在至少有两个小球放入甲盒的前提下，红球放入甲盒的概率为_____． 【答案】 【分析】先确定三个小球放盒子的总基本事件数，再确定三个小球放入不同盒子的基本事件数，最后用古典概型概率公式计算概率；设事件为“至少有两个小球放入甲盒”，事件为“红球放入甲盒”，计算和，再根据条件概率公式计算概率. 【详解】每个小球有3种放法，总放法共种， 三个小球放入不同盒子，相当于对三个盒子全排列，共种符合条件的放法， 因此所求概率为； 设事件：至少两个小球放入甲盒；事件：红球放入甲盒， 至少两个小球放入甲盒，分恰好2个、恰好3个放入甲盒两种情况：； 红球放入甲盒，且至少两个小球放入甲盒，说明剩余黄、蓝两球至少一个放入甲盒：； 因此条件概率. 考点二 包含事件的条件概率问题 13．（2026·全国·模拟预测）设集合，且，，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，由条件概率的计算公式，代入计算，即可得到结果. 【详解】因为，所以，所以， ．因为， 所以. 故选:C 14．【多选】（2026高二·湖北襄阳·期末）已知随机事件A，B发生的概率分别为，，下列说法正确的有（    ） A．若，则 B．若，则A，B相互独立 C．若A，B不相互独立，则 D．若，则 【答案】BD 【分析】根据题意，利用相互独立事件和相互独立事件的概率乘法公式以及条件概率公式，依次判断所给的4个结论即可． 【详解】对于A，若，则，故A错误; 对于B，，,由于，则，相互独立，故B正确； 若，不相互独立，则,故，故C错误；对于，，则，，则，故D正确. 故选:BD 考点三 相互独立事件的条件概率问题 15．（2026高二·江西·期末）已知事件A与事件B相互独立，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据对立事件的概率公式，求得，独立事件的概率公式和条件概率的公式，即可求解. 【详解】因为事件A与事件B相互独立，且，可得，且， 则. 故选：A. 16．（江西赣州市2026届高三年级下学期适应性考试数学试题）已知事件、满足．若，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用概率的乘法公式可求得的值，分析可知事件、相互独立，故事件、相互独立，求出的值，即可得出的值. 【详解】由概率的乘法公式可得， 因为，即，故， 所以事件、相互独立，故事件、相互独立， 故， 因此. 17．【多选】（2026高三·四川成都·月考）已知随机事件，满足：，，则（   ） A．事件与互为对立事件 B．如果，那么 C．如果事件，互斥，那么 D．如果事件，相互独立，那么 【答案】BD 【详解】选项A：如果事件与事件互为对立事件，则， 但，，； 选项B：如果，则，即； 选项C：如果事件，互斥，则； 选项D：如果事件，相互独立，则事件与，事件与也分别相互独立， 即，， 因此. 18．（2026高三·河北承德·期末）甲、乙两名同学进行乒乓球比赛，采用5局3胜制（先胜3局者获胜，比赛结束），已知每局比赛甲获胜的概率为，且各局比赛的结果相互独立，则在已知甲最终获胜的条件下，甲第一局获胜的概率是___________． 【答案】 【分析】在已知甲最终获胜的条件下，甲第一局获胜的情况有甲分别以3：0，3：1，3：2获胜，求出对应的概率，然后计算甲最终获胜的概率，最后根据条件概率公式计算即可. 【详解】由题意可得，在已知甲最终获胜的条件下甲第一局获胜的情况有 ①甲以3：0获胜，概率为； ②甲以3：1获胜，概率为； ③甲以3：2获胜，概率为. 所以甲最终获胜的条件下甲第一局获胜的概率为. 甲获胜的总概率为. 所以条件概率为. 故答案为：. 19．（2026高二·广东广州·期中）甲、乙两人进行乒乓球比赛，采用“赢球方发球”规则（即当前回合胜出的一方，将获得下一回合的发球权）.已知，当甲发球时，甲赢得该回合的概率为；当乙发球时，乙赢得该回合的概率为.假设每回合比赛的结果相互独立，且比赛没有平局，经抽签决定，第个回合由甲发球. (1)前两个回合甲均获胜的概率； (2)求第3个回合由甲发球的概率； (3)若已知第4个回合是由甲发球的，求第3个回合是由乙发球的概率. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用独立事件的乘法公式计算； （2）分前3个回合发球顺序为甲甲甲、甲乙甲两种情况，再利用独立事件的乘法公式计算； （3）用表示第4个回合是由甲发球，表示第3个回合是由乙发球，结合第（2）问，以及条件概率的概率公式求出. 【详解】（1）前两个回合甲均获胜的概率为； （2）前3个回合发球顺序为甲甲甲，其概率为； 前3个回合发球顺序为甲乙甲，其概率为； 故第3个回合由甲发球的概率为； （3）用表示第4个回合是由甲发球，表示第3个回合是由乙发球， 由（2）可知，第3个回合由甲发球的概率为，乙发球的概率为， 则，， 则， 故已知第4个回合是由甲发球的，求第3个回合是由乙发球的概率为 20．（2026高二·上海奉贤·月考）湘绣，是中国优秀的民族传统工艺之一，有着两千多年的历史.湘绣的制作工艺繁杂，一幅湘绣作品要经过设计图案和刺绣两大主要环节，且只有设计图案通过后才能进行刺绣，两个环节相互独立.只有同时通过这两个环节才能成为成品.某绣坊准备制作、、三幅不同的湘绣作品，已知、、三幅作品通过设计图案环节相互独立，且通过的概率依次为、、. (1)求、、三幅中恰有一幅作品通过设计图案环节的概率； (2)若已知、、三幅中恰有一幅作品通过设计图案环节，求通过的作品为的概率. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将所求的“恰有一幅通过设计”事件分解为三个互斥的独立事件组合，分别用独立事件概率乘法计算每个组合的概率，再相加得到最终结果； （2）明确所求为条件概率，找出对应分子和分母，代入条件概率公式计算得结果. 【详解】（1）设分别表示通过设计图案环节， 由题得，且三个事件相互独立. 恰有一幅通过设计环节可分解为仅通过、仅通过、仅通过三个互斥事件， 设仅通过为事件： 仅通过为事件： 仅通过为事件： 由互斥事件概率加法公式，恰有一幅通过的概率： （2）设事件为“三幅中恰有一幅通过设计环节”，事件为“通过设计的作品为”， 由条件概率公式： 其中即“仅通过设计环节”， 故， 由（1）知， 所以 【点睛】本题核心考察独立事件概率乘法、互斥事件概率加法、条件概率公式三个知识点，解题关键是对复杂概率事件进行合理的互斥分解，结合事件独立性计算基础概率，再根据问题类型套用对应公式求解. 考点四 概率的乘法公式 21．（2026高二·江苏淮安·月考）已知，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由概率的乘法公式可求得的值. 【详解】由概率的乘法公式可得. 故选：C. 22．（2026高一·上海奉贤·期中）已知，，则_________． 【答案】/0.125 【分析】根据条件概率公式即可求解． 【详解】， 故答案为：． 23．（2026高二·山西晋中·期中）已知事件、满足，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用条件概率公式可求得的值. 【详解】由条件概率公式得，故. 24．（2026高二·广西南宁·期中）对于事件，，，，，（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用概率乘法公式与随机事件的概率加法公式求出，再由对立事件的概率公式计算即得. 【详解】因为， 又由可得，即， 故. 25．（2026高二·上海·期末）已知两个随机事件，，若，，，则________． 【答案】 【分析】由条件概率公式计算即可. 【详解】因为，， 所以. 故答案为： 26．（2026·江西·模拟预测）某班级进行了一次数学测试，题目分为选择题和填空题两类．已知某同学答对所有选择题的概率为0.8，在答对所有选择题的前提下，答对所有填空题的概率为0.75，则该同学同时答对所有选择题和填空题的概率为____________． 【答案】0.6/ 【详解】设事件“该同学答对所有选择题”，事件“该同学答对所有填空题”． 由题意知，故． 考点五 条件概率的性质及应用 27．（2026高二·云南昭通·期中）已知，是随机事件，若，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题设及条件概率公式，概率加法公式可得，，联立解方程即可. 【详解】因，则， 又因，，且事件与事件互斥， 则，可得，从而. 故，解得. 28．（2026高二·山东济南·期中）已知随机事件、，满足，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由条件概率公式可得出的值，分析可知，且与互斥，利用互斥事件的概率公式可求得的值，再利用条件概率公式可求得的值. 【详解】由条件概率公式可得，所以， 因为，且与互斥，所以， 所以， 由条件概率公式可得. 29．（2026·山东临沂·模拟预测）对于事件A，B，，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据条件概率公式以及并事件的性质即可求解. 【详解】由条件概率公式，可得， 故， 又因，则. 30．（2026高三·湖南湘西·期末）设是两个随机事件，已知，，，记，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】运用相互独立事件的概率与条件概率计算即可. 【详解】由已知得， 注意到，所以相互独立， 故， ， 又因为，故， 所以. 故选：C. 31．（2026·上海·模拟预测）已知和分别表示事件和事件发生的概率，且 ，则在下列各项中，“和独立”的充分条件是（   ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】事件和独立的定义是，根据每个选项的条件，结合条件概率公式以及概率的基本性质，判断是否能推出. 【详解】选项A，，则，并不能推出，所以事件和不一定独立，A错误. 选项B，，，. ，. . ，即和独立，B选项正确. 选项C，，又，，和不一定独立，C错误. 选项D，，，. 又，，可得，也不能推出和独立，D错误. 32．【多选】（2026高三·全国·一轮复习）随机事件A，B满足，，，其中和分别指事件A和B的概率，则下列说法中正确的是（   ） A． B． C．事件A与B不独立 D． 【答案】BC 【分析】根据已知联立方程求出，然后根据概率的相关公式逐一判断即可. 【详解】对于A选项，因为，所以， 所以，因为，所以， 联立，因为，所以解得，故A选项错误； 对于B选项，因为，所以，故B选项正确； 对于C选项，因为，所以，因为，所以，所以事件A与B不独立，故C选项正确； 对于选项D，因为，而，故D选项错误． 故选：BC． 33．（2026高二·浙江杭州·期末）随机事件、满足，，，下列说法正确的是（   ） A．