第八章 成对数据的统计分析（高效培优单元自测·提升卷）数学沪教版选择性必修第二册

第八章 成对数据的统计分析（高效培优单元自测·提升卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 一、填空题（本大题共12小题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分．） 1．由表格数据得到的线性回归方程为，则此回归方程在样本点处的离差是 x 3 4 5 6 y 2.5 4 4.5 【答案】/ 【分析】先计算出样本的中心点坐标，将其代入中可求得m的值，再结合离差的定义求解即可. 【详解】因为，，且线性回归方程恒过， 所以，解得， 将代入回归方程得， 所以此回归方程在样本点处的离差是. 故答案为： 2．对相关系数，给出下列结论：①越大，线性相关程度越强；②若所有样本点都在直线上，则；③越大，线性相关程度越弱，越接近，线性相关程度越强；④且越接近，线性相关程度越强，越接近，线性相关程度越弱， 其中说法正确的是 填序号 【答案】④ 【分析】根据相关系数的性质依次判断即可. 【详解】相关系数可以衡量两个变量之间的相关关系的强弱时， 而，当越接近于，表示两个变量的线性相关性越强， 越接近于时，表示两个变量之间几乎不存在相关关系， 故①③错误，④正确； 若所有样本点都在直线上，则，故②错误. 故综上所述，④正确. 故答案为：④. 3．为落实五育并举，同时增强高中生的综合素质，某校领导计划利用课间时间开展足球社团活动，为了使该活动顺利开展，了解学生是否对足球感兴趣与性别的关系，现从某年级的学生中随机抽取了男、女同学各50名，整理得到下列列联表： 性别 兴趣爱好 感兴趣 不感兴趣 总计 男 50 女 50 总计 80 20 100 使得“有但没有的把握认为男、女同学对足球感兴趣有差异”的的一个值为 ． 【答案】35（或36或44或45，答案不唯一） 【分析】由独立性检验公式可得，据此可得答案. 【详解】易知，依题意可知， 解得或， 又，，， 则，. 得或，故的可能取值为35，36，44，45. 故答案为：35（或36或44或45，答案不唯一） 4．随着冬天的临近，哈尔滨这座冰雪之城将再次成为旅游的热门目的地．为更好地提升旅游品质，该市文旅局随机选择100名青年游客对哈尔滨出行体验进行满意度评分（满分100分），80分及以上为良好等级，根据评分，制成如图所示的频率分布直方图．为进一步了解不同年龄段游客对哈尔滨出行体验的反馈，该市文旅局再次随机选择100名中老年游客进行满意度评分，发现两次调查中评分为良好等级的人数为120，则中老年游客评分等级良好的有 人．根据独立性检验，游客的评分等级是否良好与年龄段（青年或中老年） （填“有关”或“无关”）． 【答案】 50 有关 【分析】由频率分布直方图求得值，然后写出列联表，计算出后与临界值比较可得. 【详解】由频率分布直方图可知，，解得， 则青年游客评分等级良好的有（人），所以中老年游客评分等级良好的有（人）．由上可得如下列联表， 评分等级是否良好 年龄段 青年游客 中老年游客 总计 评分等级良好 70 50 120 评分等级非良好 30 50 80 总计 100 100 200 可得，则认为游客的评分等级是否良好与年龄段有关． 故答案为：50；有关. 5．已知组成对样本数据确定的经验回归方程为且，通过离差分析，发现两组成对样本数据，误差较大，除去这两组成对样本数据后，重新求得经验回归直线的斜率估计值为，则当时， ． 【答案】7 【分析】利用回归直线方程过样本中心点，可求得样本中心点为，又根据除去两组成对样本数据后的经验回归直线的斜率估计值为，可求得经验回归直线方程，进而代入数据可求得的估计值. 【详解】由样本数据点集求得的经验回归方程为，且， 所以，故数据的样本中心点为， 去掉，， 重新求得的经验回归直线的斜率估计值为， 经验回归方程设为，代入，求得， 所以经验回归直线的方程为：，将代入经验回归方程，求得的估计值为． 