同构法在高中数学中的应用-《中学生数理化》高二数学2026年5月刊

解题篇经典题突碗方法中学生数理化 高二数学2026年5月 同构法在高中数学中的应用 ■湖北省襄阳市第三中学 张冬青秦正辉 同构法是指利用有关公式和法则，通过lna恒成立。不等式两边同时加x,整理可 对等式或不等式巧妙变形，使左右两边结构 得e-lu+x-lna>x+lnx=er十lnx恒 形式完全相同，再通过构造新的结构形式解 成立。构造函数g(x)=e十x,易知g(x)在 决问题的方法。同构法实现了化繁为简、化 R上单调递增，所以x一lna>lnx恒成立， 未知为已知，可以帮助同学们快速解决函数 即lna<(x-lnx)mm。 与导数、不等式、数列、解析几何等问题。下 面通过一些例题进行展示，希望对同学们的 令ax)=x-n则)=1-是 学习有所启发。 >0)。 题型一：同构在方程求值中的应用 当x∈(0,1)时，h'(x)<0,h(x)单调递 减； 例1已知实数a,b满足2+1十a=4, 当x∈(1，+∞)时，h'(x)>0,h(x)单 log√2b+3+b=1,则a+2b=一。 调递增。 解析：由题意可得2+1十a+1=5。已知 所以h(x)m.=h(1)=1。 108:V26+3+6=21og:(26+3)+6=1,变 因此lna<l,解得0<a<e。 所以正实数a的取值范围为(0，e)。 形可得1og:(2b+3)+2b十3=5，即2,26+ ,点评：本题主要考查指对互化运算，及函 +1og2(2b+3)=5。 数的单调性。解题的关键是根据e'一alnx> 所以2%+”+1og(2b+3)=2t1+a+ alna恒成立，等价变形得到e-m十x一lna> 1=5。构造函数y=2十x,因为函数y=2 x十lnx=er十lnx恒成立，再通过构造函 +x在R上单调递增，所以a+1=log:(2b+ 数g(x)=e十x,利用函数单调性可得x 3),则2b=2+1一3。 lna>lnx恒成立，即lna<(x-lnx)mim,从 因此a+2b=a+十2+1一3=4一3=1。 而可求解。 点评：本题综合考查对数运算、指对互化 题型三：同构在比较大小中的应用 及函数的单调性，解题的关键是通过将已知 例3 已知a,6c∈（日，+∞）且 方程等价变形得到2，”+1og:(2b十3) 2+1十a十1，再构造函数y=2十x,利用函 =-5In a,- In 3=-3In 6, b n2=-21nc,则 c 数单调性可得a十1=log(2b十3)，并用a表 )。 示b,即可求解。 A.b<c<a B.c<b<a 题型二：同构在不等式求参数范围中的 C.a<c<b D.a<b<c 应用 解析：由题意可知n5=一51na, n3 例2已知f(x)=e一alnx,若对任 a b 意x∈(0，十∞)，不等式f(x)>alna恒成 -31n6,1n2 一2lnc。整理变形得： 立，则正实数a的取值范围为。 1,1 1 1 解析：由题意知e一alnx>alna恒成 aln a=- 立，可得g-nx>lna,即e-nx> 1 111 a In 4 2In 2-4 29 中学生表理化解题皱学经鼻整方法 设函数f(x)=xlnx,则f'(x)=1+ 设bn=√1十24am,巧妙将根式去掉，将am+i 1 =161+4a,十√1干24a,)进行合理变形得 当x∈（日，+∞）时，f'(x)>0,f(x)单 到2bm+1=b,十3，从而将复杂的递推关系式 调递增：当∈(0，)时，f(x)0,f)单 转化为热悉的数列，通过构造数列{b,一3}解 决问题。 调递减。 题型五：同构在圆锥曲线切线中的应用 因为日<<<名，所以n言> 例5已知抛物线C:x2=2py(p>0) n>3n 1 的焦点为F,且点F与圆M:x2+(y十4)= 1上点的距离的最小值为4。 则alna>clnc>blnb。又a,b,c∈ (1)求p: (日+)故6<c<a。选A. (2)若点P在圆M上，直线PA、PB是 抛物线C的两条切线，A、B是切点，求 ,点评：解题的关键是根据题目条件中三个 △PAB面积的最大值。 等式的相似性，进行等价变形，通过构造函数 解析：(1)由题意知抛物线C的焦点为 1, 11 1 f(x)=zlnx,巧妙利用2ln2=4ln车，将 F(o,2)FM1=是+4. 吉n台，h分合n名放在同一个单润区 1 11 1 所以点F与圆M:x+(y+4)=1上点 间，再根据f(x)的单调性确定a,b,c的大小。 