事件A与事件独立 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题可根据条件概率公式以及，再结合独立事件的判定条件来逐一分析选项. 【详解】对于选项A，因为，所以根据对立事件概率公式可得.又，所以.因此事件与事件不独立，选项A错误. 对于选项B，根据条件概率公式，已知，，将其代入公式可得，，选项B错误. 对于选项C，因为，且与互斥，所以.由选项B可知，又，则，选项C正确. 对于选项D，已知，根据对立事件概率公式可得.由选项B可知，所以，选项D错误. 故选：C. 34．【多选】（2026·福建泉州·模拟预测）已知随机事件，均包含于必然事件，若，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】根据条件概率公式，变形求解，可判断A、D的正误；根据概率加法公式，可判断B的正误，根据概率的范围，结合二次函数的性质，可判断C的正误； 【详解】选项A：由条件概率公式得，故A错误； 选项B：由概率加法公式得， 因为，所以， 则，故B正确； 选项C：， 所以，则， 令，， 则， 因为，， 所以， 当且仅当时取等号，故C正确； 选项D：， 当或时，才有， 但，， 无法确定是否为0及是否等于，故D错误. 35．【多选】（2026高二·安徽滁州·期中）在一个有限样本空间中，，且与相互独立，与互斥，则（    ） A． B． C． D．若，则与互斥 【答案】ACD 【详解】有限样本空间中，，且与相互独立， 所以，所以A正确； ，所以B错误； 因为与互斥，所以，， 所以，所以C正确； 若，则， 所以，所以，所以与互斥，所以D正确. 36．【多选】（2026·江西赣州·模拟预测）设是一个试验中的两个事件，且，则下列结论正确的有（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】利用条件概率，和事件的概率公式求解. 【详解】选项A，，， ， ， ，，故选项A正确； 选项B，，故选项B错误； 选项C，，故选项C正确； 选项D，，，，， ，故选项D错误. 故选：AC. 37．【多选】（2026高三·江苏无锡·期末）设，，是同一概率空间中的随机事件，满足，，，，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】利用条件概率公式计算判断选项A，D；利用全概率公式计算判断选项B；利用加法公式计算判断选项C． 【详解】已知，，，，， 选项A：由条件概率公式， 得，故A正确； 选项B：由全概率公式， 得，故B正确； 选项C：由加法公式， 得，故C正确； 选项D：由条件概率公式， 得，故D错误． 故选：ABC． 38．【多选】（2026高三·湖北武汉·月考）设A，B是一个随机试验中的两个事件，，，则（   ） A．事件A，B相互独立 B．若，则 C． D．若，则必有 【答案】BCD 【分析】根据条件概率的计算公式以及并事件的概率公式，可得方程组，进而可得，则，所以，根据相互独立满足的公式即可判断A，结合基本不等式即可求解C,根据条件概率即可求解D. 【详解】由可得, 又, , 则, 不妨设，则， 所以，化简得， 设，则，所以， 对于A，要使A，B相互独立，则需要， 即，即，不恒成立，故A错误， 对于B，由，得，， 故，B正确， 对于C, , 当且仅当时取到等号，而,故，C正确， 对于D,由，得,又, 所以，化简可得, 由于，则,将其代入上式得 ,化简得①， 结合②, 联立①②可得,故， 解得，则，故，故D正确. 故选：BCD 考点六 全概率公式的计算 39．（2026高二·黑龙江哈尔滨·期中）某高校有、两家餐厅，王同学第一天去、两家餐厅就餐的概率分别为0.6和0.4，如果他第一天去餐厅，那么第二天去餐厅的概率为0.4，如果第一天去餐厅，那么第二天去餐厅的概率为0.5，则王同学第二天去了餐厅的概率为__________. 【答案】 【分析】结合题意，由全概率公式计算即可求解. 【详解】设“第一天去餐厅”，“第二天去餐厅”， “第一天去餐厅”，“第二天去餐厅”， 由题意可得， 所以. 40．（2026·天津东丽·模拟预测）某AI对话系统的对话轮次分配规则如下：若当前大模型生成的回答符合要求（回答合格），则下一轮继续由该模型生成；若回答不合格，则切换为另一个模型生成.已知模型A每次回答合格的概率为0.6，模型B每次回答合格的概率为0.7，两次回答相互独立.若第1轮生成回答的是模型A，则第1轮A回答不合格且第2轮B回答合格的概率为______；若第1轮生成回答的是模型A、B的概率各为0.5，则第2轮生成回答的是模型A的概率为______． 【答案】 / / 【分析】借助相互独立事件的概率公式以及全概率公式计算即可得. 【详解】；. 41．（2026·上海静安·模拟预测）现有两个罐子，都放有3个球，这些球除颜色外，大小与质地都相同，A罐中放有2个红球，1个白球，B罐中放有3个红球，从两个罐子中各摸出1个球并交换，这样交换2次后，白球还在A罐子中的概率是______． 【答案】 【详解】用分别表示交换1次，2次后白球还在A罐中的事件， 依题意，，，， 由全概率公式得， 所以交换2次后，白球还在A罐子中的概率是. 42．（2026高二·北京朝阳·期中）某手机销售店只销售甲、乙两个品牌的手机，其中甲品牌的销售量占本店手机销售量的，优质率为，乙品牌的优质率为. 从该店中随机买一部手机，则“买到的是优质品”的概率为____________. 【答案】 【分析】本题主要考查全概率公式的应用，根据各品牌手机的销售占比和优质率， 分别求出甲乙两种品牌的优质品概率，概率相加即可解决问题. 