专题05 离散型随机变量的分布列与数字特征6大考点（期末真题汇编，北京专用）高二数学下学期人教A版

**基本信息** 高中数学期末试题汇编，聚焦离散型随机变量分布列与数字特征，涵盖6大考点，精选2020-2025年北京多区期末真题，情境贴近现实且层次分明。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择/解答|38题|分布列求解、均值方差计算、性质应用、参数求解、决策应用|结合人工智能教学满意度、闯关游戏等现实情境，解答题分层设计，从基础分布列到决策应用，适配期末综合考查|

专题05 离散型随机变量的分布列与数字特征 高频考点概览 考点 01 求离散型随机变量的分布列 考点 02 离散型随机变量分布列的性质及其应用 考点 03 求离散型随机变量的均值 考点 04 由离散型随机变量的均值求参数 考点 05 求离散型随机变量的方差 考点 06 离散型随机变量均值与方差在决策中的应用 ( 考点01 求离散型随机变量的分布列 ) 1．（2025春•怀柔区期末）在人工智能时代，教育部门积极推动与传统教学模式的“深度融合”，实现教学模式的变革．某校从全体学生中随机抽取50名学生对融合式教学模式实施的满意度进行评分，整理得到如图所示的频率分布直方图． （1）求频率分布直方图中的值； （2）在样本中，从评分大于80分的学生中随机抽取2人，用表示其评分在，范围的人数，求的分布列； （3）假设用频率估计概率，从全校学生中随机抽取2人，用表示其评分在，范围的人数，求的分布列． 【解答】解：（1）由频率分布直方图可得，解得． （2）因为评分在，的频率为，抽取的人数为， 评分在，的频率为，抽取的人数为， 所以的可能取值为0，1，2， 则，，． 所以的分布列为 0 1 2 （3）因为评分在，的频率为，用频率估计概率， 则全校学生评分在，的频率为0.3， 所以的可能取值为0，1，2，且， 所以，，， 所以的分布列为 0 1 2 0.49 0.42 0.09 2．（2024春•大兴区期末）某同学参加闯关游戏，需要回答三个问题，其中前两个问题回答正确各得10分，回答不正确得0分，第三个问题回答正确得20分，回答不正确得分．已知这位同学回答前两个问题正确的概率都是，回答第三个问题正确的概率为，且各题回答正确与否相互之间没有影响，若回答这三个问题的总分不低于10分就算闯关成功． （Ⅰ）求至少回答正确一个问题的概率； （Ⅱ）求这位同学回答这三个问题的总得分的分布列． 【解答】解：（1）依题意，设事件表示“至少回答对一个问题”， 则事件的对立事件表示“三个问题全部回答错误”， 所以（A）； （2）这位挑战者回答这三个问题的总得分所有可能的取值为，0，10，20，30，40， ，，， ，，， 所以的分布列为： 0 10 20 30 40 3．（2022春•北京期末）袋中有4个白球、2个黑球，从中随机地连续抽取3次，每次取1个球． （Ⅰ）若每次抽取后都放回，求恰好取到1个黑球的概率； （Ⅱ）若每次抽取后都不放回，设取到黑球的个数为，求的分布列． 【解答】解：（Ⅰ）有放回地抽取3次，取法总数为种， 设恰好取出一个黑球为事件， 中包含有种取法，所以（A）． （Ⅱ）从6个球中任意取出3个球的取法总数为，的可能取值是0，1，2， ，，， 所以的分布列为： 0 1 2 4．（2022春•大兴区校级期末）假设某种人寿保险规定：若投保人没活过65岁，则保险公司要赔偿10万元；若投保人活过65岁，则保险公司不赔偿，但要给投保人一次性支付4万元．已知购买此种人寿保险的每个投保人能活过65岁的概率都为0.9，随机抽取其中的4个投保人，设其中活过65岁的人数为，保险公司支出给这4人的总金额为万元．（参考数据： （1）求的分布列，并写出与的关系； （2）求． 【解答】解：（1）由题意可得，， 所有可能取值为0，1，2，3， ， ， ， ， ， 故的分布列为： 0 1 2 3 4 0.0001 0.0036 0.486 0.2916 0.6561 随机抽取其中的4个投保人， 设其中活过65岁的人数为， 则没活过65岁的人数为， 则， 故． （2）， ，解得， ． 5．（2021春•石景山区期末）为推动乒乓球运动的发展，某乒乓球比赛允许不同协会的运动员组队参加．现有来自甲协会的运动员3名，其中种子选手2名；乙协会的运动员5名，其中种子选手3名．从这8名运动员中随机选择4人参加比赛． （Ⅰ）设事件为“选出的4人中恰有2名种子选手，且这2名种子选手来自不同协会”，求事件发生的概率； （Ⅱ）设随机变量为选出的4人中种子选手的人数，求的分布列． 【解答】解：（Ⅰ）由题意可得，（A）； （Ⅱ）随机变量的可能取值为1，2，3，4， 则， ， ， ， 所以的分布列为： 1 2 3 4 ( 考点02 离散型随机变量分布列的性质及其应用 ) 6．（2020秋•海淀区校级期末）设随机变量的分布列为，2，3，，则　　． 【解答】解：随机变量的分布列为，2，3，， 可得：，解得， ． 故答案为：． 7．（2025春•怀柔区期末）设离散型随机变量的分布列如表，则“”的概率为 　　 ． 0 1 2 【解答】解：由分布列可得，解得， 所以“”的概率为． 故答案为：． 8．（2020春•平谷区校级期末）设随机变量的概率分布列为 1 2 3 4 则（　　） A． B． C． D． 【解答】解：根据概率分布的定义得出：．得， 随机变量的概率分布列为 1 2 3 4 （4）（2） 故选：． 9．