概率三姊妹—条件概率、全概率公式和贝叶斯公式-《中学生数理化》高二数学2026年5月刊

中学生教理化智皱学新商素条护航 概率三姊妹 条件概率、全概率公式和贝叶斯公式 ■河南省信阳市固始县高级中学教育集团胡云兵 2025年教育部教育考试院对《普通高中 B为只有M和A1正常工作。 数学课程标准(2017年版2020年修订)》进行 因为并联元件A1,A?能正常工作的概 了修订，新修订的《普通高中数学课程标准 (2025年修订版)》，在“概率与统计”模块新增 率为1-(-)×(1-)=是所以 “能够选择合适的方法计算概率，能够选择合 PA)=×贵 适的概率模型研究随机现象，能够用随机变量 及其分布解释随机现象的规律，能够合理构建 又因为P(AB)=P(B)=专×号× 1 统计模型来描述成对数据的统计规律，具有数 据分析的能力。”而条件概率、全概率公式和贝 (1-)=2·所以P(B1A)= P(AB) P(A) 叶斯公式作为新教材新增加的内容，近6年高 考考查12次，其重要性不言而喻。下面通过 17。故选B。 例题对这三个概率知识和解题方法进行梳理， (2)(2026年甘肃模拟卷)根据2025年 并给大家进行总结，希望对大家有所帮助。 最新旅游数据和权威推荐，当前中国五大旅 条件概率一缩小范围，精准打击 游热点城市为北京、上海、成都、杭州、西安。 条件概率的核心：在已经知道某些条件 甲、乙、丙三人准备去这五座城市旅游，若每 下，求另一件事情发生的概率。它让我们的 座城市只能去一人，且每座城市均有人选择 预测不再盲目，而是基于已有的情报。 去旅游，记事件A=“乙恰好选择了三座城市 例1(1)(2026年湖北荆门模拟卷) 旅游”，事件B=“甲只选择了北京旅游”，则 如图1，用M、A1、A:三类不同的元件连接成 P(B|A=()。 一个系统，当M正常工作且A1、A:至少有 一个正常工作时，系统正常工作，已知M、 c日n 123 解析：由题意知，乙恰好选择了三座城市 AA,正常工作的概率依次是2、3、，则 旅游的方法数n(A)=CA=20。 在系统正常工作的前提下，只有M和A,正 而事件A与B都发生的所有可能结果 常工作的概率是( 有n(AB)=CC=4(种)。 因此所求概率P(BA)=n(AB) 4 n(A) -20 5。故选C。 1 图1 评析：求条件概率的常用方法如下： 1 2 1)定义法，分别求P(A)和P(AB),得 A.12 B.1 P(BIA)= P(AB) c日 D品 P(A)9 (2)样本，点法，先求事件A包含的样本 解析：设事件A为系统正常工作，事件 ,点数n(A),再在事件A发生的条件下求事 10 知微商务摩护臂中学生款理化 件B包含的样本，点数n(AB),得P(B|A)= 符的概率为0.6，收到每一种其他宇符的概 n(AB) 率均为02，假定字符前后是否被歪曲互不 n(A) 影响。若收到的字符为ABCA,则传输的宇 全概率公式一条条大路通罗马 符是AAAA的概率为()。 当计算一个事件A的概率时，如果存在 A.0.4556 B.0.3689 多个“原因”或“路径”都能导致事件A的发 C.0.9872 D.0.5625 生，那么全概率公式就是把这些“原因”或“路 解析：设M表示“收到的字符为AB 径”的概率全部加起来。 CA”,B,表示“传输的字符为AAAA”,B,表 例2已知某水果超市苹果、香蕉、猕 示“传输的字符为BBBB”,B,表示“传输的 猴桃三种水果的购进数量之比为5：4：1， 字符为CCCC”。 经检查发现购进的苹果、香蕉、猕猴桃的新鲜 由题意可得，P(B1)=0.3,P(B2)= 率分别为95%，90%，90%，则从该超市随机 0.4,P(B)=0.3。 选取一个水果恰好是新鲜的概率为 P(MB1)=0.6×0.2×0.2×0.6= 解析：设事件A为“选取苹果”，B为“选 0.0144,P(MBg)=0.2×0.6×0.2×0.2 取香蕉”，C为“选取猕猴桃”，D为“选取一 =0.0048,P(M|B3)=0.2×0.2×0.6× 个水果是新鲜的”.则P(A)=日，P(B)= 0.2=0.0048。 根据贝叶斯公式可得： P(C)-P(DIA)P(B)- P(MB)P(B) P(B1|M)= 90%,P(D1C)=90%。 P (MI B)P(B) =1 根据全概率公式可知P(D)=P(A)· 0.0144×0.3 0.0144×0.3+0.0048×0.4+0.0048×0.3 P(DA)+P(B)P(DB)+P(C)P(DC) 0.00432 2×95%+号×90%+1 =0.5625。 5 )×906=%。 0.00768 故选D。 评析：利用全概率公式的思路如下： 评析：全概率公式和贝叶斯公式的区别 (1)按照确定的标准，将一个复合事件分 如下： 解为若千个互斥事件A:(i=1,2,…,n); (1)从形式上看，全概率公式是求一个事 (2)求P(A:)和事件B在各个互斥事件 件发生的总概率，而贝叶斯公式是求一个事 A:发生的条件下发生的概率P(B|A:)； (3)代入全概率公式计算。 件的条件概率。 (2)从思想上看，全概率公式是将一个复 贝叶斯公式—逆向推理，追根湖源 杂的事件分解为若干个简单的子事件，然后 贝叶斯公式是概率论的皇冠明珠，它解 利用子事件发生的概率和条件概率来求出复 决的是“已知结果，反推原因”的问题。如果 杂事件发生的概率。贝叶斯公式是利用已知 全概率公式是“顺藤摸瓜”，那么贝叶斯公式 的结果，反推出原因的可能性，然后利用原因 就是“顺瓜摸藤”。 发生的概率和条件概率来更新对原因发生概 例3(2026年重庆模拟卷)英国数学 率的估计。 家贝叶斯在概率论研究方面成就显著，根据 (3)从应用上看，全概率公式和贝叶斯公 贝叶斯统计理论，随机事件A,B存在如下关 式可以相互配合，一般来说，全概率公式可以 系：P(AB)=PA)P(CBA)。通信渠道中 用来求出贝叶斯公式中的分母（结果发生的 P(B) 可传输的宇符为AAAA,BBBB,CCCC三者 总概率)，而贝叶斯公式可以用来求出全概率 之一，传输三者的概率分别为0.3,0.4,0.3。 公式中的子事件发生的条件概率。 由于通道噪声的干扰，正确地收到被传输宇 (责任编辑徐利杰) 11