成对数据的统计分析单元创新卷-《中学生数理化》高二数学2026年5月刊

中学生教理化离整数学名统务降创朝云爷聚与提示 成对数据的统计分析单元创新卷叁考登案 一、单选题 的自变量与因变量符合线性回归模型，故A 1.B2.B3.D4.B5.C6.B 正确。 7.A提示：由4=3+4+6+5=4,5，得 根据实验结果1的散点图可知，异常样 4 本点的自变量的值可能为0.33，故B正确。 0=0.7u+0.35=3.5=2.5+a+b+4 所以 由于R<R:,则实验结果2相较于实验 4 结果1拟合效果更好，故C错误。 a+b=7.5。 由于实验结果1中异常样本点对应的因 而b一(0.7×6+0.35)=0.1，所以b= 变量值接近一4.6，比其他正常样本点对应的 4.65,从而a=7.5-4.65=2.85。 因变量值小得多，故实验结果1的因变量的 8,B提示：由题表知x=号×(1+2+ 平均值小于实验结果2的因变量的平均值，D 错误。 3+4+5)=3,2=1×(0.85+1.3+1.85+ 5 11.ABD提示：加入新数据(x,y)后， 2.3+2.7)=1.8。 1 1 (空x,十x)=n十x十x)=,同理 将x=3,之=1.8代入回归方程之=0.5x n+1 +lgc,可得1.8=0.5×3+lgc,即lgc= ”有（空十少）=y,故A正确 1 1.8一0.5×3=0.3，所以之关于x的回归方 程为之=0.5x十0.3。 岂(x,-x)(y:-y)=2(x,-x)(y 2026年的年份代码为x=8,则：=0.5× y)+(x-x)(y-y)=2(x,-x)(y,-y), 8+0.3=4.3=1gy,故y=103。 二、多选题 克(：-x)=之(x,-x)2+(x-x)= 9.BD提示：将数据从小到大排列为3， 2(x,-x),同理岁(y,-y)=2(y,-y)。 =1 4,6,7,8,9,10,11,由8×75%=6，得数据的 (x,-x)(y-y)+(x-x)(y-y) =1 上四分位数为9十10=9.5，A错误。 b,= 2 2(x,-x)2+(x-x) =1 。越大，对应的正态曲线越“矮胖”，随机 变量的分布越分散，因此该物理量在一次测 2(x:-x)(y:一y) =1 =61,a2=y-b2x=y 量中在(9.8,10.2)内的概率越小，B正确。 2(x,-x)月 散点不一定在回归直线上，即将该点代 b,x=a1,且变化后相关系数r的值没变，故 入回归直线方程，方程不一定成立，C错误。 B正确，C错误。 R2=1- -5 ,y变成了y+3, (0-5P=20-,)r+[-6x =1 2(y:-y) =1 +a)门=之(y,一y),故变化前后残差的平 ；= 则y'=y+3,y':=bx:+a+3=y:+3,因此 方和没变，D正确。 y一y:,y:一y都不变，则决定系数R不变， 三、填空题 D正确。 12.④提示：根据表中数据，画出图像 10.AB提示：由散点图可知，该实验中 (图1)，通过图像可看出，y=1ogx能比较近 46 黄悠府名枝密西翻酱益繁室餐秀中学生款理化 似地反映这些数据的规律。 则2(x:-x)(y-y)=13,之(x:-x) i=1 y=log2x =10,所以6=1 =1.3,a=8-1.3×7= 一1.1，故y与x的回归方程为y=1.3x一11。 02345678 2026年对应的编号x=10,此时y=1.3 ×10一1.1=11.9，故预测2026年的日均发 图1 电量为11.9MWh。 提示：修正前样本点的中心为 16.(1)x= 5×1+2+3+4+5)=3, (2,m),代入y=2x+5,可知m=2×2+5= 9。假设甲输入的(x1,y1)为(7,3)，(x2,y2) 5×(0.3+0.3+0.5+0.9+1)=0.6, 为(4，一6)，则7+4十xg十x:十…十xg=2× 22y-5xy=1×0.3+2×0.3+3×0.5+ 8=16,3-6+y3十y:+…+y8=9×8=72, 4×0.9+5×1-5×3×0.6=2,2x-5x= 解得x3十x:十…十xg=5,y3十y:十…十 i三1 (1+4+9+16+25)一5×9=10. yg=75。 