（2020春•顺义区期末）已知随机变量的分布列如表（其中为常数） 0 1 2 3 4 5 0.1 0.1 0.3 0.2 0.1 则等于（　　） A．0.4 B．0.5 C．0.6 D．0.7 【解答】解：由概率之和等于1可知， ． 故选：． 10．（2021春•大兴区期末）随机变量的分布列如表所示： 1 2 3 4 0.1 0.3 则（　　） A．0.1 B．0.2 C．0.3 D．0.4 【解答】解：由分布列的性质可得，，可得， 所以． 故选：． 11．（2021春•海淀区校级期末）某同学参加3门课程的考试．假设该同学第一门课程取得优秀成绩的概率为，第二、第三门课程取得优秀成绩的概率分别为，，且不同课程是否取得优秀成绩相互独立．记为该生取得优秀成绩的课程数，其分布列为： 0 1 2 3 则的值为 　　；则的值为 　　． 【解答】解：由题意可得，①， ②， 联立①②并结合，解得，， 故， ， ， ． 故答案为：；1． 12．（2022春•丰台区校级期末）随机变量的分布列如表：其中，，成等差数列，则（　　） 0 1 A． B． C． D． 【解答】解：由题意得： ，解得， ． 故选：． 13．（2020春•海淀区校级期末）若随机变量的概率分布如表，则表中的值为　　． 1 2 3 4 0.2 0.3 0.3 【解答】解：由随机变量的概率分布表得： ， 解得． 故答案为：0.2． ( 考点0 3 求离散型随机变量的均值 ) 14．（2025春•东城区期末）投掷一枚均匀硬币，掷出正面得1分，掷出反面得2分，投掷了3次，设总分为，那么的数学期望为（　　） A． B．4 C． D．5 【解答】解：根据已知条件有的可能取值为3，4，5，6；， 所以， ， ， ， 所以的分布列为： 3 4 5 6 所以． 故选：． 15．（2023春•怀柔区期末）将一枚质地均匀的硬币连续抛掷4次，记为“正面朝上”出现的次数，则随机变量的均值（　　） A．2 B．1 C． D． 【解答】解：由题意可知，， 则的期望． 故选：． 16．（2023春•丰台区期末）已知某生物技术公司研制出一种新药，并进行了临床试验，该临床试验的成功概率是失败概率的2倍．若记一次试验中成功的次数为，则随机变量的数学期望为（　　） A． B． C． D． 【解答】解：试验成功的概率为，解得：； 记一次试验中成功的次数为，则的取值有0，1， ，， 则随机变量的数学期望． 故选：． 17．（2023春•丰台区校级期末）马老师从课本上抄录一个随机变量的概率分布律如表 1 2 3 ？ ？ 尽管“”处无法完全看清，且两个“？”处字迹模糊，但能肯定这两个“？”处的数值相同．据此求的结果为（　　） A．1.5 B．2 C．2.5 D．不确定 【解答】解：设，，由分布列的性质可得， 所以，． 故选：． 18．（2022春•顺义区期末）已知离散型随机变量的分布列如表，则的数学期望等于（　　） 0 1 2 0.2 0.5 A．0.3 B．0.8 C．1.2 D．1.3 【解答】解：由分布列的性质可得，，解得， 故． 故选：． 19．（2020春•朝阳区期末）若随机变量的分布列为 0 1 2 则的数学期望是（　　） A． B． C．1 D． 【解答】解：由题意可得：． 故选：． 20．（2024春•怀柔区期末）若随机变量的分布列为（如表），则　　；若随机变量，则随机变量的数学期望　　．（用数字作答） 1 2 3 【解答】解：由题可得：，解得：， 所以， 又， 所以． 故答案为：． 21．（2025春•通州区期末）设离散型随机变量的分布列为 0 1 2 0.3 0.3 则与的值分别是（　　） A．0.4；3 B．0.4；2 C．0.4；1 D．0.2；5 【解答】解：； ， ． 故选：． 22．（2025秋•西城区校级期末）一个不透明的袋子中装有若干个均匀的红球和白球，从袋子中摸一个红球的概率是，现在从袋子中有放回地摸球，每次摸出一个． （1）若一共摸3次球，设摸到红球的次数为，求随机变量的分布列和数学期望： （2）若有3次摸到红球则停止摸球，求恰好摸5次停止的概率． 【解答】解：（1）随机变量的可能取值为0，1，2，3，则， ， ， ， 因此随机变量的分布列为： 0 1 2 3 数学期望； （2）由题恰好摸5次停止的事件是前4次摸到红球2次，第5次摸到红球， 因此恰好摸5次停止的概率为． 23．（2025秋•朝阳区期末）某人形机器人行业协会为了解行业现状，对该行业所有公司生产的人形机器人进行了一次性能评估．现从中随机抽取100家公司，统计其人形机器人“性能评分”（百分制，且均为整数）及对应的“行业评级”（评级越高，代表性能越优），整理数据如下表： 性能评分 行业评级 公司数 5 10 4 3 2 20 1 10 （Ⅰ）当时，在这100家公司中， 从性能评分不低于80分的公司中随机抽取1家，求其行业评级为5级的概率； 从性能评分不低于80分的公司中随机抽取2家，记为这2家公司中行业评级为5级的公司数，求的分布列和数学期望； （Ⅱ）用频率估计概率，记“从该行业所有评级为2级和5级的公司中随机抽取2家，这2家公司的行业评级的平均值”为，记“上述100家公司的行业评级的平均值”为，设“”的概率为，“”的概率为，请根据表中信息比较与的大小．（结论不要求证明） 【解答】解：（Ⅰ）当时，可得性能评分不低于80分的公司有家， 其中行业评级为5级的公司有10家， 所以从中随机抽取1家，其行业评级为5级的概率为． 