概率核心考点强化训练-《中学生数理化》高一数学2026年5月刊

中学生表理化葵“资卓演绮6车月 概率核考点强化练冻 ■刘中亮（特级教师） 一、选择题 812,832,569,683,271,989,730,537,925, 1.从编号为1,2,3,4的4个球中，任取2 907。由此估计“3例该种心脏手术全部成 个球，则这2个球的编号之和为偶数的概率 功”的概率为()。 是()。 A.0.2 B.0.3 C.0.4 D.0.5 1 A.3 B.子 7.甲、乙两台机器分别加工相同型号的 零件一个，已知加工为A级产品的概率分别 2.在抛掷一枚质地均匀的骰子的试验 中，事件A表示“小于5的偶数点出现”，事 为是和专，两个零件是否被加工为A级产品 4 件B表示“小于5的点数出现”，则在一次试 相互独立，则这两个零件中恰有一个被加工 验中，事件AUB发生的概率为( )。 为A级产品的概率为()。 A C号n月 7 C.20 1 D.4 3.某小组有3名男生和2名女生，从中 8.已知事件A与事件B是互斥事件，则 任选2名参加演讲比赛，设A=“2名全是男 )。 生”，B=“2名全是女生”，C=“恰有一名男 A.P(A∩B)=0 生”，D=“至少有一名男生”，则下列关系不 B.P(A∩B)=P(A)P(B) 正确的是( )。 C.P(A)=1-P(B) A.A二D B.B∩D=⑦ D.P(AUB)=1 C.AUC=D D.AUB=BUD 9.某次会议期间志愿者队伍中有2人负 4.四位爸爸A,B,C,D相约各带一名自 责接待，有3人负责组织签到。若从这5人 已的小孩进行交际能力训练，其中每位爸爸 中任选2人参加优秀志愿者评选，则选取的2 都与一个别人家的小孩进行交谈，则A的小 人负责不同工作的概率为()。 孩与D交谈的概率是()。 1 A.3 1 B.2 c号 D.3 10.某城市有连接8个小区A、B、C、D、 5.若P(AB)= 1 9,P(A)= 3,P(B)= E、F、G、H和市中心O的整齐方格形道路 网，每个小方格均为正方形，如图1所示，某 子，则事件A与B的关系是( )。 人从道路网中随机地选择一条最短路径，由 A.互斥 B.对立 小区A前往小区H,则他经过市中心O的概 C.相互独立 D.既互斥又相互独立 率是( )。 6.某种心脏手术的成功率为0.6，现采 用随机模拟的方法估计“3例该种心脏手术 全部成功”的概率：先利用计算器或计算机产 生09之间的整数随机数，用0,1,2,3表示 手术不成功，4,5,6,7,8,9表示手术成功，再 以每3个随机数为一组，作为3例手术的结 果，经随机模拟产生如下10组随机数，即 图1 28 资-数学核心青桌黄管中学生教理化 A号CD. D.P (ABC)= 11.(多选题)从集合A={一1，一3,2,4} 15.(多选题)甲、乙两人做下列4个游 中随机选取一个数记为a,从集合B=(一5， 戏，其中对甲、乙都公平的是( )。 1,4}中随机选取一个数记为b,则()。 A.抛掷一枚质地均匀的正方体骰子，向 A.ab>0的概率是2 1 上的点数为奇数，则甲胜，向上的点数为偶 数，则乙胜 B.a十6≥0的概率是号 B.甲、乙在进行乒乓球比赛之前，裁判员 利用抽签器来决定由谁先发球 C.直线y=ax+b不经过第三象限的概 C.从一副不含大、小王的扑克牌中抽一 率是号 张，扑克牌是红色，则甲胜，是黑色，则乙胜 D.1na+in6>1的概率是号 D.同时抛掷两枚硬币，恰有一枚正面向 上，则甲胜，两枚都是正面向上，则乙胜 12.(多选题)某饮料厂商开发了一种新 二、填空题 的饮料，为了促销，每箱装的6瓶饮料中有2 16.甲、乙两人下围棋，若甲执黑子先下， 瓶瓶盖上分别印有“一等奖”“二等奖”，其余 2 4瓶印有“谢谢惠顾”。甲从新开的一箱中任 则甲胜的概率为3：若乙执黑子先下，则乙胜 选2瓶购买，设事件A表示“甲没有中奖”， 的概率为号。假定每局之间相互独立且无平 事件B表示“甲获得一等奖”，事件C表示 “甲中奖”，则()。 局，第二局由上一局负者先下。若甲、乙比赛 A,事件A和事件B是对立事件 两局，第一局甲、乙执黑子先下是等可能的， B.事件A和事件C是对立事件 则甲胜第一局，乙胜第二局的概率为一。 