故答案为：7. 6．某产品在某零售摊位上的零售价（单位：元）与每天的销售量（单位：个）的统计资料如表所示： 16 17 18 19 50 44 41 31 由上表可得经验回归方程中的，则 ，据此模型预计零售价定为15元时，每天的销售量为 ． 【答案】 【分析】根据题意，求得的值，代入回归方程，求得，得到回归方程，进而求得答案. 【详解】由表格中的数据，可得， 因为回归方程中的，代入可得， 所以经验回归方程为， 当时，，即每天的销售量约为个. 故答案为：；. 7．一组数据组的散点图趋向于落在中间下凸且递增的某条曲线附近，现用模型拟合数据组，其中，设，变换后的线性回归方程为，则 ， . 【答案】 【分析】两边同时取对数，求得，结合，求得，得到的值，再由，求得，结合，即可求解. 【详解】由，两边同时取对数，可得， 因为变换后的线性回归方程为，可得， 即，所以， 又因为，且， 所以， 因为，可得，所以. 故答案为：；. 8．如图所示的五组数据中，去掉 后，剩下的四组数据相关系数增大. 【答案】 【分析】通过观察散点图，分析判断回归直线的大致位置，即可确定需要去掉的点. 【详解】根据散点图，去掉点后，其余四点大致在一条直线附近，相关性增强，相关系数增大. 故答案为： 9．已知x与y之间的几组数据如下表. x 1 2 3 4 y 4 m n 1 表中y的平均值为2.5，若某同学对m赋了三个值，分别为3.5，3，2.5，得到三条线性回归直线的方程，分别为，对应的相关系数分别为，则下列结论中正确的是 .（填序号）①在同一个坐标系中，三条回归直线可以围成一个封闭图形；②；③；④相关系数中，最大. 参考公式：线性回归方程，其中；相关系数；. 【答案】② ④ 【分析】由题意可得，分别取m与n的值，由公式计算出的值，逐一分析四个结论即可. 【详解】由题意知，即.. ① 若，则， ， ， ， 则，. ② 若，则，则 ， ，， 则，. ③ 若，则， ， ，， 则，. 由样本点的中心相同知三条回归直线交于同一个点，不可能围成封闭三角形，所以①不正确. 由以上计算可得，所以②正确，③不正确. 相关系数中，最大，所以④正确. 故答案为：②④. 10．小坤统计了“喜欢学习数学”和“性别为男性”的关系，统计男，女同学分别为60，40名，在男生中随机抽取三名同学，其中喜欢数学的人数恰有一人的概率为，则男生中喜欢数学的人数（大于男生中不喜欢数学的人数）为 经过计算，认为有的概率认为“喜欢学习数学”和“性别为男性”有关，则女同学中喜欢学习数学的人数的最大值为 （精确到1） 0.05 0.025 0.01 0.005 0.001 k 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 【答案】 50 23 【分析】设男生中喜欢数学的人数为人，由超几何分布的概率公式计算即可，设女生中喜欢数学的人数为人，由独立性检验的原理中的公式计算求解即可. 【详解】由题意可知，男同学有人，设男生中喜欢数学的人数为人，则且. 在男生中随机抽取三名同学，其中喜欢数学的人数恰有一人的概率为， 故，整理可得， 因为且，解得. 设女生中喜欢数学的人数为人， 则 男生 女生 合计 喜欢数学 50 不喜欢数学 10 合计 60 40 100 经过计算，认为有的概率认为“喜欢学习数学”和“性别为男性”有关， 则，即， 解得， 故最大值为. 故答案为：50；23. 11．某传媒公司针对“社交电商用户是否存在性别差异”进行调查，共调查了个人，得到如下列联表： 是社交电商用户 不是社交电商用户 合计 男性 女性 合计 已知，若根据的独立性检验认为“社交电商用户存在性别差异”，则的最小值为 . 【答案】3 【分析】先根据已知计算，再根据独立性检验的性质列不等式计算即可. 【详解】， 所以根据的独立性检验认为是不是社交电商用户与性别有关，则的最小值为3. 故答案为：3. 12．