第06讲：离散型随机变量分布列、数字特征【十大题型】讲义-2025-2026学年高二下学期数学《考点•题型•技巧》精讲与精练高分突破（人教A版选择性必修第三册）

第06讲：离散型随机变量分布列、数字特征 【考点梳理】 · 考点一、离散型随机变量的分布列的性质 · 考点二、离散型随机变量的分布列 · 考点三、由离散型随机变量的分布列求概率 · 考点四、离散型随机变量均值的性质 · 考点五：由均值求参数问题 · 考点六、利用定义求离散型随机变量的均值 · 考点七、两点分布问题 · 考点八、求离散型随机变量的方差和标准差 · 考点九、方差的性质 · 考点十、分布列、均值、方差的综合应用 【知识梳理】 知识点一：随机变量的概念、表示及特征 1．概念：一般地，对于随机试验样本空间Ω中的每个样本点ω都有唯一的实数X(ω)与之对应，我们称X为随机变量． 2．表示：用大写英文字母表示随机变量，如X，Y，Z；用小写英文字母表示随机变量的取值，如x，y，z. 3．特征：随机试验中，每个样本点都有唯一的一个实数与之对应，随机变量有如下特征： (1)取值依赖于样本点． (2)所有可能取值是明确的． 知识点二：离散型随机变量：可能取值为有限个或可以一一列举的随机变量，我们称之为离散型随机变量． 知识点三：离散型随机变量的分布列及其性质 1．定义：一般地，设离散型随机变量X的可能取值为x1，x2，…，xn，我们称X取每一个值xi的概率P(X＝xi)＝pi，i＝1,2,3，…，n为X的概率分布列，简称分布列． 2．分布列的性质 (1)pi≥0，i＝1,2，…，n. (2)p1＋p2＋…＋pn＝1. 知识点四：两点分布 如果P(A)＝p，则P()＝1－p，那么X的分布列为 X 0 1 P 1－p p 我们称X服从两点分布或0－1分布． 知识点五：离散型随机变量的均值 1．离散型随机变量的均值的概念：一般地，若离散型随机变量X的分布列为 X x1 x2 … xi … xn P p1 p2 … pi … pn 则称E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn＝为随机变量X的均值或数学期望． 2．离散型随机变量的均值的意义：均值是随机变量可能取值关于取值概率的加权平均数，它综合了随机变量的取值和取值的概率，反映了随机变量取值的平均水平． 3．离散型随机变量的均值的性质 若Y＝aX＋b，其中a，b均是常数(X是随机变量)，则Y也是随机变量，且有E(aX＋b)＝aE(X)＋b. 证明如下：如果Y＝aX＋b，其中a，b为常数，X是随机变量，那么Y也是随机变量．因此P(Y＝axi＋b)＝P(X＝xi)，i＝1,2,3，…，n，所以Y的分布列为 Y ax1＋b ax2＋b … axi＋b … axn＋b P p1 p2 … pi … pn 于是有E(Y)＝(ax1＋b)p1＋(ax2＋b)p2＋…＋(axi＋b)pi＋…＋(axn＋b)pn＝a(x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn)＋b(p1＋p2＋…＋pi＋…＋pn)＝aE(X)＋b，即E(aX＋b)＝aE(X)＋b. 知识点六：两点分布的均值：如果随机变量X服从两点分布，那么E(X)＝0×(1－p)＋1×p＝p. 知识点七：离散型随机变量的方差、标准差 设离散型随机变量X的分布列如表所示． X x1 x2 … xn P p1 p2 … pn 我们用X所有可能取值xi与E(X)的偏差的平方(x1－E(X))2，(x2－E(X))2，…，(xn－E(X))2，关于取值概率的加权平均，来度量随机变量X取值与其均值E(X)的偏离程度． 我们称D(X)＝(x1－E(X))2p1＋(x2－E(X))2p2＋…＋(xn－E(X))2pn＝为随机变量X的方差(variance)，有时也记为Var(X)，并称为随机变量X的标准差(standard deviation)，记为σ(X)． 知识点四：离散型随机变量方差的性质 1．设a，b为常数，则D(aX＋b)＝a2D(X)． 2．D(c)＝0(其中c为常数)． 【题型探究】 题型一、离散型随机变量的分布列的性质 【典例1】．（24-25高二下·黑龙江哈尔滨·月考）设离散型随机变量的分布列如表，若随机变量，则（    ） X 0 1 2 3 4 P 0.2 0.1 0.1 0.3 m A．0.2 B．0.3 C．0.4 D．0.5 【变式1】．（24-25高二下·河北保定·期中）已知离散型随机变量的分布列如下表所示，则的值为（   ） 0 1 2 3 0.12 0.16 A．0.16 B．0.09 C．0.59 D． 【变式2】．（24-25高二下·云南昆明·月考）设是一个离散型随机变量，其分布列如下，则（    ） 0 1 A．或 B． C． D． 【变式3】．（25-26高三上·辽宁·开学考试）已知离散型随机变量X 的 分布列如下表：若离散型随机变量，则_______ X 0 1 2 3 P a 5a 题型二、离散型随机变量的分布列 【例2】．（25-26高二下·全国·课堂例题）现有10道题，其中6道甲类题、4道乙类题，张同学从中任取3道题解答． (1)求张同学至少取到1道乙类题的概率； (2)已知所取的3道题中有2道甲类题、1道乙类题．设张同学答对每道甲类题的概率是，答对每道乙类题的概率是，且各题答对与否相互独立，用X表示张同学答对题的个数，求X的分布列． 【变式1】．（25-26高二下·全国·课后作业）若是一个三位正整数，且的个位数字大于十位数字，十位数字大于百位数字，则称为“三位递增数”（如137，359，567等）．在某次数学趣味活动中，每位参加者需从所有的“三位递增数”中随机抽取1个数，且只能抽取一次．得分规则如下：若抽取的“三位递增数”的三个数字之积不能被5整除，参加者得0分；若能被5整除，但不能被10整除，得分；若能被10整除，得1分． (1)写出所有个位数字是5的“三位递增数”； (2)若甲参加活动，求甲得分的分布列． 【变式2】．（25-26高二上·江西鹰潭·期末）某校高三年级拟派出甲、乙、丙三人去参加校运动会100m跑项目.比赛分为初赛和决赛，其中初赛有两轮，只有两轮都获胜才能进入决赛．已知甲在每轮比赛中获胜的概率均为；乙在第一轮和第二轮比赛中获胜的概率分别为和；丙在第一轮和第二轮获胜的概率分别为和，其中 (1)甲、乙、丙三人中，谁进入决赛的可能性最大； (2)若甲、乙、丙三人均未进入决赛的概率为，设进入决赛的人数为，求的分布列. 【变式3】．（25-26高三上·湖北荆州·月考）某种量子加密技术所用光子有两种指向：“0指向”和“1指向”，光子的发送和接收都有A､B两种模式.当发送和接收模式相同时，检测器检测到的光子指向信息与发送信息一致，否则检测出相异的指向信息.现发射器以A模式，从两个“1指向”､两个“0指向”的光子中随机选择两个依次发送，接收器每次以A或者B模式接收，其概率分别为和每次发送和接收相互独立. (1)求发射器第1次发送“0指向”光子的条件下，第二次发送“1指向”光子的概率； (2)记发射器共发射“0指向”光子个数为X，求X的分布列. 题型三、由离散型随机变量的分布列求概率 【例3】．（24-25高二下·黑龙江绥化·期末）随机变量X的分布列为，其中a是常数，以下错误的是（    ）． A． B． C． D．以上均不正确 【变式1】．（24-25高二下·黑龙江鸡西·期中）设离散型随机变量的分布列为，其中为常数，则（    ） A． B． C． D． 【变式2】．（2025高二·全国·专题练习）已知随机变量X的概率分布规律为，其中a为常数，则_______． 【变式3】．（24-25高二下·山西吕梁·期中）设离散型随机变量的分布列如右表，若随机变量，则______． X 0 1 2 3 4 P 题型四、离散型随机变量均值的性质 【典例4】．（24-25高二下·江苏苏州·期中）已知随机变量X的分布列如图： X 0 1 p a 则a=______；设，则Y的数学期望=______. 【变式1】．（23-24高二下·辽宁·期末）已知随机变量的概率分布如表且；则_______﹔ 1 2 4 0.4 【变式2】．（2025高三·全国·专题练习）已知随机变量的分布列为，又的均值，且______． 【变式3】．（24-25高二下·重庆·月考）已知盒中有个白球和个黑球，一次性不放回地任取个球，记是摸到黑球的个数，则______，若变量，则______． 题型五：由均值求参数问题 【典例5】．（25-26高二下·全国·课堂例题）已知随机变量的分布列为 1 2 3 且，若，则________，________． 【变式1】．（19-20高二下·山东淄博·期中）已知随机变量的分布列如下： 0 1 且，则__________. 【变式2】．（23-24高二下·江苏常州·期中）设离散型随机变量可能的取值为，，0，1，2，，若的均值为，则的值为______． 【变式3】．（23-24高三上·天津河东·月考）设随机变量X的概率分布列为： X 1 2 3 4 P m n 已知，则_____. 题型六、利用定义求离散型随机变量的均值 【典例6】．（25-26高二上·江西宜春·期末）赣正如火如荼地举行中，宜春队2名队员在某次训练时，推出的球车中装有个篮球，其中个是新的，个是旧的.进行两次取球使用：每次从球车中任取个球来用，用完后放回球车中（新球用完后变为旧球）.设第一次取出的新球数为，第二次取出的新球数为.设最终球车中旧球数为. (1)求的概率； (2)已知最终球车中旧球数为，求第一次取出的新球数不超过的概率； (3)求的分布列和数学期望. 【变式1】．（25-26高二上·江西南昌·期末）甲、乙进行足球点球比赛，分轮次进行，每轮比赛甲、乙各射门一次，若轮比赛结束后，两人的进球数相差2，则停止比赛，进球数多的获胜；若4轮比赛后，两人的进球数相差小于2也停止比赛，进球数多的获胜，进球数相同则平局．甲、乙射门的命中率分别为0.5和0.8.每轮点球比赛的结果相互独立． (1)求1轮点球比赛后，两人的进球数相同的概率； (2)求甲、乙最终平局的概率； (3)记甲、乙一共进行了轮比赛，求的分布列及期望． 【变式2】．（25-26高二上·江西赣州·期末）某学校举办数学知识竞赛，每位参赛者要答3道题，第一题分值为40分，第二、三题分值均为20分，若答对，则获得题目对应分值，若答错，则得0分，参赛者累计得分不低于60分即可获奖．已知甲答对第一、二、三题的概率分别为，，，乙答对第一、二、三题的概率均为，且甲、乙每次答对与否互不影响． (1)求甲获奖的概率； (2)求乙的累计得分的分布列和期望； (3)在甲、乙两人均获奖的条件下，求甲的累计得分比乙高的概率． 【变式3】．（25-26高三上·海南·期末）某快递公司计划采购一款无人机来投送快件，采购前安排甲、乙、丙三名技术人员对该款无人机进行评估，每名技术人员要从安全性、时效性、经济性这三个指标中随机选两个指标，给出“满意”或“不满意”的评价.已知他们对这三个指标的实际满意情况如下表： 安全性 时效性 经济性 甲 满意 满意 不满意 乙 满意 满意 满意 丙 满意 不满意 满意 假设三人都如实评价，且每人评价的结果相互独立.每给1个满意计10分，不满意计0分. (1)求该款无人机得到6个满意的概率； (2)求该款无人机的总得分的分布列和数学期望. 题型七、两点分布问题 【典例7】．（2025·河南周口·二模）小林、小张、小陈、小王4位同学参加校园文化知识竞赛活动，每位同学只回答一个问题，且小林、小张、小陈、小王答对的概率分别为，，，，每位同学答对与否相互独立. (1)在小林答对的情况下，求恰有3位同学答对题目的概率； (2)若答对题目得2分，答错题目得0分，X表示4位同学得分之和，求X的数学期望. 【变式2】．（24-25高二下·广东惠州·月考）若离散型随机变量X服从分布，且，则_________． 【变式3】．（24-25高二下·山东东营·期末）一个箱子里有10个除颜色外完全相同的小球，其中红色小球4个，黄色小球3个，蓝色小球2个，绿色小球1个，现从中有放回地抽取三次，记取出球的颜色种数为X，则________，数学期望________. 【变式3】．（24-25高二下·湖南娄底·期中）已知随机变量X服从两点分布，且，设，那么________. 题型八、求离散型随机变量的方差和标准差 【典例8】．（25-26高二上·上海普陀·期末）为激发学习数学的兴趣，高二年级举行数学知识竞赛，赛制规定：共进行5轮比赛，每轮比赛每个班可以从、两个题库中任选1题作答，在前两轮比赛中每个班的题目必须来自同一题库，后三轮比赛中每个班的题目必须来自同一题库，题库每题20分，题库每题30分，一班能正确回答、题库每题的概率分别为、，且每轮答题结果互不影响. (1)若一班前两轮选题库，后三轮选题库，求其总分不少于100分的概率； (2)若一班在前两轮比赛中选了题库，而且两轮得分60分，后三轮换成题库，设一班最后的总分为，求的分布､期望及方差. 【变式1】．（25-26高二下·全国·课后作业）一个口袋中装有大小相同的2个白球和4个黑球．若采取放回抽样方式，从中摸出两个球，则两球恰好颜色不同的概率为________，若采取不放回抽样方式，从中摸出两个球，则摸出白球的个数的方差为________． 【变式2】．（24-25高二下·广东揭阳·月考）某质地不均匀的正四面体骰子各面上分别有1，2，3，4的编号，随意抛掷该骰子，记该骰子落下后朝下的一面编号为.若数列为等差数列，且的期望，则的方差_______________. 【变式3】．（25-26高二上·广西·月考）一个抽奖箱有10张奖票，其中5张写有“谢谢”，2张写有“再抽一次”，2张写有“2元”，1张写有“5元”.抽奖规则：参与抽奖活动者，每次只能抽奖票一张；如果抽到“谢谢”的奖票，则没有奖金；如果抽到“再抽一次”的奖票，就从抽奖箱剩下的奖票中再抽一张；如果抽到“2元”或“5元”的奖票，即可按金额兑奖. (1)小李同学参与了抽奖活动，求他抽奖获得5元的概率； (2)已知小李抽奖时获得了奖金，求他获得2元的概率； (3)记小李获奖金额为随机变量为X，求X的分布列，均值及方差. 题型九、方差的性质 【例9】．（24-25高二下·湖南·月考）已知随机变量取所有的值是等可能的，且，则________． 【变式1】．（24-25高二·全国·课堂例题）已知是离散型随机变量，，，，那么______，______． 【变式2】．（23-24高二下·福建·期中）已知随机变量的分布列为，则__________． 【变式3】．（23-24高二下·广东东莞·月考）已知随机变量X，Y满足，且随机变量X的分布列如图，则随机变量Y的方差等于________． X 0 1 2 P a 题型十、分布列、均值、方差的综合应用 【典例10】．（25-26高二下·全国·课堂例题）某种植户对一块地的n（）个坑进行播种，每个坑播种3粒种子，每粒种子发芽的概率均为，且每粒种子是否发芽相互独立，对每一个坑而言，如果至少有两粒种子发芽，则不需要进行补播种，否则要补播种． (1)当n取何值时，有3个坑要补播种的概率最大？最大概率为多少？ (2)当时，用X表示要补播种的坑的个数，求X的分布列与数学期望． 【变式1】．（25-26高二上·江西景德镇·期末）育才中学为普及法治理论知识，举办了一次法治理论知识闯关比赛.比赛规定：三人组队参赛，按顺序依次闯关，无论成败，每位队员只闯关一次.如果某位队员闯关失败，则由该队下一队员继续闯关，如果该队员闯关成功，则视作该队获胜，余下的队员无需继续闯关；若三位队员闯关均不成功，则视为该队比赛失败.比赛结束后，根据积分获取排名，每支获胜的队伍积分与派出的闯关人数的关系如下：，比赛失败的队伍则积分为0.现有甲、乙、丙三人组队参赛，他们各自闯关成功的概率分别为，，，且每人能否闯关成功互不影响. (1)已知，， （ⅰ）若按甲、乙、丙的顺序依次参赛，求该队比赛结束后所获积分的期望； （ⅱ）若第一次闯关从三人中随机抽取，求该队比赛结束后所获积分的概率. (2)若，甲安排在第一位参赛，应如何安排乙、丙的参赛顺序使该队比赛结束后所获积分的期望最大，说明理由. 【变式2】．（25-26高二上·江西南昌·期末）DeepSeek是北京一家人工智能技术研究公司推出的AI助手．它能进行逻辑推理、解决复杂问题，实现多模态数据融合与学习．某科技公司在使用DeepSeek对某一类问题进行测试时发现，如果输入的问题没有语法错误，它回答正确的概率为；如果出现语法错误，它回答正确的概率为．假设每次输入的问题出现语法错误的概率为，且每次输入问题，DeepSeek的回答是否正确相互独立．该公司科技人员小张想挑战DeepSeek，小张和DeepSeek各自从给定的10个问题中随机抽取9个作答．已知在这10个问题中，小张能正确作答其中的9个． (1)求小张能全部回答正确的概率； (2)求一个问题能被DeepSeek回答正确的概率； (3)设小张答对的题数为，求的分布列，并求出的期望和方差． 【变式3】．（25-26高二上·贵州遵义·期末）为深入贯彻党的教育方针和新时代军事战略方针，落实立德树人与强军目标，立足革命老区，传承红色基因，强化国防教育，遵义四中将在2028届高一年级组建遵义四中第一届“长城计划•国防班”．进国防班要求男生身高165cm及以上，女生身高160cm及以上．已知某届高一年级共有1200名学生，其中男生人数与女生人数之比为3:2．为了解我校高一年级全体学生的身高情况，按性别进行分层抽样，抽取一个样本容量为25的样本，并观测样本身高数据（单位：cm）．下表是抽取的女生样本的数据： 序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 身高 158 156 163 169 155 157 161 160 162 159 记抽取的第个女生的身高为，样本平均数，标准差． (1)用女生样本数据估计高一年级女生身高符合国防班要求的人数． (2)在女生样本中任抽3人，记这3人中身高达到进国防班要求的人数为，求的分布列及数学期望． (3)若女生样本数据在之外的数据称为偏离值，剔除偏离值后，计算剩余女生样本身高的平均数与方差．