求解三角形最值问题中的“一题多解”&复数新定义问题揭秘-《中学生数理化》高一数学2026年3月刊

创新题追根溯源 中学生教理化高数学2026年3月 求解三角形最值问题中的“一题多解 ■刘恺忻 题目：在△ABC中，角A,B,C所对的 p)≤6其中由tan9= 边分别为a,b,c,且外接圆的半径R=5,则 确定，令C十9一 √5 a2+6+2c的最大值为。 abc 2,则tanC √5) ,所以6-4cosC≥ 角度一：不等式十辅助角公式法 2√5sinC。根据余弦定理cosC= 由正弦定理得到边c与角C的关系，结 a2+b2-c2 abc 合余弦定理代入原式化简，将所求式整体换 ,可将原式转化为 2ab 2+62+2c= 元，利用辅助角公式和三角函数的有界性列 ab·10simC ab·10sinC 不等式求出范围即得结果；由正弦定理得到 3a2+3b2-4abcos C 6ab-4abcos C 边c与角C的关系，结合余弦定理代入原式 10sin C .10sin C 化简，利用辅助角公式和三角函数的值域得 6-4cosC2√5sinC =√5（当且仅当A= 到6≥2√5sinC+4cosC,再代人原式化简即 B,tan C= 5 时取等号)。所以 abc 得最值。 2+b2+2c 解法1：不等式十辅助角公式十换元十 的最大值为√5。 三角函数的有界性。 角度二：不等式的应用法 由正弦定理得， sinC=2R=10,即c= 由正弦定理得到边c与角C的关系，代 入原式化简，整体换元后，利用柯西不等式求 10sinC。 根据余弦定理cosC=Q十b一c 出新元的范围。 2ab 解法3：不等式十换元十柯西不等式。 可将原式转化为a+b+2 abc 由正弦定理得，c sinC=2R=10,即c= ab·10sinC ab·10sinC 3a+362-4abcos C 6ab-4abcos C 10sinC。根据余弦定理cosC= a2+b2-c2 2ab 10sin C 6-4cos C 可将原式转化为 abc a2+b2+2c2 6-4cosC,可得6t=10sinC+ 10sin C 令t= ab·10sinC ab·10sinC 3a2+362-4abcos C 6ab-4abcos C 4 tcos C=√W100+16tsin(C+9),其中9为 10sin C 10sin C 辅助角。 6-4cosc。令t=6-4cosc,即3t=5sinC 由三角函数的有界性可得， +2 tcos C。 6t ≤1，解得一√5≤t≤√5，所以 由柯西不等式得9t2=(5sinC+ √/100+16t 2 t cos C)2(52+4t2)(sinC十cos2C),所以 a+b+2c的最大值为5。 abc 9t≤25+4t2,即t≤√5（当且仅当A=B, 解法2：不等式十辅助角公式十三角函 abc 数的有界性。 anC-号时取等号)，故。十+2云的最大 2 由正弦定理得C sinC=2R=10,即c 值为√5。 作者单位：重庆市涪陵实验中学校 10sinC。易得4cosC+2√5sinC=6sin(C+ (责任编辑郭正华) 36 高一数新调捏膏中学生教理化 揭秘一：复数的概念、运算与新定义的交汇 例1（多选题）定义D()=||之|「= a|十1b1,D(1,x2)=1|x1一2|，其中复 数之=a十bi(a,b∈R,i是虚数单位)，x1,x2 复数新定义问题揭祕 ∈C,则下列命题中的真命题是()。 A.对任意之∈C,都有D(之)>0 B.若乏是复数的共轭复数，则D(乏) =D(之)恒成立 C.若D(1)=D(之2)(1,2∈C),则 ■杨涵舒 21=×2 D.设x1=a十bi,之2=c+di,23=m十 是方程x2十2x十2=0的解。 ni,则|a-m|十1b-n≤|(a一c)|+|(c一 )若1mx)≥0，且号-6-2ia,b∈R. m)|+|(b-d)|+|(d-n) i是虚数单位)，求a十b。 解：根据题中所给定义D(之)=||x||= |a1十1b1,D(1,x2)=1|1-2||,结合复 (②)若1m(e)<0,复数1=+ 之+3i,t∈ 数的运算法则，逐一分析判断即可。对于A, R,且Re(1)<0,Im(1)>0,求实数t的取 根据定义，当之=0时，D(x)=0,A错误。对 值范围。 于B,由题意得乏=a一bi,所以D(乏)=D(x) 解：(1)先解方程x2十2x十2=0得到复 =|a1+|b|,B正确。对于C,若D(x1)= 数之，再结合条件根据复数相等求解。 D(2)(1,2∈C),则两个复数实部、虚部可 由复数之是方程x2十2x十2=0的根，可 以相等，也可以相反，无法得到之1=之2，C错 得4=22一4×1×2=一4，所以复数x= 误。对于D,已知1=a十bi,之2=c十di, -2±√一(-4)i 之3=m十ni,则D(x1,之3)=1之1一x「= =一1土i。 