C.P(BUC)=P(C) 17.某次联欢会上设有一个抽奖游戏，已 D.P(BC)=P(C) 知抽奖箱中共有四种除颜色外形状、大小完 13.(多选题)先后抛掷质地均匀的硬币 全相同的小球16个，分别代表一等奖、二等 两次，则下列说法正确的是()。 奖、三等奖和未中奖。其中红球代表一等奖 A.样本空间中一共含有4个样本点 且只有1个，黄球代表三等奖，从中任取1个 B.事件“至少一次正面向上”与事件“至 7 小球，中二等奖或三等奖的概率为6。若小 少一次反面向上”是互斥事件 华同学获得一次抽奖机会，则他未中奖的概 C.事件“至少一次正面向上”与事件“两 率为■ 次反面向上”是对立事件 18.已知从某班学生中任选两人参加农 D.事件“一次正面向上一次反面向上” 发生的概率是专 场劳动，选中两人都是男生的概率是了，选中 14.(多选题)现有甲、乙两个质地均匀且 两人都是女生的概率是品，则选中两人中恰 完全一样的骰子，同时抛掷这两个骰子一次， 有一人是女生的概率为 记事件A为“两个骰子上一面的数字之和 19.若A,B互为对立事件，其概率分别 为奇数”，事件B为“甲骰子朝上一面的数字 为奇数”，事件C为“乙骰子朝上一面的数字 为P(A)=1 P(B)=,且>0，y>0,则 为偶数”，则()。 x十y的最小值为一。 A.事件A,B是相互独立事件 三、解答题 B.事件B,C是互斥事件 20.袋子中放有5个除颜色外完全相同 C.P(A)=P(B)=P(C) 的小球，其中有标记为R,,R。的2个红球， 29 中学生数理化技心数享清练5车年5月 标记为W1,W,的2个白球和标记为B的1 (2)求“星队”在一次比赛中的总得分为 个黑球，从中不放回地依次摸出2个球，观察 5分的概率。 球的颜色。 (1)请写出试验的样本空间2，并计算 广参考答案与提示 n(2)。 一、选择题 (2)设事件A为“取出的球为一黑一 1.提示：从编号为1,2,3,4的4个球中， 白”，求概率P(A)。 任取2个球的可能结果为(1,2)，(1,3)， 21.为普及安全知识，某学校组织了安全 (1,4),(2,3),(2,4),(3,4),共6种情况，其 知识竞赛，比赛共分为两轮，每位参赛选手均 中这2个球的编号之和为偶数的可能结果为 需参加两轮比赛，若其在两轮比赛中均胜出， (1,3),(2,4),共2种情况，故这2个球的编 则视为赢得比赛。已知在第一轮比赛中，选 手甲，乙胜出的概率分别为后，是：在第二轮 号之和为偶数的概率为2=1。 6=3。应选A。 2.提示：掷一枚骰子的试验有6种等可 比赛中，甲，乙胜出的概家分别为子·子。甲、 能的结果，依题意知P(A)=2=1 6=3,P(B) 乙两人在每轮比赛中是否胜出互不影响，各 =42 轮结果也互不影响。 F6=气，所以P(B)=1一P(B)=1-名= (1)从甲、乙两人中选取1人参加比赛， 3。因为B表示“出现5点或6点”的事件， 派准参赛赢得比赛的概率更大？ (2)若甲、乙两人均参加比赛，求两人中 所以事件A与B互斥，所以P(AUB)= 至少有一人赢得比赛的概率。 PA)+PB)=号+日兰.应选C 22.一个盒子中装有五个完全相同的小 3.提示：“至少有1名男生”包含“2名全 球，分别标号为1,2,3,4,5。 是男生”“1名男生1名女生”2种情况，则 (1)一次性取出两个小球，求两个小球的 A三D,AUC=D,A,C正确。事件B与D 号码之和是2的倍数的概率。 是互斥事件，则B∩D=⑦，B正确。AUB (2)有放回地取球两次，每次取一个，求 表示的是“2名全是男生或2名全是女生”， 两个小球的号码是相邻整数的概率。 BUD表示的是“2名全是女生或至少有一名 (3)一次性取出三个小球，设其号码分别 男生”，则AUB≠BUD,D错误。应选D。 为a,b,c,求满足2b=a十c的概率。 4.提示：（方法1）A的小孩等可能地与 23.甲、乙两人组成“星队”参加趣味知识 B,C,D其中一位爸爸交谈，所以A的小孩 竞赛，比赛分两轮进行，每轮比赛回答一道趣 1 味题。在第一轮比赛中，答对题者得2分，答 与D交谈的概率P=3。应选A。 