（参考数据：） 【高分达标】 一、单选题 1．（25-26高二下·全国·课堂例题）下列变量中，是离散型随机变量的是（    ） A．到2025年5月1日止，我国发射的卫星 B．一只刚出生的大熊猫，一年以后的身高 C．某人在车站等出租车的时间 D．某人投篮10次，投中的次数 2．（25-26高三上·山西大同·月考）已知随机变量，均服从两点分布，且，，若，则（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高二上·全国·单元测试）为庆祝神舟十八号载人飞船发射取得圆满成功，某中学举办了一次“航天知识知多少”的知识竞赛．参赛选手从7道题（4道多选题，3道单选题）中随机抽题作答，若某选手先随机抽取2道题，再在剩下的5道题中随机抽取1道题，则最后抽取到的题为多选题的概率为（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高二下·辽宁朝阳·月考）已知随机变量的分布列如下： 0 1 2 若，则（   ） A． B．7 C．21 D．22 5．（25-26高二下·全国·单元测试）若随机变量服从两点分布，其中，，分别为随机变量的均值与方差，则下列结论不正确的是（   ） A． B． C． D． 6．（23-24高二下·广东清远·月考）已知随机变量X有三个不同的取值，分别是，其中，又，，随机变量X的方差的最小值为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 7．（25-26高二上·河南南阳·期末）已知随机变量，且，则（   ） A． B． C． D． 8．（25-26高二上·辽宁朝阳·期末）现有编号的个学生，入座编号的个座位，设学生所坐的座位号与该生的编号不同的学生数为，已知时共8种坐法，则（   ） A． B． C． D． 9．（25-26高二上·全国·单元测试）为培养学生体育锻炼的习惯，以及强化科学健身的理念，某校创建了田径类、球类、武术类三个体育社团．甲、乙、丙三位同学各自参加其中一个社团，每位同学参加各个社团的可能性相同，记三位同学所参加的社团种类的个数为，则（    ） A．的所有可能取值为1，2，3 B． C． D． 10．（24-25高二下·福建福州·期末）乒乓球，被称为中国的“国球”.某次比赛采用三局两胜制，当参赛选手甲、乙两位中有一位赢得两局比赛时，就由该选手晋级而比赛结束，每局比赛都要分出胜负，且每局比赛的胜负不受之前比赛结果影响.假设甲在任一局赢球的概率为（），有选手晋级所需要的比赛局数的期望值记为，则下列说法中不正确的是（   ） A．打满三局结束比赛的概率为 B．的常数项为 C．函数在上单调递增 D． 三、填空题 11．（25-26高二上·江西萍乡·期末）有5个相同的球分别标有数字1，2，3，4，5，从中有放回地随机取3次，每次取1个球.记随机变量X为取出的3次球所对应的数字的极差，则X的数学期望______. 12．（25-26高二上·浙江宁波·期末）一个不透明的袋子有除颜色不同外，大小质地完全相同的球，其中有个红球、个白球和个黑球，逐个不放回地随机取球，直至剩下只有一种颜色的球时游戏结束，记游戏结束时取球次数为，则________________． 13．（25-26高二上·辽宁鞍山·期末）已知随机变量X，Y满足，且随机变量X的分布列如下：则随机变量Y的方差等于_____. 0 1 2 14．（25-26高三上·天津南开·月考）一质点从的顶点出发，每次随机沿一条边运动至另一个顶点时终止，则质点次运动过程中仅次经过顶点的条件下，第次回到顶点的概率____________，记质点次运动过程中经过顶点的次数是，则____________． 四、解答题 15．（25-26高二下·黑龙江·开学考试）甲､乙两个袋子中，各放有大小和形状相同的小球若干.每个袋子中标号为0的小球有1个，标号为1的有3个，标号为2的有个.从一个袋子中任取两个球，取到的标号都是2的概率是. (1)求的值； (2)从甲袋中任取两个球，已知其中一个的标号是1，求另一个标号也是1的概率； (3)从两个袋子中各取一个小球，用表示这两个小球的标号之和，求的分布列和期望. 16．（2025·云南曲靖·模拟预测）某学校对高中生体质健康调研，随机抽取100名学生的体重（单位：kg）得到如下频数分布表： 分组 频数 5 25 40 20 10 (1)估计样本的中位数； (2)从样本和中按分层抽样抽取学生6人，再从这6人中随机抽取3人，其中体重在，的人数分别为，，记． （i）求的分布列及期望； （ii）求． 17．（2025·安徽合肥·模拟预测）3月14日为国际数学日，也称为节，为庆祝该节日，某中学举办了数学文化节活动，其中一项活动是“数学知识竞赛”，竞赛规则是：两人一组，每一轮竞赛中，小组两人分别答3道题，若答对题目不少于5道题，则获得1个积分．已知甲、乙两名同学一组，甲同学和乙同学对每道题答对的概率分别是和，且每道题答对与否互不影响． (1)若，，求甲、乙同学这一组在一轮竞赛中获得1个积分的概率； (2)若，且每轮比赛互不影响，进行n轮比赛后，甲、乙同学这一组获得的积分为X分．若恒成立，求n的最小值． 18．（25-26高三上·河北衡水·期末）为落实中央经济工作会议“坚持内需主导，建设强大国内市场”的精神，某市大力推行某项消费补贴政策.政策旨在直接激发消费，并希望通过了解政策的家庭产生“带动效应”，形成消费涟漪，进一步扩大内需.政策规定每个家庭在2026年一年内有两次机会领取补贴，上半年一次（1月1日至6月30日），下半年一次（7月1日至12月31日）.每次消费2万元以上可以领取4000元补贴.通过调查可知，该市居民家庭对政策的总体了解率为；在所有了解政策的家庭中，有的家庭因此产生了消费意向；在不了解政策的家庭中，也有的家庭因市场氛围等因素产生了消费意向.调研发现，每个了解政策并产生消费意向的家庭，其每次发生消费行为的概率为，且可能带动另一个不了解政策的家庭进行消费，受带动的家庭上半年发生消费行为的概率为，下半年发生消费行为的概率为. (1)求在随机抽取到一个有消费意向家庭的条件下，该家庭是“因了解政策而产生消费意向”的概率. (2)若政策规定一个家庭参与消费且拿到补贴，并带动另外一个不了解政策家庭进行消费且拿到补贴，则可以领到额外消费奖励，其奖励如下：两个家庭合计拿到8000元补贴，带动家庭可以拿1000元奖励；两个家庭合计拿到12000元补贴，带动家庭可以拿2000元奖励；两个家庭合计拿到16000元补贴，带动家庭可以拿3000元奖励.试估计该家庭可以拿到多少奖励（单位：元）. 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 第06讲：离散型随机变量分布列、数字特征 【考点梳理】 · 考点一、离散型随机变量的分布列的性质 · 考点二、离散型随机变量的分布列 · 考点三、由离散型随机变量的分布列求概率 · 考点四、离散型随机变量均值的性质 · 考点五：由均值求参数问题 · 考点六、利用定义求离散型随机变量的均值 · 考点七、两点分布问题 · 考点八、求离散型随机变量的方差和标准差 · 考点九、方差的性质 · 考点十、分布列、均值、方差的综合应用 【知识梳理】 知识点一：随机变量的概念、表示及特征 1．概念：一般地，对于随机试验样本空间Ω中的每个样本点ω都有唯一的实数X(ω)与之对应，我们称X为随机变量． 2．表示：用大写英文字母表示随机变量，如X，Y，Z；用小写英文字母表示随机变量的取值，如x，y，z. 3．特征：随机试验中，每个样本点都有唯一的一个实数与之对应，随机变量有如下特征： (1)取值依赖于样本点． (2)所有可能取值是明确的． 知识点二：离散型随机变量：可能取值为有限个或可以一一列举的随机变量，我们称之为离散型随机变量． 知识点三：离散型随机变量的分布列及其性质 1．定义：一般地，设离散型随机变量X的可能取值为x1，x2，…，xn，我们称X取每一个值xi的概率P(X＝xi)＝pi，i＝1,2,3，…，n为X的概率分布列，简称分布列． 2．分布列的性质 (1)pi≥0，i＝1,2，…，n. (2)p1＋p2＋…＋pn＝1. 知识点四：两点分布 如果P(A)＝p，则P()＝1－p，那么X的分布列为 X 0 1 P 1－p p 我们称X服从两点分布或0－1分布． 知识点五：离散型随机变量的均值 1．离散型随机变量的均值的概念：一般地，若离散型随机变量X的分布列为 X x1 x2 … xi … xn P p1 p2 … pi … pn 则称E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn＝为随机变量X的均值或数学期望． 2．离散型随机变量的均值的意义：均值是随机变量可能取值关于取值概率的加权平均数，它综合了随机变量的取值和取值的概率，反映了随机变量取值的平均水平． 3．离散型随机变量的均值的性质 若Y＝aX＋b，其中a，b均是常数(X是随机变量)，则Y也是随机变量，且有E(aX＋b)＝aE(X)＋b. 