I(a-m)+(b-n)ill=la-ml+lb-nl, D(21,之2)=|x1-221=「|(a-c)+(b- 因为1m(x)>0,所以x=一1十i,所以名 d)i||=|a-c|+|b-d|,D(x2,x3)= =-1十 a =b-2i,则a=(b-2i)(-1+i)= |x2-x1=1|(c-m)+(d-n)i|1= |c-m|+|d-n|。因为|a-m1= 一b+2+(b十2)i,所以 fa=-b+2, 解得 |(a-c)+(c-m)|≤|(a-c)|+ b+2=0, |(c-m)|,1b-n|=|(b-d)+(d-n)≤ a=4, 所以a十b=2。 |(b-d)|+|(d-n)1,所以|a-ml+ b=-2, |b-n1≤|(a-c)|+|(c-m)|+1(b-d) (2)根据复数的运算，结合已知条件列不 十|(d-n)|,即D(x1,x)≤D(x1,x2)十 等式组求解。 D(之2，之)，D正确。应选BD。 因为Im(x)<0,所以之=一1一i。又 揭秘二：复数的概念、运算与方程中的新 =护=一i,所以之，=十 t-i 定义的交汇 -1+2i=-1+2 例2在英语中，实数是Real Number, t-i)-1-2》=-t-2+1-24i (-1+2i)(-1-2i) 5 一般取Real的前两个字母“Re”表示一个复 因为Re(x1)<0,Im(x1)>0,所以 数的实部。虚数是Imaginary Number,一般 取Imaginary的前两个字母“Im”表示一个复 -t-2 0, 数的虚部。如Re(2+3i)=2,Im(2+3i)=3; 1一2t 解得一2<1<，所以实数4的 Re(-3i)=0,Im(-3i)=-3。已知复数z 5 -0, 37 中学生数理化 创新题追根溯源 高-数学2026年3月 取值范围为(-2,2)。 1- +,求11。 揭秘三：欧拉公式与复数的概念、运算的 (2)在复平面内，复数1=e,=-1 交汇 例3（多选题）欧拉公式：e”=cos日十 十3i对应的向量分别是OA,OB,其中O是 isin0(i是虚数单位，e=2.718…,0∈R)是由 坐标原点，设OA与OB所成的角为日，求 瑞士著名数学家欧拉发现的，它非常巧妙地 cos日的值。 将三角函数与复指数函数关联了起来，令日 解：(1)利用欧拉公式，结合复数的乘方 =π，可得e"十1=0。它又将自然界中的两 和除法运算求解。 个重要的无理数元和e、实数单位1、虚数单 依题意得 三一1 元 1 位i,以及复数中的0巧妙地结合在一起，被 cos 2+isin 2 数学家们誉为“上帝公式”“宇宙第一公式” 2 “最美公式”等。下面关于欧拉公式的叙述正 (一i)1012=1012 确的是( ）。 i1×253=1, 1-i_1+i_ (1+i)×(i)1 A.e2025i-1=0 (1+i)2 2i 2i×(-i) 2 B.复数e对应的点位于第二象限 02 i,所以复数之= C.|ei|=1 D.(ei)=e 1-i3 -i+1- 1 解：求出em的值，即可判断A;根据3的 (1+i)2 范围，求出cos3,sin3的符号，再根据复数的 几何意义即可判断B;根据复数的模的计算 +(- 公式即可判断C;根据共轭复数的定义即可 (2)利用欧拉公式求出向量OA,O的 判断D。 坐标，进而求出两个向量夹角的余弦值。 对于A,因为em十1=0，所以e=一1， 所以e225m-1=(em)2025-1=-1一1=一2， 由1=e =cos 4 A错误。对于B,因为e=cos3十isin3,又 可得0=（竖）.因为oi=(-1,3… 召<3<，所以os3<0,sin3>0,所以复数 e对应的点位于第二象限，B正确。对于C, 所以O耐.O品=-+3=2.易得 2 2 |ei|=√cosx十sinx=1,C正确。对于D, 1OA|=1,OB1=√10，所以cos0= 由e°=cos0+isin日得(e°)=cos0-isin0. OA·Oi 2_5 因为e丽=e0=cos0-isin,所以(e)=e丽， 1OA11OBL√/10 5 D正确。应选BCD。 揭秘四：欧拉公式与复数、向量的交汇 感任与仪 例4瑞士数学家欧拉于1748年提出了 根据欧拉公式e=cosx十isinx(i为虚 著名的欧拉公式：er=cosx十isin x,其中e 数单位，x∈R),判断下列命题的真假： 是自然对数的底数，i是虚数单位，该公式将 ①sinx=e"e 指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角 2—；②(cosx+isin x)= 函数与指数函数的关联，在复变函数论中有 cos3x+isin3x。 非常重要的地位，被推举为“数学中的天桥”。 提示：①是假命题，②是真命题。 202 作者单位：陕西省洋县第二高级中学 (1)若复数之= 吉+ (责任编辑郭正华) 38