【详解】解：由甲品牌的销售量占比为，则乙品牌的销售量占比为， 所以（买到优质品）. 43．（2026高二·安徽合肥·期中）已知甲箱中有2个红球和2个黑球，乙箱中有1个红球和3个黑球（所有球除颜色外完全相同），某学生先从甲箱中随机取出2个球放入乙箱，再从乙箱中随机取出1个球，记“从乙箱中取出的球是黑球”为事件，则________. 【答案】 【分析】根据题给条件分析具体情况列条件概率和全概率公式计算即可得解. 【详解】记学生先从甲箱中取出的2个球恰有个红球放入乙箱为事件， 学生先从甲箱中随机取出2个黑球放入乙箱，则此时乙箱中有红黑，此时. 学生先从甲箱中随机取出1个红球1个黑球放入乙箱，则此时乙箱中有红黑，此时， 学生先从甲箱中随机取出2个红球放入乙箱，则此时乙箱中有红黑，此时， 则 44．【多选】（2026·海南省直辖县级单位·模拟预测）在某电商平台上，用户获取商品信息的途径有两种，一种是系统推荐，一种是用户自主搜索．根据大数据，用户在该平台获取的商品信息中有来自系统推荐．若商品由系统推荐，则用户购买的概率为，若商品由用户自主搜索，则用户购买的概率为．从该平台随机抽取一件商品，设事件为“该商品被用户购买”，事件为“该商品由系统推荐”，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【详解】由已知得，，． 对于A，因为，所以，故A正确； 对于B，由全概率公式可得，故B错误； 对于C，，所以，故C错误； 对于D，，故D正确． 45．【多选】（2026高二·广东深圳·期中）有甲、乙两个小组参加某项测试，甲组的合格率为，乙组的合格率为已知甲、乙两组的人数分别占这两组总人数的，从这两组组成的总体中任选一个人，用事件，分别表示选取的该人来自甲、乙组，事件B表示选取的该人测试合格，则（   ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】利用给定条件，利用条件概率公式及全概率公式求解判断. 【详解】依题意，， 对于A，，A正确； 对于B，，B错误； 对于C，，C正确； 对于D，，D错误. 考点七 全概率公式解决实际问题 （1） 产品质检 46．（2026高三·湖北黄石·期末）一批产品共10件，其中有两件不合格品，其他都是合格品.将这批产品随机分装到两只箱中，每箱5件，收货方不放回地随机抽取产品进行检验，并按以下规则判断是否接收这批产品：如果抽检的第一件产品不合格，则拒收整批产品；如果抽检的第一件产品合格，则从另一箱中再抽检一件，若合格，则接收整批产品，若不合格，则拒收整批产品. (1)求两件不合格品包装在同一箱中的概率； (2)求这批产品被拒收的概率. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）方法一：求出基本事件总数及两件不合格品在同一箱中的事件数，利用古典概型的概率公式计算可得；方法二：把8件合格品看成红球，2件不合格品看成黑球，转化成摆放黑球的问题； （2）两件不合格品在同一箱中的事件为，则不合格品分装在不同箱中的事件为， 这批产品被拒收的事件为，利用全概率公式计算可得. 【详解】（1）方法一：10件产品分给甲箱5件､乙箱5件的方法有种， 其中两件不合格品都在甲箱中的分法有种， 两件不合格品都在乙箱中的分法也有种， 所以两件不合格品在同一箱中的概率； 方法二：把8件合格品看成红球，2件不合格品看成黑球， 将10个球排成一排，左边的5个球为一侧，右边的5个球为另一侧. 第一个黑球放入（不是左侧就是右侧），第二只黑球可以放在其它9个位置上， 两只黑球在同一侧即第二只黑球放在第一只黑球的那一侧的其它4个位置上， 所以两件不合格品在同一箱中的概率； （2）两件不合格品在同一箱中的事件为，则不合格品分装在不同箱中的事件为， 这批产品被拒收的事件为， 则，，. 表示两件不合格品放在同一箱的条件下经过抽检后被拒收的概率， 在第一次抽检时有的概率从两件次品在一起的箱中抽检，也有的概率从没有次品的箱中抽检， ，同理， . 47．（2026高二·江苏镇江·期中）甲箱的产品中有5个正品和3个次品，乙箱的产品有4个正品和3个次品． (1)从甲箱中任取2个产品，求这2个产品中至少有1件是正品的取法有多少种？ (2)若从甲箱中任取2个产品放入乙箱中，然后再从乙箱中任取一个产品，求取出的这个产品是正品的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先算出总的组合数，再求出对立事件对应的取法，用总的取法减去全是次品的取法即可； （2）根据甲箱中取出2件的类型，分成3种情况，分别计算三种情况的发生概率，再利用全概率公式计算求解． 【详解】（1）已知甲箱中共有8件产品，任取2件的取法为：种， 2个产品中至少有1件是正品的对立事件为2件均为次品，取法为：种， 这2个产品中至少有1件是正品的取法为：种． （2）从甲中取2个正品，概率为，此时乙箱中有6件正品3件次品， 抽到正品的概率为； 从甲中取1个正品1个次品，概率为，此时乙箱中有5件正品4件次品， 抽到正品的概率为； 从甲中取2个次品，概率为，此时乙箱中有4件正品5件次品， 抽到正品的概率为； ． 48．（2026高二·广东佛山·月考）一批产品的质量检验方案是：先从这批产品中任取4件作检验，这4件产品中优质品的件数记为.如果，再从这批产品中任取4件作检验，若都为优质品，则这批产品通过检验；如果，再从这批产品中任取1件作检验，若为优质品，则这批产品通过检验；其他情况下，这批产品都不能通过检验.