例析换元法在解题中的应用-《中学生数理化》高一数学2026年1月刊

高一数识施物卓杯骨中学生教理化 例析换元法在解题中的应用 ■向东 一、求函数的解析式 调递减，在[1,2]上单调递增。 例1已知f(1一sinx)=cosx,则 四、求参数的值 f(x)=」 0 例4（多选题）知函数∫(x)= 解析：设1一sinx=t,t∈[0,2]，则sinx /x2十2x十1，x0, 满足f(f(a))=一1的a =1-t。因为f(1-sinx)=cos2x=1- 一x2,x>0, sin2x,所以f(t)=1-(1-t)2=2t-t2,t∈ 的值可以为( )。 [0,2],即函数f(x)=2x一x2,x∈[0,2]。 A.0 B.1 评注：利用换元法解题时要注意换元后 C.-1 D.-2 新元的取值范围。 解析：设t=f(a),则f(t)=一1。 二、求函数的值 若t>0,则一t2=一1，解得t=1或t= 例2已知函数∫(x)是定义在(0， 一1（舍去），所以f(a)=1。当a>0时，则 十∞)上的单调函数，且Hx∈(0，十∞)，都有 一a2=1,这时方程无解；当a0时，则a2十 f((x)+）=-1,则f1)=( )。 2a十1=1，解得a=0或a=一2，满足条件。 所以A,D满足题意。 A.-4 B.-3 若t≤0，则t2十2t+1=一1，即t2+2t+ C.-1 D.0 2=0,这时△=22一4×2=一4<0，即此方程 解析：由题意设f(x)十 =k,显然k 无解，可知没有满足题意的a值。 x 故选AD。 0。因为fx)+是)=f)=-1,所以 评注：解答本题的关键是对参数a,t的 f(k)=k一友 2 分类讨论。 =一1，解得k=1(负值舍去)， 五、求代数式的值 所以f(1)=一1。应选C。 例5 若函数f(x)=ae+bsin x十 评注：本题涉及两个变量x,k,它们的取 cos2x的值域为 37 值范围相同，其含义是不同的。 3,2,则a十b= 三、求函数的最值 ( )。 例3设b∈R,若函数f(.x)=4一2+ 十b在[一1,1]上的最大值是3，则函数f(x) A号 B.± 在[一1,1]上的最小值是()。 C.2 D.土2 A.2 B.1 解析：当a<0,x→十∞时，f(x)→ C.0 D.-1 一∞，则f(x)不存在最小值，不符合题意；当 解析：函数f(x)=4*一2+1十b=(2*) a>0,x→十∞时，f(x)>十∞，则f(x)不存 -2·2+b。设2"=t,由x∈[-1,1]，可得 在最大值，不符合题意。所以只有a=0。所 4∈[经2习].所以函数f(x)等价于y= 以函数f(x)=bsin x+cos2x=一2sinx十 bsin x+1。 2t+b=(t-1)2+b-1,所以ymm=b-1。由 令t=sinx,可得t∈[-1,1]，所以函数 ymx=(2-1)2十b-1=3,可得b=3。故 f(x)等价于函数g(t)=一2t2十bt十1，其对 f(x)min=ymin=2。应选A。 称轴为直线=子.易得g(-1)=-1-6, 评注：函数y=-24十6在[2门]上单 g(1)=-1+b。 9 中学生表理化智职皱掉与拓景年1月 当t=冬≥1，即6≥4时，g()在t∈ 数。因为f(x)=32一32=32-32 =g(x一2)，所以f(x)的图像是由g(x)的 [一1,1]上单调递增，则g(一1)=一1一b= 图像向右平移2个单位长度得到，所以∫(x) 一3，g1)=一1十b-三，这时不存在符合题 图像的对称中心为(2,0)，所以f(x)十f(4 一x)=0。因为y=3在R上单调递增，y= 意的b值：当1=冬≤-1，即b≤-4时，g() 3x在R上单调递减，所以g(x)=3一3 在t∈[一1,1]上单调递诚，则g(一1)=一1 在R上单调递增，则∫(x)在R上单调递增。 3 由f(x)+f(8-3x)>0=f(x)+f(4-x), b=2,g(1)=一1十b=一3，这时不存在 可得f(8-3x)>f(4-x),所以8-3x>4 符合题意的b值。 一x,解得x2,即满足f(x)+f(8一3x)> 当-1<t= 冬<1，即-4<6<4时，由 0的x的取值范围为（一∞，2）。应选B。 评注：解答本题的关键是构造函数g(x) g()=2,即-2（作）+()+1=2，化 =3”一3，从而找出∫(x)与g(x)图像的联 系，使得问题顺利获解。 简整理得b2=4,解得b=士2。当b=2时，函 八、求参数的取值范围 数的最小值为g(一1)=一3，符合题意；当b= 例8已知函数f(x)=2a·4一2-1 一2时，函数最小值为g(1)=一3，符合题意。 有零点，则实数a的取值范围是。 故a十b=士2。应选D。 解析：函数f(x)=2a·4"一2-1有零 评注：解答本题的关键是根据题意确定 点，则方程2a·4一2一1=0有解，所以 a=0。 六、求三角函数式的值 2a21=()广+() 例6sin220°+cos280°+√3sin20°· c0s80°的值等于_。 令(3》=1，由x∈k,可得t>0。令 解析：由题意设x=sin20°+cos80°+ m(x)=(侵)厂+（任）广，则m(x)等价于 V3sin20°cos80°，y=cos20°+sin80° √5cos20sin80°，则x十y=1+1-√3sin60 g()=t+t2=（ 因为g(t)在 =5,x-y=-C cos40°+cos160°+ (0,十∞)上为增函数，其值域为(0，+∞)，即 g(t)>0,所以2a>0,即实数a的取值范围 √3sin100°=-2sin100°sin60°+√5sin100° 是(0，十∞)。 =0。据上可得，x=y= 1 ,所以x=sin220 评注：函数的零点即对应方程的根。本 题是通过分离参数，结合换元法求解的。 十c0s80°+5sin20°c0s80°=4， 1 感悟写 评注：利用换元法构造对偶式是解答本 题的点睛之笔。 若cos(任-a)=，则sim2a= 七、解不等式 例7已知函数f(x)=3-2一3，则满 提示：令不-a=t,则a=子 -t,cos t= 足f(x)十f(8一3x)>0的x的取值范围是 ()。 5 所以sin2a=sin2(任-t）=sim(经 A.(-0∞，4) B.(-o,2) 7 2t =c0s21=2cost-1=25 C.(2,十∞) D.(-2,2) 解析：设函数g(x)=3一3，x∈R,则 作者单位：湖北省巴东县第三高级中学 g(一x)=3一3=-g(x),即g(x)为奇函 (责任编辑王琼霞) 10