例析统计中的五个易错点-《中学生数理化》高一数学2026年5月刊

商一黄學陆阳体有中学生款理化 例析统计中约五个易特点 ■徐春生 易错点1：识图不准致错 示“ 频率”，每个小矩形的面积表示落在该区 例1某厂对一批产品进行抽样检测， 组距 图1是抽检产品净重（单位：g)的频率分布直 间上的频率。 方图，样本数据分组为[76,78)，[78,80)，…， 正解：由频率分布直方图可知，净重大于 [84,86]。若这批产品有120个，估计其中净 或等于78g且小于84g的产品的频率为1一 重大于或等于78g且小于84g的产品的个 (0.05十0.075)×2=0.75，所以估计其中净 数是( )。 重大于或等于78g且小于84g的产品的个 ◆频率/组距 数是0.75×120=90。应选C。 易错点2：误用中点代替中位数致错 0.04 例2某中学举行电脑知识竞赛，现将 0.03 高一参赛学生的成绩（单位：分）进行整理后 分成五组绘制成如图2所示的频率分布直方 0.015 0.01 图。估计高一参赛学生的成绩的中位数为 0.005 成锁生 0 5060708090100 图1 ◆频率/组距 0.04 A.12 B.18 C.90 D.105 错解：由频率分布直方图可知，净重大于 0.03 或等于78g且小于84g的产品的频率为1 0.015……… (0.05+0.075)=0.875,所以估计其中净重 0.01 大于或等于78g且小于84g的产品的个数 0.005 门成绩/分 是0.875×120=105。应选D. 5060708090100 错因剖析：上述解法是识图不准致错。 图2 在频率分布直方图中，纵轴（小矩形的高）表 错解：第一个小矩形的面积为0.03×10 m00gm000g30000000000g000200000000000000g000g0000m0000g0g0000gw0m0gm0000 和“抽出黑桃”是不可能同时发生的，所以是 的点数为10，即二者不是互斥事件，当然不可 互斥事件。但不能保证其中必有一个发生， 能是对立事件。因此，要分清对立事件与互 这是由于还可能抽出“方块”或“梅花”，因此 斥事件的区别与联系。互斥事件要抓住如下 二者不是对立事件。 的特征进行理解：互斥事件研究的是两个事 (2)既是互斥事件，又是对立事件。从40 件之间的关系；所研究的两个事件是在一次 张扑克牌中任意抽取1张，“抽出红色牌”与 试验中涉及的；两个事件互斥是在试验的结 “抽出黑色牌”是不可能同时发生的，但其中 果不能同时出现来确定的。对立事件是互斥 必有一个发生，因为扑克牌不是红色就是黑 事件的一种特殊情况，是指在一次试验中有 色，所以它们既是互斥事件，又是对立事件。 且仅有一个发生的两个事件，且满足P(A) (3)不是互斥事件，当然不是对立事件。 感悟：从40张扑克牌中任意抽出1张， =1-P(A)。 “抽出的牌点数为5的倍数”与“抽出的牌点 作者单位：陕西省洋县第二高级中学 数大于9”这两个事件可能同时发生，如抽出 (责任编辑郭正华) 35 易错题归类剖析 中学生数理化高数学2026年5月 =0.30.5,第二个小矩形的面积为0.04× 请判断哪台机床加工零件的质量更好。 10=0.4,所以0.3+0.4>0.5，所以中位数在 错解：设甲、乙两台机床所加工零件的直 第二个小矩形中，所以估计高一参赛学生的成径的平均数分别为x,夕。由题意得x= 绩的中位数为60,70=5（分）。 2 (99+100+98+100+100+103)=100,y= 1 错因剖析：上述解法用小矩形的中点的横 坐标估计中位数致错。 6(99+100+102+99+100+100)=100。 正解：成绩在[50,60)内的频率为0.03× 因为x=y,所以甲、乙两台机床加工零件 10=0.3<0.5,成绩在[50,70)内的频率为 的质量一样好。 (0.03+0.04)×10=0.7>0.5,所以成绩的中 错因剖析：上述解法认为平均数一样，质 位数在区间[60,70)内。设成绩的中位数为 量就一样，忽略了零件质量的稳定程度致错。 x,则0.3+(x一60)×0.04=0.5，所以x= 正解：设甲、乙两台机床所加工零件的直 65,即成绩的中位数为65，所以估计高一参赛径的平均数分别为x,y。由题意得x= 学生的成绩的中位数为65分。 6(99+100+98+100+100+103)=100,y= 易错点3：忽视排序致错 例3为了弘扬体育精神，某校组织秋季 6(99+100+102+99+100+100)=100. 运动会，在一项比赛中，学生甲进行了8组投 设甲、乙两台机床所加工零件的直径的方 篮，得分分别为10,8，a,8,7,9,6,8。如果学 生甲的平均得分为8分，那么这组数据的第75差分别为si,s,则s=二[（一1）十0十 6 百分位数为一。 错解：由题意得号(10十8十a十8十7+9十 (-2)+0+0+8]=名=合[(-1y+0 +22+(-1)2+02+0]=1。 6+8)=8,解得a=8。因为8×75%=6，所以 因为x=y,s>s,所以乙机床加工零件 这组数据的第75百分位数为9，=7.5 的质量更好。 易错点5：混淆变化规律致错 错因剖析：上述解法没有将原始数据从小 例5若x1,x2,x3,…,xm的标准差为2， 到大排序致错。 则3(x1十5)，3(x2+5),3(x+5),…, 正解：由题意得！10+8十a十8+7+9+ 8 3(xm十5)的标准差为一。 6十8)=8，解得a=8。将这组数据按从小到 错解：由标准差的变化规律知3(x1十5)， 大的顺序排列为6,7,8,8,8,8,9,10。因为83(x2十5)，3(x3十5)，…，3(xm十5)的标准差为 ×75%=6,所以这组数据的第75百分位数为3×2=18。 8+9 =8.5。 错因剖析：上述解法混淆了方差和标准差 2 的变化规律致错。若数据x1,x2,xg,…,x。的 易错点4：问题考虑不全致错 例4甲、乙两机床同时加工直径为 平均数为x,方差为s,标准差为s,则数据 100cm的零件，为检验质量，各从中抽取6件 ax1士b,ax:士b,ax3士b,…,axn士b的平均数 测量，数据如表1所示。 为ax士b,方差为as2,标准差为as。 表1 正解：由标准差的变化规律知3(x1+5), 3(x2+5),3(x十5)，…，3(xm+5)的标准差为 1 2 3 4 5 6 3×2=6。 甲 99 100 98 100 100 103 作者单位：广东省仙头市澄海凤翔中学 乙 99 100 102 99 100100 (责任编辑郭正华) 36