假设这批产品的优质品率为50%，即取出的每件产品是优质品的概率都为0.5，且各件产品是否为优质品相互独立. (1)求这批产品通过检验的概率： (2)已知每件产品的检验费用为100元，且抽取的每件产品都需要检验，对这批产品作质量检验所需的费用记为X（单位：元），分别求和. 【答案】(1)； (2)，. 【分析】（1）先设出第一次和第二次的事件，再利用和事件和条件概率求解； （2）第一次取出的4件，费用400元；，再取4件，费用800元；如果，再取1件，费用500；其它情况（，，），不继续取出，费用保持400元，求相应的概率即可得解. 【详解】（1）设第一次取出的4件产品中恰有3件优质品为事件，第一次取出的4件产品全是优质品为事件， 第二次取出的4件产品都是优质品为事件，第二次取出的1件产品是优质品为事件， 这批产品通过检验为事件，依题意有，且与互斥， 则 . （2）第一次取出的4件，费用400元； 如果，再取4件，费用800元； 如果，再取1件，费用500； 其它情况（，，），不继续取出，费用保持400元， ， . 49．（2026·陕西西安·模拟预测）某芯片加工厂对其生产的芯片采用AI质检系统进行检测，该厂芯片的次品率为，系统检测到次品时，有95%的概率正确标记为“不合格”，检测到正品时有90%的概率正确标记为“合格” (1)现从生产线上随机抽取1件芯片进行检测，若，求被系统标记为合格品的概率； (2)若质检系统把次品标记为“合格”或把正品标记为“不合格”，则称系统检测误判，且将单件产品被系统检测误判的概率称之为系统检测误判率.已知该工厂通过技术升级使芯片的次品率有所降低，那么随着的降低，系统检测误判率是升高还是降低?并说明理由. 【答案】(1)0.815 (2)随着的降低，系统的误判率升高，理由见解析 【分析】（1）根据给定条件，利用全概率公式列式计算. （2）求出误判率的函数关系，再借助函数单调性判断. 【详解】（1）用事件表示抽到的是正品，把抽到的产品标记为合格品为事件， 则，， 由全概率公式得. （2）设系统的误判率为，则， 所以随着的降低，系统的误判率升高. 50．（2026高二·宁夏固原·期末）甲箱的产品中有6个正品和2个次品，乙箱的产品中有5个正品和2个次品. (1)从甲､乙箱中各随机取出1个产品，求其中至少有1个次品的概率； (2)若先从甲箱中任取2个产品放入乙箱，再从乙箱中任取1个产品，求取出的这个产品是正品的概率. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由独立乘法公式、对立事件的概率即可求解； （2）令事件 “从甲箱中取出两个正品”，事件 “从甲箱中取出一个正品、一个次品”，事件 “从甲箱中取出两个次品”，然后利用古典概型的概率公式求出对应的概率，再结合全概率公式可求得结果. 【详解】（1）从甲､乙箱中各随机取出1个产品，求其中至少有1个次品的概率为； （2）令事件“从乙箱中取出一个正品”，事件 “从甲箱中取出两个正品”， 事件 “从甲箱中取出一个正品、一个次品”，事件 “从甲箱中取出两个次品”， 则两两互斥，且， 则，，， 则 . （2） 游戏获胜问题 51．（2026高二·北京·期中）A、B两个三口之家进行游戏活动，从6人中随机选出2人． (1)求选出的2人来自不同家庭的概率； (2)在选出的第1个人来自A家庭的条件下，求第2个人也来自A家庭的概率； (3)若选出的2人来自同一个家庭，游戏成功的概率为0.6，若来自不同的家庭，游戏成功的概率为0.3，求最终游戏成功的概率． 【答案】(1) (2) (3)0.42 【分析】（1）根据古典概型公式，结合组合数公式，即可求解； （2）根据题意，转化为样本空间法求概率； （3）根据（1）的结果，转化为全概率公式，即可求解. 【详解】（1）设“选出的2人来自不同家庭”为事件C，则； （2）设“选出的第1个人来自A家的条件下，第2个人也来自A家”为事件D，则； （3）由（1）知，选出的2人来自不同家庭的概率为0.6，所以选出的2人来自同一家庭的概率为0.4， 所以由全概率公式得最终游戏成功的概率为． 52．（2026高二·江西宜春·月考）在一个名为“奇幻冒险岛”的游戏中，玩家可以选择战士、法师和猎人这三种不同的角色．根据游戏设定，一名玩家选择战士、法师和猎人的概率分别为0.4，0.3，0.3，每种角色在进入游戏后，都有可能触发“神秘宝藏”事件．已知战士、法师和猎人触发“神秘宝藏”事件的概率分别为0.2，0.5，0.1，现在随机选择一名玩家进入游戏，则该玩家触发“神秘宝藏”事件的概率为______． 【答案】0.26/ 【分析】由全概率公式计算求解. 【详解】设事件“玩家触发神秘宝藏”，事件“玩家选择战士”，事件“玩家选择法师”，事件“玩家选择猎人”， 根据题意，有， 根据全概率公式，得 ， 因此，随机选择一名玩家，该玩家触发“神秘宝藏”事件的概率为0.26． 故答案为: 0.26 53．（2026·海南·模拟预测）某同学在课下进行一场纸牌游戏，其规则如下：现有标注数字1—5和7的六张纸牌，随机发给三位同学，每位同学分到2张牌，则第一、二位同学分到的牌面数字之和均不小于第三位同学的牌面数字之和的概率是___________． 【答案】/ 【分析】设事件表示存在两位同学，他们的牌面数字之和相同且同时最小，事件表示第一、二位同学分到的牌面数字之和均不小于第三位同学的牌面数字之和，利用条件概率公式求出，，再根据全概率公式求解. 