的距离的最小值为号十4一1=4 题型四：同构在数列求通项中的应用 解得p=2。 1 例4数列(a.3中a1=1a.+1-161 (2)抛物线C的方程为x2=4y,即y= 十4am十√1+24am),求am的通项公式 千·对该函数求导得y一乞 解析：设bn=√1+24am,且bn≥0，则b1 设点A(x1,y1),B(x2,y2),P(x,y)。 =5,b=1十24am,即am= b°-1 24。 直线PA的方程为y一y1=2(x一x), 则原条件可转化为6一】 24 即y=12-y,即xx-2y1-2y=0。 +4×2+a,上 同理可知，直线PB的方程为x2x一2y 2y=0。 化简得(2bm+1)2=(bn十3)，即2bn+1=b 由于点P为这两条直线的公共点，则 1 十3，变形得6+1-3=2(6.-3)。 1x1x0-2y1-2y。=0, 所以数列{b.一3}是以b1一3=2为首 x2xo-2y2-2y0=0。 因此点A、B的坐标满足方程x。x一2y 项，2为公比的等比数列4，一3=2×（分） -2y。=0。 =22-”,即bn=22m十3。 直线AB的方程为xox-2y一2y,=0。 b-122a-1+3×2-1+1 x0x一2y一2ya=0, 则an= 24 3×22m-1 联立 可得： 1 点评：通过对本题已知条件a+1一16(1 4, x2-2x0x+4y0=0。 +4am+√1干24a。)分析可知，此式中 根据韦达定理可得x1十x2=2xo,x1x2 √1+24am较难处理。采用构造新数列{b,, =4y0o 30 高数蜂典突醉方清中学生款理化 解题篇经典题突破方法 AB=+() ·√(x1十x2)-4x1x 从而椭圆E的方程为+苦-1。 (2)显然直线PA、PB的斜率都存在，设 =√(x6+4)(x-4yo)。 过点P与圆相切的直线方程为kx一y十y 点P到直线AB的距离为d= 一kx。=0,则点F1(一1,0)到切线的距离 |x6-4yo1 Vri+4 d=|一k+y。-kx1 =1。 √1+k 所以Sas=号AB1·d 整理得(x十2x。)k一2(x。+1)yk十y6 -1=0。① =子x+4)(。-4,)· Ixi-4yo √x十4 则△=[-2(x。+1)y]-4(x+2x。)· (y6-1)。② =r-4) 设直线PA、PB的斜率分别为k1、k:,则 由于点P在圆M上，则x+(y。+4) k1、k:为方程①的两根。 =1。故x-4y。=1-(y。+4)2一4y。= k1十k2= 2(x+1)y x6+2x0 ,,·k=-1 x+2x。 -y6-12y。-15=-(y0+6)2+21。 由已知可得一5≤y≤一3，所以当y= 将+二1代入②中，整理得4= -5时，△PAB的面积取最大位号×20- +8.x0+12。 在方程kx一y十y。一kx。=0中，令x= 205。 0,得y=y0一kx0。 列6设椭圆E:a三大 6=1(a>6>0) 故A(0,y。一k1xo),B(0,y。一k2x)。 |AB|=x,|k1 k2=x。· 的左、右焦点分别为F、F,其离心率e= 2 √x。+8x。+12 x。+8x。+12 x。+6 x8+2x0 (x。+2)2 Wx。+2 且点F:到直线+=1的距离为 b 7 4 (1)求椭圆E的方程： r。十2o (2)设点P(x0,yo)(xo≥1)是椭圆E上 因为1≤x。≤2，所以√2≤ 20+2 一点，过点P作圆(x+1)+y2=1的两条切 √21 线，与y轴分别交于A、B两点，求|AB|的取 3 故AB的取值范围为厄，21门 9 值范围。 点评：上述两个问题都是圆锥曲线的切 解析：(1)由题意得，椭圆E的离心率e 线问题，一个是通过求导构造同构式，一个是 1 通过点到直线的距离构造同构式。在解析几 a ，整理得a= 3 何切线问题中，可将x1,x2,y1y2,k1,k2一 所以c=V后-不-停6.从而r(停0， 般化，通过化简将其转化为关于x,y,的具 有相同形式的方程，从而构造出同构式，再利 直线乙+￥=1可化为V3x+2y-2b=0 用“设而不求”“整体消元”思想，简化运算步 b 骤，优化解题过程，提高解题效率。 所以点F2到直线√3x十2y一2b=0的 同构法作为一种变形技巧，既能帮助同学 3 36-26 们简化问题，又能提高同学们的解题效率，还能 距离为d= √21 -,解得b 让同学们体会数学的对称美，培养同学们的数 √7 学运算、逻辑推理、数学抽象等核心素养。 =√3，所以a=2。 (责任编辑徐利杰) 31