平面向量及其应用常见典型考题赏析-《中学生数理化》高一数学2026年2月刊

青一数轻典突壁的清中学生款理化 平面向量及其应用常见典型考题赏析 ■谢晓丰 顾珊岚 题型一：平面向量的基本概念 跟踪训练1：(1)（多选题）下列关于向量 平行向量有关概念的四个关注点：非零 的说法正确的是()。 向量的平行具有传递性；共线向量即为平行 A.若a=0,则a=0 向量，它们均与起点无关；向量可以平移，平 B.若向量AB与CD是共线向量，则A, a B,C,D四点必在同一条直线上 移后的向量与原向量是相等向量：。是与非 C.对于任意向量a,b,必有a十b| 零向量a同方向的单位向量。 |a+b1 例1。(1)（多选题）下列说法正确的是 D.若ab,则存在唯一实数入，使a=入b ( )。 (2)(多选题)如图2所示，四边形 A.若a=b,b=c,则a=c ABCD,CEFG,CGHD是全等的菱形，则下 B.若四边形ABCD满足A言=D亡，则 列结论中一定成立的是( 四边形ABCD是平行四边形 H C.若ab,b∥c,则a∥c D.与非零向量a共线的单位向量为 士a (2)如图1，在等腰梯形ABCD中，对角 图2 线AC与BD交于点P,点E,F分别在两腰 A.AB=E京 AD,BC上，EF过点P,且EF∥AB,则下列 B.AB与F立共线 等式中成立的是( )。 C.BD与Ei共线 D.CD-FG 提示：(1)对于A,若a=0,则a=0,A 正确。对于B,若向量AB与CD是共线向 量，则A,B,C,D四点不一定在一条直线上， B错误。对于C,由a,b方向相同得|a十b 图1 =a+b1,由a,b方向相反得1a十b|< A.AD=BC B.AC=BD |a|十|b|,由a,b不共线结合向量加法的三 C.PE=PF D.EP=PF 角形法则及两边之和大于第三边得|a十b| 解：(1)对于A,符合相等向量的定义，A |a|十|b。综上可知，对于任意向量a,b,必 正确。对于B,因为AB=DC,所以AB∥DC 有|a十b≤|a|十b|,C正确。对于D,若 且AB=DC,所以四边形ABCD是平行四边 a≠0，b=0,则a∥b,此时不存在实数入，使 形，B正确。对于C,当b=0时，由a∥b,b∥ a=b,D错误。应选AC。 c,不一定得到ac,C错误。对于D,由单位 (2)由四边形ABCD,CEFG,CGHD是 向量和共线向量的定义知，与非零向量a共 全等的菱形知A|=E|,A正确。由图 线的单位向基为士日，D正确。应述ABD 知AB与Fi的方向相反，C元与FG的方 向相同且长度相等，即AB与F五共线， (2)易得AD,BC不共线，AC,BD不共 CD=FG,B、D正确。因为∠BDE与 线，A,B错误。PE与P下的方向相反，C错 ∠DEH不一定相等，所以BD与Ei不一 误。应选D。 定共线，C错误。应选ABD。 41 中学生款理化餐典皱翠破方德年2月 题型二：向量共线定理及其应用 数m的值是 利用向量共线定理解题的三个策略：a∥ b一a=入b(b≠0)是判断两个向量共线的主 要依据；若a与b不共线且入a=b,则入= =0;己知O,A,B是不共线的三点，且 OP=mO月+nOB(m,n∈R),则A,P,B三 图4 点共线的充要条件是m十n=1。 提示：(1)对于A,由B=BC+C市= 例2(1)已知向量a,b不共线，向量 a+3b十(a十3b)=6b,可知AB,BD不共 8a一kb与一ka十b共线，则k= 线，A不正确。对于B,显然AB与BC不共 (2)如图3，△ABC的重心为G,经过点 线，B不正确。对于C,BC与CD不共线，C G的直线交AB于点D,交AC于点E,若 不正确。对于D,因为AC-AB+BC=4a十 A元=AA成.A应=AC,则+ 6b+(-a+3b)=3a+9b=3CD,所以AC∥ CD。又AC与CD有公共点C,所以A,C, D三点共线，D正确。应选D。 (2)由AN=号N心，可得A亡=3AN。 因为A市-=mA言+AC=mA官+AN,且 图3 解：(1)因为向量a,b不共线，向量8a B,P,N三点共线，所以m+子-1，即m=子 kb与一ka十b共线，所以8a-kb=t(一ka十 题型三：平面向量基本定理的应用 b)=一kta十tb,t∈R,所以 8=一kt·解得 平面向量基本定理表示向量的实质是利 一k=t, 用平行四边形法则或三角形法则进行向量的 k=土22。 加、减或数乘运算。利用平面向量基本定理 (2)延长AG交BC于点F(如图3)，则 解决问题的一般思路：先选择一组基底，运用 F为BC的中点.因为AG-号A证=言(A 该基底将条件和结论表示成向量的形式，再 通过向量的运算来解决。 +A衣)，又A店=A市，A亡=应，所以 例3(1)设{e1,e2}为平面内的一组基 底，则下面四组向量中不能作为基底的是 AG-币+正。已知G,D,E三点其 ()。 线所以京十动一1，即时十=3 A.e1十e2和e1一e2 B.4e1+2e2和2e2-4e 跟踪训练2：(1)已知平面向量a,b不共 1 线，AB=4a+6b,BC=-a+3b,CD=a+ C.2e1十e2和e+2ee 3b,则( ）。 D.e1-2e,和4e2+2e1 A.A,B,D三点共线 (2)如图5，在平行四边形ABCD中，AE B.A,B,C三点共线 =号市，成=可，则成等于( )。 C.B,C,D三点共线 D.A,C,D三点共线 (2)如图4，在△ABC中，AN=NC,P 是BN的中点，若A立=mA店+AC,则实 图5 42 高-数学02翠清中学生教理化 经典题突破方法 A.号A-号市B.号A市-C C号防-而 cga正+C正D.a+2C元 D号A弦+号A时 解：(1)平面向量的基底应由两个不共线 提示：(1)已知平面内任一向量m=入a十 的非零向量组成。对于C,2e1十e2= b(入，∈R),结合平面向量基本定理得向量 2(e,+2e,)小，即2e十e:和e1十2e为共线 a,b不共线，A,B,C不正确。因为a,b不共 线，所以当且仅当入==0时，aa十b=0,D 向量，则它们不能作为基底。其他选项中的 正确。应选D。 两个向量都没有倍数关系，可以作为基底。 (2)取CD的中点G,连接BG交AC于点 应选C。 H(如图6)。由BE=DG,BE∥DG,可得四边 (2)设AB=a,AD=b。因为A它= 形BEDG为平行四边形，所以BGDE。又因 }A市.所以成-币+成=-a一号6.因 为E为AB的中点，所以AF=FH。同理得 为C京=}c市，所以A京-A币+D京=号a 3a CH=FH,所以A=子A亡=子(A店十 b。设BA=mA京十nC它，则-a= AD),所以B亦-B+A市--A花+子(A m(径a+b)十n(-a-号b小，结合平面向量 +AD)=一号A店+}A市。应选D, 2 3m-n=-1, 题型四：平面向量数量积的基本运算 6 基本定理得 2 解得m= 5,n 求向量数量积的三种方法：利用定义，即 m-3n=0, a·b=1ab|cos〈a,b);利用坐标运算，即 号所以所=号A正+号应。位选C 若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a·b= x1x2十y1y2;利用基底法求向量数量积。 跟踪训练3：(1)平面内任一向量m都可 例4如图7，四边形ABCD为平行四 以表示成入a十b(入，u∈R)的形式，下列关于 边形，|AB1=√，|AD|=2,DN=2N乙， 向量a,b的说法中正确的是( ）。 BM=3M元，则AM·NM等于。 A.向量a,b的方向相同 B.向量a,b中至少有一个是零向量 C.向量a,b的方向相反 D.当且仅当入=u=0时，入a十b=0 M (2)如图6，在矩形ABCD中，E为AB 图7 边的中点，AC与DE交于点F,则B下等于 解：AM·NM=(AB+BM)·(NC+ ()。 CMi)=(A店+B心)·（号A店-Bc) -成-号×8品×4=子 跟踪训练4：如图8，在平行四边形 ABCD.中，AB= 图6 2,∠BAD= A.-子A方+号A可 是边BC的中点， B号破-号币 F是CD上靠近D 的三等分点，若 图8 43 中学生款理化餐集聚胶抗杰年月 AE.B京=8，则AD1等于一。 1 提示：记|A方1=m。因为AB=2,且四 a·b=一2。设a与a一b的夹角为0，则 边形ABCD为平行四边形，所以A它·B京= a·(a-b) cos a-falla-b a2-a·b |a|×√J(a-b)月 (A市+B)·(BC+C)=(Ai+2AD)· 1-a·b 1-(-2) (A市-号A)=A店·A市-号A店十 v√a2-2a·b+b W1-2×(-)+1 21AD-号A店，AD=号A馆1AD1· √5 。又9e[0,],所以g=石，即a与a-b c0s∠BAD-号1A店+21A市- 3 的夹角为6。 号+公-8，解得m= (舍去)或m=4, (3)因为a=(1,1),b=(1,-1),所以 所以|AD1=4。 a+Ab=(1十入，1-入)，a十b=(1+,1一 题型五：平面向量数量积的应用 u)。由(a十ab)⊥(a十b),可得(a+ab)· 求平面向量的模的两种方法：公式法，利 (a+b)=0,即(1+λ)(1+4)十(1-A)(1一 用1a|=√a·a及(a±b)2=a|2±2a·b+ )=0,整理得入=-1。应选D。 b2;几何法，利用向量的几何意义。两向量 跟踪训练5：(1)已知非零向量a,b满足 的夹角公式，即c0s0一日。：两向量事直 |b|=√2a1,且(a-b)⊥(3a+2b),则a与 b的夹角为()。 的充要条件，即a⊥b→a·b=0台a一b|= A.45° B.135°C.60°D.120 a十b(其中a≠0，b≠0)。 (2)(多选题)己知向量a=(m,一1)， 例5(1)已知向量a,b满足a一b|= b=(一2,1)，则下列说法正确的是()。 √3，|a十b1=2a-b|,则|b|=」 A.若m=1,则|a-b|=√13 (2)已知a,b为单位向量，且|3a一5b B.若a⊥b,则m=2 =7,则a与a-b的夹角为一 (3)已知向量a=(1,1),b=(1,-1),若 C.“m<-之是“a与b的夹角为锐角” (a十ab)⊥(a十b),则()。 的充要条件 A.入+u=1 B.λ十4=1 D.若m=一1，则b在a上的投影向量 C.A=1 D.入=-1 的坐标为(？、》 解：(1)（方法1）因为|a+b1=2a一b, 提示：(1)设a与b的夹角为0。因为 所以(a十b)2=(2a-b)2,所以a2十2a·b+ b2=4a2-4a·b十b,整理得a2-2a·b= (a-b)⊥(3a+2b),1b=√2|a,所以(a-b)· 0。又因为|a-b|=√3，所以(a-b)2=3,所 (3a+2b)=3a2-a·b-2b2=-a·b-a2 =0,变形得a·b=一a。因为cos〈a,b)= 以a2-2a·b十b2=b2=3,所以|b|=√3。 a·b 一a9 (方法2)设c=a一b,则|c1=√3，所以 aIb|al·2|al 2 ,又0°≤a,b) a+b=c+2b,2a-b=2c+b。 ≤180°，所以(a,b)=135°。应选B。 由题意得(c十2b)2=(2c+b)2,所以 (2)对于A,因为m=1,所以a= c2+4c·b+4b2=4c2+4c·b+b,整理得 (1,-1)。又b=(-2,1),所以a-b=(3, c2=b2,即b1=1c|=5。 -2),所以|a-b|=√J32+(-2)=√13，A (2)因为a,b为单位向量，又|3a一5b 正确。对于B,因为a⊥b,所以一2m一1=0， =7,所以(3a-5b)2=49,即9a2-30a·b+ 1 25b2=49,所以9-30a·b+25=49,所以 解得m=一 B错误。对于C,当a与b的 44 南一数赛方青中学生教理化 夹角为领角时，0a,b)=日论>0，可得 a=1或a=0(舍去)，所以向量a在b方 b a·b>0,即-2m-1>0,解得m<- 之，即 向上的投影向量的坐标为acos吾·名 “。与b的夹角为镜角可以得出“m<一2， =停 跟踪训练6：已知向量a=(入十1,2)，b 当m<一2时，a·b=-2m-1>0,所以 (1,一入)，若a⊥b,则向量c=(1,2)在向量 ā十b上的投影向量的坐标为( )。 cos(a,b)&b≥0。而〈a,b)∈[0，元]， A.(3,1) B.(1,3) 当a∥b时，由m一2=0得m=2,此时a= c(层) D.(3) (2,一1)，b=(一2,1)，即a,b反向共线，所 提示：由a=(入十1,2)，b=(1,-入)， 以只有a,b)∈(o,）,即m<一子可以得 a·b=0,可得入+1-2入=0，解得入=1，所以 出“a与b的夹角为锐角”，C正确。对于D, a=(2,2),b=(1,-1),所以a十b=(3,1)。 当m=一1时，a=(-1,-1),b=(-2,1),b 故向量c=(1,2)在向量a十b上的投影向量 在a上的投影向量的坐标为：·日 的坐标为 c.·(a十+b) a+b a+b a十b 2×(-1,-10=(-2-2)D正确. 3×1+1×2×(3,1) 2 √3+1严√3+1 (受·)应选D 应选ACD。 题型七：与向量有关的最值（范围）问题 题型六：向量的投影 求与向量有关的最值（范围）问题的四种 投影向量是既有大小又有方向的量，投 方法：利用三角函数求最值（范围）：利用基本 影数量仅表示投影的大小数值。向量a在向 不等式求最值（范围）；建立坐标系，构造函数 量6上的投影向量为6·合 求最值（范围）；数形结合，利用图形的几何性 质求最值（范围）。 例6(1)已知向量a与b的夹角为， 例7(1)如图9，在△ABC中，点P满 足2BP=PC,过点P的直线与AB,AC所 |a|=2,|b|=1,则向量a在b上的投影向量 在的直线分别交于点M,N,若AM=xAB, 为( ）。 AN=yAC(x>0,y>0),则2x十y的最小 A.b C.a D.2a 值为一。 (2)已知非零向量a,b满足b=(3,1), (a,b)=否，若(a-b)La,则向量a在b方 向上的投影向量的坐标为一。 解：(1)由a|=2,且向量a与b的夹角 图9 为5，可得向量a在b上的投影向量为 (2)已知a,b是单位向量，a·b=0,且 向量c满足|c一a一b|=1,则|c|的取值范围 aec0sa,bb=2X2b=b.应选A 是 (2)由已知得|b|=√(3)2+1=2。因 解：(1)由题意知A户=AB+BP=AB 为(a-b)⊥a,所以(a-b)·a=a2-a·b= 受-+正迹延 3 3 3。因为 a-cs号=a-a=0,解得 AM=xAB,AN=yAC(x>0,y>0),所以 45