故修正后3十4十x3十x,十…十xg=12, 所以i=2=0.2,a=0.6-0.2×3=0, 10 7十6十y3十y:+…十yg=88。则修正后样本 故销售量关于温度变量的线性回归方程为) 点的中心为（号，山），将其代入线性回归方程 =0.2x。 13 当x=6时，y=1.2。 +，得=1-×-号 所以估计温度在[24,25)区间时该饮品 140.9提示：由题意知2=子×1十 的日销售量为1.2万份。 (2)零假设为H。:对饮品的喜欢程度与 2+3+4+5+6+7)=4y=号×2.90+ 性别相互独立，即对饮品的喜欢程度与性别 无关联。 3.30+3.60+4.40+4.80+5.20+5.90) 220×(90×40-20×70) 4.30,2(x-x)=(1-4)2+(2-4)+ X:= 110×110×160×60 ≈9.167> =1 (3-4)+(4-4)2+(5-4)2+(6-4)2+ 6.635 (7-4)2=28。 依据小概率值α=0.01的独立性检验， 14.00 14.0014.00 我们推断H。不成立，即认为对饮品的喜欢 所以x= √28×7.08 198.2414.10 程度与性别有关，此推断犯错误的概率不超 0.99,故y与x的相关系数近似为0.99。 过0.01。 四、解答题 (3)由频率分布直方图可知，这100天的 15.(1)由题意知，平均数是 日均销售量为2×0.05×2+4×0.1×2+6× 2+3+5+4+5+7+8+10+10=6。 0.15×2+8×0.125×2+10×0.075×2=6.3, 9 所以这100天的日均销售量为6300份。 方差为号×[(2-6)+(3-6)+(5 17.(1)根据列联表可得X2= 50×(7×6-19×18)2 6)+(4-6)+(5-6)2+(7-6)+(8-6) 25×25×26×24 ≈11.538>10.828。 +(10-6)2+(10-6)]=69 所以在犯错误的概率不超过0.001的前 94 提下，认为接种该疫苗与预防该疾病有关。 (2)近五年的数据依次是(5,5)，(6,7)， (7,8),(8,10),(9,10),所以x=7,y=8。 （2)因为1-P(A1B)=1- P(AB) P(B) 47 演练篇名校名师创新卷答案与提示 中学生数理化高数学226年月 P(B)-P(AB)_P(AB)=P(A1B),所以 C_1 P(B) P(B) R。= P(AB) P(AB) R= 所以”的分布列如表2所示。 1-P(AB) P(AB) 表2 P(A) P(A) 1 2 1-P(A) P(A) 3 3 1 P(AB) 10 10 R2 P(AB) P(AB)P(A) P(A) P(AB)P(A) E)=1×是+2×g+8×0-号 105 P(A) 19.(1)设每件产品的销售利润为元， P(AB) P(AB) P(A) P(B) 则的所有可能取值为1.5,3.5,5.5。 P(A) P(BA) P(AB) P(AB) P(BA) 由直方图可得，A,B,C三类产品的频率 P(A) P(B) P(A) 分别为0.15,0.45,0.4。 7 所以P(g=1.5)=0.15,P(=3.5)= 由列联表中的数据可得P(B|A)= 26 0.45,P(=5.5)=0.4,则E()=1.5× 18 R214 0.15+3.5×0.45+5.5×0.4=4,故每件产 P(BA)- ,所以R一39° 2 品的平均销售利润为4元。 18.(1)如表1所示。 (2)(i)由y=a·x得，lny=ln(a· 表1 xb)=lna+blnx。令u=lnx,v=lny,c= 患肺癌 不患肺癌 合计 lna,则o=c十buo 吸烟 0.4m 0.1m 0.5n (u,-)(0:-0) 由表中数据可得，6= =1 不吸烟 0.2m 0.3m 0.5m 2(u:-u)2 =1 合计 0.6m 0.4m 0.41 1.64 =0.25,则c=0-6=24.87 5 -0.25 (2)零假设为H。:吸烟与患肺癌无关联。 根据列联表中的数据，经计算得到X= ×16.30 =4.159。 