随机事件与概率纠错档案-《中学生数理化》高一数学2026年5月刊

中学生数理化高数学2026年5月 易错题归类剖析 随机事件与概率 纠错档案 ■杨涵舒 类型1：混淆基本事件的“等可能性”与 “非等可能性” 例1设袋中有4个白球和2个黑球，现 从袋中无放回地摸出2个球。 (1)求这2个球都是白球的概率。 (2)求这2个球中1个是白球1个是黑 球的概率。 错解：一次摸出2个球，观察结果的颜色 只能是（白，白），（白，黑），（黑，黑），这3种情 况。 (1)用A表示“2个球都是白球”这一事 件，则A={(白，白)}，即1种情况，所以 P(A)=合 (2)用B表示“2个球中1个是白球1个 是黑球”这一事件，则B=(白，黑)}，即1种 情况，所以P(B)=3· 1 正解：不妨把4个白球标记为1,2,3,4， 把2个黑球标记为5,6，则基本事件为(1,2)， (1,3),·,(1,6),(2,1),(2,3),,(2,6), …,(6,1),(6,2),…,(6,5),共30种情况。 (1)用A表示“2个球都是白球”这一事 件，则A={(1,2),(1,3),(1,4),(2,1), (2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,4),(4,1), (4,2),(4,3)},共12种情况，所以P(A)= 122 305 (2)用B表示“2个球中1个是白球1个 是黑球”这一事件，则B={(1,5),(1,6), (2,5),(2,6),(3,5),(3,6),(4,5),(4,6), (5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(6,1),(6,2), (6,3),(6,4)},共16种情况，所以P(B)= 34 168 3015° 感悟：错解中的（白，白），（白，黑），（黑， 黑)这3种结果出现不是等可能的。在涉及 抽样问题时，要特别注意抽取方式是有放回 还是无放回，以及抽取的顺序是否影响结果。 类型2：概率与频率的关系不清 例2现有下面四种说法：①频率反映 事件发生的频繁程度，概率反映事件发生的 可能性大小：②做n次随机试验，事件A发 生m次，则事件A发生的概率为”：③频率 是不能脱离次试验的试验结果，而概率是 具有确定性的，不依赖于试验次数的理论值； ④频率是概率的近似值，概率是频率的稳定 值。 其中正确命题的序号为一。 错解：事件发生的频率就是事件发生的 概率，②正确。答案为②。 正解：根据频率与概率的区别与联系可 知，正确命题为①③④。 感悟：错解没有弄清概率与频率之间的 关系，概率与频率既有区别又相互关联。概 率从数量上反映了随机事件发生的可能性的 大小，频率在大量重复试验的前提下可以近 似地作为这个事件的概率。频率是一个统计 数字，对于不同的样本，频率可能不同；概率 是一个理论数字，不因样本的变化而变化。 类型3：互斥事件与对立事件混淆 例3从40张扑克牌（红桃、黑桃、方块、 梅花各10张，且点数都是从1一10)中，任取 1张。判断下列每对事件是否为互斥事件， 是否为对立事件，并说明理由。 (1)“抽出红桃”与“抽出黑桃”。 (2)“抽出红色牌”与“抽出黑色牌”。 (3)“抽出的牌点数为5的倍数”与“抽出 的牌点数大于9”。 错解：(2)“抽出红色牌”与“抽出黑色牌” 这两个事件不可能同时发生，故这两个事件 是互斥而不对立事件。 正解：(1)是互斥事件，不是对立事件。 从40张扑克牌中任意抽取1张，“抽出红桃” 商一黄學陆阳漆有中学生款理化 例析统计中约五个易特点 ■徐春生 易错点1：识图不准致错 示“ 频率”，每个小矩形的面积表示落在该区 例1某厂对一批产品进行抽样检测， 组距 图1是抽检产品净重（单位：g)的频率分布直 间上的频率。 方图，样本数据分组为[76,78)，「78,80)，…， 正解：由频率分布直方图可知，净重大于 [84,86]。若这批产品有120个，估计其中净 或等于78g且小于84g的产品的频率为1 重大于或等于78g且小于84g的产品的个 (0.05十0.075)×2=0.75，所以估计其中净 数是( )。 重大于或等于78g且小于84g的产品的个 ◆频率/组距 数是0.75×120=90。应选C。 易错点2：误用中点代替中位数致错 0.04 例2某中学举行电脑知识竞赛，现将 0.03 高一参赛学生的成绩（单位：分）进行整理后 分成五组绘制成如图2所示的频率分布直方 0.015 0.01 图。估计高一参赛学生的成绩的中位数为 0.005 成绩生 5060708090100 图1 ◆颊率/组距 0.04 A.12 B.18 C.90 D.105 错解：由频率分布直方图可知，净重大于 0.03 或等于78g且小于84g的产品的频率为1 0.015……… (0.05十0.075)=0.875，所以估计其中净重 0.01 大于或等于78g且小于84g的产品的个数 0.005 门成绩/分 是0.875×120=105。应选D. o 5060708090100 错因剖析：上述解法是识图不准致错。 图2 在频率分布直方图中，纵轴（小矩形的高）表 错解：第一个小矩形的面积为0.03×10 000g0003002000w0000000000000m000000000000000000000000g00020gw000gm0000 和“抽出黑桃”是不可能同时发生的，所以是 的点数为10，即二者不是互斥事件，当然不可 互斥事件。但不能保证其中必有一个发生， 能是对立事件。因此，要分清对立事件与互 这是由于还可能抽出“方块”或“梅花”，因此 斥事件的区别与联系。互斥事件要抓住如下 二者不是对立事件。 的特征进行理解：互斥事件研究的是两个事 (2)既是互斥事件，又是对立事件。从40 件之间的关系；所研究的两个事件是在一次 张扑克牌中任意抽取1张，“抽出红色牌”与 试验中涉及的：两个事件互斥是在试验的结 “抽出黑色牌”是不可能同时发生的，但其中 果不能同时出现来确定的。对立事件是互斥 必有一个发生，因为扑克牌不是红色就是黑 事件的一种特殊情况，是指在一次试验中有 色，所以它们概是互斥事件，又是对立事件。 且仅有一个发生的两个事件，且满足P(A) (3)不是互斥事件，当然不是对立事件。 感悟：从40张扑克牌中任意抽出1张， =1-P(A)。 “抽出的牌点数为5的倍数”与“抽出的牌点 作者单位：陕西省洋县第二高级中学 数大于9”这两个事件可能同时发生，如抽出 (责任编辑郭正华) 35