错题者得0分：在第二轮比赛中，答对题者得 (方法2)设A,B,C,D四位爸爸的小孩 3分，答错题者得0分。已知甲、乙两人在第 分别是a,b,c,d,则交谈组合有9种情况，分 一轮比赛中答对题的概率都为p,在第二轮 别为(Ab,Ba,Cd,Dc),(Ab,Bd,Ca,Dc), 比赛中答对题的概率都为9，且在两轮比赛 (Ab,Bc,Cd,Da),(Ac,Ba,Cd,Db),(Ac, 中答对与否互不影响，各轮结果也互不影响。 Bd,Ca,Db),(Ac,Bd,Cb,Da),(Ad,Ba, 设定甲、乙两人先进行第一轮比赛，然后进行 Cb,Dc),(Ad,Bc,Ca,Db),(Ad,Bc,Cb, 第二轮比赛，甲、乙两人的得分之和为“星队” Da),A的小孩与D交谈包含的不同组合有 总得分。已知在一次比赛中甲得2分的概率 3种，分别为(Ab,Bc,Cd,Da),(Ac,Bd,Cb, 为了，乙得5分的概率为日 Da),(Ad,Bc,Cb,Da),所以A的小孩与D (1)求p,q的值。 交谈的概率p=3=1 9=3。应选A。 30 资-数学核心青桌黄管中学生教理化 5.提示：因为P(A)=1-P()=1-兰 DOG→H,共4条，所以P(M)=6 =子，所以P(A)P(B)=,所以P(AB) 即他经过市中心0的概率为号。应选B 2 P(A)P(B)≠0，所以事件A与B相互独立， 11.提示：由题意得(a,b)所有可能的取 事件A与B不互斥也不对立。应选C。 法为（一1，一5），（一1,1），(-1,4)，（一3， 6.提示：因为表示“3例心脏手术全部成 -5),(-3,1),(一3,4)，(2，一5)，(2,1)， 功”的随机数组为569,989，共2组，所以估计 (2,4),(4,-5),(4,1),(4,4),共12种。对 “3例该种心脏手术全部成功”的概率为 2 于A,满足ab>0的取法为（一1，一5），（一3， -5),(2,1),(2,4),(4,1),(4,4),共6种，所 0.2。应选A。 7.提示：记两个零件中恰有一个被加工 以6>0的概率P-是-名A正确：对于 为A级产品为事件M,仅甲机器加工的零件 B,满足a+b≥0的取法为（一1,1），（一1， 为A级产品为事件M,仅乙机器加工的零 4),(-3,4),(2,1),(2,4),(4,1),(4,4),共 件为A级产品为事件M2,则P(M)= 7种，所以a+b≥0的概率P=2,B不正 7 PM,UM)=PM,)+P(M,)=× 确。对于C,因为直线y=a.x+b不经过第三 1-)+0-)×号品应选c 象限，所以a<0,b≥0，可得满足直线y= ax十b不经过第三象限的取法为（一1,1）， 8.提示：事件A与事件B是互斥事件， (一1,4)，（一3,1），（一3,4），共4种，则直线 A与B不一定是互斥事件，所以P(A∩B) y=红x+b不经过第三象限的概率P=2一 不一定为0，A错误。由A,B为互斥事件得 P(A∩B)=0,而P(A)P(B)不一定为0，B 3,C正确。对于D,因为na+lnb= 错误。事件A与事件B是互斥事件，但不一 1nab>1,所以a>0,b>0,ab>e,所有满足 定是对立事件，C错误。事件A与事件B是 1na+1nb>1的取法为(2,4)，(4,1)，(4,4)， 互斥事件，则AUB是必然事件，所以 P(AUB)=1,D正确。应选D。 共3种，所以lna+lnb>1的概率p=3 12 9.提示：设负责接待的2位志愿者分别 为A,B,负责组织签到的3位志愿者分别为 年D不正确。应选AC。 a,b,c,则从中任选2人的情况为(A,B), 12.提示：因为AUB表示“甲没有中奖 (A,a),(A,b),(A,c),(B,a),(B,b), 或甲获得一等奖”，但甲可能获得二等奖，所 (B,c),(a,b),(a,c),(b,c),共10种，其中2 以事件A和事件B不是对立事件，A错误。 人负贵不同工作的情况为(A,a),(A,b), 事件A表示“甲没有中奖”，事件C表示“甲 (A,c),(B,a),(B,b),(B,c),共6种，所以 中奖”，则事件A和事件C是互斥事件且和 所求概率P=8会。应选C 事件为必然事件，所以事件A和事件C是对 立事件，B正确。因为B三C,所以P(BUC) 10.