证明如下：如果Y＝aX＋b，其中a，b为常数，X是随机变量，那么Y也是随机变量．因此P(Y＝axi＋b)＝P(X＝xi)，i＝1,2,3，…，n，所以Y的分布列为 Y ax1＋b ax2＋b … axi＋b … axn＋b P p1 p2 … pi … pn 于是有E(Y)＝(ax1＋b)p1＋(ax2＋b)p2＋…＋(axi＋b)pi＋…＋(axn＋b)pn＝a(x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn)＋b(p1＋p2＋…＋pi＋…＋pn)＝aE(X)＋b，即E(aX＋b)＝aE(X)＋b. 知识点六：两点分布的均值：如果随机变量X服从两点分布，那么E(X)＝0×(1－p)＋1×p＝p. 知识点七：离散型随机变量的方差、标准差 设离散型随机变量X的分布列如表所示． X x1 x2 … xn P p1 p2 … pn 我们用X所有可能取值xi与E(X)的偏差的平方(x1－E(X))2，(x2－E(X))2，…，(xn－E(X))2，关于取值概率的加权平均，来度量随机变量X取值与其均值E(X)的偏离程度． 我们称D(X)＝(x1－E(X))2p1＋(x2－E(X))2p2＋…＋(xn－E(X))2pn＝为随机变量X的方差(variance)，有时也记为Var(X)，并称为随机变量X的标准差(standard deviation)，记为σ(X)． 知识点四：离散型随机变量方差的性质 1．设a，b为常数，则D(aX＋b)＝a2D(X)． 2．D(c)＝0(其中c为常数)． 【题型探究】 题型一、离散型随机变量的分布列的性质 【典例1】．（24-25高二下·黑龙江哈尔滨·月考）设离散型随机变量的分布列如表，若随机变量，则（    ） X 0 1 2 3 4 P 0.2 0.1 0.1 0.3 m A．0.2 B．0.3 C．0.4 D．0.5 【答案】D 【分析】根据分布列的性质，求得，再根据的关系可得，结合分布列即可求得结果. 【详解】由分布列性质可得：，解得； 因为，故. 故选：D. 【变式1】．（24-25高二下·河北保定·期中）已知离散型随机变量的分布列如下表所示，则的值为（   ） 0 1 2 3 0.12 0.16 A．0.16 B．0.09 C．0.59 D． 【答案】A 【分析】根据概率之和为1即可求解. 【详解】由表可得，所以， 满足，故. 故选：A. 【变式2】．（24-25高二下·云南昆明·月考）设是一个离散型随机变量，其分布列如下，则（    ） 0 1 A．或 B． C． D． 【答案】B 【详解】由离散型随机变量的性质可得，即， 解得或，当时，不合题意，所以.故选：B 【变式3】．（25-26高三上·辽宁·开学考试）已知离散型随机变量X 的 分布列如下表：若离散型随机变量，则_______ X 0 1 2 3 P a 5a 【答案】 【分析】根据分布列的性质求出，再根据随机变量之间的函数关系即可求解. 【详解】由分布列的性质可知： 解得 ， 由 ， 等价于 ，由表可知 ； 故答案为： 题型二、离散型随机变量的分布列 【例2】．（25-26高二下·全国·课堂例题）现有10道题，其中6道甲类题、4道乙类题，张同学从中任取3道题解答． (1)求张同学至少取到1道乙类题的概率； (2)已知所取的3道题中有2道甲类题、1道乙类题．设张同学答对每道甲类题的概率是，答对每道乙类题的概率是，且各题答对与否相互独立，用X表示张同学答对题的个数，求X的分布列． 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）先根据组合数计算，再根据对立事件概率求解； （2）先求出取值为0，1，2，3对应的概率，再得出分布列即可. 【详解】（1）设事件：“张同学所取的3道题至少有1道乙类题”，则有：“张同学所取的3道题都是甲类题”． 因为， 所以． （2）所有可能的取值为0，1，2，3． ， ， ， ． 所以的分布列为 0 1 2 3 【变式1】．（25-26高二下·全国·课后作业）若是一个三位正整数，且的个位数字大于十位数字，十位数字大于百位数字，则称为“三位递增数”（如137，359，567等）．在某次数学趣味活动中，每位参加者需从所有的“三位递增数”中随机抽取1个数，且只能抽取一次．得分规则如下：若抽取的“三位递增数”的三个数字之积不能被5整除，参加者得0分；若能被5整除，但不能被10整除，得分；若能被10整除，得1分． (1)写出所有个位数字是5的“三位递增数”； (2)若甲参加活动，求甲得分的分布列． 【答案】(1)125，135，145，235，245，345． (2)答案见解析 【分析】（1）根据“三位递增数”的定义，即可写出所有个位数字是5的“三位递增数”； （2）由题意得随机变量的取值为：，求出相应的概率，即可得到甲得分的分布列. 【详解】（1）个位数字是5的“三位递增数”有125，135，145，235，245，345． （2）由题意知，全部“三位递增数”的个数为， 随机变量可能的取值为. ，，． 所以的分布列为 0 1 【变式2】．（25-26高二上·江西鹰潭·期末）某校高三年级拟派出甲、乙、丙三人去参加校运动会100m跑项目.比赛分为初赛和决赛，其中初赛有两轮，只有两轮都获胜才能进入决赛．已知甲在每轮比赛中获胜的概率均为；乙在第一轮和第二轮比赛中获胜的概率分别为和；丙在第一轮和第二轮获胜的概率分别为和，其中 (1)甲、乙、丙三人中，谁进入决赛的可能性最大； (2)若甲、乙、丙三人均未进入决赛的概率为，设进入决赛的人数为，求的分布列. 【答案】(1)甲； (2)分布列见解析. 【分析】（1）利用相互独立事件的概率公式分别求出甲乙丙进入决赛的概率，再比较大小即可； （2）利用相互独立事件的概率公式，列式解方程求出，再求出的可能值及对应的概率，列出分布列. 【详解】（1）甲进入决赛的概率为， 乙进入决赛的概率为， 丙进入决赛的概率为，而，则， 所以甲进入决赛的可能性最大. （2）甲、乙、丙三人均未进入决赛的概率， 整理可得，解得或，而，所以. 则， 所以甲、乙、丙进入决赛的概率分别为， 随机变量的可能取值有0，1，2，3， 所以， ， ， ， 所以随机变量的分布列为： 0 1 2 3 【变式3】．（25-26高三上·湖北荆州·月考）某种量子加密技术所用光子有两种指向：“0指向”和“1指向”，光子的发送和接收都有A､B两种模式.当发送和接收模式相同时，检测器检测到的光子指向信息与发送信息一致，否则检测出相异的指向信息.现发射器以A模式，从两个“1指向”､两个“0指向”的光子中随机选择两个依次发送，接收器每次以A或者B模式接收，其概率分别为和每次发送和接收相互独立. (1)求发射器第1次发送“0指向”光子的条件下，第二次发送“1指向”光子的概率； (2)记发射器共发射“0指向”光子个数为X，求X的分布列. 【答案】(1) (2)分布列见解析 【分析】（1）分别求出事件：“发射器第一次发送“0指向”的光子”和事件：“发射器第一次发送“0指向”的光子且第二次发送“1指向”的光子”的概率，应用条件概率计算即可. （2）应用古典概型求解事件的概率，即可写出X的分布列. 【详解】（1）设事件“发射器第一次发送“0指向”的光子”， 事件“第二次发送“1指向”的光子”， 则， 由条件概率公式，； （2）由题意：， ， 所以的分布列为： 0 1 2 题型三、由离散型随机变量的分布列求概率 【例3】．（24-25高二下·黑龙江绥化·期末）随机变量X的分布列为，其中a是常数，以下错误的是（    ）． A． B． C． D．以上均不正确 【答案】D 【分析】根据分布列的性质，列出方程求得，结合选项，逐项判定，即可求解. 【详解】根据题意，随机变量的分布列为， 则，解得，故AB正确； 又，C正确； 故D错误. 故选：D 【变式1】．（24-25高二下·黑龙江鸡西·期中）设离散型随机变量的分布列为，其中为常数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用分布列的性质求出，再利用互斥事件的概率公式求解. 【详解】依题意，，解得， 所以. 故选：A 【变式2】．（2025高二·全国·专题练习）已知随机变量X的概率分布规律为，其中a为常数，则_______． 【答案】 【分析】利用概率和为1可构造方程求得a的值，由可求得结果. 【详解】因为， 所以，故， 所以. 故答案为：. 【变式3】．（24-25高二下·山西吕梁·期中）设离散型随机变量的分布列如右表，若随机变量，则______． X 0 1 2 3 4 P 【答案】/ 【分析】利用分布列性质计算可得，再由和事件即可求得其概率. 【详解】易知，解得； 由可得或， 所以. 故答案为： 题型四、离散型随机变量均值的性质 【典例4】．（24-25高二下·江苏苏州·期中）已知随机变量X的分布列如图： X 0 1 p a 则a=______；设，则Y的数学期望=______. 【答案】 【详解】； . 【变式1】．（23-24高二下·辽宁·期末）已知随机变量的概率分布如表且；则_______﹔ 1 2 4 0.4 【答案】 【分析】根据分布列的概率性质，结合题意，求出参数，再根据数学期望的性质计算可得答案. 【详解】因为，所以， 所以， 则. 故答案为：15. 【变式2】．（2025高三·全国·专题练习）已知随机变量的分布列为，又的均值，且______． 【答案】 【分析】根据分布列的性质概率和为1以及期望公式联立求的值，即可得结果. 【详解】因为，可得，即． 又因为， 联立方程，解得，所以． 故答案为：. 【变式3】．（24-25高二下·重庆·月考）已知盒中有个白球和个黑球，一次性不放回地任取个球，记是摸到黑球的个数，则______，若变量，则______． 【答案】 【分析】利用组合计数原理、古典概型的概率公式以及对立事件的概率公式可求出的值，求出的值，结合期望的性质可求出的值. 【详解】由题意可得， 由题意可知，随机变量的可能取值有、、， 则，，， 所以， 因为，故. 故答案为：；. 题型五：由均值求参数问题 【典例5】．（25-26高二下·全国·课堂例题）已知随机变量的分布列为 1 2 3 且，若，则________，________． 【答案】 【分析】利用均值公式求解第一空，利用均值的性质求解第二空即可. 【详解】由均值公式得， 因为，所以．解得． 故答案为：； 【变式1】．（19-20高二下·山东淄博·期中）已知随机变量的分布列如下： 0 1 且，则__________. 【答案】4 【分析】由分布列的期望公式解得. 【详解】， 即，解得. 故答案为：4. 【变式2】．（23-24高二下·江苏常州·期中）设离散型随机变量可能的取值为，，0，1，2，，若的均值为，则的值为______． 【答案】/ 【分析】由和概率和为1列方程组求解即可. 【详解】因为离散型随机变量可能的取值为，，0，1，2，， 所以， 所以，得， 因为，所以， 所以， 故答案为： 【变式3】．（23-24高三上·天津河东·月考）设随机变量X的概率分布列为： X 1 2 3 4 P m n 已知，则_____. 【答案】/0.5 【分析】根据X的数学期望和分布列的概率之和为1列出方程组，求出即可. 【详解】依题意有，解得， 则. 故答案为：. 题型六、利用定义求离散型随机变量的均值 【典例6】．（25-26高二上·江西宜春·期末）赣正如火如荼地举行中，宜春队2名队员在某次训练时，推出的球车中装有个篮球，其中个是新的，个是旧的.进行两次取球使用：每次从球车中任取个球来用，用完后放回球车中（新球用完后变为旧球）.设第一次取出的新球数为，第二次取出的新球数为.设最终球车中旧球数为. (1)求的概率； (2)已知最终球车中旧球数为，求第一次取出的新球数不超过的概率； (3)求的分布列和数学期望. 【答案】(1) (2) (3)分布列见解析， 【详解】（1）从球车中任取2个球的试验有个基本事件，的事件有个基本事件， 所以. （2）由最终球车中旧球数为4，得，则， ，， ，， 因此， 所以第一次取出的新球数不超过1的概率为. （3）最终球车中旧球数为，的可能取值为， ， ， ， ， ， 所以的分布列如下： 2 3 4 5 6 P 数学期望. 【变式1】．（25-26高二上·江西南昌·期末）甲、乙进行足球点球比赛，分轮次进行，每轮比赛甲、乙各射门一次，若轮比赛结束后，两人的进球数相差2，则停止比赛，进球数多的获胜；若4轮比赛后，两人的进球数相差小于2也停止比赛，进球数多的获胜，进球数相同则平局．甲、乙射门的命中率分别为0.5和0.8.每轮点球比赛的结果相互独立． (1)求1轮点球比赛后，两人的进球数相同的概率； (2)求甲、乙最终平局的概率； (3)记甲、乙一共进行了轮比赛，求的分布列及期望． 【答案】(1)0.5 (2)0.1889 (3)分布列见解析，3.49 【分析】（1）由两人的进球数相同可以是或进行求解； （2）因为甲、乙最终平局，所以甲、乙一定进行了4轮比赛，分三种情况进行求解； （3）的所有可能取值为2，3，4．求出对应的概率即可列出分布列及求出数学期望. 【详解】（1）记1轮点球比赛后，两人的进球数相同的概率为， 由两人的进球数相同可以是或， 则. （2）记一轮点球比赛后，甲比乙多进一个球的概率为，甲比乙少进一个球的概率为，． 因为甲、乙最终平局，所以甲、乙一定进行了4轮比赛，分三种情况： ①4轮比赛中，每轮比赛甲、乙的进球数均相同，其概率为． ②4轮比赛中，有2轮比赛甲、乙的进球数相同，有1轮比赛甲比乙多进一个球，有1轮比赛甲比乙少进一个球，其概率为． ③4轮比赛中，有2轮比赛甲比乙多进一个球，有2轮比赛甲比乙少进一个球，且前2轮比赛中甲或乙没有连续2轮比对方多进一个球，其概率为0.0064. 故甲、乙两人最终平局的概率为. （3）的所有可能取值为2，3，4． ， ， . 的分布列为 2 3 4 0.17 0.17 0.66 . 【变式2】．（25-26高二上·江西赣州·期末）某学校举办数学知识竞赛，每位参赛者要答3道题，第一题分值为40分，第二、三题分值均为20分，若答对，则获得题目对应分值，若答错，则得0分，参赛者累计得分不低于60分即可获奖．已知甲答对第一、二、三题的概率分别为，，，乙答对第一、二、三题的概率均为，且甲、乙每次答对与否互不影响． (1)求甲获奖的概率； (2)求乙的累计得分的分布列和期望； (3)在甲、乙两人均获奖的条件下，求甲的累计得分比乙高的概率． 【答案】(1) (2)分布列见解析，40 (3) 【详解】（1）甲得60分的概率为， 甲得80分的概率为，甲获奖的概率为． （2）由题意知：乙累计得分的可能取值有0，20，40，60，80， 所以， ，， ，， 的分布列为： 0 20 40 60 80 ． （3）根据题意得，得分不低于60分即可获奖， 由（1）知，甲获奖的概率为， 由（2）乙获奖的概率为， 乙只得60分的概率为， 所以甲、乙两人同时获奖的概率为， 甲、乙均获奖且甲累计得分比乙高的概率为， 所以，在甲、乙两人均获奖的条件下，甲累计得分比乙高的概率为． 【变式3】．（25-26高三上·海南·期末）某快递公司计划采购一款无人机来投送快件，采购前安排甲、乙、丙三名技术人员对该款无人机进行评估，每名技术人员要从安全性、时效性、经济性这三个指标中随机选两个指标，给出“满意”或“不满意”的评价.已知他们对这三个指标的实际满意情况如下表： 安全性 时效性 经济性 甲 满意 满意 不满意 乙 满意 满意 满意 丙 满意 不满意 满意 假设三人都如实评价，且每人评价的结果相互独立.每给1个满意计10分，不满意计0分. (1)求该款无人机得到6个满意的概率； (2)求该款无人机的总得分的分布列和数学期望. 【答案】(1) (2)该款无人机的总得分的分布列为 该款无人机的总得分的数学期望为 【分析】（1）根据表格中的信息和古典概型概率公式即可求得；（2）设该款无人机得到的满意个数为，则可得，逐一分析满意个数为的可能情形并计算其对应的概率，即可得总得分的分布列，最后利用数学期望公式即可求解. 【详解】（1）依题意，甲有2个满意（安全、时效），乙有3个满意（安全、时效、经济），丙有2个满意（安全、经济）； 设事件“甲选2个指标有个满意”，；事件“乙选2个指标有个满意”，；事件“丙选2个指标有个满意”，；事件“该款无人机得到6个满意”，则； 因为每人评价的结果相互独立，所以， 即该款无人机得到6个满意的概率为. （2）设该款无人机得到的满意个数为，则，的可能值为， ， ， ， 所以该款无人机的总得分的分布列为 所以该款无人机的总得分的数学期望为. 题型七、两点分布问题 【典例7】．（2025·河南周口·二模）小林、小张、小陈、小王4位同学参加校园文化知识竞赛活动，每位同学只回答一个问题，且小林、小张、小陈、小王答对的概率分别为，，，，每位同学答对与否相互独立. (1)在小林答对的情况下，求恰有3位同学答对题目的概率； (2)若答对题目得2分，答错题目得0分，X表示4位同学得分之和，求X的数学期望. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）小张、小陈、小王答对题目分别记为事件，三人中恰有两人答对题目记为事件，利用相互独立事件的概率乘法公式即可得， （2）利用数学期望的性质，结合两点分布的期望公式即可得解. 【详解】（1）小张、小陈、小王答对题目分别记为事件， 小张、小陈、小王三人中恰有两人答对题目记为事件， ， 故在小林答对的情况下，求恰有3位同学答对题目的概率为， （2）设表示第位同学的得分，分别对应小林，小张，小陈，小王）， 则， 由数学期望的性质可知， 对于，答对得2分，答错得0分，服从两点分布， ； ； 则. 【变式2】．（24-25高二下·广东惠州·月考）若离散型随机变量X服从分布，且，则_________． 【答案】/ 【分析】根据两点分布可得，再结合已知可得，进而可求. 【详解】∵随机变量X服从分布，且， ∴， ∴， 所以 故答案为： 【变式3】．