【详解】由于六张牌的数字之和不是3的倍数，因此不可能出现三位同学牌面的数字之和都相同的情况， 设事件表示存在两位同学，他们的牌面数字之和相同且同时最小， 事件表示第一、二位同学分到的牌面数字之和均不小于第三位同学的牌面数字之和， 考虑三位同学的发牌顺序，则， 当发生时，这两位同学的发牌组合只能是和，和，和三种可能，所以， 当不发生时，表示仅有一位同学的牌面数字之和最小，由对称性可得， 所以. 故答案为：. 54．（2026高二·贵州贵阳·月考）三门问题（Monty Hall problom）也称蒙提霍尔问题，是比较著名的一种游戏，某个综艺节目利用这个规则进行了适当修改制定了一个抽奖游戏，有4扇编号为1，2，3，4的四个外观相同的门，只有一扇门后面有奖品，其余的门后面都没有奖品，主持人知道奖品在哪扇门后面，当抽奖人选择了某扇门后，在门打开之前，主持人先随机打开了另一扇没有奖品的门，并问抽奖人是否愿意更改选择以便增加中奖概率.现在已知某嘉宾选择了2号门，用表示号门后有奖品，用表示主持人打开号门，则________；若抽奖人更改了选择，则其中奖概率为________. 【答案】 /0.375 【分析】根据条件概率即可求得第一空答案；结合全概率公式即可求得第二空答案. 【详解】奖品在2号门后，嘉宾选择了2号门，主持人可打开1，3，4号门，则； 若奖品在2号门后，其概率为，嘉宾更改了选择，则其选中奖品的概率为0； 若奖品不在2号门后，其概率为，主持人随机打开不含奖品的两扇门中的1个， 若此时嘉宾更改选择，其选中奖品的概率为； ∴若嘉宾更改选择，其中奖的概率为. 故答案为：； （3） 普查疾病 55．（2026高二·广西玉林·期中）在秋冬季节，疾病D1的发病率为2%，病人中40%表现出症状S，疾病D2的发病率为5%，病人中18%表现出症状S，疾病D3的发病率为0.5%，病人中60%表现出症状S.则任意一位病人有症状S的概率为_______.（症状S只在患有疾病D1，D2，D3时出现） 【答案】/ 【分析】利用全概率公式计算可得答案. 【详解】由题意可知：，，， ，，， 由全概率公式可知： ，即任意一位病人有症状S的概率为. 故答案为：. 56．（2026高二·上海·期末）设甲、乙两个地区爆发了某种流行病，且两个地区感染此病的比例分别为 、  ，若从这两个地区中任选一个地区选择一个人，则此人感染此疾病的概率是_______． 【答案】 【分析】根据给定条件，利用全概率公式列式计算即得. 【详解】设事件分别表示“此人来自甲地区和乙地区”；事件表示“感染此疾病”， ，， 因此 故答案为： 57．（2026高三·辽宁葫芦岛·期末）随着冬季到来，各种流行疾病也开始传播，国家为了防止患者集中在大型医院出现交叉感染，呼呼大家就近就医.某市有市级医院，区级医院，社区医院三个等级的医院，对于出现的流行疾病三个医院都能治愈患者.若患者去三个医院就医的概率是，三个医院就医时出现交叉感染的概率分别为，患者在医院没有出现交叉感染且治愈的概率为__________. 【答案】 【分析】根据题意分别计算去三个医院没有出现交叉感染且治愈的概率，再求和即可. 【详解】由题意，患者在医院没有出现交叉感染且治愈的概率为. 故答案为： 考点八 贝叶斯公式的应用 58．（2026高二·江苏南京·期中）甲盒装有1个白球和2个黑球，乙盒装有3个白球和2个黑球，丙盒装有4个白球和1个黑球．采取掷骰子决定选盒，出现1，2或3点选甲盒，4，5点选乙盒，6点选丙盒．在选出的盒子中随机摸一球，经过秘密选盒摸球后，宣布摸得1个白球，则此球来自乙盒的概率是___________． 【答案】/ 【分析】先根据掷骰子规则确定选盒的概率，再用各盒中白球占比得到摸白球的条件概率，接着通过全概率公式算出摸到白球的总概率，最后利用贝叶斯公式，求出已知摸到白球时，该球来自乙盒的概率． 【详解】设{摸出的球来自甲盒}，{摸出的球来自乙盒}， {摸出的球来自丙盒}，{摸出白球}， 则，，， ，，， 所以 ， 所以． 59．（2026·天津南开·模拟预测）学校举办“校园歌手大赛”，某参赛同学的参赛曲库中有5首歌，分别是：抒情歌1首，流行歌2首，摇滚歌2首.若他演唱这三类歌曲能晋级下一轮的概率分别为，，，他比赛时，随机从这5首歌里选择一首演唱，则他能晋级的概率为______；若他晋级了，则这名学生是演唱流行歌晋级的概率为______. 【答案】 【分析】首先根据题意写出各事件的概率，再根据全概率公式求解；第二个小题根据贝叶斯概率公式求解. 【详解】设某参赛选手演唱抒情歌，流行歌，摇滚歌分别为事件， 该选手晋级为事件， 由条件可知，，，，，，， 所以； 所以他能晋级的概率为； ， 所以这名学生是演唱流行歌晋级的概率为. 60．（2026高二·天津河北·期中）两台车床加工同样的零件，第一台出现废品的概率是，第二台出现废品的概率是．加工出来的零件放在一起，并且已知第一台加工的零件比第二台加工的零件多一倍．则任意取出一个零件是合格品的概率为___________；如果任意取出的零件是废品，则它是第二台车床加工的概率为___________． 【答案】 /0.25 【分析】利用全概率公式和贝叶斯公式求解 【详解】记=“零件是第一台车床加工”，=“零件是第二台车床加工”， =“取出的零件是合格品”，=“取出零件是废品”； 第一台加工零件数是第二台的2倍，因此，； ，， 因此，， 任意取出零件是合格品的概率： 废品的总概率， 再代入贝叶斯公式：. 61．（2026高二·河南·期中）某商场在清明节假期期间举办有奖消费活动，抽奖方法如下：，袋中各有5张奖券，其中袋中有2张一等奖和3张二等奖，袋中有3张一等奖和2张二等奖，先从装着标有数字1，2，3，4，5，6的号签筒中任抽1签，若是1，2，3，4 号签，则从袋中随机抽取1张奖券，若是5，6号签，则从袋中随机抽取1张奖券．