提示：此人从小区A前往H的所有 =P(C),C正确。显然P(BC)=P(B),D 最短路径为A·BC-~E·H,A·B~O- 错误。应选BC。 E·H,A→BO-→G→H,A-D→O→E- 13.提示：对于A,样本空间为{（正，正）， H,A→D>OG→H,A→D→FG→H, (正，反)，（反，正），（反，反）}，共4个样本点， 共6条。记“此人经过市中心O”为事件M, A正确。对于B,两个事件能同时发生，不是 则M包含的基本事件为A·B·O·E·H, 互斥事件，B错误。对于C,两个事件有且仅 A*B-→O*G-H,A→D-OE--H,A- 有一个发生，是对立事件，C正确。对于D, 31 中学生款理化数心数寧清统年5月 事件“一次正面向上一次反面向上”发生的概 两枚硬币，恰有一枚正面向上的概率为2，两 率P-子是，D正确.应选ACD, 枚都是正面向上的概率为子，P(甲胜)≠ 14.提示：用m,n分别表示甲、乙两个骰 子朝上一面的数字，则试验的样本点可用 P(乙胜)，D不公平。应选ABC。 (m,n)表示。样本点总数为6×6=36，事件 二、填空题 16.提示：若第一局甲执黑子先下，则甲 A包含的样本点为(1,2)，(1,4)，(1,6)， (2,1),(2,3),(2,5),(3,2),(3,4),(3,6), 胜第一局的概率为号第二局乙执黑子先下， (4,1),(4,3),(4,5),(5,2),(5,4),(5,6), (6,1),(6,3),(6,5),共18个，所以P(A)= 则乙胜的概率为2：若第一局乙执黑子先下， 器名事件B包含的样本点为(11 则甲胜第一局的概率为号，第二局乙执黑子 (1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(3,1), (3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6),(5,1), 先下，则乙胜的概率为子。所以第一局甲胜， (5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6),共18个， 第二局乙胜的概率P=?X之 .1 1 1 x3×2+2×2 181 所以P(B)= 36=2。事件C包含的样本点 为(1,2)，(2,2)，(3,2)，(4,2)，(5,2)，(6,2)， 17.提示：从16个小球中任取1个小球， (1,4),(2,4),(3,4),(4,4),(5,4),(6,4) (1,6),(2,6),(3,6),(4,6),(5,6),(6,6),共 中二等奖或三等奖的概率为，散代表二等 18个，所以P(C)-器-号。事件A5包含 奖和三等奖的小球共有7个。因为代表一等 奖的小球有1个，所以代表未中奖的小球有8 的样本点为(1,2)，(1,4)，(1,6)，(3,2)， (3,4),(3,6),(5,2),(5,4),(5,6),共9个， 个，故小华同学未中奖的概率为号宁 所以P(AB)=器=子.因为P(AB) 18.提示：记“选中两人都是男生”为事件 A,“选中两人都是女生”为事件B,“选中两 P(A)P(B),所以事件A,B是相互独立事 人中恰有一人是女生”为事件C。易知A,B 件，A正确。事件B与C能同时发生，则事 为互斥事件，AUB与C为对立事件。因为 件B与C不是互斥事件，B错误。P(A)= 127 P(B)=P(C)=,C正确。事件ABC包合 P(AUB)=P(A)+P(B)=3+5=i5, 78 的样本点为(1,2)，(1,4)，(1,6)，(3,2)， 所以P(C)=1-P(AUB)=1-15=5· (3,4),(3,6),(5,2),(5,4),(5,6),共9个， 19.提示：因为事件A,B互为对立事件， 所以P(ABC)=品=子，D错误，应选AC. 其概率分别为P(A)=子，P(B)=兰，日 15.提示：P(向上的点数为奇数)=P(向 x>0,y>0,所以P(A)+P(B)=1+4 1 y 上的点数为偶数)=2，A公平。甲、乙在进 行乒乓球比赛之前，裁判员利用抽签器来决 1,所以x+y=十（号+）=5++ x 定由谁先发球，因为利用抽签器来决定由谁 ≥5+2√x·y y 4y.二=9，当且仅当x=6y= 先发球的可能性都是B公平。P(牌为红 3时取等号，所以x十y的最小值为9。 色)=P(牌为黑色)=子，C公平。同时地掷 三、解答题 20.提示：(1)袋子中放有5个除颜色外 32 资-数学核心青桌黄管中学生教理化 完全相同的小球，从中不放回地依次摸出2 (3,2),(2,4),(4,2),(2,5),(5,2),(3,3), 个球，该试验的样本空间2={(R1,R2), (3,4),(4,3),(3,5),(5,3),(4,4),(4,5) (R1,W1),(R1,Wg),(R1,B),(R,W1), (5,4),(5,5),共25个，其中两个小球的号码 (R2,W),(R,B),(W1,W2),(W1,B), 是相邻整数的为(1,2)，(2,1)，(2,3)，(3,2)， (W,B),(R2,R),(W1,R),(W2,R), (3,4),(4,3),(4,5),(5,4),共8个，故所求 (B,R,),(W1,R2),(W2,R),(B,R2), 概率P= (W2,W),(B,W1),(B,W2)},则n(2)= 259 (3)一次性取出三个小球，样本点为(1， 20。 (2)事件A包含的样本点为(W1,B), 2,3),(1,2,4),(1,2,5),(1,3,4),(1,3,5) (1,4,5),(2,3,4),(2,3,5),(2,4,5),(3,4, (W2,B),(B,W,),(B,W2),共4个，所以概 5),共10个，其中满足2b=a+c的为(1,2， 率P(A)=20=5· 41 3),(1,3,5),(2,3,4),(3,4,5),共4个，故所 21.提示：(1)设事件A1=“甲在第一轮 42 比赛中胜出”，事件A2=“甲在第二轮比赛中 求概率P,=10-5 胜出”，事件B1=“乙在第一轮比赛中胜出”， 23.提示：设A。,A2,Ag,A分别表示在 一次比赛中甲得分为0分，2分，3分，5分的 事件B,=“乙在第二轮比赛中胜出”，事件A =“甲赢得比赛”，事件B=“乙赢得比赛”，则 事件，B。,B,,B,,B:分别表示在一次比赛中 乙得分为0分，2分，3分，5分的事件。 P(A)=吾，P(A)=是，P(B)= (1)因为在一次比赛中，甲得2分的概率 P(B)=是，所以P(A)=P(A,)P(A,) .1 为2，乙得5分的概率为 6,所以 5、25 33 1 6X3=9,P(B)=P(B1)P(B,)= 5×4 P(A:)=p(1-q)= 2 解得p= 2 39=4 、9 1 。因为号>品所以派甲参赛赢得比赛 P(B)=g=6, 的概率更大。 (2)易得P(A,)=P(B)=(1-号)× (2)由(1)知AUB=“两人中至少有一 人赢得比赛”。易得P(A)=1一P(A)=1一 (1-）=,P(A)=P(B:)=2,P(A) 吾-P(=1-P()=1-品-所 =P(B,)=1-号)×}=2P(A:) 以P(AUB)=1-P(不P(B)=1-专X易 P(B:)=6。设C为“‘星队’在一次比赛中 34 459 的总得分为5分”，则C=A。B:UA2B,U AB。UAB。,故P(C)=P(A。B)+ 22.提示：(1)一次性取出两个小球，样本 P(AB3)+P(A3B2)+P(A5B)=P(A。)· 点为(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,3)， P(B,)+P(A,)P(B)+P(A3)P(B,)+ (2,4),(2,5),(3,4),(3,5),(4,5),共10个， 其中两个小球的号码之和是2的倍数的为 p(AP(B,)=×+×2+×名+ (1,3),(1,5),(2,4),(3,5),共4个，故所求 1、11 概率P=品兰 6×4=6,所以“星队”在一次比赛中的总 (2)有放回地取球两次，每次取一个，样 得分为5分的概率是后 本点为(1,1)，(1,2)，(2,1)，(1,3)，(3,1)， 作者单位：河南省开封市第十中学 (1,4),(4,1),(1,5),(5,1),(2,2),(2,3), (责任编辑郭正华) 33