m(0.4m×0.3m-0.2m×0.1m)2_m 所以0=4.159+0.25u,即lny=4.159 0.6n×0.4m×0.5m×0.5m 60 当g≥6.635，即m≥39.81时，根据小 +0.251nx=1n(ci·x 概率值a=0.010的独立性检验，我们推断 因为e1"=64,所以y=64x H。不成立，即认为吸烟与患肺癌有关联，此 故y关于x的回归方程为y=64。 推断犯错误的概率不超过0.010。 (i)设年收益为之万元，则之=E()· 当g<6.635,即m<39.81时，根据小 y-x=256x-。i设1=x,f04)=256t 概率值a=0.010的独立性检验，没有充分的 -t,则f'(t)=256-4t3=4(64-t)。 证据推断H。不成立，因此可以认为H。成 当t∈(0,4)时，'(t)>0,f(t)单调递增：当 立，即认为吸烟与患肺癌无关联。 t∈(4，+∞)时，f'(t)<0,f(t)单调递减。 (3)由分层抽样的特点知：从不吸烟人群 所以当t=4,即x=256时，之取最大值 中随机抽取5人，有2人患肺癌，3人不患肺 为768，即该公司应投入256万元营销费用， 癌。则7的可能取值为1,2,3。 才能使得该产品一年的收益达到最大，收益 P(7=1)= CC3 C=10P(7=2)= CC 最大为768万元。 C (责任编辑赵待) 48中学生数理化 演练篇名校名师创新卷 高二数学2026年5月 成对数据的统计分析单元创新卷 ■河北省南宫中学 霍忠林 一、单选题（本题共8小题，每小题5分， 有观测数据(u:,v:)(i=1,2,3,…,10),得散 共40分。在每个小题给出的四个选项中，只 点图（图2）。由这两个散点图可以判断 有一项是符合题目要求的) ( ) 1.下列变量间的关系，不是相关关系的 60 60· 是()。 0 40 40 A.一块农田的水稻产量与施肥量之间 30H 30H 20 20H 的关系 0··. 10叶 B.正方形的面积与其边长之间的关系 01234567x01234567 C.商品销售收入与其广告费支出之间的 图1 图2 关系 A.变量x与y正相关，u与v正相关 D.人体内的脂肪含量与年龄之间的 B.变量x与y正相关，u与o负相关 关系 C.变量x与y负相关，“与v正相关 2.已知A,B,C,D四组成对样本数据对 D.变量x与y负相关，u与o负相关 应的线性相关系数分别为r1=一0.625，r2= 5.假设有两个分类变量X与Y,它们的 一0.985，r3=0.211,r,=0.718,则线性相关 可能取值分别为{x1,x2}和{y1y},其2×2 程度最强的是()。 列联表如表1所示。 A.A组 B.B组 表1 C.C组 D.D组 合计 3.观察下列等高条形图，其中最有把握认 Y=y Y=y: 为两个分类变量x,y之间有关系的是( )。 X=x 6 a+b X=I: d c+d 合计 a十c bd a+b+c+d 下列各组数据中，对于同一样本能说明 X与Y有关系的可能性最大的一组为 B ()。 A.a=2,b=3,c=3,d=7 B.a=1,b=4,c=2,d=8 C.a=1,b=4,c=4,d=1 D.a=9,b=1,c=4,d=1 1 D 6.为大力提倡“厉行节约，反对浪费”，某 4.对变量x,y有观测数据(x:,y:)(i= 大学通过随机询问100名学生能否做到光盘 1,2,3,…,10),得散点图（图1）：对变量1,0 行动，得到如表2所示的列联表（单位：人）。 12 滴售盘多牧名费梨暂育中学生数理化 表2 若根据上表得到经验回归方程文=0,5x 光盘行动 十1gc,则该科技公司2026年云计算市场规 性别 做不到 能做到 模约为()。 女 46 9 A.108 B.10.3 男 31 14 C.10.8 D.10.3 二、多选题（本题共3小题，每小题6分， 附：X= n(ad-bc)2 (a+b)(c+d)(a+c)(b+d) 共18分。在每个小题给出的四个选项中，有 表3 多项符合题目要求。全部选对的得6分，部 分选对得部分分，有选错的得0分) a 0.1 0.05 0.01 0.005 9.