07：条件概率·全概率公式·贝叶斯公式【6个核心考点】讲义-2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第三册

2026年高二数学下学期常考题型归纳 【专项练习07：条件概率·全概率公式·贝叶斯公式】 总览 题型梳理 题型分类 知识讲解与常考题型 【题型1：条件概率的简单计算】 【练方法】 解题方法 1公式法 直接套用条件概率定义公式 先求事件和的概率再代入公式计算 2缩减样本空间法 在事件发生的前提下重新确定样本空间直接计算事件在新样本空间中的概率 3古典概型计数法 若为古典概型可直接用事件数计算 其中为事件包含的基本事件数为包含的基本事件数 （25-26高二下·上海·期中）甲同学共有10支笔，其中8支黑色，2支红色.乙同学向甲同学借走2支笔.已知乙同学借走的一支是红色，则另一支也是红色的概率为_____.经典例题1例题 【答案】 【详解】设事件表示“借走的两支笔中有一支是红色的”，事件表示“借走的两支笔都是红色的”； 则，； . （25-26高二下·河南驻马店·月考）同时投掷红､蓝两枚质地均匀骰子，设事件为“红色骰子投出的点数为偶数”，事件为“两枚骰子点数之和为7”，则（    ）经典例题2例题 A． B． C． D． 【答案】B 【详解】同时投掷红､蓝两枚质地均匀的骰子，设两枚骰子投出的点数构成有序对， 则总共有种可能. 设事件为“红色骰子投出的点数为偶数”，事件为“两枚骰子点数之和为7”， 所以事件包含的样本点个数有个，所以， 事件包含的基本事件有：， 所以，所以. （2026·山西临汾·二模）将5名实习生分配到A，B，C三个班开展实习工作.要求每个班都要有实习生，当实习生甲不去A班时，B班恰有3名实习生的概率为（   ）小试牛刀1 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先甲去或班的总数为，进一步由组合数排列数应用条件概率即可得所求概率. 【详解】不考虑甲是否去班，所有实习生分配方案总数为， 甲去班的概率相等，所以甲去或班的总数为， 甲不去班，B班恰有3名实习生的情形一，甲去班且班有3名实习生共有种； 情形二，甲去班，班有3名实习生共有种， 当实习生甲不去A班时，B班恰有3名实习生的共有种， 设实习生甲不去A班为事件，设B班恰有3名实习生为事件， 当实习生甲不去A班时，B班恰有3名实习生的概率为. （浙江平湖市当湖高级中学2025-2026学年高二下学期数学学科练习）一个袋子中有4张卡片，分别标有数字1，2，3，4，不放回地随机抽取两张卡片，记事件：“第一次抽到的数字小于第二次抽到的数字”，事件：“两次抽到的数字之和为偶数”，则（   ）小试牛刀2 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】列举出事件和事件的基本事件个数，利用条件概率公式即可求解. 【详解】事件为“第一次抽到的数字小于第二次抽到的数字”，所有满足条件的基本事件为：共个. 事件要求“两次抽到的数字之和为偶数”，和为偶数需要两个数字同奇偶，结合的条件， 满足要求的基本事件只有共个. 因此 . （25-26高二下·福建福州·期中）校运会期间，高二有甲、乙、丙、丁4名志愿者随机派往铅球、跳远、跳高三个比赛区域，每个区域至少派1名志愿者，每名志愿者只能去一个区域，则在甲被派往铅球区域的条件下，乙也被派往铅球区域的概率为______．小试牛刀3 【答案】 【详解】设表示事件“甲被派往铅球区域”，表示事件“乙被派往铅球区域”. 则，. 则在甲被派往铅球区域的条件下，乙也被派往铅球区域的概率为． 【题型2：条件概率性质的应用】 【练方法】 解题方法 1利用条件概率的基本性质 若则 若互斥则 逆事件 2乘法公式应用 利用乘法公式进行概率转化与计算 3独立性判定 若或则事件与相互独立可直接用计算 【多选题】（25-26高二下·浙江温州·期中）设A，是一个随机试验中的两个事件，且，则（   ）经典例题1例题 A． B．事件A，B为独立事件 C． D． 【答案】AC 【分析】应用概率基本性质计算判断A，独立事件概率乘积公式计算判断B，应用条件概率公式计算判断C，应用概率基本性质结合独立事件概率公式计算判断D. 【详解】因为， ，所以A正确； 所以B错误； ，所以C正确； ，所以D错误. 【多选题】（24-25高二下·浙江·期中）若、分别为随机事件、的对立事件，且，则下列结论正确的是（    ）经典例题2例题 A． B． C．若，则独立 D． 【答案】ABD 【分析】条件概率是指事件发生的条件下事件发生的概率，记为，计算公式为，其中.事件与事件相互独立的充要条件是，结合定义和性质，对选项逐一判断. 【详解】选项A，，A选项正确. 选项B，，B选项正确. 选项C，，，不能得出，选项C错误. 选项D，，D选项正确. 【多选题】（2026·江西赣州·一模）设是一个试验中的两个事件，且，则下列结论正确的有（    ）小试牛刀1 A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】利用条件概率，和事件的概率公式求解. 【详解】选项A，，， ， ， ，，故选项A正确； 选项B，，故选项B错误； 选项C，，故选项C正确； 选项D，，，，， ，故选项D错误. 故选：AC. 【多选题】（25-26高三上·湖北武汉·月考）下列关于随机事件的概率说法正确的是（   ）小试牛刀2 A．若，则事件发生，事件一定发生 B．若事件与互斥，则 C．若，则事件与独立 D．若，，，则事件与独立 【答案】BCD 【分析】利用事件的包含关系可判断A选项；利用互斥事件的概率加法公式可判断B选项；利用条件概率公式和事件独立性的定义可判断C选项；利用事件独立性的定义可判断D选项. 【详解】对于A选项，若，则事件发生，事件不一定发生，A错； 对于B选项，若事件与互斥，则，B对； 对于C选项，若且由条件概率公式可得， 所以，所以，则事件与独立，C对； 对于D选项，若，，则，， 所以，故与独立，即事件与独立，D对. 故选：BCD. 【多选题】（24-25高二下·四川广安·月考）设A，B是一次随机试验中的两个事件，若，，，则不正确的是（   ）小试牛刀3 A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】对于A，根据并事件的概率计算公式求解；对于B，由即可求解，再由对立事件的概率计算公式即可求；对于C，由A，B可判断C；对于D，由条件概率及其性质可求. 【详解】对于A，， 解得，故A错误； 对于B，，解得， ，故B正确； 对于C，，故C正确； 对于D，，，故D错误. 故选：AD． 【题型3：全概率公式的应用】 【练方法】 解题方法 1划分样本空间 确定样本空间的一个划分满足且 2套用全概率公式 分别计算每个和再求和 3分步求解 明确“原因”和“结果”先算各原因的概率再算各原因下结果发生的条件概率最后加权求和 （25-26高二下·上海·期中）现有编号分别为的三个盒子，其中盒中共20个小球，其中红球6个，盒中共20个小球，其中红球5个，盒中共30个小球，其中红球6个.现从所有球中随机抽取一个，记事件：“该球为红球”，事件：“该球出自编号为的盒中”，则下列说法错误的是（    ）经典例题1例题 A． B． C． D．若从所有红球中随机抽取一个，则该球来自盒的概率最小 【答案】B 【分析】选项A，条件概率计算；选项B，用全概率公式计算；选项C，利用对立事件转化为，再用贝叶斯公式计算；选项D，分别计算各盒红球在总红球中的占比再比较大小. 【详解】先整理基本量：总球数，红球总数，逐个验证选项： 选项A，，A正确； 选项B，由全概率公式，，B错误； 选项C，，C正确； 选项D，从所有红球中抽取，来自概率概率概率概率最小，D正确. （陕西宝鸡市2026届高三下学期高考考前模拟检测数学试题）2026年3月15日我省分类招生考试圆满结束．在我市三所高中报名参加今年高考的学生中，分别有的学生报名参加了分类招生考试．