由记为这2家公司中行业评级为5级的公司数，则的可能取值为0，1，2， 可得， ， ， 所以随机变量的分布列为： 0 1 2 所以期望为． （Ⅱ）由题意，可得，可得， 所有公司的行业评级总和为， 所以，其取值范围为，， 该行业所有评级为2级和5级的公司中随机抽取2家，用频率估计概率， 则两家的评级都为2级的概率为，此时， 两家的评级一家为2级，一家为5级的概率为，平均级别为； 两家的评级都为5级的概率为，平均级别为， 因为，当且仅当时，满足，此时， 又因为且，当且仅当或，满足， 此时， 所以． 24．（2020秋•朝阳区期末）某公司为了解用户对其产品的满意程度，从地区随机抽取了400名用户，从地区随机抽取了100名用户，请用户根据满意程度对该公司产品评分．该公司将收集到的数据按照，，，，，，，分组，绘制成评分频率分布直方图如图： （Ⅰ）从地区抽取的400名用户中随机选取一名，求这名用户对该公司产品的评分不低于60分的概率； （Ⅱ）从地区抽取的100名用户中随机选取两名，记这两名用户的评分不低于80分的个数为，求的分布列和数学期望； （Ⅲ）根据频率分布直方图，假设同组中的每个数据用该组区间的中点值代替，估计地区抽取的400名用户对该公司产品的评分的平均值为，地区抽取的100名用户对该公司产品的评分的平均值为，以及，两个地区抽取的500名用户对该公司产品的评分的平均值为，试比较和的大小．（结论不要求证明） 【解答】解：（Ⅰ）由题知地区共抽取400名用户，其中有240名用户对该公司产品的评分不低于60分， 所以从地区抽取的400名用户中随机选取一名， 这名用户对该公司产品的评分不低于60分的概率是． （Ⅱ）由题可知的可能取值为0，1，；；． 所以的分布列如下表： 0 1 2 所以的数学期望． （Ⅲ）． ( 考点0 4 由离散型随机变量的均值求参数 ) 25．（2022春•大兴区校级期末）离散型随机变量的分布列为： 1 2 3 且，则　　；　　． 【解答】解：由分布列的性质可得，①， ②， 联立①②，解得，． 故答案为：；． 26．（2024春•顺义区期末）已知随机变量取所有值1，2，，是等可能的，且，则　　． 【解答】解：因为随机变量取可能的值1，2，，是等可能的， 所以，2．，， 所以， 所以， 解得：， 故答案为：3． ( 考点0 5 求离散型随机变量的方差 ) 27．（2025春•大兴区期末）设，随机变量的分布列如表所示， 0 1 则当概率在区间内增大时，方差的变化是（　　） A．增大 B．先增大后减小 C．减小 D．先减小后增大 【解答】解：因为随机变量服从两点分布，且，， 所以， ， 这是一个关于的二次函数，图象开口向下，对称轴为， 当从0增大到时，随增大而递增； 当从增大到1时，随增大而递减， 因此，当在内增大时，方差先增大后减小． 故选：． 28．（2024春•西城区期末）投掷2枚均匀的骰子，记其中所得点数为1的骰子的个数为，则方差（　　） A． B． C． D． 【解答】解：由题，投掷一个质地均匀的骰子，点数为1的概率为， 的所有可能取值为0，1，2， 则， ， ， 所以， 则． 故选：． 29．（2024春•大兴区期末）随机变量的分布列如表： 0 1 其中，，成等差数列，则　　；若，则方差　　． 【解答】解：由分布列的性质知，， ，，成等差数列，， ，即，， ． 若，则， 数学期望， 方差． 故答案为：；． 30．（2023春•石景山区期末）若随机变量的分布列为 0 1 2 则　　，为随机变量的方差，则　　．（用数字作答） 【解答】解：由题意得，得． ， ． 故答案为：；． 31．（2022春•房山区期末）篮球运动员在比赛中每次罚球得分的规则是：命中得1分，不中得0分．已知某篮球运动员罚球命中的概率为0.9，设其罚球一次的得分为，则的方差　　． 【解答】解：由题意可得，服从两点分布， 则． 故答案为：0.09． 32．（2024春•丰台区期末）随着科技的不断发展，人工智能技术在人类生产生活中的应用越来越广泛．为了解用户对，两款人机交互软件（以下简称软件）的满意度，某平台随机选取了仅使用款软件的用户和仅使用款软件的用户各500人，采用打分方式进行调查，情况如下图： 根据分数把用户的满意度分为三个等级，如下表： 分数 5 4 满意度 非常满意 满意 不满意 假设用频率估计概率，且所有用户的打分情况相互独立． （Ⅰ）分别估计仅使用款软件的全体用户和仅使用款软件的全体用户对所使用软件的满意度为“非常满意”的概率； （Ⅱ）从仅使用款软件的全体用户中随机选取2人，从仅使用款软件的全体用户中随机选取1人，估计这3人中恰有1人对所使用软件的满意度为“非常满意”的概率； （Ⅲ）从仅使用，两款软件的全体用户中各随机选取10人进行电话回访，记为仅使用款软件的10人中对所使用软件的满意度为“不满意”的人数，为仅使用款软件的10人中对所使用软件的满意度为“不满意”的人数，试比较，的方差，的大小．（结论不要求证明） 【解答】解：（Ⅰ）设事件 “仅使用款软件的全体用户对所使用软件的满意度为‘非常满意’”， 事件 “仅使用款软件的全体用户对所使用软件的满意度为‘非常满意’”， 则，； （Ⅱ）设事件 “这3人中恰有1人对所使用软件的满意度为‘非常满意’”， 则； （Ⅲ）． 33．（2021秋•朝阳区期末）“双减”政策实施以来，各地纷纷推行课后服务“”模式，即学校每周周一至周五5天都要面向所有学生提供课后服务，每天至少2小时．