例析离散型随机变量的分布列及数字特征的考点-《中学生数理化》高二数学2026年5月刊

中学生数理化 解题篇经典题突破方法 高三数学2026年5月 例折离散型随机变量的分布列及数字特征的考点 ■河南省沈丘县第一高级中学刘玉 离散型随机变量的分布列、期望与方差 1,三次抽取中球至少被取出一次， 0,三次抽取中球i一次都没被取出， 则X 是概率统计的核心内容，也是历年来高考数 学考查的重点。这部分知识与排列组合及概 表示所有X:的和，即X=X,十X2十X?+ 率计算联系紧密，并与函数、方程、不等式等 X,+X。 主干知识深度融合，形成了重要的知识交汇 由于每个小球都相同，则每个X:的期望 点。高考命题常以实际的生产生活问题为背 相同，且X:服从两点分布，故E(X:)= 景，重点考查同学们灵活运用所学知识与方 P(X:=1)=1-P(X:=0)。 法分析、解决实际问题的能力。下面对这类 每次未抽到球：的概率为号，三次均未 试题进行梳理，总结几个常见的考点，供同学 们参考。 抽到球i的概率P(X,=0)=(告)”，故 考点一：离散型随机变量的分布列及性质 例1(2025年高考全国I卷)有5个 x=1-(传)=10=品 相同的球，分别标有数字1,2,3,4,5，从中有 则E(X)=E(X,)+E(X:)+E(X,)+ 放回地随机取三次，每次取1个球。记X为 E(X,)+E(X:)=5×125-25 .6161 这5个球中至少被取出一次的球的个数，则 X的数学期望E(X)= 评析：解法一直接列出X的所有可能取 解法一：直接计算分布列 值，利用计数原理和古典概型的概率公式求 由题意知，X的可能取值为1,2,3，总的 得X的分布列，从而求得E(X)。解法二则 选取数为5=125。 是利用简单事件的性质把握复杂事件的性 事件{X=1}表示三次抽取同一编号的 质，构造出服从两点分布的随机变量X:,使 得随机变量X分解为X:的组合，利用期望 球则P(X-1D-二 的可加性（若随机变量X:服从两，点分布，且 事件(X=2}表示恰好两种不同编号的 P(X:=1)=1-P(X:=0)=q,i=1,2,…, 球被取出，即一球出现两次，另一球出现一 n,则E(空X,)=之q)求出X的数学期望。 次，则P(X=2)= C×C×C_12 考点二：特殊的离散型随机变量的分布 S 25 列、期望与方差 事件(X=3}表示三种不同编号的球被 例2(2024年高考新课标I卷)甲、 取出，则P(X=3)= C×C4×C12 53 259 乙两人各有四张卡片，每张卡片上标有一个 数宇，甲的卡片上分别标有数宇1,3,5,7，乙 所以E(X)=1×25 1 12 +2× 25 +3× 25 的卡片上分别标有数宇2,4,6,8，两人进行 1 四轮比赛，在每轮比赛中，两人各自从自己持 25 有的卡片中随机选一张，并比较所选卡片上 解法二：分解为随机变量之和的数学期望 数宇的大小，数字大的人得1分，数宇小的人 X为三次抽取中至少被取出一次的球的 得0分，然后各自弃置此轮所选的卡片（弃置 个数，对于每个编号i(i=1,2,3,4,5),记X 的卡片在此后的轮次中不能使用)。则四轮 20 解登餐来方青中学生表理化 比赛后，甲的总得分不小于2的概率为。 现设置两种抽奖方案，顾客自行选择其中的 解：设甲在四轮比赛中的得分分别为 一种方案。 X1,X2,X,X,,四轮的总得分为X。 方案一：从抽奖箱中一次性摸出3个球， 对于任意一轮，甲、乙两人在该轮出示每 每有1个红球，可立减80元； 张牌的概率都相等，其中使得甲得分的出牌 方案二：从抽奖箱中有放回地每次摸出1 组合有6种，从而甲在该轮得分的概率 个球，连摸3次，每摸到1次红球，立减80元。 63 P(X4=1)=4X4=8,k=1,2,3,4,所以 (1)设方案一摸出的红球个数为随机变 量X,求X的分布列、数学期望和方差。 E(X)=3 (2)设方案二摸出的红球个数为随机变 8 量Y,求Y的分布列、数学期望和方差。 从而E(X)=E(X,+X2+X,+X,)= (3)如果你是顾客，如何在上述两种抽奖 .33 之E(X)=4X8=2。 方案中进行选择？请写出你的选择及理由。 记p:=P(X=i),i=0,1,2,3。 解：(1)X的所有可能取值为1,2,3。 若甲得0分，则组合方式是唯一的，必定 P(X-1)=C4C1 C-=5,p(X=2)=CC 是甲出1,3,5,7，分别对应乙出2,4,6,8，所 以A太京 3 ,P(X=3)= 若甲得3分，则组合方式也是唯一的，必 所以X的分布列如表1所示。 定是甲出1,3,5,7，分别对应乙出8,2,4,6， 表1 所以A:=太 1 2 3 1 而X的所有可能取值是0,1,2,3，故。+ 5 5 p1+D:+b=1,p1+2p:+3p,=E(X)=3 2 所以E(X)=1× 5+2×3 +3×1 1 1 所以p1+p:+12=1,p1+2D:+8 2,D(X)=5×12)+3 5×(2-2)+ 号，两式相减得P:十京-号故P:品 日×(8-2yr= 2 5 所以甲的总得分不小于2的概率为 (2)Y的所有可能取值为0,1,2,3，且 yB3,子) 评析：本题的求解思路和例1的解法二 p(Y=0)=C× 相同，都是将随机变量分解为若干个服从两 (号)×()扩-27 点分布的变量之和。将每轮的得分分别作为 pYD=C×(层)×()=号 随机变量X,X。服从两点分布，利用X:复 合成随机变量X,从而该变量的数字特征可 pY=2)=C×(径)×(g)广-音： 以转化为服从两，点分布的变量的数字特征， 再结合期望的可加性和概率之和为1，建立 pY=a)=Cx(号)×(）》'- 等量关系求解，达到化繁为简的目的。 所以Y的分布列如表2所示。 例3某商场举行有奖促销活动，凡5 表2 月1日当天消费不低于1000元，均可参与 Y 0 1 2 3 抽奖，抽奖箱里有6个形状、大小、质地完全 P 2 4 相同的小球，其中红球有4个，白球有2个。 27 27 21 中学生数理化 解题篇经典题突破方法 高三数学2026年5月 (2)()若甲参加第一阶段比赛，则甲、乙 所以E(Y)=3× 2 3 =2,D(Y)=3×2 × 所在队的比赛成绩为15分的概率P年= 1-)-号 [1-(1-p)3]q3。 若乙参加第一阶段比赛，则甲、乙所在队的 (3)因为E(X)=E(Y),D(X)<D(Y), 比赛成绩为15分的概率Pz=[1一(1一q)3门p3。 即两种方案抽取的红球个数的数学期望一 样，但方案一更稳定，所以应选择方案一的抽 P年-P2=g-(g-pg)3-p+（p-pg) 奖方式。 =(g-p)(g2+q+p)+(p-q)· [(p-pg)+(g-g)2+(p-pg)(g-g)] 评析：抽样方式是有放回还是无放回，这 =(p-q)(3pq2-3pq-3pg2) 是判断超几何分布和二项分布的一个关键条 =3pq(p-q)(pg-p一g) 件。本题方案一是不放回抽样（总体在变 =3pg(p-q)[(1-p)(1-q)-1]。 化)，随机变量X服从超几何分布，方案二是 又0<p<q<1,则P>P乙，故应该由 有放回抽样（总体不改变），随机变量Y服从 甲参加第一阶段比赛。 二项分布。在实际问题中，需根据试验方式 (i)若甲参加第一阶段比赛，则比赛成绩 和总体特征确定概率模型，选择概率公式，特 X的所有可能取值为0,5,10,15。 殊分布列的期望和方差的计算可以直接利用 P(X=0)=(1-p)3+[1-(1-p)3]· 公式，以简化计算过程。 (1一g)3； 考点三：期望、方差在决策中的应用 P(X=5)=[1-(1-p)3]Cq(1-q)2; 例4(2024年高考新课标Ⅱ卷)某投 P(X=10)=[1-(1-p)3]C%q2(1-q): 篮比赛分为两个阶段，每个参赛队由两名队 P(X=15)=[1-(1-p)3]g3。 员组成，比赛规则如下：第一阶段由参赛队中 所以E(X)=15g[1-(1-p)8]= 一名队员投篮3次，若3次都未投中，则该队 15g(p3-3p2+3p)。 被淘汰，若至少投中1次，则该队进入第二阶 若乙参加第一阶段比赛，则比赛成绩Y 段：第二阶段由该队的另一名队员投篮3次， 的所有可能取值为0,5,10,15。 每次投篮投中得5分，未投中得0分，该队的 同理E(Y)=15p(q3-3g2+3q)。 比赛成绩为第二阶段的得分总和。某参赛队 E(X)-E(Y)=15[pq(+q)(p- 由甲、乙两名队员组成，设甲每次投中的概率 q)-3pq(p-q)]=15(p-q)pq(p+q-3)。 为p,乙每次投中的概率为q,各次投中与否 因为0<p<q<1,所以p一q<0,p十 相互独立。 q-3<1+1-3<0,则E(X)>E(Y)。 (1)若p=0.4,q=0.5,甲参加第一阶段 故应该由甲参加第一阶段比赛。 比赛，求甲、乙所在队的比赛成绩不少于5分 评析：对于决策性问题，随机变量的期望反 的概率。 映随机变量取值的平均水平，方差反映随机变 (2)假设0<p<q<1。 量稳定于均值的程度，它们从整体上刻画了随 ()为使得甲、乙所在队的比赛成绩为15 机变量，是实际生产中用于方案取舍的重要依 分的概率最大，应该由谁参加第一阶段比赛？ 据。一般先比较期望，当期望不同时，可判断两 ()为使得甲、乙所在队的比赛成绩的数 个随机变量取值的水平差异，本题(2)（ⅱ）问是 学期望最大，应该由谁参加第一阶段比赛？ 根据期望决定由谁参赛。当两个随机变量期望 解：(1)甲、乙所在队的比赛成绩不少于 相同或较为接近时，可通过方差来决定，例3的 5分，则甲第一阶段至少投中1次，乙第二阶 (3)问是利用方差判断方案一更稳定。有时也 段也至少投中1次。 通过比较事件发生的概率进行决策，本题(2)() 故比赛成绩不少于5分的概率P=(1 问是根据概率大小进行决策。 0.63)×(1-0.53)=0.686。 (责任编辑赵侍) 22