若这三所学校报名参加今年高考的人数之比为9：6：5，则下列说法正确的有（   ）个经典例题2例题 ①从这三所高中报名参加今年高考的人中任选一人，则此人参加分类招生考试的概率为 ②从这三个高中报名参加今年高考的人中任意选取100人，平均参加分类招生考试的人数为14人 ③从这三所高中报名参加今年高考的人中任选一人，这个人来自A学校且参加分类招生考试的概率为 A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】根据全概率公式，条件概率公式即可求解. 【详解】设事件分别表示三所高中报名参加今年高考，事件表示报名参加分类招生， 则，， 设事件D，表示从这三所高中报名参加今年高考的人中任选一人，则此人参加分类招生考试， 所以 ，故①正确； 从这三个高中报名参加今年高考的人中任意选取100人， 平均参加分类招生考试的人数为人，故②正确； 从这三所高中报名参加今年高考的人中任选一人， 这个人来自A学校且参加分类招生考试的概率为 ，故③错误. 【多选题】（25-26高二下·江苏无锡·期中）甲罐中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙罐中有4个红球，3个白球和3个黑球（球除颜色外，大小质地均相同）、先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以，和表示由甲罐中取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙罐中随机取出一球，以B表示由乙罐中取出的球是红球的事件.下列结论正确的是（   ）小试牛刀1 A．事件与相互独立 B． C． D． 【答案】BC 【分析】根据相互独立事件的定义判断A，根据条件概率公式判断B，根据全概率公式判断C，根据贝叶斯公式判断D． 【详解】对于A：因为，，而， 所以事件与不相互独立，故A错误； 对于B：因为，，所以，故B正确； 对于C：因为，，， 所以 ，故C正确； 对于D：，故D错误． （25-26高二下·江苏徐州·期中）现有除颜色外都相同的3个红球和3个白球，随机取3个球放入一个不透明的袋中，记袋中红球的个数为．从袋中随机摸出一个球，并换入一个另一种颜色的球，经过1次摸换，袋中的红球个数记为．则（    ）小试牛刀2 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用全概率公式列式求解. 【详解】依题意，事件发生是的事件发生或的事件发生， ，， 所以 . 【多选题】（25-26高二下·江苏淮安·月考）甲箱中有2个红球和2个白球，乙箱中有2个红球和2个白球（两箱中的球除颜色外没有其他区别），先从甲箱中随机取出一球放入乙箱，分别用事件和表示从甲箱中取出的球是红球和白球；再从乙箱中随机取出两球，用事件B表示从乙箱中取出的两球都是红球，则（    ）小试牛刀3 A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】根据条件写出和 ，，再根据全概率公式和贝叶斯公式判断选项. 【详解】由条件可知，，，故AC正确；， ，故B正确； ，故D错误. 【题型4：贝叶斯公式的应用】 【练方法】 解题方法 1公式套用 利用贝叶斯公式由结果反推原因的概率 分子分母均使用全概率公式的相关项 2步骤拆解 先计算全概率公式中的再计算分子最后求比值 3实际问题建模 明确“先验概率”和“似然”再计算“后验概率” 【多选题】（浙江台州十校联盟2025-2026学年第二学期期中联考高二年级数学学科试题）英国数学家贝叶斯在概率论研究方面成就显著，根据贝叶斯定理，随机事件，存在如下关系：.张同学每天的运动计划包括两种主要方式：室内健身和户外运动.张同学第一天选择室内健身的概率为，选择户外运动的概率为.如果第一天选择室内健身，那么第二天继续选择室内健身的概率为；如果第一天选择户外运动，那么第二天选择室内健身的概率为.则张同学（   ）经典例题1例题 A．第二天去室内健身的概率为 B．第二天去户外运动的概率为 C．若第二天去了室内健身，则第一天去户外运动的概率为 D．若第二天去了户外运动，则第一天去室内健身的概率为 【答案】AD 【分析】利用条件概率公式、全概率公式和贝叶斯公式计算可得. 【详解】设表示张同学第一天选择室内健身，表示张同学第二天选择室内健身， 表示张同学第一天选择户外运动，表示张同学第二天选择户外运动. 则，，，， 对于A，，故A正确； 对于B，因为，故B错误； 对于C，因为，故C错误； 对于D，因为，故D正确. 【多选题】（25-26高二下·安徽·期中）在一个抽奖游戏中，主持人从编号为1，2，3，4的四个外观相同的空箱子中随机选择一个，放入一件奖品，再将四个箱子关闭，只有主持人知道奖品在哪个箱子里，当抽奖人选择了某个箱子后，在箱子打开之前，主持人先随机打开另一个没有奖品的箱子，并问抽奖人是否愿意更改选择以便增加中奖概率，现在已知甲选择了1号箱，用表示号箱有奖品，用表示主持人打开号箱子，下列结论正确的是（    ）.经典例题2例题 A． B．主持人打开3号箱的概率 C．若，且甲更改选择，则他获奖的概率为 D．若，甲改选2号箱比改选4号箱的中奖概率更大 【答案】BC 【详解】对于A，奖品在号箱里，主持人可打开号箱，故，故A错误； 对于B，奖品在号箱里，主持人可打开号箱，故， 奖品在号箱里，主持人只能打开号箱，故， 奖品在号箱里，主持人打开号箱的概率为，故， 奖品在号箱里，主持人只能打开号箱，故， 由全概率公式可得：，故B正确； 对于C、D， （1）若甲不更改选择时，由贝叶斯公式计算 . 从而. （2）当甲更改选择时 ①若甲改选号箱，甲中奖的概率为， ②若甲改选号箱，甲中奖的概率为， ③若甲改选号箱，甲中奖的概率为， 因此甲更改选择，获奖的概率为，故C正确； 而，即甲改选号箱与改选号箱的中奖概率一样，故D错误. （25-26高二下·河南·期中）某商场在清明节假期期间举办有奖消费活动，抽奖方法如下：，袋中各有5张奖券，其中袋中有2张一等奖和3张二等奖，袋中有3张一等奖和2张二等奖，先从装着标有数字1，2，3，4，5，6的号签筒中任抽1签，若是1，2，3，4 号签，则从袋中随机抽取1张奖券，若是5，6号签，则从袋中随机抽取1张奖券．已知某顾客抽到了一等奖奖券，则该一等奖奖券来自袋的概率 ______．小试牛刀1 【答案】 【分析】根据全概率公式及贝叶斯公式计算． 【详解】解：设事件：抽到1，2，3，4号签，事件：抽到5，6号签，事件B：抽到一等奖奖券， 则，，，， ∴， ∴． （25-26高二上·江西鹰潭·期末）小明在某不透明的盒子中放入4红5黑9个球，随机摇晃后，小明从中取出一个小球丢掉（未看被丢掉小球的颜色）.现从剩下8个小球中取出两个小球，结果都是黑球，则丢掉的小球也是黑球的概率为（    ）小试牛刀2 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先计算每种情况下，“取出 2 个黑球” 的条件概率，再用贝叶斯公式计算概率. 【详解】用表示丢掉一个小球后任取两个小球均为黑球，用表示丢掉的小球为红球，表示丢掉的小球为黑球，则， 由全概率公式可得， 所以. 故选：D （2026·重庆沙坪坝·模拟预测）某智能手环可通过监测心率对佩戴者进行“心律失常”疾病的早期预警．据临床数据，其用户群体中该疾病的患病率约为0.5%，手环单次分析会给出“预警”或“无预警”结果，其性能如下：小试牛刀3 对于确实患病的用户，单次分析触发预警的概率为99%（灵敏度）； 对于未患病的用户，单次分析误触发预警的概率为5%（误报率）． 现从用户群体中随机抽取一人，进行单次分析． (1)求此次分析触发预警的概率； (2)记事件为“此次分析触发预警”，事件为“该用户确实患病”． （i）求； （ii）结合（1）和（2）（i）的结果，说明与在医学预警中的不同含义，并分析：若手环触发预警，哪个概率对用户决定是否就医的参考价值更大？为什么？ 【答案】(1)0.0547 (2)（i）（ii）答案见解析 【详解】（1）事件为“用户患病”，事件为“分析触发预警”． 由题知：，，，． 