已知某顾客抽到了一等奖奖券，则该一等奖奖券来自袋的概率 ______． 【答案】 【分析】根据全概率公式及贝叶斯公式计算． 【详解】解：设事件：抽到1，2，3，4号签，事件：抽到5，6号签，事件B：抽到一等奖奖券， 则，，，， ∴， ∴． 62．（2026·天津·模拟预测）甲、乙两人进行多轮猜谜比赛，每轮比赛两人各答一题，已知每轮比赛中，甲、乙猜对的概率分别为和，每轮比赛中两人猜对与否互不影响，每轮结果互不影响，在一轮比赛中，恰有一人猜对的概率为__________；若两轮比赛中只有两次猜对，则这两次都是乙猜对的概率为__________． 【答案】 /0.5 【分析】根据独立事件的乘法公式计算可得第一空，利用全概率及贝叶斯公式可求第二空． 【详解】解：设每轮比赛中，甲猜对为事件，乙猜对为事件， 则， 在一轮比赛中，恰有一人猜对为事件， ， 设两轮比赛中只有两次猜对为事件， 则， 则这两次都是乙猜对的概率为． 63．【多选】（2026高二·浙江台州·期中）英国数学家贝叶斯在概率论研究方面成就显著，根据贝叶斯定理，随机事件，存在如下关系：.张同学每天的运动计划包括两种主要方式：室内健身和户外运动.张同学第一天选择室内健身的概率为，选择户外运动的概率为.如果第一天选择室内健身，那么第二天继续选择室内健身的概率为；如果第一天选择户外运动，那么第二天选择室内健身的概率为.则张同学（   ） A．第二天去室内健身的概率为 B．第二天去户外运动的概率为 C．若第二天去了室内健身，则第一天去户外运动的概率为 D．若第二天去了户外运动，则第一天去室内健身的概率为 【答案】AD 【分析】利用条件概率公式、全概率公式和贝叶斯公式计算可得. 【详解】设表示张同学第一天选择室内健身，表示张同学第二天选择室内健身， 表示张同学第一天选择户外运动，表示张同学第二天选择户外运动. 则，，，， 对于A，，故A正确； 对于B，因为，故B错误； 对于C，因为，故C错误； 对于D，因为，故D正确. 64．【多选】（2026高三·广东深圳·期末）某商场举行抽奖活动，规则如下：参与者从甲、乙两个箱子中随机选择一个，然后从该箱中有放回地抽取小球两次，每次抽取1个球，已知甲箱中有4个红球和2个白球，乙箱中有3个红球和3个白球，每次抽到红球记1分，抽到白球记0分，设事件“参与者选择甲箱”，事件“两次抽球总得分为2分”，则（   ） A． B． C．与相互独立 D． 【答案】ABD 【分析】根据条件公式即可判断A，利用全概率公式即可判断B，利用事件的独立性的定义即可判断C，利用贝叶斯公式即可判断D. 【详解】设甲箱中每次抽到红球概率为，乙箱中每次抽到红球概率为， 由于参与者选择箱子是随机的，． 在事件发生的条件下（即选择了甲箱），每次抽到红球的概率为， 且各次抽取相互独立．两次总得分为2分，即两次均抽到红球，其概率为，故A正确； 在事件发生的条件下（即选择了乙箱），每次抽到红球的概率为，两次均抽到红球概率为， 由全概率公式，，故B正确； 由于， 显然，因此事件与事件不独立，故C错误； 由贝叶斯公式，，故D正确． 故选：ABD． 65．（2026高三·山东滨州·期末）某市场供应三种品牌的工具刀，相应的市场占有率和优质率的信息如下表： 品牌 甲 乙 丙 市场占有率 50% 30% 20% 优质率 90% 80% 70% 记，，表示买到的工具刀的品牌分别为甲、乙、丙，表示买到的工具刀是优质品．在该市场中随机买一种品牌的工具刀，则下列结论正确的有（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】利用互斥事件的概率加法判断选项A，用乘法公式计算联合概率判断选项B，用全概率公式计算总优质率判断选项C，用贝叶斯公式计算条件概率判断选项D. 【详解】市场占有率：,,; 优质率（条件概率）：,,; 选项A：因为、互斥，所以，则选项A正确； 选项B：表示“买到乙品牌且为优质品”的概率，由乘法公式： ，则选项B错误； 选项C：由全概率公式： ，则选项C正确； 选项D：由贝叶斯公式：，则选项D错误. 故选：AC 66．（2026高二·广东云浮·期中）某足球队为评估队员的场上作用，对球员进行数据分析.球员甲在场上出任边锋、前卫、中场三个位置，根据过往多场比赛，其出场率与出场时球队的胜率如下表所示 场上位置 边锋    前卫   中场   出场率     0.2     0.5     0.3   球队胜率     0.5 0.6     0.8 (1)当甲出场比赛时， 求球队赢球的概率； (2)当甲出场比赛时，在球队获胜的条件下，求球员甲担任前卫的概率； (3)如果你是教练员，将如何安排球员甲在场上的位置？请说明安排理由. 【答案】(1)0.64 (2) (3)应多安排甲球员担任前卫，来增大赢球的几率，理由见解析； 【分析】（1）由全概率公式直接求解即可； （2）由条件概率计算公式可得； （3）比较三个位置上的赢球概率，作出判断即可； 【详解】（1）解：设表示“甲球员担当边锋”，表示“甲球员担当前卫”，表示“甲球员担当中场”，表示“球队赢了某场比赛”， 则 ， 球队某场比赛赢球的概率为0.64. （2）解：由（1）知， ， 球员甲担当前卫的概率. （3）解：要安排甲在球场上的位置，需要考虑甲出场且能带来获胜的情况下，在边锋，前卫，中场三个位置的获胜概率， 所以，同（2）， ， 由于， 应多安排甲球员担任前卫，来增大赢球的几率. 67．（2026高二·广西南宁·期中）某系列盲盒中有隐藏款、稀有款、普通款三种玩偶，从中随机抽取一盒，每盒必为其中一款.