某学校的课后服务有学业辅导、体育锻炼、实践能力创新培养三大类别，为了解该校学生上个月参加课后服务的情况，该校从全校学生中随机抽取了100人作为样本，发现样本中未参加任何课后服务的有14人，样本中仅参加某一类课后服务的学生分布情况如下： 每周参加活动天数 课后服务活动 1天 天 5天 仅参加学业辅导 10人 11人 4人 仅参加体育锻炼 5人 12人 1人 仅参加实践能力创新培养 3人 12人 1人 （Ⅰ）从全校学生中随机抽取1人，估计该学生上个月至少参加了两类课后服务活动的概率； （Ⅱ）从全校学生中随机抽取3人，以频率估计概率，以表示这3人中上个月仅参加学业辅导的人数，求的分布列和数学期望； （Ⅲ）若样本中上个月未参加任何课后服务的学生有人在本月选择仅参加学业辅导，样本中其他学生参加课后服务的情况在本月没有变化．从全校学生中随机抽取3人，以频率估计概率，以表示这3人中上个月仅参加学业辅导的人数，以表示这3人中本月仅参加学业辅导的人数，试判断方差，的大小关系（结论不要求证明）． 【解答】解：（Ⅰ）由题意知，样本中仅参加学业辅导的学生有25人，仅参加体育锻炼的学生有18人，仅参加实践能力创新培养的学生有16人，未参加任何课后服务的学生有14人． 故样本中至少参加了两类课后服务的学生有人． 所以从全校学生中随机抽取1人， 该学生上个月至少参加了两类课后服务的概率估计值为． （Ⅱ）的所有可能值为0，1，2，3． 从样本中随机抽取1人，该学生上个月仅参加学业辅导的概率为， 由此估计从全校学生中随机抽取1人，该学生上个月仅参加学业辅导的概率为，，，． 所以的分布列为 0 1 2 3 故的数学期望为． （Ⅲ）． 34．（2025秋•北京校级期末）不同大模型各有千秋，适配领域也各有所长．为了解某高校甲、乙两个学院学生对，两款不同大模型是否使用，对学生进行简单随机抽样，获得数据如下表： 甲学院 乙学院 使用 不使用 使用 不使用 款 40人 80人 60人 20人 款 70人 50人 30人 50人 假设所有学生对，两款大模型是否使用相互独立，用频率估计概率． （1）分别估计该校甲学院学生使用款大模型的概率、该校乙学院学生使用款大模型的概率； （2）从该校甲学院全体学生中随机抽取2人，乙学院全体学生中随机抽取1人，记这3人中使用款大模型的人数为，求的分布列及数学期望； （3）从该校甲学院全体学生中随机抽取2人，记这2人中使用款大模型的人数为，其方差估计值为，从该校乙学院全体学生中随机抽取2人，记这2人中使用款大模型的人数为，其方差估计值为，比较与的大小（结论不要求证明）． 【解答】解：（1）由表格可知：该校甲学院学生使用款大模型的概率为， 该校乙学院学生使用款大模型的概率为； （2）由题意可知的可能取值为：0，1，2，3， 则， ， ， ， 所以的分布列为： 0 1 2 3 所以； （3）由表格可知：该校甲学院学生使用款大模型的概率为， 该校乙学院学生使用款大模型的概率为， 所以， 由二项分布的方差公式可知， ，则． ( 考点0 6 离散型随机变量均值与方差在决策中的应用 ) 35．（2025秋•海淀区期末）某科技公司统计了过去连续30个月，两个小组每月所需专用服务器台数，获得数据如下表： 小组所需专用服务器台数 11 12 13 14 15 16 17 月数 1 1 2 3 18 4 1 小组所需专用服务器台数 6 8 10 12 14 16 18 月数 1 2 6 11 6 2 2 为了更好地支持自主研发，该公司计划给小组长期租赁台专用服务器，给小组长期租赁台专用服务器． 假设两个小组每月所需专用服务器台数相互独立．用频率估计概率． （Ⅰ）估计小组某个月所需专用服务器不超过14台的概率； （Ⅱ）若，在未来的某个月，为满足小组的需求，该公司还需要为小组临时租赁台专用服务器．特别地，当该月不需要为小组临时租赁专用服务器时，记．估计的数学期望； （Ⅲ）经公司讨论，有以下三种备选租赁方案： 方案一：，； 方案二：，； 方案三：，． 在未来的某个月，为满足这两个小组各自的需求，一共还需要临时租赁台专用服务器．特别地，当该月不需要临时租赁专用服务器时，记．在上述三种方案中，的数学期望估计值最小的方案是哪种？（结论不要求证明） 【解答】解：（Ⅰ）根据题中数据，在30天数据中， 小组所需专用服务器不超过14天的天数为， 故小组某天所需专用服务器不超过14台的概率可估计为． （Ⅱ）随机变量的所有可能取值为0，1，2，3， 根据题中数据，，， ，， 所以． （Ⅲ）方案三的数学期望最小． 理由：对于小组，当时，由（2）知； 当时，，，，所以； 当时，，，所以． 对于小组，当时，，，所以； 当时，，，，所以； 当时，，，，所以． 综上，方案一：，，此时； 方案二：，，此时； 方案三：，，此时． 因为，所以方案三的数学期望最小． 36．（2025秋•海淀区校级期末）通用人工智能是指具有高效的学习和泛化能力且能够根据所处的复杂动态环境自主产生并完成任务的通用人工智能体．对某个通用智能人工智能模型进行评测，让该通用人工智能模型做数学、物理、化学、生物考试，当模型完成不同学科的试卷时，通过计算模型的损失函数值来评测模型是否“有效”．当模型完成不同学科考试时，损失函数的“参考值”也不同，如表1所示． 表1 问题类型 数学 物理 化学 生物 损失函数参考值 8.5 10.3 9.0 10.5 表2为该模型在过去一个月内完成各种卷子的损失函数“实际值”． 表2 数学 6.465.778.7911.628.13 物理 9.029.438.6815.1510.497.93 化学 6.3114.505.987.08 生物 7.968.7815.2510.9410.038.379.02 当模型的损失函数的“实际值”小于“参考值”时，代表模型运行“有效”，否则，则称模型运行“无效”． 