（24-25高二下·山东东营·期末）一个箱子里有10个除颜色外完全相同的小球，其中红色小球4个，黄色小球3个，蓝色小球2个，绿色小球1个，现从中有放回地抽取三次，记取出球的颜色种数为X，则________，数学期望________. 【答案】 / / 【分析】①把四种情况对应概率相加即可 ②（方法一）用表示红色，黄色，蓝色，绿色小球被取到，分别求出各自对应概率及数学期望，最后相加即可 （方法二）分别列出的所有可能取值，分别计算出，，，再计算期望即可. 【详解】①：. ②：（方法一） 设，则服从两点分布，，，, 设，则也从两点分布，，，, 设，则也从两点分布，，， 设，则也从两点分布，，， ， （方法二）， ， ， . 故答案为： ； 【变式3】．（24-25高二下·湖南娄底·期中）已知随机变量X服从两点分布，且，设，那么________. 【答案】0 【分析】根据两点分布确定X的期望，再由随机变量的线性关系的期望性质，即可求解. 【详解】因为随机变量X服从两点分布，， 所以， 所以， 因为，所以 故答案为：0. 题型八、求离散型随机变量的方差和标准差 【典例8】．（25-26高二上·上海普陀·期末）为激发学习数学的兴趣，高二年级举行数学知识竞赛，赛制规定：共进行5轮比赛，每轮比赛每个班可以从、两个题库中任选1题作答，在前两轮比赛中每个班的题目必须来自同一题库，后三轮比赛中每个班的题目必须来自同一题库，题库每题20分，题库每题30分，一班能正确回答、题库每题的概率分别为、，且每轮答题结果互不影响. (1)若一班前两轮选题库，后三轮选题库，求其总分不少于100分的概率； (2)若一班在前两轮比赛中选了题库，而且两轮得分60分，后三轮换成题库，设一班最后的总分为，求的分布､期望及方差. 【答案】(1) (2)分布列见解析，， 【分析】（1）由概率的乘法公式与加法公式求解； （2）随机变量的可能取值为，，，，求出相应的概率，即可求出分布列、期望与方差. 【详解】（1）由条件知，若一班在前两轮得分，后三轮得分，总分为分， 其概率为， 若一班在前两轮得分，后三轮得分或分，总分为或分， 其概率为， 于是一班总分不少于分的概率为 . （2）依题意随机变量的可能取值为，，，， 所以，， ，． 所以的分布列为： 60 80 100 120 所以， . 【变式1】．（25-26高二下·全国·课后作业）一个口袋中装有大小相同的2个白球和4个黑球．若采取放回抽样方式，从中摸出两个球，则两球恰好颜色不同的概率为________，若采取不放回抽样方式，从中摸出两个球，则摸出白球的个数的方差为________． 【答案】 【分析】空1：根据独立重复试验，即可求出答案．空2：列出随机变量的分布列，根据均值和方差公式计算即可． 【详解】“有放回摸取”，每次摸出一球是白球的概率为． 所以“有放回摸两次，颜色不同”的概率为． “不放回抽取”时，设摸出白球的个数为， 依题意得，，． 所以， ． 【变式2】．（24-25高二下·广东揭阳·月考）某质地不均匀的正四面体骰子各面上分别有1，2，3，4的编号，随意抛掷该骰子，记该骰子落下后朝下的一面编号为.若数列为等差数列，且的期望，则的方差_______________. 【答案】 【分析】先根据题意设出数列的首项，公差，写出随机变量每一个取值下对应的事件的概率；再根据概率和为，，列出方程组求解和，得出；最后根据方差公式即可求解. 【详解】由题意可知的所有可能取值有：. 因为数列为等差数列， 所以设该数列的首项为，公差为， 则，，，. 根据概率和为，， 可得：，解得：. 所以，，，. 所以. 故答案为：. 【变式3】．（25-26高二上·广西·月考）一个抽奖箱有10张奖票，其中5张写有“谢谢”，2张写有“再抽一次”，2张写有“2元”，1张写有“5元”.抽奖规则：参与抽奖活动者，每次只能抽奖票一张；如果抽到“谢谢”的奖票，则没有奖金；如果抽到“再抽一次”的奖票，就从抽奖箱剩下的奖票中再抽一张；如果抽到“2元”或“5元”的奖票，即可按金额兑奖. (1)小李同学参与了抽奖活动，求他抽奖获得5元的概率； (2)已知小李抽奖时获得了奖金，求他获得2元的概率； (3)记小李获奖金额为随机变量为X，求X的分布列，均值及方差. 【答案】(1) (2) (3)分布列见解析，， 【分析】（1）列出小李抽奖获得5元的三种情况，然后根据概率加法公式求得概率即可. （2）记事件A=“小李获奖”，B=“小李获得2元奖”，分别求出，然后根据条件概率公式求出结果即可. （3）先列出X的所有取值，然后求出对应的概率，即可得到X的分布列，然后根据期望和方差公式进行求解计算. 【详解】（1）小李抽奖获得5元有三种情况：第一次抽到“5元”；第一次抽到“再抽一次”，第二次抽到“5元”；第一、二次都抽到“再抽一次”，第三次抽到“5元”； 则所求概率为. （2）记事件A=“小李获奖”，B=“小李获得2元奖”， ，， 由条件概率得，即已知小李抽奖时获了奖，获得2元的概率为. （3）依题意得X的所有取值为0，2，5 ... X分布列： X 0 2 5 P ，. 题型九、方差的性质 【例9】．（24-25高二下·湖南·月考）已知随机变量取所有的值是等可能的，且，则________． 【答案】 【分析】由题意可得，根据期望公式求出，再求出方差，再根据方差的性质即可得解 【详解】由题意可得， 则，解得， 所以， 所以. 故答案为：. 【变式1】．（24-25高二·全国·课堂例题）已知是离散型随机变量，，，，那么______，______． 【答案】 7 2 【分析】根据期望及方差的性质分别计算即可. 【详解】由期望和方差的运算性质知，，． 故答案为： 7；2. 【变式2】．（23-24高二下·福建·期中）已知随机变量的分布列为，则__________． 【答案】 【分析】根据随机变量的分布列求解其数学期望，从而得其方差，再由方差的性质，即可得结论. 【详解】随机变量的分布列为， 则其数学期望，则方差， 所以. 故答案为：. 【变式3】．（23-24高二下·广东东莞·月考）已知随机变量X，Y满足，且随机变量X的分布列如图，则随机变量Y的方差等于________． X 0 1 2 P a 【答案】/ 【分析】先求出的方差，利用方差的性质可得的方差. 【详解】由题意，得， ， ， 因为，所以. 故答案为： 题型十、分布列、均值、方差的综合应用 【典例10】．（25-26高二下·全国·课堂例题）某种植户对一块地的n（）个坑进行播种，每个坑播种3粒种子，每粒种子发芽的概率均为，且每粒种子是否发芽相互独立，对每一个坑而言，如果至少有两粒种子发芽，则不需要进行补播种，否则要补播种． (1)当n取何值时，有3个坑要补播种的概率最大？最大概率为多少？ (2)当时，用X表示要补播种的坑的个数，求X的分布列与数学期望． 【答案】(1)时，有3个坑要补播种的概率最大，最大概率为； (2)分布列见解析；数学期望为 【分析】（1）将有3个坑需要补播种的概率表示成的函数，考查函数随的变化情况，即可得到为何值时有3个坑要补播种的概率最大； （2）时，的所有可能的取值为0，1，2，3，4．分别计算出每个取值对应的概率，列出分布列，求期望即可． 【详解】（1）对于一个坑而言，要补播种的概率为． 有3个坑需要补播种的概率为， 要使最大，只需， 解得， ，． 时，； 时，； 所以当或时，有3个坑要补播种的概率最大，最大概率为. （2）时，要补播种的坑的个数的所有可能的取值为0，1，2，3，4， ， ，， ，， ． 所以随机变量的分布列为 0 1 2 3 4 因为， 所以． 【变式1】．（25-26高二上·江西景德镇·期末）育才中学为普及法治理论知识，举办了一次法治理论知识闯关比赛.比赛规定：三人组队参赛，按顺序依次闯关，无论成败，每位队员只闯关一次.如果某位队员闯关失败，则由该队下一队员继续闯关，如果该队员闯关成功，则视作该队获胜，余下的队员无需继续闯关；若三位队员闯关均不成功，则视为该队比赛失败.比赛结束后，根据积分获取排名，每支获胜的队伍积分与派出的闯关人数的关系如下：，比赛失败的队伍则积分为0.现有甲、乙、丙三人组队参赛，他们各自闯关成功的概率分别为，，，且每人能否闯关成功互不影响. (1)已知，， （ⅰ）若按甲、乙、丙的顺序依次参赛，求该队比赛结束后所获积分的期望； （ⅱ）若第一次闯关从三人中随机抽取，求该队比赛结束后所获积分的概率. (2)若，甲安排在第一位参赛，应如何安排乙、丙的参赛顺序使该队比赛结束后所获积分的期望最大，说明理由. 【答案】(1)（ⅰ）15；（ⅱ） (2)乙在丙前，理由见解析 【分析】（ⅰ）依题意的可能取值为，，，，求出所对应的概率，即可求出数学期望；（ⅱ）根据全概率公式计算可得； （2）分别求出乙在前与丙在前时的期望，即可判断. 【详解】（1）（ⅰ）依题意的可能取值为，，，， 则， ， ，. 所以； （ⅱ）第一次闯关从三人中随机抽取，每个人被抽取到的概率都是，且必须闯关成功， 所以该队比赛结束后所获积分的概率为. （2）若顺序为“甲乙丙”：积分的可能取值为，，，， 则，， ，. 所以 若顺序为“甲丙乙”：积分的可能取值为，，，， 则，， ，. 所以 ， 由于，，所以，， 所以乙在丙前参赛. 【变式2】．（25-26高二上·江西南昌·期末）DeepSeek是北京一家人工智能技术研究公司推出的AI助手．它能进行逻辑推理、解决复杂问题，实现多模态数据融合与学习．某科技公司在使用DeepSeek对某一类问题进行测试时发现，如果输入的问题没有语法错误，它回答正确的概率为；如果出现语法错误，它回答正确的概率为．假设每次输入的问题出现语法错误的概率为，且每次输入问题，DeepSeek的回答是否正确相互独立．该公司科技人员小张想挑战DeepSeek，小张和DeepSeek各自从给定的10个问题中随机抽取9个作答．已知在这10个问题中，小张能正确作答其中的9个． (1)求小张能全部回答正确的概率； (2)求一个问题能被DeepSeek回答正确的概率； (3)设小张答对的题数为，求的分布列，并求出的期望和方差． 【答案】(1) (2)0.9 (3)答案见解析 【分析】（1）根据古典概型的概率公式计算可得； （2）设事件表示“输入的问题没有语法错误”，事件表示“一个问题能被DeepSeek正确回答”，将所求事件表示为，再利用全概率公式计算可得； （3）X的可能取值是，求出所对应的概率，即可求出分布列、期望和方差． 【详解】（1）由题意，小张能全部回答正确当且仅当抽到的9个问题均来自他能正确回答的9个问题. 则由古典概型的概率公式可得， 小张能全部回答正确的概率， 故小张能全部回答正确的概率为； （2）设事件表示“输入的问题没有语法错误”，事件表示“一个问题能被DeepSeek正确回答”， 则，且事件与互斥， 由题意知， 则， 由全概率公式可得， ． 故一个问题能被DeepSeek回答正确的概率为； （3）已知小张答对的题数为X，则X的可能取值是， 且， 所以X的分布列为： 8 9 则， . 故的期望为，方差为. 【变式3】．（25-26高二上·贵州遵义·期末）为深入贯彻党的教育方针和新时代军事战略方针，落实立德树人与强军目标，立足革命老区，传承红色基因，强化国防教育，遵义四中将在2028届高一年级组建遵义四中第一届“长城计划•国防班”．进国防班要求男生身高165cm及以上，女生身高160cm及以上．已知某届高一年级共有1200名学生，其中男生人数与女生人数之比为3:2．为了解我校高一年级全体学生的身高情况，按性别进行分层抽样，抽取一个样本容量为25的样本，并观测样本身高数据（单位：cm）．下表是抽取的女生样本的数据： 序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 身高 158 156 163 169 155 157 161 160 162 159 记抽取的第个女生的身高为，样本平均数，标准差． (1)用女生样本数据估计高一年级女生身高符合国防班要求的人数． (2)在女生样本中任抽3人，记这3人中身高达到进国防班要求的人数为，求的分布列及数学期望． (3)若女生样本数据在之外的数据称为偏离值，剔除偏离值后，计算剩余女生样本身高的平均数与方差．（参考数据：） 【答案】(1)240 (2)分布列见解析， (3)159， 【分析】（1）根据女生样本中身高符合要求的频率可直接估计总体中对应的人数； （2）先求出身高达到进国防班要求的人数为的概率，再列表格带入期望公式即可； （3）剔除偏离值后，根据平均数的公式可得新的平均数，根据原数据方差可得，进而利用方差公式求得新的方差. 【详解】（1）由题意，知样本中身高符合国防班要求的女生频率为，高一女生一共有（人）， 故估计高一年级女生身高符合国防班要求的人数为（人）. （2）的取值集合为． 则， ， ， ． 的分布列如下： 0 1 2 3 数学期望． （3）由题意，得． 因为，所以169为偏离值． 剔除偏离值后的样本女生身高平均数． 由， 得． 剔除偏离值后的样本女生身高的方差 ． 【高分达标】 一、单选题 1．（25-26高二下·全国·课堂例题）下列变量中，是离散型随机变量的是（    ） A．到2025年5月1日止，我国发射的卫星 B．一只刚出生的大熊猫，一年以后的身高 C．某人在车站等出租车的时间 D．某人投篮10次，投中的次数 【答案】D 【分析】由离散型随机变量的特点逐一判断即可. 【详解】因为离散型随机变量的取值是可以一一列举的， 对于A，描述是一个对象的集合，而不是一个数值变量，不满足题意； 对于B，C，由题意可知是连续型随机变量，不满足题意； 对于D，由题意可知投中的次数可能为0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，10.满足题意. 故选：D. 2．（25-26高三上·山西大同·月考）已知随机变量，均服从两点分布，且，，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用全概率公式，由的值，得到的值，再由条件概率计算公式即可. 【详解】由于 服从两点分布，且 ， 因此. 由全概率公式得， 即， 所以， 由条件概率计算公式得. 故选：D 3．（25-26高二上·全国·单元测试）为庆祝神舟十八号载人飞船发射取得圆满成功，某中学举办了一次“航天知识知多少”的知识竞赛．参赛选手从7道题（4道多选题，3道单选题）中随机抽题作答，若某选手先随机抽取2道题，再在剩下的5道题中随机抽取1道题，则最后抽取到的题为多选题的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出先抽取的2道题中多选题的题数分别为0，1，2的概率，然后根据全概率公式即得. 【详解】设先抽取2道题中多选题的题数为，则的可能取值为0，1，2， 可得，，， 所以最后抽取到的题为多选题的概率为 ． 故选：C. 4．（25-26高二下·辽宁朝阳·月考）已知随机变量的分布列如下： 0 1 2 若，则（   ） A． B．7 C．21 D．22 【答案】C 【详解】易知，可得； 又，可知，所以，解得， 因此； 所以. 5．（25-26高二下·全国·单元测试）若随机变量服从两点分布，其中，，分别为随机变量的均值与方差，则下列结论不正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先写出两点分布，再根据期望和方差公式求，判断A，C；再根据期望和方差的性质，计算，判断B，D. 【详解】随机变量服从两点分布，其中，所以. 所以，故A选项结论正确； ，故C选项结论正确； ，故B选项结论正确； ，故D选项结论错误． 故选：D. 6．（23-24高二下·广东清远·月考）已知随机变量X有三个不同的取值，分别是，其中，又，，随机变量X的方差的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据概率的性质求出，再根据期望公式求出，然后根据方差公式得出关于的表达式，最后根据二次函数的性质求出方差的最小值. 【详解】由，可得， 所以随机变量的期望为， 则方差为， 所以当时，方差取得最小值，最小值为. 故选：A. 二、多选题 7．（25-26高二上·河南南阳·期末）已知随机变量，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】根据二项分布的数学期望和方差公式、进行求解 【详解】由题意可得， 则，， 故A，C，D均正确，B错误． 故选：ACD. 8．（25-26高二上·辽宁朝阳·期末）现有编号的个学生，入座编号的个座位，设学生所坐的座位号与该生的编号不同的学生数为，已知时共8种坐法，则（   ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】根据的意义，结合组合数公式，求，再根据古典概型概率公式，求，再写出所有的取值和概率，代入期望公式和方差公式，即可判断选项. 【详解】A.由条件可知，3人错位排列有2种方法，所以，解得，故A错误； B.表示4人全部坐错，4人全部坐错有种方法，4人的全部坐法有种坐法， 所以，故B正确； C.，，，, 所以，故C错误； D.，故D正确. 故选：BD 9．（25-26高二上·全国·单元测试）为培养学生体育锻炼的习惯，以及强化科学健身的理念，某校创建了田径类、球类、武术类三个体育社团．甲、乙、丙三位同学各自参加其中一个社团，每位同学参加各个社团的可能性相同，记三位同学所参加的社团种类的个数为，则（    ） A．的所有可能取值为1，2，3 B． C． D． 【答案】AC 【分析】由题知，的所有可能取值为1，2，3，计算对应概率、期望及方差即可判断. 【详解】依题意的所有可能取值为1，2，3， 当时，甲、乙、丙三位同学选择同一个社团，有3种选法； 当时，甲、乙、丙三位同学仅选择两个社团，有种选法； 当时，甲、乙、丙三位同学选择不同的社团，有种选法． 则，， ． ． ． 故选：AC. 10．（24-25高二下·福建福州·期末）乒乓球，被称为中国的“国球”.某次比赛采用三局两胜制，当参赛选手甲、乙两位中有一位赢得两局比赛时，就由该选手晋级而比赛结束，每局比赛都要分出胜负，且每局比赛的胜负不受之前比赛结果影响.假设甲在任一局赢球的概率为（），有选手晋级所需要的比赛局数的期望值记为，则下列说法中不正确的是（   ） A．打满三局结束比赛的概率为 B．的常数项为 C．函数在上单调递增 D． 【答案】ABD 【分析】设实际比赛局数为，先计算出可能取值的概率，即可判断A选项；进而求出期望值，即可判断BCD选项. 【详解】设实际比赛局数为，则的可能取值为 所以， ， 因此三局结束比赛的概率为，则A不正确； 故 由知常数项为，故B不正确； 由，故D不正确； 由二次函数性质可得函数在上单调递增， 而，所以函数在上单调递增，C正确. 故选：ABD. 三、填空题 11．（25-26高二上·江西萍乡·期末）有5个相同的球分别标有数字1，2，3，4，5，从中有放回地随机取3次，每次取1个球.记随机变量X为取出的3次球所对应的数字的极差，则X的数学期望______. 【答案】/ 【分析】先确定的所有可能取值，然后求出对应的概率，再利用期望公式求解即可. 【详解】由题意可知， 对于，当3次取到球上的数字仅有或5时，则概率为， 当3次各取到1次且1次或3或4，则概率为，所以； 对于，当3次取到数字仅有或仅有时，则概率为， 当3次各取到1次且1次或3，或当3次各取到1次且1次或4，则概率为，所以； 对于，当3次取到数字仅有或或时，则概率为， 当3次各取到数字恰好为或或 ，则概率为，所以； 对于，当3次取到或或或时，则概率为，所以； 对于，当3次取到相同数字时，则概率为，所以； 因此，，，，. 所以. 故答案为： 12．（25-26高二上·浙江宁波·期末）一个不透明的袋子有除颜色不同外，大小质地完全相同的球，其中有个红球、个白球和个黑球，逐个不放回地随机取球，直至剩下只有一种颜色的球时游戏结束，记游戏结束时取球次数为，则________________． 【答案】 【分析】由题可知，取球次数为可能为，，7，计算出不同取值下的概率，即可得出随机变量的期望值. 【详解】， ， ， . 故答案为： 13．（25-26高二上·辽宁鞍山·期末）已知随机变量X，Y满足，且随机变量X的分布列如下：则随机变量Y的方差等于_____. 0 1 2 【答案】 【分析】先根据分布列的性质可得，再计算随机变量X的期望及方差，最后再根据方差的性质可得结果. 【详解】由随机变量的分布列的性质，得，即. 再由期望公式， 所以， 由方差的性质得. 故答案为： 14．（25-26高三上·天津南开·月考）一质点从的顶点出发，每次随机沿一条边运动至另一个顶点时终止，则质点次运动过程中仅次经过顶点的条件下，第次回到顶点的概率____________，记质点次运动过程中经过顶点的次数是，则____________． 【答案】 【分析】列举次运动过程中仅次经过顶点的情况，再由古典概率公式即可求解； 记质点 4次运动过程中经过顶点的次数是，X的所有可能取值为，分别求得相应概率，列出分布列，再求期望，即可求解. 【详解】因为质点次运动过程中仅次经过顶点的情况有：， ，， ，，共种， 第四次回到顶点有种，所以质点次运动过程中仅次经过顶点的条件下，第次回到顶点的概率. 记质点 4次运动过程中经过顶点的次数是，X的所有可能取值为， 质点4次运动，共有种情况， 当X=0时，，共有1种情况，则， 当X=1时，， ， ， ， ，，，共有7种情况， 所以，又， 所以X的分布列为： ， 故答案为：，. 四、解答题 15．（25-26高二下·黑龙江·开学考试）甲､乙两个袋子中，各放有大小和形状相同的小球若干.每个袋子中标号为0的小球有1个，标号为1的有3个，标号为2的有个.从一个袋子中任取两个球，取到的标号都是2的概率是. (1)求的值； (2)从甲袋中任取两个球，已知其中一个的标号是1，求另一个标号也是1的概率； (3)从两个袋子中各取一个小球，用表示这两个小球的标号之和，求的分布列和期望. 【答案】(1) (2) (3)分布列见解析， 【分析】（1）根据古典概型的概率公式计算取到的标号都是2的概率即可； （2）利用条件概率的公式计算； （3）利用互斥事件和独立事件的概率公式计算分布列，再根据期望公式计算即可. 【详解】（1）从一个袋子中任取两个球的总组合数为，取到两个标号为2的球的组合数为. 则取到的标号都是2的概率是， 整理得，解得或（舍去）. （2）设事件表示“其中一个标号是1”，事件表示“另一个标号也是1”. 因为，， 所以. （3）的可能取值为， 因为从袋子中取个球，编号为的概率分别为， 所以，， ，， . 所以的分布列为： 0 1 2 3 4 所以. 16．（2025·云南曲靖·模拟预测）某学校对高中生体质健康调研，随机抽取100名学生的体重（单位：kg）得到如下频数分布表： 分组 频数 5 25 40 20 10 (1)估计样本的中位数； (2)从样本和中按分层抽样抽取学生6人，再从这6人中随机抽取3人，其中体重在，的人数分别为，，记． （i）求的分布列及期望； （ii）求． 【答案】(1)65 (2)（i）分布列见解析，数学期望为1；（ii）. 【分析】（1）根据中位数的定义确定体重区间，进而可求得中位数的值. （2）（i）首先确定分层抽样的比例，然后确定的可能取值，并计算相应的概率，列出分布列，计算出期望；（ii）根据方差公式求出的值. 【详解】（1）因为，， 故样本的中位数落在内，                            又，故中位数为 （2）（i）和的人数比为，          分层抽样抽取学生6人中，和的人数分别为和， 故这6人中随机抽取3人，的可能取值为，对应的的取值为， 所以的可能取值为，                         ，，，    故的分布列为 期望为，              （ii）由（i）知 ， 所以． 17．（2025·安徽合肥·模拟预测）3月14日为国际数学日，也称为节，为庆祝该节日，某中学举办了数学文化节活动，其中一项活动是“数学知识竞赛”，竞赛规则是：两人一组，每一轮竞赛中，小组两人分别答3道题，若答对题目不少于5道题，则获得1个积分．已知甲、乙两名同学一组，甲同学和乙同学对每道题答对的概率分别是和，且每道题答对与否互不影响． (1)若，，求甲、乙同学这一组在一轮竞赛中获得1个积分的概率； (2)若，且每轮比赛互不影响，进行n轮比赛后，甲、乙同学这一组获得的积分为X分．若恒成立，求n的最小值． 【答案】(1) (2)20 【详解】（1）假设同学甲和同学乙答对的题目个数分别为，， 所以所求概率为 ， 所以他们在一轮竞赛中获得1个积分的概率为； （2）由（1）可知 ， 整理可得， 因为，，且，所以，， 令，则，所以，，则， 当时，恒成立，在上单调递增，所以当时，取得最小值， 设在n轮比赛中，甲、乙两同学获得1个积分的轮数为，则服从， 又，所以，则由， 即，解得， 因为为正整数，所以n的最小值为． 18．（25-26高三上·河北衡水·期末）为落实中央经济工作会议“坚持内需主导，建设强大国内市场”的精神，某市大力推行某项消费补贴政策.政策旨在直接激发消费，并希望通过了解政策的家庭产生“带动效应”，形成消费涟漪，进一步扩大内需.政策规定每个家庭在2026年一年内有两次机会领取补贴，上半年一次（1月1日至6月30日），下半年一次（7月1日至12月31日）.每次消费2万元以上可以领取4000元补贴.通过调查可知，该市居民家庭对政策的总体了解率为；在所有了解政策的家庭中，有的家庭因此产生了消费意向；在不了解政策的家庭中，也有的家庭因市场氛围等因素产生了消费意向.调研发现，每个了解政策并产生消费意向的家庭，其每次发生消费行为的概率为，且可能带动另一个不了解政策的家庭进行消费，受带动的家庭上半年发生消费行为的概率为，下半年发生消费行为的概率为. (1)求在随机抽取到一个有消费意向家庭的条件下，该家庭是“因了解政策而产生消费意向”的概率. (2)若政策规定一个家庭参与消费且拿到补贴，并带动另外一个不了解政策家庭进行消费且拿到补贴，则可以领到额外消费奖励，其奖励如下：两个家庭合计拿到8000元补贴，带动家庭可以拿1000元奖励；两个家庭合计拿到12000元补贴，带动家庭可以拿2000元奖励；两个家庭合计拿到16000元补贴，带动家庭可以拿3000元奖励.试估计该家庭可以拿到多少奖励（单位：元）. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先由乘法公式得到，再根据全概率公式得到，最后根据条件概率公式代入计算即可； （2）根据题意，设拿到的奖励金额为元，可取，计算概率，再得到期望即可． 【详解】（1）设事件“居民家庭了解政策”，事件“居民家庭有消费意向”. 由题意，得，，，， 所以. 由全概率公式，得， 所以， 故在随机抽取到一个有消费意向家庭的条件下， 该家庭是“因了解政策而产生消费意向”的概率为； （2）记该家庭拿到的补贴为元，受带动的家庭拿到的补贴为元，拿到的奖励金额为元. 由题意得， ， ， ， 所以， ， ， 则， 所以， 因此，估计该家庭可以拿到元奖励． 2 学科网（北京）股份有限公司 $