已知抽到隐藏款、稀有款、普通款的概率分别为、、，若抽到隐藏款、稀有款、普通款，则消费者给出好评的概率依次为、、. (1)求随机抽取一盒盲盒，消费者给出好评的概率； (2)若消费者未给出好评，求其抽到普通款的概率. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用全概率公式，把三种款的概率与对应好评概率相乘再相加，即可得到结果； （2）先算出未给出好评的概率，再结合抽到普通款且未给出好评的概率，利用贝叶斯公式即可求得. 【详解】（1）设事件表示“抽到隐藏款”，表示“抽到稀有款”，表示“抽到普通款”， 事件表示“消费者给出好评”，事件表示“消费者未给出好评”. 根据题意，，两两互斥，且. 由题意得，，，，，. 由全概率公式，得， 所以消费者给出好评的概率为. （2）由（1）知，因此. 根据题意，得. 因为，，两两互斥，且， 由贝叶斯公式，得， 所以，若消费者未给出好评，其抽到普通款的概率为. 考点九 全概率公式与数列的综合 68．（河南华大新高考联盟2026届高三学期5月联考数学试卷）投掷一枚质地均匀的骰子，直到掷出数字1或6为止，则在掷出1或6之前，数字2，3，4，5每个都至少出现一次的概率为_________． 【答案】 【分析】根据不同状态下投骰子的结果建立状态转移方程，然后利用已知的终止状态逐步递推求解初始状态的成功概率. 【详解】定义状态i（）表示在停止事件（掷出1或6）发生之前， 已经观察到不同的数字来自集合的个数， 设为从状态i出发最终成功的概率（即最终在掷出1或6之前已经收集全4个数字）， 显然，当时，已经收集全4个数字，此后无论掷出什么，只要首次掷出1或6时即成功，因此， 对于状态i（），考虑下一次掷骰子的结果，有三种可能： ①掷出数字1或6（概率为），此时停止，但由于尚未收集全4个数字（），因此失败，成功的概率为0， ②掷出一个已经出现过的属于的数字（概率为），状态保持不变， ③掷出一个未出现过的属于的新数字（概率为），状态转移到， 因此，从状态i出发，最终成功的概率满足方程： ， 化简得，移项得， 即． 利用，依次计算得 ， ， 因此，所求概率为． 69．（2026高二·河南南阳·期中）细胞A有两种状态：活跃和休眠.该细胞每秒的状态转移规律如下：若细胞A这一秒为活跃状态，下一秒仍保持活跃状态的概率为，转为休眠状态的概率为；若细胞A这一秒为休眠状态，下一秒转为活跃状态的概率为，保持休眠状态的概率为.已知细胞A第1秒为活跃状态，则第3秒为休眠状态的概率为____________，第秒为活跃状态的概率____________. 【答案】 【分析】根据独立事件同时发生及互斥事件和的概率求第3秒为休眠状态的概率；利用全概率公式及构造数列求第秒为活跃状态的概率. 【详解】因为细胞A第2秒为活跃状态，且第3秒为休眠状态的概率为，第2秒为休眠状态，且第3秒为休眠状态的概率为，所以细胞A第3秒为休眠状态的概率为. 设细胞A第秒为活跃状态的概率为，则第秒为休眠状态的概率为，第秒为活跃状态的概率为，得，得，又，所以，所以是首项为，公比为的等比数列，故，即. 70．（2026高三·重庆渝中·月考）小明手中有2张“中奖”奖券和1张“谢谢惠顾”的未中奖奖券，小红手中有3张“谢谢惠顾”的未中奖奖券．小明与小红商量后，他俩进行交换奖券的游戏：每次小明、小红都从对方手中各随机取一张奖券作为交换．记交换次后，小明恰有1张“中奖”奖券的概率为． (1)求； (2)推导与之间的递推关系； (3)求数列的通项公式及其前项和． 【答案】(1)； (2) (3)； 【分析】（1）设交换次后，小明恰有张中奖券的概率为，进而求得第1次和第2次交换后的概率的值； （2）根据题意，分类讨论，求得交换次后，小明恰有1张中奖券的概率的值，结合，即可求解； （3）由（2）知：，化简得到，得到为等比数列，结合等比数列的通项公式和前项和公式，即可求解. 【详解】（1）解：设交换次后，小明恰有张中奖券的概率为， 由题意，第1次交换，可得， 所以. （2）解：根据题意，分类讨论，交换次后，小明恰有1张“中奖”奖券的情况： ①交换次后，小明恰有2张“中奖”奖券：； ②交换次后，小明恰有1张“中奖”奖券：， ③交换次后，小明恰有0张“中奖”奖券：， 综上可得，. （3）解：由（2）知：， 设，可得， 令，解得，所以， 又由，所以数列构成首项为，公比为的等比数列， 所以，可得， 所以. 71．（2026高二·福建三明·月考）某中学的体育馆同时具有羽毛球、乒乓球和篮球场馆，甲同学每天都会去体育馆锻炼，若甲当天选择羽毛球，则后一天选择羽毛球的概率为，选择乒乓球的概率为；若甲当天选择乒乓球，则后一天选择羽毛球的概率为，选择乒乓球的概率为；若甲当天选择篮球，则后一天等可能地选择其中一个项目.已知甲第一天等可能地选择一个场馆进行相应的体育锻炼.请完成下列计算： (1)求甲第2天选择羽毛球的概率； (2)求在甲第2天选择羽毛球的条件下，甲第1天选择篮球的概率； (3)记甲第天选择羽毛球的概率为，请写出与的关系. 【答案】(1)； (2)； (3). 【分析】（1）利用全概率公式计算求解即可. （2）利用贝叶斯公式计算求解即可. （3）根据给定条件，利用全概率公式列式并化简即得. 【详解】（1）设事件分别表示第一天选择羽毛球、乒乓球、篮球，第二天选择羽毛球的事件为， 则且两两互斥， 依题意，，， 且， 由全概率公式得. （2）由贝叶斯公式，得所求概率为. （3）设甲第天选择羽毛球的概率为，甲第天选择乒乓球的概率为， 由无论前一天选择什么，后一天选乒乓球的概率均为，得对所有均成立， 从而选择篮球的概率为， 当时，由全概率公式，得的递推关系为， 而，，化简得，. $