假设用频率估计概率，且模型每次运行是否“有效”相互独立． （1）在模型完成的四次化学考试中随机挑选两次，求模型均“有效”的概率； （2）在某次模拟考试中，小明在物理、化学、生物三个学科考试中直接使用该人工智能模型答题并提交，设模型运行“有效”的总次数为，求的分布列和数学期望； （3）若某次模拟考试中，允许你在数学、物理、化学、生物中的两个学科使用该模型进行作答．为了使得在该次考试中模型运行“有效”次数的数学期望最大，你会选择哪两科？（直接写出学科名称即可） 【解答】解：（1）因为在模型完成的四次化学考试中有3次模型“有效”，1次模型“无效”， 所以在模型完成的四次化学考试中随机挑选两次，模型均“有效”的概率为； （2）根据题意可得，1，2，3， 在某次模拟考试中，小明在物理、化学、生物三个学科考试中直接使用该人工智能模型答题并提交， 物理、化学、生物三个学科考试“有效”的概率依次为， 所以， ， ， 所以， 所以的分布列为： 0 1 2 3 所以； （3）物理、化学、生物、数学四个学科考试“有效”的概率依次为， 从小到大排列为：， 设选取的两科考试“有效”的概率依次为，，设在该次考试中模型运行“有效”次数为随机变量， 则的所有可能取值为0，1，2， 则，，， 所以， 所以最大即可使的期望最大， 而， 故只需令即可， 即为了使得在该次考试中模型运行“有效”次数的数学期望最大，应选择化学、生物这两个学科． 37．（2024秋•昌平区期末）某旅游景区为吸引更多游客，计划在官方网站平台和短视频平台同时进行广告宣传，两平台的浏览用户均可通过手机扫描景区提供的二维码，网上购买该景区门票，每人限购一张．为了解两平台的售票情况，从两平台的浏览用户中各随机抽取了1000人，对其是否购买了该景区门票进行统计，获得数据如下： 用户 平台 购买景区门票用户（人 未购买景区门票用户（人 官方网站 250 750 短视频 200 800 景区门票在官方网站平台和短视频平台的售价均为100元人，其售票利润率分别是和．假设所有浏览用户是否购买景区门票相互独立．用频率估计概率． （Ⅰ）从短视频平台浏览用户中随机选取1人，估计此人为购买景区门票用户的概率； （Ⅱ）从官方网站平台浏览用户中，随机选取3人，用表示这3人的购票费用总和，求随机变量的分布列和期望； （Ⅲ）经统计，官方网站平台和短视频平台的浏览用户分别为15万人和40万人左右，该景区按浏览用户的人数向两平台支付广告宣传费用，向官方网站平台按5元人的标准支付，向短视频平台按4元人的标准支付．为了获得最大的净利润（净利润售票利润广告宣传费用），试分析该景区应选择在哪个平台继续加大广告宣传费用投入力度，并说明理由． 【解答】解：（Ⅰ）设“从短视频平台浏览用户中随机选取1人，此人为购买景区门票用户”为事件， 则用频率估计概率，； （Ⅱ）设“从官方网站浏览平台用户中随机选取1人，此人为购买景区门票用户”为事件， 则用频率估计概率，， 由题意，的所有可能取值为0，100，200，300， 且， ， ， ， 所以随机变量的分布列为： 0 100 200 300 期望为； （Ⅲ）官方网站平台的净利润为（元， 短视频平台的净利润为（元． 所以该景区应选择官方网站平台继续加大广告宣传费用的投入力度． 38．（2024秋•海淀区校级期末）某超市制定的某种有机蔬菜销售策略如下：每天以5元千克购进该种蔬菜，然后以7元千克出售．若每天下午6点以前购进的有机蔬菜没有全部销售完，则对未售出的有机蔬菜进行降价处理，以3元千克出售，并且降价后能够把剩余蔬菜全部销售完，且当天不再进货．该超市整理了过去两个月（按60天计算）每天下午6点前这种有机蔬菜的日销售量（单位：千克），得到如下的统计数据． 每天下午6点前的销售量千克 200 250 300 350 400 天数 15 15 5 （注：每天超市销售的蔬菜量是相互独立的，用频率估计概率，， （Ⅰ）在接下来的3天中，设为下午6点前的销售量不少于300千克的天数，求的分布列和数学期望； （Ⅱ）若该超市某天拟购进300千克有机蔬菜，表示该天超市蔬菜销售利润，求的分布列； （Ⅲ）若，该超市明天打算购进300千克或350千克有机蔬菜，估计哪种购进量的利润均值更高？（直接写出结果） 【解答】解：依题意，1天下午6点前的销售量不少于300千克的概率， 随机变量的可能值为0，1，2，3， ，， ，， 所以的分布列为： 0 1 2 3 数学期望； （Ⅱ）采购300千克时，成本为元， 若销售量千克：利润元； 若销售量千克：利润元； 若销售量千克：利润元， ； ； ， 200 400 600 （Ⅲ）当时，， 购进300千克的利润均值：， 购进350千克的利润均值计算得约466.67元， 综上所述，购进350千克的利润均值更高． 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 离散型随机变量的分布列与数字特征 高频考点概览 考点 01 求离散型随机变量的分布列 考点 02 离散型随机变量分布列的性质及其应用 考点 03 求离散型随机变量的均值 考点 04 由离散型随机变量的均值求参数 考点 05 求离散型随机变量的方差 考点 06 离散型随机变量均值与方差在决策中的应用 考点01 求离散型随机变量的分布列 1．（2025春•怀柔区期末）在人工智能时代，教育部门积极推动与传统教学模式的“深度融合”，实现教学模式的变革．某校从全体学生中随机抽取50名学生对融合式教学模式实施的满意度进行评分，整理得到如图所示的频率分布直方图． （1）求频率分布直方图中的值； （2）在样本中，从评分大于80分的学生中随机抽取2人，用表示其评分在，范围的人数，求的分布列； （3）假设用频率估计概率，从全校学生中随机抽取2人，用表示其评分在，范围的人数，求的分布列． 2．（2024春•大兴区期末）某同学参加闯关游戏，需要回答三个问题，其中前两个问题回答正确各得10分，回答不正确得0分，第三个问题回答正确得20分，回答不正确得分．已知这位同学回答前两个问题正确的概率都是，回答第三个问题正确的概率为，且各题回答正确与否相互之间没有影响，若回答这三个问题的总分不低于10分就算闯关成功． （Ⅰ）求至少回答正确一个问题的概率； （Ⅱ）求这位同学回答这三个问题的总得分的分布列． 3．（2022春•北京期末）袋中有4个白球、2个黑球，从中随机地连续抽取3次，每次取1个球． （Ⅰ）若每次抽取后都放回，求恰好取到1个黑球的概率； （Ⅱ）若每次抽取后都不放回，设取到黑球的个数为，求的分布列． 4．（2022春•大兴区校级期末）假设某种人寿保险规定：若投保人没活过65岁，则保险公司要赔偿10万元；若投保人活过65岁，则保险公司不赔偿，但要给投保人一次性支付4万元．已知购买此种人寿保险的每个投保人能活过65岁的概率都为0.9，随机抽取其中的4个投保人，设其中活过65岁的人数为，保险公司支出给这4人的总金额为万元．（参考数据： （1）求的分布列，并写出与的关系； （2）求． 5．（2021春•石景山区期末）为推动乒乓球运动的发展，某乒乓球比赛允许不同协会的运动员组队参加．现有来自甲协会的运动员3名，其中种子选手2名；乙协会的运动员5名，其中种子选手3名．从这8名运动员中随机选择4人参加比赛． （Ⅰ）设事件为“选出的4人中恰有2名种子选手，且这2名种子选手来自不同协会”，求事件发生的概率； （Ⅱ）设随机变量为选出的4人中种子选手的人数，求的分布列． 6．（2020秋•海淀区校级期末）设随机变量的分布列为，2，3，，则　　． 考点02 离散型随机变量分布列的性质及其应用 7．（2025春•怀柔区期末）设离散型随机变量的分布列如表，则“”的概率为 　　 ． 0 1 2 8．（2020春•平谷区校级期末）设随机变量的概率分布列为 1 2 3 4 则（　　） A． B． C． D． 9．（2020春•顺义区期末）已知随机变量的分布列如表（其中为常数） 0 1 2 3 4 5 0.1 0.1 0.3 0.2 0.1 则等于（　　） A．0.4 B．0.5 C．0.6 D．0.7 10．（2021春•大兴区期末）随机变量的分布列如表所示： 1 2 3 4 0.1 0.3 则（　　） A．0.1 B．0.2 C．0.3 D．0.4 11．（2021春•海淀区校级期末）某同学参加3门课程的考试．假设该同学第一门课程取得优秀成绩的概率为，第二、第三门课程取得优秀成绩的概率分别为，，且不同课程是否取得优秀成绩相互独立．记为该生取得优秀成绩的课程数，其分布列为： 0 1 2 3 则的值为 　　；则的值为 　　． 12．（2022春•丰台区校级期末）随机变量的分布列如表：其中，，成等差数列，则（　　） 0 1 A． B． C． D． 13．（2020春•海淀区校级期末）若随机变量的概率分布如表，则表中的值为　　． 1 2 3 4 0.2 0.3 0.3 考点03 求离散型随机变量的均值 14．（2025春•东城区期末）投掷一枚均匀硬币，掷出正面得1分，掷出反面得2分，投掷了3次，设总分为，那么的数学期望为（　　） A． B．4 C． D．5 15．（2023春•怀柔区期末）将一枚质地均匀的硬币连续抛掷4次，记为“正面朝上”出现的次数，则随机变量的均值（　　） A．2 B．1 C． D． 16．（2023春•丰台区期末）已知某生物技术公司研制出一种新药，并进行了临床试验，该临床试验的成功概率是失败概率的2倍．若记一次试验中成功的次数为，则随机变量的数学期望为（　　） A． B． C． D． 17．（2023春•丰台区校级期末）马老师从课本上抄录一个随机变量的概率分布律如表 1 2 3 ？ ？ 尽管“”处无法完全看清，且两个“？”处字迹模糊，但能肯定这两个“？”处的数值相同．据此求的结果为（　　） A．1.5 B．2 C．2.5 D．不确定 18．（2022春•顺义区期末）已知离散型随机变量的分布列如表，则的数学期望等于（　　） 0 1 2 0.2 0.5 A．0.3 B．0.8 C．1.2 D．1.3 19．（2020春•朝阳区期末）若随机变量的分布列为 0 1 2 则的数学期望是（　　） A． B． C．1 D． 20．（2024春•怀柔区期末）若随机变量的分布列为（如表），则　　；若随机变量，则随机变量的数学期望　　．（用数字作答） 1 2 3 21．（2025春•通州区期末）设离散型随机变量的分布列为 0 1 2 0.3 0.3 则与的值分别是（　　） A．0.4；3 B．0.4；2 C．0.4；1 D．0.2；5 22．（2025秋•西城区校级期末）一个不透明的袋子中装有若干个均匀的红球和白球，从袋子中摸一个红球的概率是，现在从袋子中有放回地摸球，每次摸出一个． （1）若一共摸3次球，设摸到红球的次数为，求随机变量的分布列和数学期望： （2）若有3次摸到红球则停止摸球，求恰好摸5次停止的概率． 23．（2025秋•朝阳区期末）某人形机器人行业协会为了解行业现状，对该行业所有公司生产的人形机器人进行了一次性能评估．现从中随机抽取100家公司，统计其人形机器人“性能评分”（百分制，且均为整数）及对应的“行业评级”（评级越高，代表性能越优），整理数据如下表： 性能评分 行业评级 公司数 5 10 4 3 2 20 1 10 （Ⅰ）当时，在这100家公司中， 从性能评分不低于80分的公司中随机抽取1家，求其行业评级为5级的概率； 从性能评分不低于80分的公司中随机抽取2家，记为这2家公司中行业评级为5级的公司数，求的分布列和数学期望； （Ⅱ）用频率估计概率，记“从该行业所有评级为2级和5级的公司中随机抽取2家，这2家公司的行业评级的平均值”为，记“上述100家公司的行业评级的平均值”为，设“”的概率为，“”的概率为，请根据表中信息比较与的大小．（结论不要求证明） 24．（2020秋•朝阳区期末）某公司为了解用户对其产品的满意程度，从地区随机抽取了400名用户，从地区随机抽取了100名用户，请用户根据满意程度对该公司产品评分．该公司将收集到的数据按照，，，，，，，分组，绘制成评分频率分布直方图如图： （Ⅰ）从地区抽取的400名用户中随机选取一名，求这名用户对该公司产品的评分不低于60分的概率； （Ⅱ）从地区抽取的100名用户中随机选取两名，记这两名用户的评分不低于80分的个数为，求的分布列和数学期望； （Ⅲ）根据频率分布直方图，假设同组中的每个数据用该组区间的中点值代替，估计地区抽取的400名用户对该公司产品的评分的平均值为，地区抽取的100名用户对该公司产品的评分的平均值为，以及，两个地区抽取的500名用户对该公司产品的评分的平均值为，试比较和的大小．（结论不要求证明） 考点04 由离散型随机变量的均值求参数 25．（2022春•大兴区校级期末）离散型随机变量的分布列为： 1 2 3 且，则　　；　　． 26．（2024春•顺义区期末）已知随机变量取所有值1，2，，是等可能的，且，则　　． 考点05 求离散型随机变量的方差 27．（2025春•大兴区期末）设，随机变量的分布列如表所示， 0 1 则当概率在区间内增大时，方差的变化是（　　） A．增大 B．先增大后减小 C．减小 D．先减小后增大 28．（2024春•西城区期末）投掷2枚均匀的骰子，记其中所得点数为1的骰子的个数为，则方差（　　） A． B． C． D． 29．（2024春•大兴区期末）随机变量的分布列如表： 0 1 其中，，成等差数列，则　　；若，则方差　　． 30．（2023春•石景山区期末）若随机变量的分布列为 0 1 2 则　　，为随机变量的方差，则　　．（用数字作答） 31．（2022春•房山区期末）篮球运动员在比赛中每次罚球得分的规则是：命中得1分，不中得0分．已知某篮球运动员罚球命中的概率为0.9，设其罚球一次的得分为，则的方差　　． 32．（2024春•丰台区期末）随着科技的不断发展，人工智能技术在人类生产生活中的应用越来越广泛．为了解用户对，两款人机交互软件（以下简称软件）的满意度，某平台随机选取了仅使用款软件的用户和仅使用款软件的用户各500人，采用打分方式进行调查，情况如下图： 根据分数把用户的满意度分为三个等级，如下表： 分数 5 4 满意度 非常满意 满意 不满意 假设用频率估计概率，且所有用户的打分情况相互独立． （Ⅰ）分别估计仅使用款软件的全体用户和仅使用款软件的全体用户对所使用软件的满意度为“非常满意”的概率； （Ⅱ）从仅使用款软件的全体用户中随机选取2人，从仅使用款软件的全体用户中随机选取1人，估计这3人中恰有1人对所使用软件的满意度为“非常满意”的概率； （Ⅲ）从仅使用，两款软件的全体用户中各随机选取10人进行电话回访，记为仅使用款软件的10人中对所使用软件的满意度为“不满意”的人数，为仅使用款软件的10人中对所使用软件的满意度为“不满意”的人数，试比较，的方差，的大小．（结论不要求证明） 33．（2021秋•朝阳区期末）“双减”政策实施以来，各地纷纷推行课后服务“”模式，即学校每周周一至周五5天都要面向所有学生提供课后服务，每天至少2小时．某学校的课后服务有学业辅导、体育锻炼、实践能力创新培养三大类别，为了解该校学生上个月参加课后服务的情况，该校从全校学生中随机抽取了100人作为样本，发现样本中未参加任何课后服务的有14人，样本中仅参加某一类课后服务的学生分布情况如下： 每周参加活动天数 课后服务活动 1天 天 5天 仅参加学业辅导 10人 11人 4人 仅参加体育锻炼 5人 12人 1人 仅参加实践能力创新培养 3人 12人 1人 （Ⅰ）从全校学生中随机抽取1人，估计该学生上个月至少参加了两类课后服务活动的概率； （Ⅱ）从全校学生中随机抽取3人，以频率估计概率，以表示这3人中上个月仅参加学业辅导的人数，求的分布列和数学期望； （Ⅲ）若样本中上个月未参加任何课后服务的学生有人在本月选择仅参加学业辅导，样本中其他学生参加课后服务的情况在本月没有变化．从全校学生中随机抽取3人，以频率估计概率，以表示这3人中上个月仅参加学业辅导的人数，以表示这3人中本月仅参加学业辅导的人数，试判断方差，的大小关系（结论不要求证明）． 34．（2025秋•北京校级期末）不同大模型各有千秋，适配领域也各有所长．