例析概率中的数学文化题-《中学生数理化》高一数学2026年5月刊

中学生表理化警学资华与年月 例析慨率中的数学文化题 ■万勇 求解数学文化题时，要细心观察，通读题 ×4=4,S△GH0=S△BEF= ×4×4=1, 目，将问题中的关键语句翻译成数学语言，利 4 4 用熟悉的数学知识解答问题。 S△MF= 子×号×4X4=2。将△AD0, 一、米谷粒分 △ABO,△GHO,△BEF,△MCF分别记为 例1我国古代数学名著《数书九章》中 S1,S2,S,S,S,从这5个三角形中任取出 有“米谷粒分”问题：“开仓受纳，有甲户米一 2个，则样本空间2=(S1,S),(S1,S,), 千五百三十四石到廊。验得米内夹谷，乃于 (S1,S4),(S1,S),(S2,S),(S2,S,), 样内取米一捻，数计二百五十四粒内有谷二 (S2,S),(S3,S),(S3,S),(S4,S)},共有 十八颗，凡粒米率每勺三百，今欲知米内杂谷 10个样本点。记事件N表示“从5个三角形 多少”。其大意是，粮仓开仓收粮，有人送来 中任取出2个，这2个三角形的面积之和不 米1534石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数 小于另外3个三角形的面积之和”，则事件N 得254粒内夹谷28粒，则这批米内夹谷约为 包含的样本点为(S1,S),(S1,S),(S, ( ）。 S),共3个，所以P(N)=0 3 A.153石 B.154石 C.169石 D.170石 评注：解答本题的关键是弄清一套七巧 解：设这批米内夹谷约为x石。由题意得 板是由哪些特殊图形构成。 28 x 254=534,解得x=28义1534≈169（石）。 三、田忌赛马 254 例3齐王与田忌赛马，田忌的上等马 应选C。 优于齐王的中等马，劣于齐王的上等马，田忌 评注：在简单随机抽样中，某一个个体被 的中等马优于齐王的下等马，劣于齐王的中 抽到的可能性相同。 等马，田忌的下等马劣于齐王的下等马。某 二、七巧板 天，齐王与田忌赛马，双方约定：比赛三局，每 例2七巧板，又称七巧图、智慧板，是中 局各出一匹，每匹马赛一次，赢得两局者为 国古代劳动人民的发明，其历史至少可以追溯 胜，则田忌获胜的概率是_。 到公元前一世纪，到了明代基本定型，于明、清 解：设齐王的上等马，中等马，下等马分 两代在民间广泛流传。某同学用边长为4dm 别为A,B,C,田忌的上等马，中等马，下等马 的正方形木板制作了 分别为a,b,c,每一局双方均任意选一匹马 一套七巧板，如图1 参赛，且每匹马仅参赛一次，胜两场或者两场 所示，包括5个等腰 以上者获胜，基本事件有6个，分别为(Aa, 直角三角形，1个正 Bb,Cc),(Aa,Bc,Cb),(Ab,Bc,Ca),(Ab, 方形和1个平行四边 Ba,Cc),(Ac,Bb,Ca),(Ac,Ba,Cb),田忌 形。若该同学从5个 获胜的基本事件有1个，即(Ac,Ba,Cb),所 三角形中任取出2 M 个，则这2个三角形 图1 以田忌获胜的概率是行 的面积之和不小于另外3个三角形面积之和 评注：求样本点主要是利用列举法，注意 的概率是 避免重复和遗漏。 解：△ADO,△ABO,△GHO,△BEF, 四、二十四节气 例4“春雨惊春清谷天，夏满芒夏暑相 △MCF的面积分别为S AADO=S△AB0= 1 ×4 4 连，秋处露秋寒霜降，冬雪雪冬小大寒，每月两 20 资一数教学文军贸暂中学生教理化 节不变更，最多相差一两天。”中国农历的二十 出关，关税百钱。欲以钱多少衰出之，问各几 四节气，凝结着中华民族的智慧，是中国传统文 何。其译文为：今有甲持560钱，乙持350 化的结晶，如五月有立夏、小满，六月有芒种、夏 钱，丙持180钱，甲、乙、丙三人一起出关，关 至，七月有小暑、大暑。现从立夏、小满、芒种、 税共100钱，要按照各人持钱多少的比例进 夏至、小暑、大暑这6个节气中任选2个节气， 行交税，问三人各应付多少税。则下列说法 则这2个节气不在同一个月的概率是一。 正确的是( )。 解：由题意得样本空间2={（立夏，小 满)，（立夏，芒种），（立夏，夏至），（立夏，小 A.甲应付51品钱 暑)，（立夏，大暑），（小满，芒种），（小满，夏 以乙应付32总钱 至)，（小满，小暑），（小满，大暑），（芒种，夏 至)，（芒种，小暑），（芒种，大暑），（夏至，小 C丙应付16品钱 暑)，（夏至，大暑），（小暑，大暑）}，共15个样 D.三者中甲付的钱最多，丙付的钱最少 本点，其中任取2个节气，这2个节气不在同 100 一个月的样本点有12个，所以这2个节气不 解：依题意得抽样比为560十350+180 在同一个月的概率是岩÷。 10 由分层抽样知，甲应付109 10 109。 ×560= 评注：全体样本点组成的集合称为这个 510(钱)A正确。乙应付品 0 ×350= 试验的样本空间，记作2。 五、圆周率 12 10 32109(钱)，B错误。丙应付09×180= 例5祖冲之是我国南北朝时期杰出的 数学家、天文学家。他一生钻研自然科学，其 56 41 2 7 160g(钱)，C正确。显然51109>3210 主要贡献在数学、天文历法和机械制造三方 面，特别是在探索圆周率π的精确度上，首次 16、56 109D正确。应选ACD. 将“π”精确到小数点后第七位，即π= 评注：计算分层随机抽样常用到的关系 3.1415926…,在此基础上，我们从“圆周率” 为1 样本量n 该层抽取的个体数 第三到第八位有效数字中随机取两个数字 体的个数 该层的个体数 a,b,则事件“|a一b≥5”的概率是。 解：依题意得“圆周率”第三到第八位有 1感体与仪日 效数字分别是4,1,5,9,2,6，从中任取两个 我国古代数学名著《九章算术》中有如下 数字a,b的不同结果为(1,2)，(1,4)，(1,5)， 问题：今有北乡八千七百五十八，西乡七千二 (1,6),(1,9),(2,4),(2,5),(2,6),(2,9), 百三十六，南乡八千三百五十六。凡三乡，发 (4,5),(4,6),(4,9),(5,6),(5,9),(6,9),共 役北乡一百三十六人，欲以算数多少出之，何 15种。记事件“|a一b|≥5”为M,M包含的 各几何？意思是：北乡有8758人，西乡有 不同结果为(1,6)，(1,9)，(2,9)，(4,9)，共4 7236人，南乡有8356人。现要按人数多少 4 从北乡征集136人，问从各乡征集多少人。 种，所以P(MD=5所以事件“a一b≥5” 在上述问题中，需从南乡征集的人数约 的概率为后 是 136 评注：解题时要注意绝对值的意义。 提示：设从南乡征集x(人)，则g758 六、衰分 例6（多选题）在《九章算术》第三章 8356,解得x≈130。 “衰分”中有如下问题：今有甲持钱五百六十， 作者单位：安徽省六安市六安中学 乙持钱三百五十，丙持钱一百八十，凡三人俱 (责任编辑王琼霞) 21