某软件科技公司近8年的年利润额y与投入的年研发经费x（单位：千万元）如表所示． x 3 4 5 6 6 7 8 9 y 根据散点图可以认为x与y之间存在线性相关关系，且相关系数，用最小二乘法求线性回归方程（，用分数表示）， ． 附：（1）参考数据：，． （2）参考公式：，． 【答案】 【分析】首先计算和 ，再比较参考公式，即可求解. 【详解】， ， 由条件可知， 得， 所以， 故答案为：. 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分） 13．若某地财政收入x与支出y满足经验回归方程（单位：亿元），其中，如果今年该地区财政收入10亿元，年支出预计不会超过（    ） A．10亿元 B．9亿元 C．10.5亿元 D．9.5亿元 【答案】C 【分析】由参数值可得经验回归方程，令，代入求得的值，再根据求得预计支出的上下限，即可求得选项. 【详解】由题知， 令得， 又因为，所以. 所以年支出预计不会超过10.5亿元. 故选：C. 14．为比较甲、乙两所学校学生的数学水平，采用简单随机抽样的方法抽取100名学生．通过测验得到如下的列联表： 单位：人 学校 数学成绩 合计 不优秀 优秀 甲 40 10 50 乙 30 20 50 合计 70 30 100 附：，其中． 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 下列结论正确的是（    ） A．依据小概率值的独立性检验，认为两校学生的数学成绩优秀率无差异 B．依据小概率值的独立性检验，认为两校学生的数学成绩优秀率有差异 C．依据小概率值的独立性检验，认为两校学生的数学成绩优秀率有差异 D．依据小概率值的独立性检验，认为两校学生的数学成绩优秀率有差异 【答案】B 【分析】根据独立性检验的基本思想，结合已知计算得，逐项进行分析即可求解. 【详解】零假设为：两校学生的数学成绩优秀率无差异， A，若，因为，故有充分的证据推断不成立， 即两校学生的数学成绩优秀率有差异，故A错误； B，若，因为，故有充分的证据推断不成立， 即两校学生的数学成绩优秀率有差异，故B正确； C，若，因为，故没有充分的证据推断不成立， 即两校学生的数学成绩优秀率无差异，故C错误； D，若，因为，故没有充分的证据推断不成立， 即两校学生的数学成绩优秀率无差异，故D错误. 故选：B 15．我国2016-2024年科幻产业营收（单位：亿元）如下表所示： 年份 2016 2017 2018 2019 2020 2021 2022 2023 2024 时间变量 1 2 3 4 5 6 7 8 9 营收 100.0 140.0 456.4 658.7 551.1 829.6 877.5 1132.9 1089.6 根据表中数据建立与的线性回归方程，预测我国2025年科幻产业营收约为（）（参考数据：） A．1222.1亿元 B．1310.9亿元 C．1339.1亿元 D．1443.4亿元 【答案】B 【分析】先利用样本中心点在回归直线上的性质，求出截距，再代入2025年对应的时间变量计算预测值. 【详解】， 所以样本中心点为满足回归方程， 代入得：，计算得： 所以回归方程为. 2025年对应的时间变量，代入回归方程： 因此，预测我国2025年科幻产业营收为1310.9亿元. 故选：B 16．某校对“学生性别和喜欢刷视频是否有关”作了一次调查，得到如下列联表： 不喜欢刷视频 喜欢刷视频 总计 男生 女生 总计 若通过计算，可得根据小概率值的独立性检验，认为学生是否喜欢刷视频与性别有关联，则正整数的最小值为（   ） 附：，. 0.05 0.01 0.005 0.001 3.841 6.635 7.879 10.828 A．80 B．100 C．120 D．150 【答案】B 【分析】完成列联表，计算，即可求出正整数的最小值. 【详解】完成列联表如下： 不喜欢刷视频 喜欢刷视频 总计 男生 女生 总计 则，解得. 又为正整数，且是5的倍数，可得的最小值为100. 故选：B. 三、解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须写出必要的步骤 17．某汽车研发公司的工程师为了解一款新型汽车在不同行驶速度x（km/h）下油耗y（L/100km）的变化规律，进行了相关实验，记录不同速度下的油耗数据的散点图如下： (1)根据散点图求y关于x的经验回归方程（精确到0.01）； (2)根据线性回归方程，绘制离差图，并分析线性回归方程的拟合效果（若离差的平方和小于0.775，则说明拟合效果良好，否则拟合效果较差）. 附：，. 【答案】(1) (2)作图见解析，拟合效果较好 【分析】（1）由图算出和的值，代入最小二乘法公式，得到回归方程； （2）结合（1）的回归方程，求解出对应数据，列表画图，计算离差，算出其平方和，最后比大小即可. 【详解】（1）由图得，， 则， 故， 则y关于x的经验回归方程为. （2）结合（1），计算得离差如下表： 行驶速度 60 70 80 90 100 110 油耗实际值 7.5 6.8 6.2 5.7 5.4 5 油耗估计值 7.35 6.85 6.35 5.85 5.35 4.85 离差 0.15 0.05 0.15 因此离差分布图如下： 因为， 所以经验回归方程的拟合效果较好. 18．某地同城闪送为了提高服务质量，进行了服务改进，并对服务进行评分.已知服务改进前某天共有1000个订单，其好评率为85%；服务改进后某天共有1500个订单，其中好评订单为1350个. (1)已知某100个好评订单评分的极差为2，数据如下（其中，是正整数） 服务评分 8.5 9 9.5 10 订单数量 32 13 11 4 求这100个好评订单的第40百分位数. (2)根据服务改进前后的这两天的订单数据完成下列列联表，并依据的独立性检验，判断订单获得好评与服务改进是否有关. 好评订单 非好评订单 合计 服务改进前 1000 服务改进后 1350 1500 合计 附：，. 【答案】(1)8.25 (2)列联表见解析，订单获得好评与服务改进有关，该推断犯错误的概率不超过0.05. 【分析】（1）先根据题意计算出和的值，再依据百分位数的计算方法求解即可； （2）先根据题意计算出服务改进前好评订单的数量，进而完成列联表，进行独立性检验时，提出零假设，计算，根据与临界值大小关系即可判断结论. 【详解】（1）根据题意，这100个好评订单评分的极差为2， 因此，解得， 又有，解得， 因为， 所以这100个好评订单的第40百分位数为服务评分按从小到大的顺序排列后的第40个订单和第41个订单服务评分的平均数，即. 故这100个好评订单的第40百分位数为8.25. （2）根据题意，服务改进前好评订单的数量为，由此可得列联表如下： 好评订单 非好评订单 合计 服务改进前 850 150 1000 服务改进后 1350 150 1500 合计 2200 300 2500 零假设：订单获得好评与服务改进无关， ， 所以根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立， 即订单获得好评与服务改进有关，该推断犯错误的概率不超过0.05. 19．为了了解高中学生课后自主学习时间（分钟/每天）和他们的数学成绩（分）的关系，某实验小组做了调查，得到一些数据（如下图） 编号 1 2 3 4 5 学习时间 30 40 50 60 70 数学成绩 65 78 85 99 108 (1)求数学成绩与学习时间的相关系数（精确到0.001）； (2)请用相关系数说明该组数据中与之间的关系可用线性回归模型进行拟合，并求出关于的回归直线方程，并由此预测每天课后自主学习数学时间为100分钟时的数学成绩；（参考数据:，） (3)基于上述调查，某校提倡学生周末在校自主学习，经过一学期的实施后，抽样调查了220位学生，按照是否参与周末在校自主学习以及成绩是否有进步统计，得到列联表（如下图）.依据表中数据及小概率值的独立性检验，分析“周末在校自主学习与成绩进步”是否有关. 没有进步 有进步 合计 参与周末在校自主学习 35 130 165 未参与周末在校自主学习 25 30 55 合计 60 160 220 附： 0.10 0.05 0.010 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 【答案】(1)0.996 (2)相关系数接近1，可线性拟合，， (3)认为“周末在校自主学习与成绩进步”有关. 【分析】（1）根据所给数据计算出相关系数； （2）因接近，故与之间具有极强的线性相关关系；依次运用公式计算和，即得线性回归方程，代入即得数学预测成绩； （3）计算出卡方，即可判断. 【详解】（1）由题所给数据可得， ， ， ， ， 所以 . （2）由（1）知相关系数接近，故与之间具有极强的线性相关关系，可用线性回归直线方程模型进行拟合； 所以，， 所以，当时，， 故预测每天课后自主学习数学时间达到100分钟时的数学成绩为分. （3）零假设为学生周末在校自主学习与成绩进步无关. 根据数据，计算得到， 所以依据的独立性检验，可以认为“周末在校自主学习与成绩进步”有关. 20．AI手机是近年来备受关注的新一代智能终端，与智能网联新能源汽车、智能机器人等共同纳入国家发展战略.某商场为了解顾客的购买意愿，随机调查了200位顾客购买AI手机的情况，得到数据如下表. 购买AI手机 购买无AI技术的手机 总计 男性顾客 45 65 110 女性顾客 56 34 90 总计 101 99 200 (1)根据表中数据，判断是否有99%的把握认为购买AI手机与顾客的性别有关？并说明理由； (2)从这90位女性顾客中随机挑选4位，求其中至少有2位购买AI手机的概率（精确到0.01）； (3)为促进AI手机的销量，该商场为购买AI手机的顾客设置了抽奖环节，共设一、二等奖两种奖项，分别奖励200元、100元手机话费，抽中一、二等奖的概率分别为和，其余情况不中奖.每位顾客允许连续抽奖两次，且两次抽奖相互独立.记某位顾客两次抽中的奖金之和为元，求随机变量的数学期望. 参考公式及数据：①，其中. ②，，，. 【答案】(1)有99%的把握认为购买AI手机与顾客的性别有关，理由见解析 (2)0.85 (3) 【分析】（1）根据题设中的数据计算，结合临界值表可判断99%的把握认为购买AI手机与顾客的性别有关； （2）利用对立事件可求至少有2位购买AI手机的概率； （3）先求出的分布列，再根据期望公式可求，或者利用独立事件的期望公式求出. 【详解】（1）作原假设：购买AI手机与顾客的性别无关，取，， 因为，所以否定原假设，即有99%的把握认为购买AI手机与顾客的性别有关. （2）. （3）法1：可取值， 而，， ，， ， 故的分布为， 期望. 法2：设第次抽中奖金为，由题设可得的分布为， 从而，而相互独立，故. 21．某工厂生产某款电池，在满电状态下能够持续放电时间不低于10小时的为合格品，工程师选择某台生产电池的机器进行参数调试，在调试前后，分别在其产品中随机抽取样本数据进行统计，制作了如下的列联表： 产品 合格 不合格 合计 调试前 45 15 60 调试后 35 5 40 合计 80 20 100 (1)根据表中数据，依据显著性水平的独立性检验，能否认为参数调试与产品质量有关联； (2)现从调试前的样本中按合格和不合格，用分层随机抽样法抽取8件产品重新做参数调试，再从这8件产品中随机抽取3件做对比分析，记抽取的3件中合格的件数为，求的分布和期望； (3)用样本分布的频率估计总体分布的概率，若现在随机抽取调试后的产品1000件，记其中合格的件数为，求使事件“”的概率最大时的取值． 参考公式及数据：，其中． 0.05 0.025 0.01 0.005 0.001 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 【答案】(1)认为参数调试与产品质量无关联 (2)的分布见解析， (3) 【分析】（1）计算的值，将其与对应的小概率值比较即得； （2）先算出抽取的8件产品中的合格品与不合格品的数目，再从中抽取3件，根据合格品件数的可能值运用超几何分布概率计算出概率，列出分布列计算数学期望即得； （3）分析得出，利用二项分布概率公式得出再利用作商法分析得时，事件“”的概率最大. 【详解】（1）零假设为：假设依据的独立性检验，认为参数调试与产品质量无关联； 则 故依据的独立性检验，没有充分证据说明零假设不成立， 因此可认为成立，即认为参数调试与产品质量无关联； （2）依题意，用分层随机抽样法抽取的8件产品中， 合格产品有件，不合格产品有2件， 而从这8件产品中随机抽取3件，其中的合格品件数的可能值有1，2，3． 则 故的分布为： 1 2 3 则； （3）依题意，因随机抽取调试后的产品的合格率为， 故， 则， 由， 故由可解得， 因，故当时，； 由可解得， 即当时，． 故当事件“”的概率最大时，． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第八章 成对数据的统计分析（高效培优单元自测·提升卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 一、填空题（本大题共12小题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分．） 1．由表格数据得到的线性回归方程为，则此回归方程在样本点处的离差是 x 3 4 5 6 y 2.5 4 4.5 2．对相关系数，给出下列结论：①越大，线性相关程度越强；②若所有样本点都在直线上，则；③越大，线性相关程度越弱，越接近，线性相关程度越强；④且越接近，线性相关程度越强，越接近，线性相关程度越弱， 其中说法正确的是 填序号 3．为落实五育并举，同时增强高中生的综合素质，某校领导计划利用课间时间开展足球社团活动，为了使该活动顺利开展，了解学生是否对足球感兴趣与性别的关系，现从某年级的学生中随机抽取了男、女同学各50名，整理得到下列列联表： 性别 兴趣爱好 感兴趣 不感兴趣 总计 男 50 女 50 总计 80 20 100 使得“有但没有的把握认为男、女同学对足球感兴趣有差异”的的一个值为 ． 4．随着冬天的临近，哈尔滨这座冰雪之城将再次成为旅游的热门目的地．为更好地提升旅游品质，该市文旅局随机选择100名青年游客对哈尔滨出行体验进行满意度评分（满分100分），80分及以上为良好等级，根据评分，制成如图所示的频率分布直方图．为进一步了解不同年龄段游客对哈尔滨出行体验的反馈，该市文旅局再次随机选择100名中老年游客进行满意度评分，发现两次调查中评分为良好等级的人数为120，则中老年游客评分等级良好的有 人．根据独立性检验，游客的评分等级是否良好与年龄段（青年或中老年） （填“有关”或“无关”）． 5．已知组成对样本数据确定的经验回归方程为且，通过离差分析，发现两组成对样本数据，误差较大，除去这两组成对样本数据后，重新求得经验回归直线的斜率估计值为，则当时， ． 6．某产品在某零售摊位上的零售价（单位：元）与每天的销售量（单位：个）的统计资料如表所示： 16 17 18 19 50 44 41 31 由上表可得经验回归方程中的，则 ，据此模型预计零售价定为15元时，每天的销售量为 ． 7．一组数据组的散点图趋向于落在中间下凸且递增的某条曲线附近，现用模型拟合数据组，其中，设，变换后的线性回归方程为，则 ， . 8．如图所示的五组数据中，去掉 后，剩下的四组数据相关系数增大. 9．已知x与y之间的几组数据如下表. x 1 2 3 4 y 4 m n 1 表中y的平均值为2.5，若某同学对m赋了三个值，分别为3.5，3，2.5，得到三条线性回归直线的方程，分别为，对应的相关系数分别为，则下列结论中正确的是 .（填序号）①在同一个坐标系中，三条回归直线可以围成一个封闭图形；②；③；④相关系数中，最大. 参考公式：线性回归方程，其中；相关系数；. 10．小坤统计了“喜欢学习数学”和“性别为男性”的关系，统计男，女同学分别为60，40名，在男生中随机抽取三名同学，其中喜欢数学的人数恰有一人的概率为，则男生中喜欢数学的人数（大于男生中不喜欢数学的人数）为 经过计算，认为有的概率认为“喜欢学习数学”和“性别为男性”有关，则女同学中喜欢学习数学的人数的最大值为 （精确到1） 0.05 0.025 0.01 0.005 0.001 k 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 11．某传媒公司针对“社交电商用户是否存在性别差异”进行调查，共调查了个人，得到如下列联表： 是社交电商用户 不是社交电商用户 合计 男性 女性 合计 已知，若根据的独立性检验认为“社交电商用户存在性别差异”，则的最小值为 . 12．某软件科技公司近8年的年利润额y与投入的年研发经费x（单位：千万元）如表所示． x 3 4 5 6 6 7 8 9 y 根据散点图可以认为x与y之间存在线性相关关系，且相关系数，用最小二乘法求线性回归方程（，用分数表示）， ． 附：（1）参考数据：，． （2）参考公式：，． 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分） 13．若某地财政收入x与支出y满足经验回归方程（单位：亿元），其中，如果今年该地区财政收入10亿元，年支出预计不会超过（    ） A．10亿元 B．9亿元 C．10.5亿元 D．9.5亿元 14．为比较甲、乙两所学校学生的数学水平，采用简单随机抽样的方法抽取100名学生．通过测验得到如下的列联表： 单位：人 学校 数学成绩 合计 不优秀 优秀 甲 40 10 50 乙 30 20 50 合计 70 30 100 附：，其中． 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 下列结论正确的是（    ） A．依据小概率值的独立性检验，认为两校学生的数学成绩优秀率无差异 B．依据小概率值的独立性检验，认为两校学生的数学成绩优秀率有差异 C．依据小概率值的独立性检验，认为两校学生的数学成绩优秀率有差异 D．依据小概率值的独立性检验，认为两校学生的数学成绩优秀率有差异 15．我国2016-2024年科幻产业营收（单位：亿元）如下表所示： 年份 2016 2017 2018 2019 2020 2021 2022 2023 2024 时间变量 1 2 3 4 5 6 7 8 9 营收 100.0 140.0 456.4 658.7 551.1 829.6 877.5 1132.9 1089.6 根据表中数据建立与的线性回归方程，预测我国2025年科幻产业营收约为（）（参考数据：） A．1222.1亿元 B．1310.9亿元 C．1339.1亿元 D．1443.4亿元 16．某校对“学生性别和喜欢刷视频是否有关”作了一次调查，得到如下列联表： 不喜欢刷视频 喜欢刷视频 总计 男生 女生 总计 若通过计算，可得根据小概率值的独立性检验，认为学生是否喜欢刷视频与性别有关联，则正整数的最小值为（   ） 附：，. 0.05 0.01 0.005 0.001 3.841 6.635 7.879 10.828 A．80 B．100 C．120 D．150 三、解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须写出必要的步骤 17．某汽车研发公司的工程师为了解一款新型汽车在不同行驶速度x（km/h）下油耗y（L/100km）的变化规律，进行了相关实验，记录不同速度下的油耗数据的散点图如下： (1)根据散点图求y关于x的经验回归方程（精确到0.01）； (2)根据线性回归方程，绘制离差图，并分析线性回归方程的拟合效果（若离差的平方和小于0.775，则说明拟合效果良好，否则拟合效果较差）. 附：，. 18．某地同城闪送为了提高服务质量，进行了服务改进，并对服务进行评分.已知服务改进前某天共有1000个订单，其好评率为85%；服务改进后某天共有1500个订单，其中好评订单为1350个. (1)已知某100个好评订单评分的极差为2，数据如下（其中，是正整数） 服务评分 8.5 9 9.5 10 订单数量 32 13 11 4 求这100个好评订单的第40百分位数. (2)根据服务改进前后的这两天的订单数据完成下列列联表，并依据的独立性检验，判断订单获得好评与服务改进是否有关. 好评订单 非好评订单 合计 服务改进前 1000 服务改进后 1350 1500 合计 附：，. 19．为了了解高中学生课后自主学习时间（分钟/每天）和他们的数学成绩（分）的关系，某实验小组做了调查，得到一些数据（如下图） 编号 1 2 3 4 5 学习时间 30 40 50 60 70 数学成绩 65 78 85 99 108 (1)求数学成绩与学习时间的相关系数（精确到0.001）； (2)请用相关系数说明该组数据中与之间的关系可用线性回归模型进行拟合，并求出关于的回归直线方程，并由此预测每天课后自主学习数学时间为100分钟时的数学成绩；（参考数据:，） (3)基于上述调查，某校提倡学生周末在校自主学习，经过一学期的实施后，抽样调查了220位学生，按照是否参与周末在校自主学习以及成绩是否有进步统计，得到列联表（如下图）.依据表中数据及小概率值的独立性检验，分析“周末在校自主学习与成绩进步”是否有关. 没有进步 有进步 合计 参与周末在校自主学习 35 130 165 未参与周末在校自主学习 25 30 55 合计 60 160 220 附： 0.10 0.05 0.010 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 20．AI手机是近年来备受关注的新一代智能终端，与智能网联新能源汽车、智能机器人等共同纳入国家发展战略.某商场为了解顾客的购买意愿，随机调查了200位顾客购买AI手机的情况，得到数据如下表. 购买AI手机 购买无AI技术的手机 总计 男性顾客 45 65 110 女性顾客 56 34 90 总计 101 99 200 (1)根据表中数据，判断是否有99%的把握认为购买AI手机与顾客的性别有关？并说明理由； (2)从这90位女性顾客中随机挑选4位，求其中至少有2位购买AI手机的概率（精确到0.01）； (3)为促进AI手机的销量，该商场为购买AI手机的顾客设置了抽奖环节，共设一、二等奖两种奖项，分别奖励200元、100元手机话费，抽中一、二等奖的概率分别为和，其余情况不中奖.每位顾客允许连续抽奖两次，且两次抽奖相互独立.记某位顾客两次抽中的奖金之和为元，求随机变量的数学期望. 参考公式及数据：①，其中. ②，，，. 21．某工厂生产某款电池，在满电状态下能够持续放电时间不低于10小时的为合格品，工程师选择某台生产电池的机器进行参数调试，在调试前后，分别在其产品中随机抽取样本数据进行统计，制作了如下的列联表： 产品 合格 不合格 合计 调试前 45 15 60 调试后 35 5 40 合计 80 20 100 (1)根据表中数据，依据显著性水平的独立性检验，能否认为参数调试与产品质量有关联； (2)现从调试前的样本中按合格和不合格，用分层随机抽样法抽取8件产品重新做参数调试，再从这8件产品中随机抽取3件做对比分析，记抽取的3件中合格的件数为，求的分布和期望； (3)用样本分布的频率估计总体分布的概率，若现在随机抽取调试后的产品1000件，记其中合格的件数为，求使事件“”的概率最大时的取值． 参考公式及数据：，其中． 0.05 0.025 0.01 0.005 0.001 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $