一同走进分层随机抽样&频率分布直方图中的数据分析-《中学生数理化》高一数学2026年5月刊

中学生数理化 知识结构与拓展 高-数学2026年5月 同走进分层随机抽样 ■刘长柏 分层随机抽样主要围绕“分层”与“抽样” 的甲、乙型号产品的数量之和为10+15= 两大环节展开，通过分层抽样可以保证每层 25。应选D。 的特征在样本中得到合理体现，从而有效降 名师点睛：分层抽样的特点是按比例抽 低抽样误差，提高样本的代表性和推断的准 样，这个特点往往用于计算分层抽样中各层 确性。 抽取的样本个数，每层入样的个体数为该层 一、分层随机抽样的理解 的个体数乘以抽样比。 例1简单随机抽样与分层抽样之间的 三、基于分层样本的总体特征推断 共同点是()。 例3某中学共有学生3000人，其中高 A.都是从总体中逐个抽取 一1200人、高二900人、高三900人。采用 B.将总体分成几个部分，按事先确定的 分层抽样抽取300人调查数学成绩，结果显 规则在各部分抽取 示：高一样本平均成绩85分，高二样本平均 C.抽样过程中每个个体被抽到的概率是 成绩90分，高三样本平均成绩88分。请推 相等的 断该中学全体学生的数学平均成绩。 D.将总体分成几层，然后分层按照比例 解：确定各层权重：高一权重=1200÷ 抽取 3000=0.4,高二权重=900÷3000=0.3，高 解：对于A,只有简单随机抽样是从总体 三权重=900÷3000=0.3。计算加权平均 中逐个随机抽取，A错误。对于B,只有分层 成绩：85×0.4+90×0.3+88×0.3=34+27 抽样是将总体分成几部分，按事先确定的规 十26.4=87.4（分）。结论：该中学全体学生 则在各部分抽取，B错误。对于C,简单随机 的数学平均成绩约为87.4分。 抽样、分层抽样之间的共同点是抽样过程中 名师点睛：推断总体特征时，需以“各层 每个个体被抽到的机会相同，C正确。对于 在总体中的占比”为权重，采用“加权平均”计 D,只有分层抽样是将总体分成几层，分层进 算，避免简单平均导致的偏差。 行抽取，D错误。应选C。 名师点睛：分层抽样适用于总体由差异 感悟牙收 明显的几部分组成，为了使样本能充分地反 某校为了解同学们参加社会实践活动的 映总体的情况，常将总体分成几部分，然后按 意向，决定利用分层抽样的方法从高一、高 照各部分所占的比例进行抽样。 二、高三学生中选取200人进行调查，已知该 二、利用分层抽样计算样本的个数 校高一年级学生有1300人，高二年级学生有 例2某工厂生产甲、乙、丙三种不同型 1200人，高三年级学生有1500人，则抽取的 号的产品，产量分别为200件、300件、400 学生中，高三年级有()。 件。为检验产品的质量，现用分层抽样的方 A.50人 B.60人 法，从以上所有的产品中抽取45件进行检 C.65人 D.75人 验，则抽取的甲、乙型号产品的数量之和为 提示：由题意知三个年级共有1300十 )。 A.30 B.15 C.20 D.25 1200+1500=4000(人)，抽样比为4000 解：由分层抽样得抽取的甲型号产品的 20,则抽取的学生中，高三年级有1500×20 200 数量为200+300+400×45=10，乙型号产品 =75(人)。应选D。 300 作者单位：江苏省盐城市时杨中学 的数量为200+300+400×45=15，所以抽取 (责任编辑王琼霞) 16 资一数型识锁物室预骨中学生表理化 频率分布直方图是统计的一种重要工 具，它是高考的常考点，也是与日常生活密切 相关的数学知识。下面对频率分布直方图中 频率分布直方图中的 的数据进行分析和总结。 数据分析 一、百分位数的估算 ■冯建华 例1某高校承办了杭州亚运会志愿者 选拔的面试工作。现随机抽取了100名候选 者的面试成绩，并分成五组：第一组[45,55)， 第二组[55,65)，第三组[65,75)，第四组[75， ◆频率/组距 0.025 85),第五组[85,95]，绘制成如图1所示的频 率分布直方图。已知第三、四、五组的频率之 0.015 0.01 和为0.7，第一组和第五组的频率相同。 0.005 ☐成绩/分 ◆频率/组距 405060708090100 0.045 图2 个频率分布直方图。 0.02 (2)估计这次考试成绩的众数，平均分和 a 成锁修 方差。 45556575859 图1 解：(1)因为各小组的频率之和等于1， 所以成绩在[70,80)的频率为1一(0.025十 (1)求a,b的值。 0.015×2+0.01+0.005)×10=0.3。 (2)估计这100名候选者面试成绩的 补全的频率分布直方图如图3所示。 60%分位数（分位数精确到0.1）。 ◆频率/组距 解：(1)因为第三、四、五组的频率之和为 0.03 0.7,所以(0.045+0.02十a)×10=0.7,解得 0.025 a=0.005。因为前两个小组的频率之和为1 0.015… 一0.7=0.3，即(a+b)×10=0.3,所以b= 0.01 0.005 ☐成绩/分 0.025。 405060708090100 (2)前两个小组的频率之和为0.3，前三 图3 个小组的频率之和为0.75，所以第60百分位 (2)由频率分布直方图得这次考试成绩 数在第三组，且为65+0.6-03×10≈71.7. 在区间[70,80)内的最多，因此这次考试成绩 0.45 的众数为75。利用中值估算学生成绩的平 点评：求百分位数的步骤：根据频率分布 均分为45×0.1+55×0.15+65×0.15+75 直方图求出百分位数所在的区间「a,b):利用 ×0.3+85×0.25+95×0.05=71。这次考 公式4十b6工(6-a)(p为百分位，f。为 f 试成绩的方差为(45一71)×0.1+ 本组前频率和，f为本组频率)求解。 (55-71)×0.15+(65-71)2×0.15+ 二、平均数、方差的估算 (75-71)×0.3+(85-71)×0.25+ 例2某中学组织了数学知识竞赛，从 (95一71)2×0.05=194。所以本次考试成绩 参加考试的学生中抽出40名学生，将其成绩 的众数为75，平均分为71，方差为194。 (均为整数)分成六组：[40,50)，[50,60)，…， 点评：众数是频率最高的中间值，平均数 [90,100],其部分频率分布直方图如图2所 是每个小组的频率乘以每小组中间值之和。 示。观察图形，回答下列问题。 作者单位：陕西省汉阴县第二高级中学 (1)求成绩在70,80)的频率，并补全这 (责任编辑王琼霞) 17