下列说法正确的是()。 2.706 3.841 6.635 7.879 经计算X2心3.04。参考表3，则下列结 2(x:-x)(y:-y) 附：6= ,a=y-bx, 论正确的是()。 (x:-x) =】 A.依据a=0.005的独立性检验，认为 2(y:-y) “该校学生能否做到光盘行动与性别有关” R2=1 B.依据a=0.01的独立性检验，认为“该 (y:-y) :=1 校学生能否做到光盘行动与性别无关” A.数据8,6,4,11,3,7,9,10的上四分 C.依据a=0.05的独立性检验，认为“该 位数为9 校学生能否做到光盘行动与性别有关” B.某物理量的测量结果服从正态分布 D.依据α=0.1的独立性检验，认为“该 N(10,。),。越大，该物理量在一次测量中在 校学生能否做到光盘行动与性别无关” (9.8,10.2)内的概率越小 7.两个线性相关变量u与o的统计数据 C.根据一组样本数据的散点图判断出两 如表4所示。 个变量线性相关，由最小二乘法求得其回归 表4 直线方程为y=0.4x十a,若其中一个散点坐 标为(-a,5.4),则a=9 3 4 6 5 D.将两个具有相关关系的变量x,y的 2.5ab 4 一组数据(x1,y1),(x,y2),…,(xm,ym)调 其回归直线方程为0=0.7u十0.35，若 整为(x1,y1+3),(x2,y+3),…,(xm,ym十 点(6，b)对应的残差为0.1，则a=( )。 3),决定系数R2不变 A.2.85 B.3.05 10.为更好地促进同学们的动手能力，某 C.4.55 D.4.65 学校拟开展物理实验周活动，组织同学们到 8.近年来，我国云计算市场规模持续增 实验室中开展物理实验。在某个实验中，某 长。某科技公司云计算市场规模y与年份代 同学利用自已测量得出的实验数据（已知其 码x的关系可以用模型y=c·10拟合，设 中含1个异常样本点)，利用最小二乘法进行 之=1gy,2019年至2023年的数据统计如表 计算得出了经验回归方程及决定系数R,并 5所示。 利用计算机处理得到了实验结果1（图3）。 表5 实验结果2（图4）为删除该异常样本点后利 年份 2019年2020年2021年2022年2023年 用最小二乘法进行计算得到的经验回归方程 年份代码x 2 3 4 5 及决定系数R,则()。 云计算市场 A.可认为该实验中的自变量与因变量 20 71 200 510 规模y 符合线性回归模型 z=lg y 0.85 1.3 1.85 2.3 2.7 B.推测实验结果1中的异常样本点的自 13 中学生数理化 演练篇名校名师创新卷 高二数学2026年5月 变量的值可能为0.33 择一个模拟函数，使它能近似地反映这些数 C.由于R<R:,则实验结果1相较于实 据的规律，应选一。（填序号） 验结果2拟合效果更好 13.某学习小组用计算机软件对一组数 D.实验结果1的因变量的平均值一定大 据(xy:)(i=1,2,3,…,8)进行回归分析， 于实验结果2的因变量的平均值 甲同学首先求出线性回归方程为y=2x+5, 实验结果1 实验结果2 样本点的中心为(2，m)。乙同学对甲的计算 过程进行检查，发现甲将数据(3,7)误输成 (7,3),数据(4,6)误输成(4，一6)，将这两个 =53.093x-21.267 R=0.951 45.932r-18.45 数据修正后得到线性回归方程为夕-兰十 R-0.9944 图3 图4 k,则实数k=一。 11.已知由一组具有线性相关关系的样 14.某种机械设备随着使用年限的增加， 本数据(x1y1),(x2,y2),…,(xm,y)得到的 它的使用功能逐渐减退，使用价值逐年减少， 通常把使用价值逐年减少的“量”换算成费 回归直线方程为y=b1x十a1。现在增加一个 用，称之为失效费。某种机械设备的使用年 数据(，y),其中x=之xy=之y 限x(单位：年)与失效费y(单位：万元)的统 n=1 n=1 得到的新的回归直线方程为y=b,x+a,则 计数据如表7所示。 表7 )。 参考公式：相关系数 r= 使用年限x 1 23 4 5 67 失效费y 之(x:-x)(y:一y） 2.903.303.604.404.805.205.90 回归直线方程为 由上表数据可知，y与x的相关系数为 。(结果精确到0.01) 2(x:-x)(y:-y） 参考公式和数据：相关系数”= y=bx+a,其中6= ,a= (x-x) 2(x:-x)(y:-y） =1 = 3(x-x)(y:一 y-bx。 (x-x)(y:-y) =1 A.两条回归直线都一定过点(x,y) y)=14.00,(y:-y)2=7.08,√198.24≈ B.a1=a2,b1=b2 14.10。 C.变化后相关系数r的值变大 四、解答题（本题共5小题，共77分。解 D.变化前后残差的平方和没变 答应写出文宇说明、证明过程或演算步骤) 三、填空题（本题共3小题，每小题5分， 15.(本小题13分)某科研机构对一座新 共15分) 型光伏电站持续监测九年(2017年至2025 12.某学校开展研究性学习活动，一组同 年)，记录其日均发电量（单位：兆瓦时， 学获得了如表6所示的试验数据。 MWh),数据如下：2017年2.0MWh,2018 表6 年3.0MWh,2019年5.0MWh,2020年 x 1.99 37 45.1 4.0MWh,2021年5.0MWh,2022年 y 0.991.582.012.353.00 7.0MWh,2023年8.0MWh,2024年和2025 现有如下5个模拟函数：①y=0.58x 年均为10.0MWh。 0.16;②y=2-3.02:③3y=x2-5.5.x+8: (1)求该电站这九年日均发电量的平均 数和方差。 ④y=log2x;⑤y= 2 十1.74。请从中选 (2)为方便计算，将每年的日均发电量用y 14 演练筒数争校名师细新着中学生教理化 高二数学2026年5月 表示，将年份的编号用x表示，2017年编号为1， 频率分布直方图。根据频率分布直方图估计 2018年编号为2，以此类推。若近五年x和y的 这100天的日均销售量（同一组中的数据用 数据可看作线性关系，请利用最小二乘法求出y 该组区间的中点值代表)。 与x的回归方程，并预测2026年的日均发电量。 riyi-nxy 参考公式：回归方程y=a十bx中斜率 附：b = -,a=y-6x,X2= 和截距的最小二乘估计公式分别为= 2x-nx =1 -)- n(ad-bc)? -,a=y-bx。 (a+b)(c+d)(a+c)(b+d)'n=a+b+c (x:-x) +d。 三1 16.(本小题15分)某超市正在销售一种 表10 饮品，销售人员发现日销售量与当日的气温 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 有关，随着气温的升高，销售量也有明显的增 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 加，表8是该超市连续五天的日销售情况。 17.(本小题15分)预防接种是预防传染 表8 病最经济、最有效的手段，是预防疾病传播和 温度/℃ 19,20) 「20,21)厂21,22) 「22,23) 「23,24) 保护群众的重要措施。为考查一种新疫苗预 温度变量x 1 2 3 4 5 防某一疾病的效果，研究人员对一地区某种 销售量y:/万份 0.3 0.3 0.5 0.9 1 动物（数量较大）进行试验，从该试验群中随 其中i=1,2,3,4,5,温度变量x:对应的 机抽查了50只，得到如表11所示的样本数 销售量为y:。 据（单位：只）。 (1)建立销售量关于温度变量的一元线 表11 性回归模型，并估计温度在[24,25)区间时该 发病没发病合计 饮品的日销售量。 接种疫苗 18 25 (2)为了解消费群体中男、女对该饮品的 没接种疫苗 19 6 25 喜欢程度，销售人员随机采访了220名消费 合计 26 24 50 者，将他们的意见进行统计，得到了如表9所 示的2×2列联表。 (1)参考表12，能否在犯错误的概率不 表9 超过0.001的前提下，认为接种该疫苗与预 防该疾病有关？ 喜欢 一般 合计 (2)从该地区此动物群中任取一只，记A 女 90 20 110 表示此动物发病，A表示此动物没发病，B表 男 70 40 110 示此动物接种疫苗，定义事件A的优势R, 合计 160 60 220 -PA),在事件B发生的条件下A的优势 P(A) 参考表10，依据小概率值a=0.01的独 立性检验，分析对饮品的喜欢程度是否与性 P(AB) R, 别有关联。 R,=1一PAB,利用抽样的样本数据，求R (3)超市销售该饮品一个阶段后，统计了 的估计值。 100天的日销售量，将100个样本数据分成 附：X2= n(ad-bc)2 [1,3),[3,5),频率m电个 (a+b)(c+d)(a+c)(b+d)' 0.150 其中n=a十b+c+d。 [5,7),[7,9), 0.125 0.100 0.075 表12 [9,11)(单位：千 0.050 份)五组，并绘制 0.050 0.010 0.001 1357.911销售量/仟份 了如图5所示的 3.841 6.635 10.828 图5 15 中学生表理化离链皱学名放条留新整 18.(本小题17分)为研究吸烟是否与肺 1.5,3.5,5.5(单位：元)。以这100件产品的 癌有关，某肿瘤研究所采取有放回简单随机 性能指数位于各区间的频率代替产品的性能 抽样的方法，调查了m(m∈N",单位：千) 指数位于各区间的概率。 人，其中吸烟患肺癌约0.4m人，吸烟不患肺 频率阻即个 癌约0.1m人，不吸烟患肺癌约0.2m人，不 88 0.020 吸烟不患肺癌约0.3n人。 0.017 0.011 (1)根据以上数据，将下面的2×2列联 0.004 表（表13）补充完整。 0007080901010性能指衣 表13 图6 合计 (1)求每件产品的平均销售利润。 (2)该公司为了解年营销费用x(单位： 万元)对年销售量y(单位：万件)的影响，对 合计 近5年的年营销费用x:和年销售量y:(i= 1,2,3,4,5)数据做了初步处理，得到散点图 (2)参考表14，根据小概率值&=0.010的 (图7)及一些统计量的值（表15）。 独立性检验，分析吸烟与患肺癌是否有关联。 年销售量（万作） (3)现采用是否患肺癌的分层抽样方式， 从不吸烟人群中随机抽取5人，再从这5人 87 中随机抽取3人，记这3人中不患肺癌的人 数为7，求？的分布列和数学期望。 华皆第费州H万买 附：X2 n(ad-bc)2 01020304050607080 (a+b)(c+d)(a+c)(b+d) 图7 表14 表15 0.100 0.050 0.010 u 2(,-u)(u:-v) 2.706 3.841 6.635 16.30 24.87 0.41 1.64 19.(本小题17分)某公司研发了一种帮 表中u:=lnx,o=lny,u= 助家长解决孩于早教问题的萌宠机器人。萌 宠机器人的语音功能让它就像孩于的小伙伴 0- 5 根据散点图判断，y=a·x可以作 一样和孩于交流，记忆功能还可以记住孩于的 为年销售量y关于年营销费用x的回归方程。 使用习惯，很快找到孩于想听的内容。同时提 (i)建立y关于x的回归方程： 供快乐儿歌、国学经典、启蒙英语等阜期教有 (i)用所求的回归方程估计该公司应投 内容，且云端内容可以持续更新。萌宠机器人 入多少营销费用，才能使得该产品一年的收 一投放市场就受到了很多家长的欢迎。为了 益达到最大。（收益=销售利润一营销费用， 更好地服务广大家长，该公司研究部门从流水 取e4.19=64) 线上随机抽取100件萌宠机器人（以下简称产 参考公式：对于一组数据(u1,o1),(u2, 品)，统计其性能指数并绘制频率分布直方图 v),…,(um,0n),其回归直线0=&十u的斜 (图6)。产品的性能指数在[50,70)的适合托 班幼儿使用（简称A类产品），在[70,90)的适 率和截距的最小二乘估计分别为= 合小班和中班幼儿使用（简称B类产品），在 之(u:-u)(o:-o) [90,110)的适合大班幼儿使用（简称C类产 ,a=v-Bu. 之(u:-u) 品)，A,B,C三类产品的销售利润分别为每件 i=1 (责任编辑赵倩) 16