由全概率公式： 所以，触发预警的概率为0.0547． （2）（i）由贝叶斯公式： ， 所以，在预警条件下确实患病的概率约为． （ii）含义解释： 由（i），表示“在手环预警的条件下用户确实患病”的概率， 它衡量了预警结果的可靠性，回答了“预警是否意味着真患病”的个人风险问题； 是灵敏度，表示“用户真患病的条件下手环触发预警”的概率， 反映了该手环识别真实病例的能力； 决策参考分析：对收到预警的个人而言， 的参考价值更大、更直接． 理由：该值从群体基础患病率（）显著提升至，构成了明确的个人健康风险信号， 用户应结合自身症状，将此作为是否需要进一步医疗检查的关键依据． 而描述的是该手环的整体性能，无法直接量化个人当前风险， 故对个人就诊决策的参考相对间接． 【题型5：全概率公式与马尔科夫链】 【练方法】 解题方法 1识别马尔可夫链特征 确认状态转移仅依赖当前状态与过去无关（无后效性） 2构造转移矩阵 列出一步转移概率矩阵其中 3结合全概率公式递推 利用全概率公式结合初始状态分布和转移矩阵计算多步状态概率 4多步转移计算 转移矩阵的次幂可表示步转移概率可直接计算长程状态概率 （25-26高二下·福建三明·月考）某中学的体育馆同时具有羽毛球、乒乓球和篮球场馆，甲同学每天都会去体育馆锻炼，若甲当天选择羽毛球，则后一天选择羽毛球的概率为，选择乒乓球的概率为；若甲当天选择乒乓球，则后一天选择羽毛球的概率为，选择乒乓球的概率为；若甲当天选择篮球，则后一天等可能地选择其中一个项目.已知甲第一天等可能地选择一个场馆进行相应的体育锻炼.请完成下列计算：经典例题1例题 (1)求甲第2天选择羽毛球的概率； (2)求在甲第2天选择羽毛球的条件下，甲第1天选择篮球的概率； (3)记甲第天选择羽毛球的概率为，请写出与的关系. 【答案】(1)； (2)； (3). 【分析】（1）利用全概率公式计算求解即可. （2）利用贝叶斯公式计算求解即可. （3）根据给定条件，利用全概率公式列式并化简即得. 【详解】（1）设事件分别表示第一天选择羽毛球、乒乓球、篮球，第二天选择羽毛球的事件为， 则且两两互斥， 依题意，，， 且， 由全概率公式得. （2）由贝叶斯公式，得所求概率为. （3）设甲第天选择羽毛球的概率为，甲第天选择乒乓球的概率为， 由无论前一天选择什么，后一天选乒乓球的概率均为，得对所有均成立， 从而选择篮球的概率为， 当时，由全概率公式，得的递推关系为， 而，，化简得，. （2026·陕西商洛·二模）国庆节期间，某超市举行购物抽奖活动.在抽奖活动中，初始时的袋子中有除颜色外其余都相同的2个白色小球和1个红色小球，每次随机抽取一个小球后放回.抽奖规则如下：设定抽中红球为中奖，抽中白球为未中奖；若抽到白球，放回后把袋中的一个白色小球替换为红色；若抽到红球，放回后把3个球的颜色重新变为2个白色小球和1个红色小球的初始状态.记第（，）次抽奖中奖的概率为.经典例题2例题 (1)求和； (2)是否存在实数，，，使得对任意的不小于4的正整数，都有？若存在，则求出，，的值；若不存在，请说明理由； (3)若累计中奖4次及以上可以获得一张优惠券，则从初始状态下连抽9次获得一张优惠券的概率为多少? 【答案】(1)， (2)存在，，， (3) 【分析】（1）分第一次中奖与否两种情况分析，利用全概率公式可得；分别分析第二次中奖，及第二次未中奖第一次中奖与否的情况，利用全概率公式可得； （2）分析相邻次中奖间的概率关系，利用全概率公式可得数列的递推公式，从而得的值； （3）先分析获得优惠券的情形，分别求出从初始状态开始抽三次，前两次均未中奖而第三次中奖的概率，再求出仅三次中奖的概率，最后用对立事件的概率关系可得. 【详解】（1）由题意知， . （2）存在，理由如下： 因为每次中奖后袋中的球会回到初始状态， 从初始状态开始，若第次中奖，则第次抽奖中奖的概率为； 从初始状态开始，若第次未中奖而第次中奖，则第次抽奖中奖的概率为， 从初始状态开始，若第次未中奖且第次未中奖，则第次肯定中奖 ，所以第次抽奖中奖的概率为. 综上，对任意的，， 又，所以，，. （3）由题意知每抽三次至少有一次中奖，故连抽9次至少中奖3次， 所以只需排除3次中奖的情况即可获得一张优惠券， 另外每两次中奖的间隔不能超过三次，每次中奖后袋中的球会回到初始状态， 从初始状态开始，抽一次中奖的概率为， 从初始状态开始抽两次，第一次未中奖而第二次中奖的概率为， 从初始状态开始抽三次，前两次均未中奖而第三次中奖的概率为， 用表示第次，第次，第次中奖，其余未中奖， 则三次中奖的所有情况如下： ，，，，，，，，，， 故仅三次中奖的概率为： ， 所以从初始状态下连抽9次获得一张优惠券的概率为 . （25-26高二下·江西南昌·月考）在全球化的现代社会中，物流网络已成为支撑经济发展、促进区域协同的关键基础设施.物流能否准时送达，将影响到消费者的购物体验，而物流提前送达往往能够超越客户预期，显著提升满意度.某物流公司每天需要从干线枢纽发送包裹至目的地城市.从干线枢纽到目的地城市，有三种方案供选择：小试牛刀1 方案A：选择高速支线，物流提前送达的概率为； 方案B：选择高速干线，物流提前送达的概率为； 方案C：选择国道线路，物流提前送达的概率为. (1)物流公司每次随机选择一种方案，求物流提前送达的概率； (2)物流公司研发了一套智能自适应调度系统，这套系统的核心算法如下： ①第1次，随机选择一种方案； ②从第2次起，若前一次物流提前送达，则沿用此方案；若前一次未提前送达，则在三种方案中随机选择一种.记第n次选择方案A，B，C的概率分别为，，. （i）求，，并证明：数列为等比数列； （ii）求和，并判断智能自适应调度系统能否提高物流提前送达的概率. 【答案】(1) (2)（i），，证明见解析；（ii）和见解析，能提高. 【分析】（1）由题意，根据全概率公式，即可求得答案. （2）（i）根据条件，代入数据，求出，；分别求出和的表达式，即可得的表达式，化简整理，结合等比数列的定义，即可得证. （ii）由（i）得的通项公式，同理可得的通项公式，联立可得和，求出第n次提前送达的概率，分析比较，即可得答案. 【详解】（1）每次随机选择一种方案，则三种方案被选中的概率均为， 设物流提前送达为事件D，则. （2）（i）第一次随机选择，则， 若第一次提前送达，概率为，若第一次未提前送达，则概率为， 则，， 由题意得， ，， 则 ， 又， 所以是以为首项，为公比的等比数列. （ii）由（i）得①， 同理 ，又， 所以是以为首项，为公比的等比数列， 所以②， ①②联立得， 设第n次提前送达事件为 则 ， 随着n增大，逐渐增大，且， 所以当时，， 因此从第2次起，智能自适应调度系统逐步提高物流提前送达的概率. （2026·河南南阳·一模）马尔可夫链是概率统计中的一个重要模型，也是机器学习和人工智能的基石，为状态空间中经过从一个状态到另一个状态的转换的随机过程.该过程要求具备“无记忆”的性质：下一状态的概率分布只能由当前状态决定，在时间序列中它前面的事件均与之无关.甲乙两个口袋中各装有1个黑球和2个白球，现从甲、乙两口袋中各任取一个球交换放入另一口袋，重复进行次这样的操作，记甲口袋中黑球个数为，恰有1个黑球的概率为，求小试牛刀2 (1)的值； (2)求的式子. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题意根据组合数公式、古典概型概率计算公式可求得； （2）由全概率公式得递推公式，构造等比数列即可求解. 【详解】（1）由题意，； （2）当时， ， 整理得，， 是以为首项，以为公比的等比数列， 所以， 所以. （2025高三上·新疆省直辖县级单位·专题练习）某无人机操作员进行定点精准降落训练.据以往训练经验，第一次降落成功的概率为.若第次降落成功，则第次降落成功的概率为；若第次降落未成功，则第次降落成功的概率为，其中.小试牛刀3 (1)求该操作员第二次降落成功的概率； (2)设第i次降落成功的概率为，求证：. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）由全概率公式求解； （2）由全概率公式得出的递推公式，进而求出的通项公式，由数列的单调性确定的范围. 【详解】（1）设事件“第次降落成功”，则“第次降落未成功”，， 由全概率公式得 ， 该操作员第二次降落成功的概率为. （2）由题意得， 当时， 即， 整理得， 又， 所以数列是以为首项，以为公比的等比数列， 故， 即， 易知单调递增 所以. 【题型6：条件概率与全概率贝叶斯公式综合】 【练方法】 解题方法 1分步拆解问题 先识别问题中的“条件”“结果”“原因”区分使用条件概率全概率还是贝叶斯公式 2全概率+条件概率结合 先利用全概率公式计算结果事件的概率再利用条件概率公式求解特定条件下的概率 3贝叶斯+条件概率结合 先利用贝叶斯公式求出后验概率再基于后验概率计算新的条件概率 （25-26高二下·黑龙江绥化·月考）甲和乙两个箱子中各装有个大小相同的小球，其中甲箱中有个红球、个白球；乙箱中有个红球、个白球．经典例题1例题 (1)从甲箱中随机抽出个球，求抽到的个球中有红球的概率； (2)从甲箱中随机抽出个球，在已知抽到的个球中有红球的条件下，求个球都是红球的概率； (3)掷一枚质地均匀的骰子，如果点数小于等于，从甲箱随机抽出个球；如果点数大于等于，从乙箱中随机抽出个球，若抽到的是红球，求它是来自乙箱的概率． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用间接法求解即可得； （2）利用条件概率公式求解即可得； （3）先根据全概率公式求解，再根据贝叶斯公式即可求解得. 【详解】（1）记事件表示“抽出的个球中有红球”，则； （2）记事件表示“两个球都是红球”，则， 故； （3）设事件表示“从乙箱中抽球”，事件表示“抽到红球”，则事件表示“从甲箱中抽球”， 则，， 则， 故． 【多选题】（25-26高二下·浙江·期中）一项“过关游戏”规则规定：在第关要抛掷一颗质地均匀的骰子次，如果这次抛掷所出现的点数之和大于，则过关．假定每次过关互不影响．记过第关为事件，则下列说法正确的是（    ）经典例题2例题 A．这项游戏最多能连续过5关 B． C． D．连过前三关的概率是 【答案】BCD 【详解】A选项：当时，，当时，，所以最多过4关，A错误； B选项：当时，点数记为，即时过关，，所以B正确； C选项：，设两次点数记为，， 则，所以，所以C正确； D选项：，记三次点数分别为， ， ，所以D正确． 【多选题】（2026·四川·模拟预测）某商场举行抽奖活动，规则如下：参与者从甲､乙两个箱子中随机选择一个，然后从该箱中有放回地抽取小球两次，每次抽取1个球，已知甲箱中有4个红球和1个白球，乙箱中有3个红球和2个白球，设事件“参与者选择甲箱”，事件“两次都抽到红球”，则（    ）小试牛刀1 A． B． C． D．与相互独立 【答案】AC 【分析】利用条件概率公式和全概率公式计算可判断ABC；根据相互独立事件的定义，利用概率即可判断D. 【详解】由题意可知，甲箱中每次抽到红球的概率为，乙箱中每次抽到红球的概率为. 因为参与者选择箱子是随机的，所以. 对于A，在事件发生的条件下（即选择了甲箱） ，每次抽到红球的概率为，且各次抽取相互独立, 两次均抽到红球的概率为，故A正确； 对于B，由，故B错误； 对于C，在事件发生的条件下（即选择了乙箱），每次抽到红球的概率为， 两次均抽到红球的概率为，由全概率公式可得， ，故C正确； 对于D，因为，所以， 因此事件与事件不独立，故D错误. 【多选题】（25-26高三下·陕西咸阳·月考）已知，为随机事件，则下列说法正确的是（   ）小试牛刀2 A．若，，，则，相互独立 B．若，，，则 C．若，则 D．若，，，则 【答案】ABD 【详解】对于A，由，得，因此相互独立，A正确； 对于B，由，得，B正确； 对于C，由及，得，C错误； 对于D，由，得，又， 因此，D正确. （2026·河北保定·一模）某芯片企业用甲、乙两款设备检测芯片是否为良品．甲设备检测良品芯片为良品的概率为0.9，检测次品芯片为良品的概率为0.1；乙设备检测良品芯片为良品的概率为0.8，检测次品芯片为良品的概率为0.2．甲、乙设备的检测结果相互独立．已知某批芯片良品率为，现从该批芯片中任取一芯片，甲、乙设备各检测一次，则（    ）小试牛刀3 A．若该芯片为良品，则两设备检测结果相同的概率为0.74 B．若该芯片为次品，两个设备至少有一台设备检测为次品的概率是0.9 C．甲设备检测该芯片为良品的概率为 D．甲设备检测为良品，该芯片实际为良品的概率为 【答案】ACD 【分析】设事件表示“甲设备检测为良品”，事件表示“乙设备检测为良品”，事件表示“芯片为良品”，事件表示“芯片为次品”，选项A，若该芯片为良品，则两设备检测结果相同的概率如下，为代入数值得解；选项B，若该芯片为次品，两个设备至少有一台设备检测为次品的概率是，代入数值得解；选项C，由题意得甲设备检测该芯片为良品的概率为，代入数值得解；选项D，甲设备检测为良品，该芯片实际为良品的概率为，代入数值得解. 【详解】设事件表示“甲设备检测为良品”，事件表示“乙设备检测为良品”， 事件表示“芯片为良品”，事件表示“芯片为次品”， 则，，， ，，， 选项A，若该芯片为良品，则两设备检测结果相同的概率如下， 为 ，故A正确； 选项B，若该芯片为次品，两个设备至少有一台设备检测为次品的概率如下， 是，故B错误； 选项C，由题意得甲设备检测该芯片为良品的概率如下， 为， ，故C正确； 选项D，而甲设备检测为良品，该芯片实际为良品的概率如下， 为，故D正确. 课后过关检测 一、单选题 1．（2026·上海松江·模拟预测）一个袋中有大小与质地完全相同的红、黄､蓝三个球，从袋中依次随机不放回地摸出两个球，记“第一次取到红球”为事件A，“第二次取到黄球”为事件，则（    ） A．A，B相互独立 B． C． D． 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用相互独立事件的定义判断A；利用条件概率公式，结合古典概率计算判断BCD. 【详解】对于A，，，A，B不独立，A错误； 对于B，，B错误； 对于C，，C正确； 对于D，，则，D错误. 2．（25-26高二下·黑龙江大庆·期中）某智能设备的运行状态每秒钟按照以下规则随机切换（状态为A，B，C）： 当前状态为A时，下一秒保持A的概率为0.2，变为B的概率为0.5，变为C的概率为0.3； 当前状态为B时，下一秒保持B的概率为0.1，变为A的概率为0.4，变为C的概率为0.5； 当前状态为C时，下一秒保持C的概率为0.4，变为A的概率为0.3，变为B的概率为0.3； 已知初始状态为A，在状态B下，设备会以0.8的概率发出警报，在其他状态下，设备以0.1的概率发出警报，则第2秒末设备发出警报的概率为（   ） A．0.268 B．0.272 C．0.286 D．0.294 【答案】A 【分析】先求第秒末设备处于各状态的概率，再由转移规则求出第秒末设备处于，， 三种状态的概率，最后利用全概率公式求第秒末发出警报的概率. 【详解】因为初始状态为，所以第秒末的状态分布为，，， 第秒末处于状态的概率为 ， 第秒末处于状态的概率为 ， 第 秒末处于状态的概率为 ， 检验可得， 第秒末发出警报的概率为 ， 所以第秒末设备发出警报的概率为. 3．（25-26高二下·广西贵港·期中）抛掷两枚质地均匀的骰子，表示事件“两个点数都出现偶数”，表示事件“在第一枚的点数是偶数的条件下，第二枚的点数也是偶数”，则关于事件、的概率大小关系成立的是（   ） A． B． C． D．无法比较大小 【答案】B 【分析】本题主要考查古典概型和条件概率，关键是分清事件和事件的区别，分别计算出它们的概率，再比较大小即可. 【详解】解：抛掷两枚质地均匀的骰子，每枚骰子的点数为，，，，，， 其中偶数点数有个，即，，，所以两枚骰子的总基本事件数为种， 事件表示两个点数都出现偶数，共有种，因此，. 设事件为第一枚的点数为偶数，事件为第二枚点数为偶数，则， ，所以， 因此. 4．（24-25高二下·浙江·期中）在某校新高考物理方向的学生中，有60%的同学选了化学学科，40%同学选了生物学科，80%的同学选了化学学科或生物学科．现从该校新高考物理方向的学生中，随机调查一名同学，已知该同学选了化学学科，则该同学选科组合为“物理、化学、生物”的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用公式求出，利用条件概率的公式求出. 【详解】设事件表示“选化学”，事件表示“选生物”， 题目给出，，， 则， 已知选了化学，所求为条件概率：. 5．（25-26高二下·吉林四平·月考）甲、乙两位旅游博主准备周末去A，B，C，D这4个景点中的某一个景点打卡，事件M表示甲、乙至少有1人去A景点，事件N表示甲、乙去相同的景点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】应用条件概率公式求解即可 【详解】事件表示甲乙两人都不去A景点，， 事件表示甲乙两人都去A景点，， 所以． 6．（25-26高二下·浙江·期中）已知随机事件相互独立，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用条件概率公式和相互独立，求出，再由随机事件的概率加法公式求出，即得. 【详解】由, 因随机事件相互独立，则,代入上式，解得. 又因, 将代入，可得，解得. 又因相互独立，故. 7．（25-26高三下·陕西西安·月考）当前，AI已从一个研究领域变成一类赋能技术．在医药健康领域，AI已应用于靶点发现、药物设计及临床试验等方面，显著提升了科研效率．假设某实验用AI辅助新药分子筛选，事件A是“AI模型筛选出候选分子M”，事件B是“AI模型筛选出候选分子N”．已知，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为，所以. 所以. 由，得. 所以. 二、多选题 8．（25-26高二下·河南许昌·期中）寒假期间，甲同学早上去博物馆有三种出行方式：步行、坐轻轨、坐出租车，概率分别为，，.当他步行、坐轻轨和坐出租车时，到达博物馆能立即找到讲解器的概率分别为，，，则下列说法中正确的是（   ） A．甲同学今天早上步行出行与坐轻轨出行是互斥事件 B．甲同学今天早上坐轻轨出行与坐出租车出行相互独立 C．甲同学到达博物馆能立即找到讲解器的概率大于 D．若甲同学今天早上到达博物馆立即找到了讲解器，则他是步行出行的概率为 【答案】ACD 【分析】对A，根据互斥事件的定义判断；对B，根据相互独立事件的定义判断；对C，由全概率公式求解判断；对D，由条件概率的计算公式求解判断. 【详解】设“甲同学今天早上步行出行”为事件，“甲同学今天早上坐轻轨出行”为事件， “甲同学今天早上坐出租车出行”为事件，“甲同学到达博物馆能立即找到讲解器”的事件为B． 对于A，A1与A2不可能同时发生，故A正确； 对于B，因为，，但， 故，故B错误； 对于C，由，，，，，， 由全概率公式得： ．故C正确； 对于D，由题意可知所求概率为，故D正确． 9．（25-26高二下·浙江温州·期中）下列说法正确的是（   ） A．若A和B是两个独立事件，则 B．设和B互为对立事件，则 C．若，则 D．若，则 【答案】BCD 【分析】根据独立事件和对立事件的概念可判断AB；根据条件概率公式即可判断CD． 【详解】A和B是两个独立事件，则， ，故A错误； 和B互为对立事件，则，即，故B正确； 易知，， ，故C正确； ，故D正确． 三、填空题 10．（25-26高二下·上海·期中）已知事件相互独立，且，则_____. 【答案】/ 【详解】因为事件相互独立，所以 11．（25-26高二下·浙江·期中）某校开展教师歌手大赛．已知男、女教师人数比例为，有的男教师和的女教师擅长民谣歌曲．现随机选取一位教师，则这位教师恰好擅长民谣歌曲的概率为__________． 【答案】/ 【详解】由男、女教师人数比为，可得随机选一位教师， 选到男教师的概率为，选到女教师的概率为. 已知男教师中擅长民谣的概率为，女教师中擅长民谣的概率为. 根据全概率公式，随机选一位教师恰好擅长民谣的概率为： . 即随机选一位教师，则这位教师恰好擅长民谣歌曲的概率为. 12．（25-26高三上·天津·期中）某次社会实践活动中，甲､乙两个班的同学共同在一社区进行民意调查.参加活动的甲､乙两班的人数之比为，其中甲班中女生占，乙班中女生占.则该社区居民遇到一位进行民意调查的同学恰好是女生的概率是__________，则该社区居民遇到一位进行民意调查的女同学恰好来自甲班的概率是__________. 【答案】 【分析】令事件为甲班，事件为乙班，设女生为事件，利用全概率公式即可求解，利用条件概率即可求解. 【详解】令事件为甲班，事件为乙班，设女生为事件，则， 所以， ， 故答案为：；. 13．（25-26高二下·上海松江·期中）已知甲袋中有大小质地完全相同的3个红球和3个黑球，乙袋中有大小质地完全相同的2个红球和3个黑球，现随机地选择一个袋子，并从中不放回地依次随机摸出两个球，则在第一次摸到红球的条件下，第二次摸到的也是红球的概率是______． 【答案】 【分析】利用全概率公式求出第一次摸到红球的概率以及第一次和第二次都摸到红球的概率，再根据条件概率公式进行计算． 【详解】设事件表示“第一次摸到红球”，事件表示“第二次摸到红球”． 设事件表示“选择甲袋”，事件表示“选择乙袋”， 且，， 根据全概率公式，得， 在甲袋中，第一次摸出红球后，还剩2个红球和3个黑球，共5个球， 所以从甲袋中第一次和第二次都摸到红球的概率， 在乙袋中，第一次摸出红球后，还剩1个红球和3个黑球，共4个球，所 以从乙袋中第一次和第二次都摸到红球的概率， 根据全概率公式，得， 所以，在第一次摸到红球的条件下，第二次摸到红球的概率为． 14．（25-26高二上·湖南长沙·期末）某品牌女装专卖店设计摸球抽奖促销活动，每位顾客只用一个会员号登录，每次消费都有一次随机摸球的机会．已知顾客第一次摸球抽中奖品的概率为；从第二次摸球开始，若前一次没抽中奖品，则这次抽中的概率为，若前一次抽中奖品，则这次抽中的概率为.记该顾客第n次摸球抽中奖品的概率为，则的值为__________、该顾客第__________次摸球抽中奖品的概率最大． 【答案】 2 【分析】记该顾客第次摸球抽中奖品为事件，易得，利用全概率公式求出，依题意推出，记，可得递推关系，构造等比数列，求出通项，再分奇偶讨论的增减性求出其最大值即得答案. 【详解】记该顾客第次摸球抽中奖品为事件，依题意，， . 因为， 所以， 所以， 所以， 又因为，则， 所以数列是首项为，公比为的等比数列， 故. 当为奇数时，， 当为偶数时，，则随着的增大而减小，所以. 综上，该顾客第二次摸球抽中奖品的概率最大． 故答案为：①；② 2. 15．（25-26高二下·黑龙江大庆·期中）在数轴上，一枚棋子初始位于0，每步移动规则如下，若棋子位于1，则下一步以概率向右移动一格，以概率向左移动一格；若棋子位于其他位置，则下一步以概率向右移动一格，以概率向左移动一格，当棋子首次到达2时游戏获胜，首次到达时游戏失败，则获胜的概率为________． 【答案】/ 【分析】记棋子在位置时最终获胜的概率为，根据概率之间的关系建立方程组求解即可. 【详解】记棋子在位置时最终获胜的概率为，则， 因为棋子位于0时向左右移动的概率都为，所以， 又因为棋子位于1时向左移动的概率为，向右移动的概率为， 所以，代入可得，解得. 因为棋子初始位于0，所以获胜概率即为. 16．（25-26高二下·浙江·期中）甲乙两人各有一个牌盒，盒子中有点数为的三张扑克牌．现在两人随机抽取一张扑克牌比较大小，如果甲的点数大，则两张扑克牌都放入甲的牌盒中；如果乙的点数大，则两张扑克牌都放入乙的牌盒中；如果一样大，则各自放回自己的牌盒．每次放回牌盒后都重新洗牌，则2次比较大小后，甲的牌盒中只剩1张扑克牌的概率为______． 【答案】 【详解】由题意，两次比较都是乙的点数大，甲失去张牌是和，分两类： ①若第次甲抽到的是，则乙可以是或，比较后甲盒中只有，，乙盒中为；第次则甲抽到，乙抽到，故概率为； ②若第次甲抽到的是，则乙抽到了，比较后甲盒中只有，，乙盒中为；第次则甲抽到，乙可以抽到或，故概率为. 所以次比较大小后，甲的牌盒中只剩张扑克牌的概率为． 四、解答题 17．（25-26高三下·上海·月考）人工智能广泛地运用概率的相关知识，我们可以设计如下试验模型；有完全相同的甲、乙两个袋子，袋子中有形状和大小完全相同的小球，其中甲袋中有9个红球和1个白球，乙袋中有2个红球和8个白球.从这两个袋子中选择一个袋子，再从该袋子中等可能摸出一个球，称为一次试验.若多次试验直到摸出红球，则试验结束.假设首次试验选到甲袋或乙袋的概率均为. (1)求首次试验结束的概率； (2)在首次试验摸出白球的条件下，我们对选到甲袋或乙袋的概率进行调整. ①求选到的袋子为甲袋的概率； ②将首次试验摸出的白球放回原来袋子，继续进行第二次试验时有如下两种方案：方案一，从原来袋子中摸球；方案二，从另外一个袋子中摸球.请通过计算，说明选择哪个方案第二次试验结束的概率更大. 【答案】(1) (2)①；②方案二 【详解】（1）设试验一次，“取到甲袋”为事件，“取到乙袋”为事件， “试验结果为红球”为事件，“试验结果为白球”为事件， ， 所以试验一次结果为红球的概率为. （2）①因为、是对立事件，， 所以， 所以选到的袋子为甲袋的概率为； ②由①得， 所以方案一中取到红球的概率 为， 方案二中取到红球的概率 为， 因为，所以方案二中取到红球的概率更大. 18．（25-26高二下·山东泰安·期中）现有甲，乙两个不透明箱子，甲箱内装有3个白球，2个红球，乙箱内装有2个白球，4个红球，所有小球除颜色外完全相同． (1)从乙箱中每次随机取出1个球，取出后不再放回，求在第1次取出的是白球的条件下，第2次取出红球的概率； (2)先从甲箱中随机取出2个球放入乙箱，再从乙箱中随机取出1个球．已知从乙箱中取出的球为白球，求从甲箱中取出的两个球均为白球的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据条件概率公式求解即可 （2）先对从甲箱中取出的两球的颜色分类，再由全概率公式或贝叶斯公式求解即可. 【详解】（1）设A=“第1次取出白球”，B=“第2次取出红球”，则第1次取出白球且第2次取出红球为事件AB， ∴，， ∴， ∴在第1次取出白球的条件下，第2次取出红球的概率为 （2）设C=“从乙箱中取出1个白球” =“从甲箱中取出2个白球”， =“从甲箱中取出1白1红两球”， =“从甲箱中取出2个红球”， 则，且，，两两互斥， 根据题意，，，， 且，，， 由全概率公式，得 ， 则， ∴已知从乙箱中取出的球为白球，从甲箱中取出的两个球均为白球的概率为. 1 学科网（北京）股份有限公司 $2026年高二数学下学期常考题型归纳 【专项练习07：条件概率·全概率公式·贝叶斯公式】 总览 题型梳理 题型分类 知识讲解与常考题型 【题型1：条件概率的简单计算】 【练方法】 解题方法 1公式法 直接套用条件概率定义公式 先求事件和的概率再代入公式计算 2缩减样本空间法 在事件发生的前提下重新确定样本空间直接计算事件在新样本空间中的概率 3古典概型计数法 若为古典概型可直接用事件数计算 其中为事件包含的基本事件数为包含的基本事件数 （25-26高二下·上海·期中）甲同学共有10支笔，其中8支黑色，2支红色.乙同学向甲同学借走2支笔.已知乙同学借走的一支是红色，则另一支也是红色的概率为_____.经典例题1例题 （25-26高二下·河南驻马店·月考）同时投掷红､蓝两枚质地均匀骰子，设事件为“红色骰子投出的点数为偶数”，事件为“两枚骰子点数之和为7”，则（    ）经典例题2例题 A． B． C． D． （2026·山西临汾·二模）将5名实习生分配到A，B，C三个班开展实习工作.要求每个班都要有实习生，当实习生甲不去A班时，B班恰有3名实习生的概率为（   ）小试牛刀1 A． B． C． D． （浙江平湖市当湖高级中学2025-2026学年高二下学期数学学科练习）一个袋子中有4张卡片，分别标有数字1，2，3，4，不放回地随机抽取两张卡片，记事件：“第一次抽到的数字小于第二次抽到的数字”，事件：“两次抽到的数字之和为偶数”，则（   ）小试牛刀2 A． B． C． D． （25-26高二下·福建福州·期中）校运会期间，高二有甲、乙、丙、丁4名志愿者随机派往铅球、跳远、跳高三个比赛区域，每个区域至少派1名志愿者，每名志愿者只能去一个区域，则在甲被派往铅球区域的条件下，乙也被派往铅球区域的概率为______．小试牛刀3 【题型2：条件概率性质的应用】 【练方法】 解题方法 1利用条件概率的基本性质 若则 若互斥则 逆事件 2乘法公式应用 利用乘法公式进行概率转化与计算 3独立性判定 若或则事件与相互独立可直接用计算 【多选题】（25-26高二下·浙江温州·期中）设A，是一个随机试验中的两个事件，且，则（   ）经典例题1例题 A． B．事件A，B为独立事件 C． D． 【多选题】（24-25高二下·浙江·期中）若、分别为随机事件、的对立事件，且，则下列结论正确的是（    ）经典例题2例题 A． B． C．若，则独立 D． 【多选题】（2026·江西赣州·一模）设是一个试验中的两个事件，且，则下列结论正确的有（    ）小试牛刀1 A． B． C． D． 【多选题】（25-26高三上·湖北武汉·月考）下列关于随机事件的概率说法正确的是（   ）小试牛刀2 A．若，则事件发生，事件一定发生 B．若事件与互斥，则 C．若，则事件与独立 D．若，，，则事件与独立 【多选题】（24-25高二下·四川广安·月考）设A，B是一次随机试验中的两个事件，若，，，则不正确的是（   ）小试牛刀3 A． B． C． D． 【题型3：全概率公式的应用】 【练方法】 解题方法 1划分样本空间 确定样本空间的一个划分满足且 2套用全概率公式 分别计算每个和再求和 3分步求解 明确“原因”和“结果”先算各原因的概率再算各原因下结果发生的条件概率最后加权求和 （25-26高二下·上海·期中）现有编号分别为的三个盒子，其中盒中共20个小球，其中红球6个，盒中共20个小球，其中红球5个，盒中共30个小球，其中红球6个.现从所有球中随机抽取一个，记事件：“该球为红球”，事件：“该球出自编号为的盒中”，则下列说法错误的是（    ）经典例题1例题 A． B． C． D．若从所有红球中随机抽取一个，则该球来自盒的概率最小 （陕西宝鸡市2026届高三下学期高考考前模拟检测数学试题）2026年3月15日我省分类招生考试圆满结束．在我市三所高中报名参加今年高考的学生中，分别有的学生报名参加了分类招生考试．若这三所学校报名参加今年高考的人数之比为9：6：5，则下列说法正确的有（   ）个经典例题2例题 ①从这三所高中报名参加今年高考的人中任选一人，则此人参加分类招生考试的概率为 ②从这三个高中报名参加今年高考的人中任意选取100人，平均参加分类招生考试的人数为14人 ③从这三所高中报名参加今年高考的人中任选一人，这个人来自A学校且参加分类招生考试的概率为 A．0 B．1 C．2 D．3 【多选题】（25-26高二下·江苏无锡·期中）甲罐中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙罐中有4个红球，3个白球和3个黑球（球除颜色外，大小质地均相同）、先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以，和表示由甲罐中取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙罐中随机取出一球，以B表示由乙罐中取出的球是红球的事件.下列结论正确的是（   ）小试牛刀1 A．事件与相互独立 B． C． D． （25-26高二下·江苏徐州·期中）现有除颜色外都相同的3个红球和3个白球，随机取3个球放入一个不透明的袋中，记袋中红球的个数为．从袋中随机摸出一个球，并换入一个另一种颜色的球，经过1次摸换，袋中的红球个数记为．则（    ）小试牛刀2 A． B． C． D． 【多选题】（25-26高二下·江苏淮安·月考）甲箱中有2个红球和2个白球，乙箱中有2个红球和2个白球（两箱中的球除颜色外没有其他区别），先从甲箱中随机取出一球放入乙箱，分别用事件和表示从甲箱中取出的球是红球和白球；再从乙箱中随机取出两球，用事件B表示从乙箱中取出的两球都是红球，则（    ）小试牛刀3 A． B． C． D． 【题型4：贝叶斯公式的应用】 【练方法】 解题方法 1公式套用 利用贝叶斯公式由结果反推原因的概率 分子分母均使用全概率公式的相关项 2步骤拆解 先计算全概率公式中的再计算分子最后求比值 3实际问题建模 明确“先验概率”和“似然”再计算“后验概率” 【多选题】（浙江台州十校联盟2025-2026学年第二学期期中联考高二年级数学学科试题）英国数学家贝叶斯在概率论研究方面成就显著，根据贝叶斯定理，随机事件，存在如下关系：.张同学每天的运动计划包括两种主要方式：室内健身和户外运动.张同学第一天选择室内健身的概率为，选择户外运动的概率为.如果第一天选择室内健身，那么第二天继续选择室内健身的概率为；如果第一天选择户外运动，那么第二天选择室内健身的概率为.则张同学（   ）经典例题1例题 A．第二天去室内健身的概率为 B．第二天去户外运动的概率为 C．若第二天去了室内健身，则第一天去户外运动的概率为 D．若第二天去了户外运动，则第一天去室内健身的概率为 【多选题】（25-26高二下·安徽·期中）在一个抽奖游戏中，主持人从编号为1，2，3，4的四个外观相同的空箱子中随机选择一个，放入一件奖品，再将四个箱子关闭，只有主持人知道奖品在哪个箱子里，当抽奖人选择了某个箱子后，在箱子打开之前，主持人先随机打开另一个没有奖品的箱子，并问抽奖人是否愿意更改选择以便增加中奖概率，现在已知甲选择了1号箱，用表示号箱有奖品，用表示主持人打开号箱子，下列结论正确的是（    ）.经典例题2例题 A． B．主持人打开3号箱的概率 C．若，且甲更改选择，则他获奖的概率为 D．若，甲改选2号箱比改选4号箱的中奖概率更大 （25-26高二下·河南·期中）某商场在清明节假期期间举办有奖消费活动，抽奖方法如下：，袋中各有5张奖券，其中袋中有2张一等奖和3张二等奖，袋中有3张一等奖和2张二等奖，先从装着标有数字1，2，3，4，5，6的号签筒中任抽1签，若是1，2，3，4 号签，则从袋中随机抽取1张奖券，若是5，6号签，则从袋中随机抽取1张奖券．已知某顾客抽到了一等奖奖券，则该一等奖奖券来自袋的概率 ______．小试牛刀1 （25-26高二上·江西鹰潭·期末）小明在某不透明的盒子中放入4红5黑9个球，随机摇晃后，小明从中取出一个小球丢掉（未看被丢掉小球的颜色）.现从剩下8个小球中取出两个小球，结果都是黑球，则丢掉的小球也是黑球的概率为（    ）小试牛刀2 A． B． C． D． （2026·重庆沙坪坝·模拟预测）某智能手环可通过监测心率对佩戴者进行“心律失常”疾病的早期预警．据临床数据，其用户群体中该疾病的患病率约为0.5%，手环单次分析会给出“预警”或“无预警”结果，其性能如下：小试牛刀3 对于确实患病的用户，单次分析触发预警的概率为99%（灵敏度）； 对于未患病的用户，单次分析误触发预警的概率为5%（误报率）． 现从用户群体中随机抽取一人，进行单次分析． (1)求此次分析触发预警的概率； (2)记事件为“此次分析触发预警”，事件为“该用户确实患病”． （i）求； （ii）结合（1）和（2）（i）的结果，说明与在医学预警中的不同含义，并分析：若手环触发预警，哪个概率对用户决定是否就医的参考价值更大？为什么？ 【题型5：全概率公式与马尔科夫链】 【练方法】 解题方法 1识别马尔可夫链特征 确认状态转移仅依赖当前状态与过去无关（无后效性） 2构造转移矩阵 列出一步转移概率矩阵其中 3结合全概率公式递推 利用全概率公式结合初始状态分布和转移矩阵计算多步状态概率 4多步转移计算 转移矩阵的次幂可表示步转移概率可直接计算长程状态概率 （25-26高二下·福建三明·月考）某中学的体育馆同时具有羽毛球、乒乓球和篮球场馆，甲同学每天都会去体育馆锻炼，若甲当天选择羽毛球，则后一天选择羽毛球的概率为，选择乒乓球的概率为；若甲当天选择乒乓球，则后一天选择羽毛球的概率为，选择乒乓球的概率为；若甲当天选择篮球，则后一天等可能地选择其中一个项目.已知甲第一天等可能地选择一个场馆进行相应的体育锻炼.请完成下列计算：经典例题1例题 (1)求甲第2天选择羽毛球的概率； (2)求在甲第2天选择羽毛球的条件下，甲第1天选择篮球的概率； (3)记甲第天选择羽毛球的概率为，请写出与的关系. （2026·陕西商洛·二模）国庆节期间，某超市举行购物抽奖活动.在抽奖活动中，初始时的袋子中有除颜色外其余都相同的2个白色小球和1个红色小球，每次随机抽取一个小球后放回.抽奖规则如下：设定抽中红球为中奖，抽中白球为未中奖；若抽到白球，放回后把袋中的一个白色小球替换为红色；若抽到红球，放回后把3个球的颜色重新变为2个白色小球和1个红色小球的初始状态.记第（，）次抽奖中奖的概率为.经典例题2例题 (1)求和； (2)是否存在实数，，，使得对任意的不小于4的正整数，都有？若存在，则求出，，的值；若不存在，请说明理由； (3)若累计中奖4次及以上可以获得一张优惠券，则从初始状态下连抽9次获得一张优惠券的概率为多少? （25-26高二下·江西南昌·月考）在全球化的现代社会中，物流网络已成为支撑经济发展、促进区域协同的关键基础设施.物流能否准时送达，将影响到消费者的购物体验，而物流提前送达往往能够超越客户预期，显著提升满意度.某物流公司每天需要从干线枢纽发送包裹至目的地城市.从干线枢纽到目的地城市，有三种方案供选择：小试牛刀1 方案A：选择高速支线，物流提前送达的概率为； 方案B：选择高速干线，物流提前送达的概率为； 方案C：选择国道线路，物流提前送达的概率为. (1)物流公司每次随机选择一种方案，求物流提前送达的概率； (2)物流公司研发了一套智能自适应调度系统，这套系统的核心算法如下： ①第1次，随机选择一种方案； ②从第2次起，若前一次物流提前送达，则沿用此方案；若前一次未提前送达，则在三种方案中随机选择一种.记第n次选择方案A，B，C的概率分别为，，. （i）求，，并证明：数列为等比数列； （ii）求和，并判断智能自适应调度系统能否提高物流提前送达的概率. （2026·河南南阳·一模）马尔可夫链是概率统计中的一个重要模型，也是机器学习和人工智能的基石，为状态空间中经过从一个状态到另一个状态的转换的随机过程.该过程要求具备“无记忆”的性质：下一状态的概率分布只能由当前状态决定，在时间序列中它前面的事件均与之无关.甲乙两个口袋中各装有1个黑球和2个白球，现从甲、乙两口袋中各任取一个球交换放入另一口袋，重复进行次这样的操作，记甲口袋中黑球个数为，恰有1个黑球的概率为，求小试牛刀2 (1)的值； (2)求的式子. （2025高三上·新疆省直辖县级单位·专题练习）某无人机操作员进行定点精准降落训练.据以往训练经验，第一次降落成功的概率为.若第次降落成功，则第次降落成功的概率为；若第次降落未成功，则第次降落成功的概率为，其中.小试牛刀3 (1)求该操作员第二次降落成功的概率； (2)设第i次降落成功的概率为，求证：. 【题型6：条件概率与全概率贝叶斯公式综合】 【练方法】 解题方法 1分步拆解问题 先识别问题中的“条件”“结果”“原因”区分使用条件概率全概率还是贝叶斯公式 2全概率+条件概率结合 先利用全概率公式计算结果事件的概率再利用条件概率公式求解特定条件下的概率 3贝叶斯+条件概率结合 先利用贝叶斯公式求出后验概率再基于后验概率计算新的条件概率 （25-26高二下·黑龙江绥化·月考）甲和乙两个箱子中各装有个大小相同的小球，其中甲箱中有个红球、个白球；乙箱中有个红球、个白球．经典例题1例题 (1)从甲箱中随机抽出个球，求抽到的个球中有红球的概率； (2)从甲箱中随机抽出个球，在已知抽到的个球中有红球的条件下，求个球都是红球的概率； (3)掷一枚质地均匀的骰子，如果点数小于等于，从甲箱随机抽出个球；如果点数大于等于，从乙箱中随机抽出个球，若抽到的是红球，求它是来自乙箱的概率． 【多选题】（25-26高二下·浙江·期中）一项“过关游戏”规则规定：在第关要抛掷一颗质地均匀的骰子次，如果这次抛掷所出现的点数之和大于，则过关．假定每次过关互不影响．记过第关为事件，则下列说法正确的是（    ）经典例题2例题 A．这项游戏最多能连续过5关 B． C． D．连过前三关的概率是 【多选题】（2026·四川·模拟预测）某商场举行抽奖活动，规则如下：参与者从甲､乙两个箱子中随机选择一个，然后从该箱中有放回地抽取小球两次，每次抽取1个球，已知甲箱中有4个红球和1个白球，乙箱中有3个红球和2个白球，设事件“参与者选择甲箱”，事件“两次都抽到红球”，则（    ）小试牛刀1 A． B． C． D．与相互独立 【多选题】（25-26高三下·陕西咸阳·月考）已知，为随机事件，则下列说法正确的是（   ）小试牛刀2 A．若，，，则，相互独立 B．若，，，则 C．若，则 D．若，，，则 （2026·河北保定·一模）某芯片企业用甲、乙两款设备检测芯片是否为良品．甲设备检测良品芯片为良品的概率为0.9，检测次品芯片为良品的概率为0.1；乙设备检测良品芯片为良品的概率为0.8，检测次品芯片为良品的概率为0.2．甲、乙设备的检测结果相互独立．已知某批芯片良品率为，现从该批芯片中任取一芯片，甲、乙设备各检测一次，则（    ）小试牛刀3 A．若该芯片为良品，则两设备检测结果相同的概率为0.74 B．若该芯片为次品，两个设备至少有一台设备检测为次品的概率是0.9 C．甲设备检测该芯片为良品的概率为 D．甲设备检测为良品，该芯片实际为良品的概率为 课后过关检测 一、单选题 1．（2026·上海松江·模拟预测）一个袋中有大小与质地完全相同的红、黄､蓝三个球，从袋中依次随机不放回地摸出两个球，记“第一次取到红球”为事件A，“第二次取到黄球”为事件，则（    ） A．A，B相互独立 B． C． D． 2．（25-26高二下·黑龙江大庆·期中）某智能设备的运行状态每秒钟按照以下规则随机切换（状态为A，B，C）： 当前状态为A时，下一秒保持A的概率为0.2，变为B的概率为0.5，变为C的概率为0.3； 当前状态为B时，下一秒保持B的概率为0.1，变为A的概率为0.4，变为C的概率为0.5； 当前状态为C时，下一秒保持C的概率为0.4，变为A的概率为0.3，变为B的概率为0.3； 已知初始状态为A，在状态B下，设备会以0.8的概率发出警报，在其他状态下，设备以0.1的概率发出警报，则第2秒末设备发出警报的概率为（   ） A．0.268 B．0.272 C．0.286 D．0.294 3．（25-26高二下·广西贵港·期中）抛掷两枚质地均匀的骰子，表示事件“两个点数都出现偶数”，表示事件“在第一枚的点数是偶数的条件下，第二枚的点数也是偶数”，则关于事件、的概率大小关系成立的是（   ） A． B． C． D．无法比较大小 4．（24-25高二下·浙江·期中）在某校新高考物理方向的学生中，有60%的同学选了化学学科，40%同学选了生物学科，80%的同学选了化学学科或生物学科．现从该校新高考物理方向的学生中，随机调查一名同学，已知该同学选了化学学科，则该同学选科组合为“物理、化学、生物”的概率为（    ） A． B． C． D． 5．（25-26高二下·吉林四平·月考）甲、乙两位旅游博主准备周末去A，B，C，D这4个景点中的某一个景点打卡，事件M表示甲、乙至少有1人去A景点，事件N表示甲、乙去相同的景点，则（    ） A． B． C． D． 6．（25-26高二下·浙江·期中）已知随机事件相互独立，，则（    ） A． B． C． D． 7．（25-26高三下·陕西西安·月考）当前，AI已从一个研究领域变成一类赋能技术．在医药健康领域，AI已应用于靶点发现、药物设计及临床试验等方面，显著提升了科研效率．假设某实验用AI辅助新药分子筛选，事件A是“AI模型筛选出候选分子M”，事件B是“AI模型筛选出候选分子N”．已知，，，则（   ） A． B． C． D． 二、多选题 8．（25-26高二下·河南许昌·期中）寒假期间，甲同学早上去博物馆有三种出行方式：步行、坐轻轨、坐出租车，概率分别为，，.当他步行、坐轻轨和坐出租车时，到达博物馆能立即找到讲解器的概率分别为，，，则下列说法中正确的是（   ） A．甲同学今天早上步行出行与坐轻轨出行是互斥事件 B．甲同学今天早上坐轻轨出行与坐出租车出行相互独立 C．甲同学到达博物馆能立即找到讲解器的概率大于 D．若甲同学今天早上到达博物馆立即找到了讲解器，则他是步行出行的概率为 9．（25-26高二下·浙江温州·期中）下列说法正确的是（   ） A．若A和B是两个独立事件，则 B．设和B互为对立事件，则 C．若，则 D．若，则 三、填空题 10．（25-26高二下·上海·期中）已知事件相互独立，且，则_____. 11．（25-26高二下·浙江·期中）某校开展教师歌手大赛．已知男、女教师人数比例为，有的男教师和的女教师擅长民谣歌曲．现随机选取一位教师，则这位教师恰好擅长民谣歌曲的概率为__________． 12．（25-26高三上·天津·期中）某次社会实践活动中，甲､乙两个班的同学共同在一社区进行民意调查.参加活动的甲､乙两班的人数之比为，其中甲班中女生占，乙班中女生占.则该社区居民遇到一位进行民意调查的同学恰好是女生的概率是__________，则该社区居民遇到一位进行民意调查的女同学恰好来自甲班的概率是__________. 13．（25-26高二下·上海松江·期中）已知甲袋中有大小质地完全相同的3个红球和3个黑球，乙袋中有大小质地完全相同的2个红球和3个黑球，现随机地选择一个袋子，并从中不放回地依次随机摸出两个球，则在第一次摸到红球的条件下，第二次摸到的也是红球的概率是______． 14．（25-26高二上·湖南长沙·期末）某品牌女装专卖店设计摸球抽奖促销活动，每位顾客只用一个会员号登录，每次消费都有一次随机摸球的机会．已知顾客第一次摸球抽中奖品的概率为；从第二次摸球开始，若前一次没抽中奖品，则这次抽中的概率为，若前一次抽中奖品，则这次抽中的概率为.记该顾客第n次摸球抽中奖品的概率为，则的值为__________、该顾客第__________次摸球抽中奖品的概率最大． 15．（25-26高二下·黑龙江大庆·期中）在数轴上，一枚棋子初始位于0，每步移动规则如下，若棋子位于1，则下一步以概率向右移动一格，以概率向左移动一格；若棋子位于其他位置，则下一步以概率向右移动一格，以概率向左移动一格，当棋子首次到达2时游戏获胜，首次到达时游戏失败，则获胜的概率为________． 16．（25-26高二下·浙江·期中）甲乙两人各有一个牌盒，盒子中有点数为的三张扑克牌．现在两人随机抽取一张扑克牌比较大小，如果甲的点数大，则两张扑克牌都放入甲的牌盒中；如果乙的点数大，则两张扑克牌都放入乙的牌盒中；如果一样大，则各自放回自己的牌盒．每次放回牌盒后都重新洗牌，则2次比较大小后，甲的牌盒中只剩1张扑克牌的概率为______． 四、解答题 17．（25-26高三下·上海·月考）人工智能广泛地运用概率的相关知识，我们可以设计如下试验模型；有完全相同的甲、乙两个袋子，袋子中有形状和大小完全相同的小球，其中甲袋中有9个红球和1个白球，乙袋中有2个红球和8个白球.从这两个袋子中选择一个袋子，再从该袋子中等可能摸出一个球，称为一次试验.若多次试验直到摸出红球，则试验结束.假设首次试验选到甲袋或乙袋的概率均为. (1)求首次试验结束的概率； (2)在首次试验摸出白球的条件下，我们对选到甲袋或乙袋的概率进行调整. ①求选到的袋子为甲袋的概率； ②将首次试验摸出的白球放回原来袋子，继续进行第二次试验时有如下两种方案：方案一，从原来袋子中摸球；方案二，从另外一个袋子中摸球.请通过计算，说明选择哪个方案第二次试验结束的概率更大. 18．（25-26高二下·山东泰安·期中）现有甲，乙两个不透明箱子，甲箱内装有3个白球，2个红球，乙箱内装有2个白球，4个红球，所有小球除颜色外完全相同． (1)从乙箱中每次随机取出1个球，取出后不再放回，求在第1次取出的是白球的条件下，第2次取出红球的概率； (2)先从甲箱中随机取出2个球放入乙箱，再从乙箱中随机取出1个球．已知从乙箱中取出的球为白球，求从甲箱中取出的两个球均为白球的概率． 1 学科网（北京）股份有限公司 $