为了解某高校甲、乙两个学院学生对，两款不同大模型是否使用，对学生进行简单随机抽样，获得数据如下表： 甲学院 乙学院 使用 不使用 使用 不使用 款 40人 80人 60人 20人 款 70人 50人 30人 50人 假设所有学生对，两款大模型是否使用相互独立，用频率估计概率． （1）分别估计该校甲学院学生使用款大模型的概率、该校乙学院学生使用款大模型的概率； （2）从该校甲学院全体学生中随机抽取2人，乙学院全体学生中随机抽取1人，记这3人中使用款大模型的人数为，求的分布列及数学期望； （3）从该校甲学院全体学生中随机抽取2人，记这2人中使用款大模型的人数为，其方差估计值为，从该校乙学院全体学生中随机抽取2人，记这2人中使用款大模型的人数为，其方差估计值为，比较与的大小（结论不要求证明）． 考点06 离散型随机变量均值与方差在决策中的应用 35．（2025秋•海淀区期末）某科技公司统计了过去连续30个月，两个小组每月所需专用服务器台数，获得数据如下表： 小组所需专用服务器台数 11 12 13 14 15 16 17 月数 1 1 2 3 18 4 1 小组所需专用服务器台数 6 8 10 12 14 16 18 月数 1 2 6 11 6 2 2 为了更好地支持自主研发，该公司计划给小组长期租赁台专用服务器，给小组长期租赁台专用服务器． 假设两个小组每月所需专用服务器台数相互独立．用频率估计概率． （Ⅰ）估计小组某个月所需专用服务器不超过14台的概率； （Ⅱ）若，在未来的某个月，为满足小组的需求，该公司还需要为小组临时租赁台专用服务器．特别地，当该月不需要为小组临时租赁专用服务器时，记．估计的数学期望； （Ⅲ）经公司讨论，有以下三种备选租赁方案： 方案一：，； 方案二：，； 方案三：，． 在未来的某个月，为满足这两个小组各自的需求，一共还需要临时租赁台专用服务器．特别地，当该月不需要临时租赁专用服务器时，记．在上述三种方案中，的数学期望估计值最小的方案是哪种？（结论不要求证明） 36．（2025秋•海淀区校级期末）通用人工智能是指具有高效的学习和泛化能力且能够根据所处的复杂动态环境自主产生并完成任务的通用人工智能体．对某个通用智能人工智能模型进行评测，让该通用人工智能模型做数学、物理、化学、生物考试，当模型完成不同学科的试卷时，通过计算模型的损失函数值来评测模型是否“有效”．当模型完成不同学科考试时，损失函数的“参考值”也不同，如表1所示． 表1 问题类型 数学 物理 化学 生物 损失函数参考值 8.5 10.3 9.0 10.5 表2为该模型在过去一个月内完成各种卷子的损失函数“实际值”． 表2 数学 6.465.778.7911.628.13 物理 9.029.438.6815.1510.497.93 化学 6.3114.505.987.08 生物 7.968.7815.2510.9410.038.379.02 当模型的损失函数的“实际值”小于“参考值”时，代表模型运行“有效”，否则，则称模型运行“无效”． 假设用频率估计概率，且模型每次运行是否“有效”相互独立． （1）在模型完成的四次化学考试中随机挑选两次，求模型均“有效”的概率； （2）在某次模拟考试中，小明在物理、化学、生物三个学科考试中直接使用该人工智能模型答题并提交，设模型运行“有效”的总次数为，求的分布列和数学期望； （3）若某次模拟考试中，允许你在数学、物理、化学、生物中的两个学科使用该模型进行作答．为了使得在该次考试中模型运行“有效”次数的数学期望最大，你会选择哪两科？（直接写出学科名称即可） 37．（2024秋•昌平区期末）某旅游景区为吸引更多游客，计划在官方网站平台和短视频平台同时进行广告宣传，两平台的浏览用户均可通过手机扫描景区提供的二维码，网上购买该景区门票，每人限购一张．为了解两平台的售票情况，从两平台的浏览用户中各随机抽取了1000人，对其是否购买了该景区门票进行统计，获得数据如下： 用户 平台 购买景区门票用户（人 未购买景区门票用户（人 官方网站 250 750 短视频 200 800 景区门票在官方网站平台和短视频平台的售价均为100元人，其售票利润率分别是和．假设所有浏览用户是否购买景区门票相互独立．用频率估计概率． （Ⅰ）从短视频平台浏览用户中随机选取1人，估计此人为购买景区门票用户的概率； （Ⅱ）从官方网站平台浏览用户中，随机选取3人，用表示这3人的购票费用总和，求随机变量的分布列和期望； （Ⅲ）经统计，官方网站平台和短视频平台的浏览用户分别为15万人和40万人左右，该景区按浏览用户的人数向两平台支付广告宣传费用，向官方网站平台按5元人的标准支付，向短视频平台按4元人的标准支付．为了获得最大的净利润（净利润售票利润广告宣传费用），试分析该景区应选择在哪个平台继续加大广告宣传费用投入力度，并说明理由． 38．（2024秋•海淀区校级期末）某超市制定的某种有机蔬菜销售策略如下：每天以5元千克购进该种蔬菜，然后以7元千克出售．若每天下午6点以前购进的有机蔬菜没有全部销售完，则对未售出的有机蔬菜进行降价处理，以3元千克出售，并且降价后能够把剩余蔬菜全部销售完，且当天不再进货．该超市整理了过去两个月（按60天计算）每天下午6点前这种有机蔬菜的日销售量（单位：千克），得到如下的统计数据． 每天下午6点前的销售量千克 200 250 300 350 400 天数 15 15 5 （注：每天超市销售的蔬菜量是相互独立的，用频率估计概率，， （Ⅰ）在接下来的3天中，设为下午6点前的销售量不少于300千克的天数，求的分布列和数学期望； （Ⅱ）若该超市某天拟购进300千克有机蔬菜，表示该天超市蔬菜销售利润，求的分布列； （Ⅲ）若，该超市明天打算购进300千克或350千克有机蔬菜，估计哪种购进量的利润均值更高？（直接写出结果） 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $