统计常见典型考题赏析-《中学生数理化》高一数学2026年5月刊

中学生数理化 经典题突破方法 高-数学2026年5月 统计常见典型 ■钟文 题型一：抽样方法 简单随机抽样需满足：被抽取的样本总 体的个体数有限；等可能抽取。在按比例分 样本容量 配的分层随机抽样中，抽样比三 总体容量 各层样本容量 各层个体容量 例1(1)某工厂利用随机数法对生产 的700个零件进行抽样测试，先将700个零 件进行编号，001,002，…，699,700。从中抽 取70个样本，下面提供了随机数表的第5行 到第6行数据，若从随机数表中第5行第6 列开始向右读取数据，则得到的第6个样本 编号是( )。 84421253313457860736 2530073286 234578890723689608043256780843 6789535577 A.623 B.328 C.253 D.007 (2)某小学三年级共有学生500名，随机 抽查100名学生并提问中国古代四大发明， 能说出两种发明的有45人，能说出三种及以 上发明的有32人，据此估计该校三年级500 名学生中，对四大发明只能说出一种或一种 也说不出的有( )。 A.69人 B.84人 C.108人 D.115人 解：(1)从第5行第6列开始向右读取数 据，第一个数为253，第二个数是313，第三个 数是457，下一个数是860，不符合要求，下一 个数是736，不符合要求，下一个数是253（重 复)，则第四个数是007，第五个数是328，第 六个数是623。应选A。 (2)在这100名学生中，只能说出一种或 一种也说不出的有100一45一32=23（人）， 设该校三年级中对四大发明只能说出一一种或 一种也说不出的有：人，则8-空解得 x=115。应选D。 跟踪训练1：(1)下列抽样方法是简单随 40 考题赏析 华 机抽样的是()。 A.某医院从200名医生中，挑选出50 名最优秀的医生去参加培训 B.从10部手机中逐个不放回地随机抽 取2部进行质量检验 C.从空间直角坐标系中抽取10个点作 为样本 D.饮料公司从仓库中的500箱饮料中一 次性抽取前10箱进行质量检查 (2)杭州亚运会共有3.76万“小青荷”志 愿者参与服务。据统计某高校共有本科生 1600人、硕土生600人、博土生200人申请 报名做志愿者，现用按比例分配的分层随机 抽样方法从中抽取博士生30人，则该高校抽 取的志愿者总人数为()。 A.300B.320C.340D.360 提示：(1)A中，挑选出50名最优秀的医 生去参加培训，每个人被抽到的概率不相等， A错误。B中，从10部手机中逐个不放回地 随机抽取2部进行质量检验，是简单随机抽 样，B正确。C中，由于被抽取的样本的总体 个数是无限的，所以不是简单随机抽样，C错 误。D中，一次性抽取前10箱，每箱被抽到 的慨率不相等，所以不是简单随机抽样，D错 误。应选B。 (2)根据题意知按比例分配的分层随机 抽样的抽样比为0一品，所以该高粒抽取的 3一 志愿者总人数为(1600十600十200)×2 360。应选D。 题型二：频率分布直方图 频率分布直方图的相关结论：频率分布 直方图中各小长方形的面积之和为1：频率 频率 分布直方图中纵轴表示组距，每组样本的频 率为组距X 频率 组距1 即小长方形的面积；频率分 布直方图中每组样本的频数为频率×总数。 例2某市某月30天对空气污染指数的 监测数据如表1所示（主要污染物为可吸入 颗粒物)。 表1 617670 568191 929175 81 88671011039591 77868183 82826479868575714945 (1)完成表2所示的频率分布表。 表2 分组 频数 频率 [41,51) [51,61) [61,71) [71,81) [81,91) T91,101) [101,111] (2)作出频率分布直方图。 (3)根据国家标准，污染指数在0~50之 间时，空气质量为优：在51一100之间时，空 气质量为良：在101~150之间时，空气质量 为轻度污染；在151~200之间时，空气质量 为中度污染。请你依据所给数据和上述标 准，对该市的空气质量给出一个简短评价。 解：(1)作出的频率分布表，如表3所示。 表3 分组 频数 频率 [41,51) 2 2 30 [51,61) 1 1 30 [61,71) 4 30 [71,81) 6 30 [81,91) 10 10 30 [91,101) 5 5 30 [101,111] 2 2 30 (2)作出的频率分布直方图，如图1所示。 高-敬学华方清中学生教理化 经典题突破方法 频率/组距 30 0.0。=，-=44=4 ”。” 60 空气污染指数 0415161718191101111 图1 (3)下述两种方法均可。 (方法1)该市一个月中空气污染指数有 2天处于优的水平，占当月天数的言，有26 天处于良的水平，占当月天数的号处于优或 良的天数共有28天，占当月天数的普，说明 该市空气质量基本良好。 (方法2)轻度污染有2天，占当月天数的 5,污染指数在80以上的接近轻度污染的天 1 数有15天，加上处于轻度污染的天数，共有 17无，占当月天数的品，超过50%，说明该市 空气质量有待进一步改善。 跟踪训练2：某校为了解学生学习的效 果，进行了一次摸底考试，从中选取60名学 生的成绩，分成[40,50)，[50,60)，[60,70)， [70,80),[80,90),[90,100]六组后，得到不 完整的频率分布直方图如图2所示，观察图 形，回答下列问题。 个频率/组距 0.025… 0.02 0.015 0.01 0.005 成绩/分 405060708090100 图2 (1)求分数在区间[70,80)内的频率，并 补全这个频率分布直方图。 (2)根据评奖规则，排名在前10%的学 生可以获奖，请你估计获奖的学生至少需要 多少分。 提示：(1)设分数在[70,80)内的频率为 41 经典题突破方法 中学生数理化高数学0年5月 x,根据频率分布直方图得(0.01十0.015+ 0.02+0.025+0.005)×10+x=1,解得x= 0.25,所以分数在[70,80)内的频率为0.25。 补全的频率分布直方图，如图3所示。 ◆频率/组距 0.025 0.02 0.015 0.01 0.005 成缓分 405060708090100 图3 (2)因为分数在区间[80,90)内的频率 为0.25，在区间[90,100]内的频率为 0.05,而0.05<10%0.25+0.05，所以 设排名前10%的分界点为90一a,则 0.025a+0.005×10=10%,解得a=2, 所以排名前10%的分界点为88分，即获 奖的学生至少需要88分。 题型三：样本的数字特征的估计 众数、中位数及平均数都是描述一组数据 集中趋势的量：平均数的大小与一组数据里每 个数的大小均有关系，任何一个数据的变动都 会引起平均数的变动：众数是描述数据集中趋 势的指标，它是一组数据中出现次数最多的 数，其大小与这组数据中部分数据有关，当一 组数据中有不少数据重复出现时，其众数往 往更能反映问题；中位数仅与数据的排列位 置有关，某些数据的变动对中位数没有影响， 中位数可能出现在所给数据中，也可能不在 所给数据中，当一组数据中个别数据较大时， 用中位数描述这组数据的集中趋势。一般 地，一组数据的第p百分位数是这样一个值， 它使得这组数据中至少有p%的数据小于或 等于这个值，且至少有(100一p)%的数据大 于或等于这个值。计算一组n个数据第p百 分位数的三个步骤：按从小到大排列原始数 据；计算i=n×p%;若i不是整数，而大于i 的比邻整数为j,则第力百分位数为第j项数 据，若i是整数，则第p百分位数为第i项与 第(i+1)项数据的平均数。 例3(1)（多选题）某单位为了解该单 42 位党员开展学习党史知识活动情况，随机抽 取了30名党员，对他们一周的党史学习时间 进行了统计，统计数据如表4所示。则下列 对该单位党员一周学习党史时间的叙述，正 确的是( )。 表4 党史学习时间(h) 7 8 10 党员人数 4 8 7 5 A.众数是8 B.第40百分位数为8 C.平均数是9 D.中位数是9 (2)(多选题)有一组样本数据x1, x2,…,x,其中x1是最小值，x:是最大值， 则()。 A,x,x,x:,x的平均数等于x1, x2,…,x的平均数 B.x,x,x4,x的中位数等于x1, x2,…,x:的中位数 C.x2,x3,x:,x的标准差不小于x1, x2,…,x的标准差 D.x,x,x4,x的极差不大于x1, x2,…,x6的极差 解：(1)随机抽取30名党员，由表4知党 史学习时间为8h的人最多，为8人，故众数 是8，A正确。因为30×40%=12，第40百 分位数为8计9=8.5，B错误。平均数为0× 2 (7×4+8×8+9×7+10×6+11×5)=9,C 正确。因为共有30名党员，所以中位数为第 15项和第16项的平均数。第15项和第16 项均为9，即中位数为9，D正确。应选ACD。 (2)取x1=1,x2=x3=x4=x=2,x6= 9,则数据x2,x3,x4,x的平均数等于2，标 准差为0，数据x1,x,…,x的平均数等于 3,标准差为学=令，A,C均不正确。根 22√66 据中位数的定义，将x1,x2,…,x按从小到 大的顺序进行排列，中位数是中间两个数的 算术平均数。由于x1是最小值，x6是最大 值，故x2,x,x4,x的中位数是将x2,x3, x,x;按从小到大的顺序排列后中间两个数 的算术平均数，与x1,x,…,x的中位数相 等，B正确。不妨设x≤x≤x:≤x5,则x ≤x2≤x3≤x,≤x5≤x6,所以xa一x≤x6一 x1,D正确。应选BD。 跟踪训练3：某小组成员278 的年龄分布茎叶图如图43 23668 所示，则该小组成员年龄的405 第25百分位数是 5248 提示：由茎叶图可知， 图4 数据从小到大排列为27,28,32,33,36,36 38,40,45,52,54,58。因为12×25%=3，所 以第25百分位数是32十33 2 32.5。 题型四：总体集中趋势的估计 频率分布直方图中的数字特征：众数是 最高小矩形的底边中点的横坐标；中位数左 边和右边的小矩形的面积和应该相等；平均 数等于频率分布直方图中各组区间的中点值 与对应频率之积的和。 例42024年，安徽、甘肃、广西、贵州、 黑龙江、吉林、江西七省区作为第四批实施改 革的省份进入新高考。2023年10月，进入 新高考的七个省份相继公布了高考选考科目 的试卷结构。某考试机构举行了新高考适应 性考试，在联考结束后，根据联考成绩，考生 可了解自己的学习情况，作出升学规划，决定 是否参加强基计划。在本次适应性考试中， 某学校为了解高三学生的联考情况，随机抽 取了100名学生的联考数学成绩作为样本， 并按照分数段[50,70)，[70,90)，[90,110)， [110,130),[130,150]分组，绘制了如图5所 示的频率分布直方图。 ◆频率/组距 0.016 0.014 0.013 0.004 成绩/分 507090110130150 图5 (1)求出图中a的值并估计本次考试的 及格率(“及格率”指得分为90分及以上的学 高-数学华方清中学生教理化 经典题突破方法 生所占比例)。 (2)估计该校学生联考数学成绩的第80 百分位数。 (3)估计该校学生联考数学成绩的众数、 平均数。 解：(1)由频率分布直方图得(a十0.004 +0.013+0.014+0.016)×20=1,解得a= 0.003。故及格率为(0.016十0.014+0.003) ×20=0.66=66%。 (2)得分在110以下的学生所占比例为 (0.004+0.013+0.016)×20=0.66,得分在 130以下的学生所占比例为0.66+0.014× 20=0.94,所以第80百分位数位于区间 110.130)内.由10+20×0g006 120,可估计该校学生联考数学成绩的第80 百分位数为120。 (3)由频率分布直方图可得，众数的估计 值为90+110=100。 2 平均数的估计值为0.08×60+0.26× 80+0.32×100+0.28×120+0.06×140= 99.6。 跟踪训练4：某市共有居民60万人，为了 制定合理的节水方案，对居民用水情况进行 了调查，通过抽样，获得了某年100位居民每 人的月均用水量（单位：t),将数据按照[0， 0.5),[0.5,1),…,[4,4.5]分成9组，制成了 如图6所示的频率分布直方图。 ◆频率/组距 0.5…… 0.42 0.16 02 88计计白月均用水量坠 005.5535 图6 (1)求a的值，并估计该市居民月均用水 量不少于3t的人数。 (2)估计该市居民月均用水量的众数和 中位数。 提示：(1)由频率分布直方图可知，(0.04 43 中学生教理化餐典李破方法年月 +0.08×2+0.12+0.16+2a+0.42+0.5) ×0.5=1,解得a=0.3。 月均用水量不少于3t的人数为(0.12十 0.08+0.04)×0.5×60×10=72000。 (2)由频率分布直方图可估计众数为 2.25。 设中位数为x。因为前5组的频率之和 为0.04+0.08+0.15+0.21+0.25=0.73 >0.5,而前4组的频率之和为0.04+0.08+ 0.15+0.21=0.48<0.5,所以2<x<2.5。 由0.5(x-2)=0.5-0.48,可得x=2.04, 故居民月均用水量的中位数为2.04。 题型五：总体离散程度的估计 总体离散程度的估计：标准差（方差）反 映了数据的离散与集中、波动与稳定的程度。 标准差（方差）越大，数据的离散程度越大：标 准差（方差）越小，数据的离散程度越小。 例5某厂为比较甲、乙两种工艺对橡 胶产品伸缩率的处理效应，进行10次配对试 验，每次配对试验选用材质相同的两个橡胶 产品，随机地选其中一个用甲工艺处理，另一 个用乙工艺处理，测量处理后的橡胶产品的 伸缩率，甲、乙两种工艺处理后的橡胶产品的 伸缩率分别记为x:,y:(i=1,2,…,10)。试 验结果如表5所示。 表5 试验序号12345678910 伸缩率x:545533551522575544541568596548 伸缩率y:536527543530560533522550576536 记之：=x:一y:（i=1,2,…,10),之1 之2，…，之1。的样本平均数为乏，样本方差为s2。 (1)求乏，s2。 (2)判断甲工艺处理后的橡胶产品的伸 缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率是 否有显著提高（如果≥2√0，则认为甲工 艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理 后的橡胶产品的伸缩率有显著提高，否则不 认为有显著提高)。 解：(1)由题意得之：=x:一y;的值分别 为9,6,8，-8,15,11,19,18,20,12，则=10 1 44 ×(9+6+8-8+15+11+19+18+20+12) =11,s=×[(9-11)+(6-11)+(8 10 11)2+(-8-11)2+(15-11)2+(19-11) +(18-11)2+(20-11)2+(12-11)]=61。 (2)由(1)知，2=11,2√0 =2√6.1= √24.4，所以乏≥2 √0，所以认为甲工艺处 理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的 橡胶产品的伸缩率有显著提高。 跟踪训练5：某果园试种了A,B两个品 种的桃树各10棵，并在桃树成熟挂果后统计 了这20棵桃树的产量如表6所示。记A,B 两个品种各10棵产量的平均数分别为x和 y,方差分别为s和s。 表6 A(单位/kg)60504060708070305090 B(单位/kg)40605080805060208070 (1)分别求这两个品种产量的极差和中 位数。 (2)求x,y,s1,s。 (3)果园要大面积种植这两种桃树中的 一种，依据以上计算结果分析选种哪个品种 更合适，并说明理由。 提示：(1)这10棵A品种桃树的产量从 小到大分别为30,40,50,50,60,60,70,70， 80,90,这10棵A品种桃树产量的极差为90 一30=60，中位数为60+60 2 60。 这10棵B品种桃树的产量从小到大分 别为20,40,50,50,60,60,70,80,80,80，这 10棵B品种桃树产量的极差为80一20= 60,中位数为60十60=60. 2 (2)利用平均数与方差公式易得x=60, y=59,s=300,s=349。 (3)由(1)知这两个品种极差和中位数都 相等。由(2)知x>y,s<s,则A品种桃树 平均产量高，波动小，故选A品种桃树。 作者单位：江西省于都县第二中学 (责任编辑郭正华)